Activité 9 : Figures et rotation Comment obtenir l image d une figure géométrique par rotation? L image est-elle congruente à la figure? L image et la figure ont-elles la même orientation? 1 Lancer Cybergéomètre 2 C est quoi la rotation? La rotation d une figure nécessite un centre de rotation et un angle de rotation. Le centre de rotation est un point qui peut être à l intérieur, sur ou à l extérieur de la figue. La rotation d une figure peut se faire dans le sens des aiguilles d une montre (sens négatif par convention) ou dans le sens inverse des aiguilles d une montre (sens positif par convention). Une rotation de ¼ de tour, de ½ tour, de ¾ de tour ou d un tour complet correspond respectivement à un angle de 90 o, 180 o, 270 o ou 360 o. La mesure de l angle doit être précédée du signe (valeur négative) si la rotation se fait dans le sens des aiguilles d une montre. sens positif centre de rotation sens négatif 3 Créer une grille à points Activer le menu Affichage. Choisir la commande Préférences. Prendre le cm et le degré comme unités de mesure respectives de longueur et d angle. Ajuster les précisions à l unité près. Pour l affichage automatique de l étiquette, cocher Points. Activer le menu Graphique. Choisir la commande Montrer la grille. Si les axes apparaissent, choisir la commande Cacher les axes du même menu. 4 Construire un pentagone ABCDE Activer l outil Point. Cliquer en cinq différents points de la grille. Les étiquettes apparaissent automatiquement. Si nécessaire, éditer les étiquettes A, B, C, D et E à l aide de l outil Texte, en cliquant deux fois sur l étiquette et en tapant l étiquette désirée dans la case de la boîte de dialogue qui s ouvre. Sélectionner les cinq points par ordreà l aide de la Flèche de sélection ou à l aide de l outil Point et de la commande Sélectionner tous les points du menu Édition. 1
4 Construire un pentagone ABCDE Activer l outil Segment. Choisir la commande Segment du menu Construction. Cinq segments apparaissent et délimitent le pentagone ABCDE. Sélectionner les cinq points par ordre. Activer le menu Construction et choisir la commande Intérieur du polygone. Activer le menu Affichage. Choisir la commande Couleur. Choisir la couleur désirée. 5 La rotation du pentagone 5 La rotation du pentagone 5 La rotation du pentagone Faire subir au pentagone une rotation d un quart de tour autour du point D dans le sens des aiguilles d une montre. Pour ce faire, activer la Flèche de sélection. Sélectionner le pentagone en l entourant d un rectangle de sélections à l aide du pointeur. Sélectionner le point D en y cliquant deux fois tout en tenant la touche Majuscule enfoncée. Activer le menu Transformation. Choisir la commande Définir le centre D. Le point D clignote brièvement pour indiquer qu il est bien le centre de rotation. Activer le menu Transformation. Choisir la commande Rotation. La boîte de dialogue Rotation s ouvre. Dans la case de la valeur de l angle en surbrillance, taper 90 (-, parce que la rotation est dans le sens des aiguilles d une montre, et 90 parce que c est un quart de tour). Les hachures à l intérieur pentagone veulent dire que ce pentagone est sélectionné. Cliquer sur OK. Un pentagone A B C D E apparaît. Ce pentagone est l image du pentagone ABCDE obtenue par une rotation d un quart de tour dans le sens des aiguilles d une montre autour du point D. 2
6 Construire le cercle de rotation Activer l outil Compas. Placer le curseur au point D. Enfoncer le bouton gauche de la souris et faire glisser celle-ci jusqu à ce que le cercle tracé passe par les points A et B. À l aide de la Flèche de sélection, sélectionner les points A, K et A en cliquant sur chacun d eux tout en tenant la touche Majuscule enfoncée. Activer le menu Construction et choisir la commande Arc passant par trois points. Un arc apparaît. Pour rendre visible cet arc, cliquer avec la Flèche de sélection deux fois sur un point de l arc afin de le sélectionner. Activer le menu Affichage et choisir la commande Style du trait et l option Épais, puis choisir la commande Couleur du même menu et choisir la couleur désirée de la palette de couleurs qui apparaît, soit le rouge. Sélectionner le cercle. Activer le menu Affichage et choisir la commande Cacher : Cercle. Le cercle est caché. Procéder de la même manière pour cacher le point K. 7 Construire l angle de rotation Activer l outil Segment. Tracer les segments DA et DA. Cliquer dans un espace vide de la zone de l esquisse pour désélectionner. Sélectionner les trois points A, D et A dans cet ordre tout en tenant la touche Majuscule enfoncée. Activer le menu Mesures et choisir la commande Angle. La valeur de l angle s affiche au coin supérieur gauche de la zone de l esquisse. 8 La figure et son image sont-elles congruentes? Sélectionner l arc et les deux segments, puis choisir la commande Cacher : Objets du menu Affichage. Le pentagone et son image restent dans la zone de l esquisse. Sélectionner les cinq côtés du pentagone ABCDE. Activer le menu Mesures et choisir la commande Longueur. Les mesures des cinq côtés s affichent au coin supérieur gauche. 3
