I. Approche expérimentale

PCSI1 Lycée Michelet INTERFÉRENCES On a observé dans le chapitre précédent la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales de même amplitude se propageant dans des directions opposées. Il apparaît des points où la vibration est toujours nulle (nœuds de vibration). En ces points les deux ondes ont toujours des valeurs opposées et s annulent mutuellement. On a vu, qu en milieu limité, des modes propres d ondes stationnaires pouvaient apparaître, correspondant à des fréquences déterminées, liées directement à la nature des conditions aux limites spatiales du milieu. On va de nouveau dans ce chapitre, envisager la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales, mais en se plaçant désormais à deux voire à trois dimensions et sans considérer le milieu de propagation limité (on n observera donc plus de quantification des fréquences). On va utiliser des sources cohérentes : elles ont même pulsation et leur déphasage est constant. On observe alors des zones où l amplitude du signal est maximale qui alternent avec des zones où l amplitude est minimale. C est le phénomène d interférence. Vous l avez rencontré en terminale, en particulier en optique, mais c est un comportement commun à toutes les ondes. I. Approche expérimentale Cuve à onde Une lampe éclaire un plan d eau excité par un ou plusieurs vibreurs. Un miroir, incliné à 45 permet de rabattre l image sur un plan vertical. On expliquera dans le cours d optique les propriétés suivantes, liées à la réfraction des rayons lumineux : les crêtes correspondent aux zones les plus brillantes les creux correspondent aux zones les plus sombres Lorsqu un seul vibreur fonctionne on observe une alternance de cercles sombres et brillants centrés sur la source et qui s en éloignent à la vitesse c (cf ex5 du T sur les ondes progressives). http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/ondes/cuve_ondes/propagati onde_circulaire.php 1

Quand on actionne les deux vibreurs, les ondes émises par les deux sources se superposent on dit qu elles interfèrent. On observe des lignes d amplitudes maximales (lignes blanches) où alternent des zones sombres et brillantes avec un contraste maximal et qui se déplacent le long de cette ligne au cours du temps et des lignes de contraste quasi-nul (uniformément grises, représentées par une ligne noire) sur lesquelles la vibration est nulle quel que soit t. Ces lignes sont appelées franges d interférence. Quand on augmente la fréquence (λ diminue), le nombre de franges augmente. Le but de ce cours est d expliquer de manière quantitative ce phénomène. Le phénomène d interférence se produit pour d autres types d onde : ondes acoustiques, ondes électromagnétiques avec le cas particulier des ondes lumineuses (vu en TS). http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/ondes/cuve_ondes/interfere ondes_circulaires.html II. Superposition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence 1. Rappel : additivité des signaux Les équations régissant la propagation des ondes étant linéaires, on peut additionner les signaux associés. C est ce qu on appelle le théorème de superposition. Remarque : Lorsque l amplitude des signaux devient importante, on sort du domaine linéaire, le théorème de superposition n est plus applicable.. Interférences à deux ondes On assimile les émetteurs à des sources ponctuelles E 1 et E qui émettent des signaux sinusoïdaux de même pulsation et de déphasage constant : on dit que les sources sont cohérentes. On note s E1 (t) et s E (t) les signaux émis respectivement en E 1 et en E. Ils peuvent s écrire sous la forme : s E1 (t) = a 1 cos(ωt + ϕ S1 ) et s E (t) = a cos(ωt + ϕ S ) les sources étant cohérentes, leur déphasage est constant : ϕ S = ϕ S ϕ S1 = Cte Remarque : dans de nombreux cas, les signaux ont même amplitude a 1 = a et sont en phase. si les deux sources sont en phase : ϕ S = ϕ S1 ϕ S = 0 On dit alors que les sources sont synchrones.

En un point M situé respectivement à la distance r 1 de E 1 (r 1 = E 1 M) et à la distance r de E (r = E M), les signaux sont : ( s 1 (M, t) = s E1 t r ) ( 1 = a 1 cos ω(t r ) 1 c c ) + ϕ S 1 = a 1 cos(ωt ω c r 1 + ϕ S1 ) = a 1 cos(ωt kr 1 + ϕ S1 ) = a 1 cos(ωt + ϕ 1 ) de même ( s (M, t) = s E t r ) ( = a cos ω(t r ) c c ) + ϕ S = a cos(ωt ω c r + ϕ S ) = a cos(ωt kr + ϕ S ) = a cos(ωt + ϕ ) avec ϕ 1 = ϕ S1 kr 1 et ϕ = ϕ S kr. après le théorème de superposition, le signal résultant sera de la forme s(m, t) = s 1 (M, t) + s (M, t) = a 1 cos(ωt + ϕ 1 ) + a cos(ωt + ϕ ) On constate qu on est amené à sommer deux signaux sinusoïdaux de même pulsation, mais a priori d amplitudes et de phases différentes. 3. Visualisation de l addition de deux signaux sinusoïdaux On visualise s(t) = s 1 (t) + s (t) = a 1 cos(ωt + ϕ 1 ) + a cos(ωt + ϕ ). On peut utiliser le lien suivant pour visualiser s(t) : on peut faire varier ϕ 1, ϕ ainsi que les amplitude a 1 et a. http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/ondes/general/somme. html 3

4 On constate les propriétés suivantes : La somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation ω est un signal sinusoïdal de pulsation identique ω. L amplitude du signal obtenu dépend uniquement de la différence de phase ϕ = ϕ ϕ 1 entre les deux signaux. La somme de deux signaux présente une amplitude maximale a max lorsque les deux signaux sont en phase : pour ϕ = 0 (modulo π), ϕ = ϕ 1 (modulo π) a max = a 1 + a La somme de deux signaux présente une amplitude minimale a min lorsqu ils sont en opposition de phase : pour ϕ = π (modulo π) ϕ = ϕ 1 + π (modulo π) a min = a 1 a Pour des signaux de même amplitude (a 1 = a = a) : a max = a et a min = 0. On a représenté ci-dessous en rouge le signal s(t) correspondant à l addition des deux signaux s 1 (t) et s (t) respectivement en bleu et en vert, pour différentes valeur de ϕ.

4. Addition de deux fonctions sinusoïdales par la méthode de Fresnel Physicien français (1788-187). Augustin Fresnel ainsi que le physicien Louis Arago ont défendu le modèle ondulatoire de la lumière en s appuyant sur des expériences de diffraction et d interférence. Il est également très connu pour avoir inventé les lentilles, dites "lentilles de Fresnel" qui équipent tous les phares. On a vu en début d année que la projection d un mouvement circulaire uniforme sur un des diamètre du cercle correspondait à un mouvement harmonique. Ce rappel permet d introduire la méthode de Fresnel. À toute fonction sinusoïdale s(t) = a 0 cos(ωt + ϕ) on associe le vecteur S du plan (x0y) tel que S = a 0 la norme de S correspond à l amplitude du signal ( e x, S ) = ωt + ϕ S est donc un vecteur tournant à la vitesse angulaire constante ω. ϕ est l angle entre e x et S à t = 0. s(t) se déduit de S par projection sur l axe e x : s(t) = S. e x = a 0 cos(ωt + ϕ) Remarque : pour représenter la fonction a 0 sin(ωt+ϕ), on utiliserait le même vecteur S, mais on le projetterait sur e y. 5

Appliquons cette méthode à l addition de nos deux signaux sinusoïdaux s 1 et s, de même pulsation, tels que s 1 = a 1 cos(ωt + ϕ 1 ) est représenté par S 1 s = a cos(ωt + ϕ ) est représenté par S s(t) = s 1 + s est représenté par S = S 1 + S Le vecteur S tourne également à la vitesse angulaire ω. L ensemble des trois vecteurs tourne donc en bloc à la même vitesse angulaire ω. Sur l animation suivante, on peut visualiser la somme de deux signaux sinusoïdaux, via la construction de Fresnels. Le signal résultant est en rouge et les deux signaux que l on additionne sont en vert et bleu : On peut faire varier le déphasage ainsi que les amplitudes respectives des deux signaux. http://ressources.univ-lemans.fr/acceslibre/um/pedago/physique/0/electri/repfresn. html On retrouve les propriétes énoncées précédemment : lorsque les signaux sont en phase l amplitude du signal résultant est maximale (a max = a 1 + a ) et lorsque les deux signaux sont en opposition de phase l amplitude du signal résultant est minimale a min = a 1 a. 5. Calcul de l amplitude résultante En utilisant le schéma précédent, on peut calculer la norme a du vecteur S = S 1 + S, correspondant à l amplitude du signal résultant. S = S 1 + S = ( S 1 + S ) = S 1 + S + S 1. S = S 1 + S + S 1 S cos ϕ a = a 1 + a + a 1 a cos ϕ avec ϕ = ϕ ϕ 1 a = a 1 + a + a 1 a cos ϕ avec ϕ = ϕ ϕ 1 6