8 La figure et son image sont-elles congruentes? Procéder de la même manière pour trouver les mesures des cinq côtés de l image A B C D E. Remarquer que la mesure de chaque côté de la figure est congrue à celle du côté homologue de l image. Conclusion : La figure et son image ont la même taille et la même forme, donc elles sont congruentes. 9 Une rotation de 180 o Garder seulement le pentagone ABCDE sur la grille à points quadrillé. Faire subir à cette figure une rotation autour d un point O situé à l extérieur d un demi-tour dans le sens inverse des aiguilles d une montre. Activer l outil Point. Cliquer en un point de la zone de l esquisse à l extérieur du pentagone. À l aide de l outil Texte, étiqueter ce point O en cliquant deux fois sur l étiquette apparue et en tapant O dans la case de la boîte de dialogue qui s ouvre, puis cliquer sur OK. Sélectionner la figure en l entourant d un rectangle de sélection. Enfoncer la touche Majuscule et sélectionner le point O. Activer le menu Transformation. Choisir la commande Définir le centre «O» (ou le raccourci Ctrl F). Le point O clignote brièvement pour indiquer qu il est bien le centre. Choisir la commande Rotation du même menu. La boîte de dialogue Rotation s ouvre. Taper 180 dans la case du nombre en surbrillance. Cliquer sur OK. Un pentagone de même forme et de même taille que la figure apparaît. Remarquer bien que la figure et son image n ont pas la même orientation. À l aide de l outil Segment, vérifier que tout sommet de la figure, le centre de rotation O et le sommet homologue de l image sont alignés. 4
10 Une rotation dynamique Supprimer l image en le sélectionnant à l aide de la Flèche de sélection et de la touche Supprimer. Activer le menu Graphique et choisir la commande Cacher la grille. Activer l outil Segment. Tracer deux segments de même sommet afin de définir un angle. Avec la Flèche de sélection, sélectionner les trois points qui définissent cet angle et choisir la commande Angle du menu Mesures. La mesure de l angle s affiche au coin supérieur gauche de la zone de l esquisse. La Flèche de sélection activée, sélectionner le pentagone ABCDE et le point O en tenant la touche m enfoncée. Activer le menu Transformation et choisir la commande Définir le centre «O». Le point O clignote brièvement. Choisir la commande Rotation du même menu. La boîte de dialogue Rotation s ouvre. Cliquer sur la mesure de l angle. Celle-ci apparaît dans la case de la boîte de dialogue. On définit ainsi cet angle comme l angle de rotation de la figure. Cliquer sur OK. L image A B C D E de la figure apparaît. Choisir une autre couleur de l image en se servant de la commande Couleur du menu Affichage. Saisir une extrémité de l angle avec la Flèche de sélection et le bouton gauche de la souris enfoncé, faire glisser celle-ci afin de modifier la valeur de l angle. Observer la figure. Faire superposer les deux côtés de l angle. Est-ce que l image se superpose exactement à la figure? 11 Rotation et réflexion combinée Activer l outil Segment. Tracer un segment qui sera considéré comme l axe de réflexion de l image A B C D E. Sélectionner A B C D E et le segment. Choisir la commande Définir l axe de réflexion du menu Transformation, puis la commande Réflexion du même menu. L image A²B²C²D²E² apparaît. 5
11 Rotation et réflexion combinée Choisir une autre couleur de l image A²B²C²D²E² en se servant de la commande Couleur du menu Affichage. Faire glisser une extrémité de l angle et observer comment se déplacent les deux images, celle obtenue par rotation et celle obtenue par réflexion. Les deux images sont congruentes et elles ont la même orientation. 12 Créer une animation Garder seulement le pentagone ABCDE et le point O. Activer l outil Compas. Construire un cercle. Sélectionner ce cercle à l aide de la Flèche de sélection. Choisir la commande Point sur un objet du menu Construction. Un deuxième point apparaît sur le cercle. À l aide de l outil Texte, étiqueter les deux points U et V et le centre du cercle T. Activer l outil Segment. Tracer les deux segments TV et TU afin de définir un angle de rotation. Sélectionner l angle et choisir la commande Angle du menu Mesures. La mesure de l angle s affiche. Procéder comme précédemment pour sélectionner le pentagone et le point O. Choisir la commande Définir le centre «O» du menu Transformation. Le point O clignote brièvement. Choisir la commande Rotation du même menu. La boîte de dialogue Rotation s ouvre. Cliquer sur la mesure de l angle. Cette mesure apparaît dans la case de la boîte. Cliquer sur OK. L image A B C D E apparaît. Cliquer dans un espace vide de la zone de l esquisse pour désélectionner. À l aide de la Flèche de sélection, sélectionner le cercle et le point U. Choisir la commande Animer du menu Affichage. Le cercle et le point clignotent. La boîte de dialogue Correspondance du trajet s ouvre avec l option rapidement. Choisir l option lentement et cliquer sur Animer. Le point commence à tourner sur le cercle. Observer comment se déplace l image. Pour arrêter l animation, cliquer dans un espace vide de la zone de l esquisse. 6