L amplitude est maximale lorsque cos ϕ = 1, ϕ = p π avec p Z, les signaux sont en phase : a max = a 1 + a + a 1 a = a 1 + a L amplitude est minimale lorsque cos ϕ = 1, ϕ = π +p π les signaux sont en opposition de phase : a min = a 1 + a a 1 a = a 1 a On retrouve que pour deux signaux de même amplitude a : a max = a et a min = 0. III. Figure d interférence 1. Interférences constructives - Interférences destructives Reprenons l étude des interférences produites par deux sources émettant respectivement des signaux : s E1 (t) = a 1 cos(ωt + ϕ S1 ) et s E (t) = a cos(ωt + ϕ S ) On a établi les expressions des deux signaux en M : s 1 (M, t) = a 1 cos(ωt kr 1 + ϕ S1 ) = a 1 cos(ωt + ϕ 1 ) s (M, t) = a cos(ωt kr + ϕ S ) = a cos(ωt + ϕ ) avec ϕ 1 = kr 1 + ϕ S1 et ϕ = kr + ϕ S. On en déduit le déphasage ϕ entre les deux signaux : ϕ = ϕ ϕ 1 = k(r 1 r ) + ϕ S ϕ S1 = π λ (r 1 r ) + ϕ S Le déphasage ϕ dépend de r 1 et r et donc de la position du point M considéré par rapport aux sources. L amplitude du signal résultant dépend donc du point où on se place. 7

Condition d amplitude maximale : interférence constructives Pour obtenir une amplitude maximale a max, les deux vibrations doivent être en phase. On dit que les ondes interfèrent constructivement. On a alors ϕ = ϕ ϕ 1 = p π avec p Z avec a max = a 1 + a Condition d amplitude minimale : interférence destructives Pour obtenir une amplitude minimale a min, les deux vibrations doivent être en opposition de phase. On dit que les ondes interfèrent destructivement. On a alors : ϕ = ϕ ϕ 1 = π + p π avec p Z avec a min = a 1 a. Cas particulier de deux sources synchrones On va supposer les deux sources synchrones : elles vibrent en phase c est-à-dire ϕ S = ϕ S ϕ S1 = 0. ans ce cas, le déphasage en M entre les deux signaux est uniquement dû à la différence entre les longueurs E 1 M = r 1 et E M = r. Pour deux sources synchrones : ϕ = ϕ ϕ 1 = k(r 1 r ) = π λ (r 1 r ) La condition d interférences constructives se traduit alors par : ϕ = π λ (r 1 r ) = p π avec p Z r 1 r = p λ avec p Z Remarque : p = r 1 r est appelé l ordre d interférence. Pour des sources synchrones les λ interférences sont constructives pour p Z. La condition d interférences destructives se traduit par : ϕ = π λ (r 1 r ) = π + p π avec p Z r 1 r = λ + p λ avec p Z Pour deux sources synchrones : interférences constructives pour r 1 r = p λ avec p Z interférences destructives pour r 1 r = λ + p λ avec p Z 8

Si les ondes émises sont de plus de même amplitude, les minima correspondront à une amplitude nulle. 3. Franges d interférence. a) Cas On a montré que, lorsque les deux sources vibrent en phase, la condition d interférences constructives se traduit par : r 1 r = pλ Pour une valeur de p donnée, la condition donne : E 1 M E M = cte (avec cte = pλ) Remarque : mathématiquement, M décrit des hyperboles de foyers E 1 et E. On peut, à l aide d un logiciel de calcul tracer les courbes de maximum d intensité pour différentes valeurs de p (cf les courbes ci-dessous obtenues avec le logiciel SAGE). ans le cas où les deux sources sont en phase, la ligne médiatrice du segment [E 1 E ] (sur lequel r 1 = r et donc p = 0) correspond à une ligne d intensité maximum. Ensuite lorsque p < 0, r 1 < r et lorsque p > 0, r 1 > r 4 E p = p =1 0 p =0 p = 1 - p = E 1-4 0 4 6 8 e manière générale, les lignes iso-amplitude sont des hyperboles intermédiaires à celles tracées ici. En effet les lignes iso-amplitude correspondent à une valeur de ϕ fixée : 9

ϕ = π λ (r 1 r ) = Cte r 1 r = λ ϕ = cte π qui correspond toujours à l équation d une hyperbole de foyer E 1 et E exemple : frange d amplitude minimale ϕ = π λ (r 1 r ) = π + p π r 1 r = λ + pλ Voir l animation sur le site suivant, qui montre l interférence entre deux ondes de même amplitude dans une cuve à onde. On peut y visualiser les franges d amplitude maximale (sur une même frange alternent les zones brillantes et sombres de contraste maximum) et les lignes intermédiaires où la vibration est nulle et qui apparaissent en gris. http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/ondes/cuve_ondes/interfere ondes_circulaires.html b) Cas 3 (à titre indicatif) En acoustique, en optique les ondes sont volumiques. Les lieux des points où le déphasage ϕ est constant, ne sont plus des lignes mais des surfaces iso-amplitude. La condition d amplitude maximale r 1 r = pλ avec p Z, pour deux sources synchrones, donne la condition E 1 M E M = cte qui définit des hyperboloïdes de révolution autour de l axe E 1 E. 10

Exemple : en optique en plaçant un écran parallèlement à la direction E 1 E, on obtient l intersection d un plan (l écran) avec les surfaces hypoerboloïdes : cela donne des portions d hyperboles qui apparaissent rectilignes si l écran est de taille suffisamment faible. Si on place un écran perpendiculairement aux sources, on observera des franges circulaires (voir interféromètre de Michelson en deuxième année). 4. Cas où les sources ne sont pas synchrones ans le cas où les sources ne sont pas synchrones, il faut revenir à l expression générale de ϕ. ϕ = ϕ ϕ 1 = π λ (r 1 r ) + ϕ S Prenons le cas où les sources vibrent en opposition de phase. On peut écrire : ϕ S = ϕ S ϕ S1 = π Les franges d amplitude nulle correspondent à ϕ = π + p π avec p Z π λ (r 1 r ) + π = π + p π r 1 r = pλ avec p Z Cette formule correspondait à la position des franges d amplitude maximale pour deux sources synchrones : les franges d amplitude maximale pour deux sources synchrones deviennent donc des franges d amplitude nulle lorsque les deux sources sont en opposition de phase. En particulier, la médiatrice du segment [E 1 E ] devient une frange d amplitude nulle. Visualiser l effet d un déphasage quelconque sur l animation : http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/ondes/cuve_ondes/interfere ondes_circulaires.html On constate que l introduction d un déphasage ϕ S 0 se traduit par un déplacement des franges. ans le cas particulier où les sources vibrent en opposition de phase, il y a inversion de la position des franges. 11

5. Calcul de l interfrange (pour information) On se place à dimensions. E 1 M y + a E M y a r 1 = E 1 M = + (y + a ) r = E M = + (y a ) On suppose les conditions a et y vérifiée. ( y + a ) r 1 = 1 + ( y a ) r = 1 + On constate sur le graphique ci-contre que 1 + x 1 + x pour x < 0.5. 1

après nos hypothèses, de la fonction 1 + x : r 1 = r = y a [ [ 1 et 1 + 1 1 + 1 y+ a 1. On peut donc utiliser l expression approchée ( y + a ) ] [ = 1 + 1 ] (y + ay + a 4 ) ( y a ) ] [ = 1 + 1 ] (y ay + a 4 ) r 1 r = ay Supposons les sources synchrones. ans ce cas ϕ = π λ (r 1 r ) et les franges d amplitude maximale sont données par r 1 r = pλ p Z On note y p la position de la frange d amplitude maximale associée à l entier p : ay p = pλ y p = p λ a y p+1 y p = λ a Si on se déplace le long de l axe y, l écart entre deux franges d amplitude maximale vaut i = λ a, appelée interfrange. Remarque : En se plaçant à 3 dimensions on retrouve le même résultat. E 1 M y + a E M y a z z ( r 1 = + y + a + z = 1 + ) r = + ( y a + z = 1 + ) ( y + a ) ( z ) + ( y a ) ( z ) + dans le cas où a, y et z, un calcul identique au précédent permet de retrouver : r 1 r = ay 13

Cas particulier de l optique : ispositifs de trous d Young (ou des fentes d Young). Les récepteurs sont sensibles au carré de l amplitude du signal résultant. Pour voir les interférences, il faut plutôt travailler en lumière monochromatique. En lumière blanche, on observe rapidement une irisation puis un brouillage des franges (voir cours Terminale). http://podcast.grenet.fr/episode/interferences-de-young/ 14