Université se Caen-Basse Normandie UFR des Sciences 2009-200 Master IMM mention Ingénierie Mécanique (M) ynamique des Fluides réels : Td - Rappel Équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement, Équation de Bernoulli, Équation d énergie et Perte de charge L équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement (S) (V ) ds n v (V ) : volume de contrôle fixe ρ v dv : quantité de mouvement d un élément du volume dv (S) : surface de contrôle n : vecteur normal extérieur à S v : vitesse du fluide σ : tenseur de contraintes. (V ) taux de varitaion de la quantité de mouvement (S) ρ v ( v n )ds : force exercée par un flux massique ρ( v n )ds entrant le volume de contrôle à travers ds σ = σ n : Force surfacique s exerçant sur un élément de surface ds ρ f dv : force à distantce s exerçant sur un élément de volume Le principe fondamental de la dynamique appliqué à V : ρ v dv = ρ v ( v n )ds + ρ f dv t force engendrée parle flux de la quantité de mouvement (V ) force du volume + (S) σ n ds force de surface où on tire t (V ) ρ v dv + (S) ρ v ( n v )ds = (V ) ρ f dv + (S) σ ds
Équation de Bernoulli Pour un écoulement permanent et incompressible l équation de Bernoulli affirme que la quantité reste constante le long d une ligne de courant. 2 v 2 + gz + p ρ = Cte. = C Perte de charge Il est commode et utile d appeler la constante au deuxième membre charge; elle s exprime sous la forme d une hauteur de la colonne du liquide : h = C g. () Alors que l équation de Bernoulli a été démontrée pour un fluide parfait, les fluides réels sont visqueux et l écoulements non uniformes. Par conséquent, pour l écoulement dans une conduite on utilise la vitesse moyenne U calculé à partir de débit volumique Q divisé par la section S : U = Q/S. e plus, dans un écoulement permanent le fluide perd d énergie pour vaincre les forces de frottement interne (viscosité/turbulence) ce qui conduit à une chute de pression appelée perte de charge. Il est commode d appeler la perte de charge liée à la longueur, la rugosité de la conduite et la viscosité, perte de charge linéaire (ou linéique ) ou régulière h r. Quand les pertes de charge sont dues aux formes géométriques de canalisation (coude, tés, élargissement ou contraction brusque, cônes, joints, clapets, passage à travers une grille, vanne, robinet,...) on parle alors de perte de charge singulière, h s. Lignes de charges : représentation graphique Pour interpréter graphiquement l équation de Bernoulli on note d abord que p = p+ρg représente l énergie potentielle par unité de volume dans le champs de pesanteur, g, en presence de la pression p; il s agit de la charge obtenue au repos. C est pourquoi on appelle p /ρg charge piézometrique ou ligne piézometrique en lequel p/(ρg) représente la charge due à la pression et z la charge potentielle. 2
ligne piézometrique plan de charge; ligne de charge totale v 2 /2g v 2 /2g v 2 2/2g p /ρ p/ρ Canalisation p 2 /ρ h ligne moyenne z 2 z z plan de référence 00000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 Figure : Représantation graphique de charge d un écoulement dans une conduite. plane de charge fluide parfait h r + h s fluide réel v 2 /2g v 2 2 /2g p /ρ lignes de courant z v z p 2 /ρ v 2 x 000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000 z 2 Figure 2: Représantation graphique de charge d un écoulement à surface libre. 3
L équation de l énergie n v ds Surface de contrôle, S, délimitant le volume de contrôle V Figure 3: Volume de contrôle V C délimité par la surface de contrôle SC. dans Une des conséquences du première principe de la thermodynamique est l affirmation que pour un système en mouvement, (une masse de fluide) : dq + dw = de (2) où dq est la chaleur reçue par un système thermodynamique, dw le travail effectué sur le système (d où le signe positif) et de est le changement de l énergie totale du système en mouvement, soit E systèm = e dm = e ρ dv (3) système où e = E/m est l énergie massique, donnée par système e = 2 v2 Énergie cinétique + u + gz Énergie interne Énergie potentielle (4) où u est l énergie interne du système par unité de masse. Le travail reçu/fait par le système est constitué de travail fait par la force de pression dw p = pdv et de travail mécanique dw m, où V est le volume du système. La chaleur dq apportée au fluide est seulement importante dans les écoulements avec transfert thermique. Copmte tenu du fait que le fluide est en mouvement, on écrit : dq dt + dw dt 4 = de dt (5)
À partir de cette équation on peut montrer que pour un écoulement dans un tube de courant, Q + Ẇm + Ẇp = (u + gz + t V C 2 v2 )ρdv + (u + gz + SC 2 v2 )ρ v n ds (6a) Q + Ẇm p v n ds = (u + gz + SC t V C 2 v2 )ρdv + (u + gz + SC 2 v2 )ρ v n ds (6b) Q + Ẇm = (u + gz + t V C 2 v2 )ρdv + (u + gz + p ρ + 2 v2 )ρ v n ds (6c) où Q + Ẇm = t V C SC (u + gz + 2 v2 )ρdv + (h + gz + 2 v2 )ρ v n ds (6d) SC où V C désigne le volume de côntrole délimatant le système (le fluide dans le tube de courant), et SC est la surface de contrôle corréspondant, h = u + p/ρ est l enthalpie massique du fluide. à Si l écoulement est permanent et uniforme dans le tube de courant, cette équation se simplifie Q + Ẇm = (ρvs) 2 ( h + gz + 2 v2 ) où,ici, S représente la section du tube de courant. Or, de l équation de continuité (ρvs) = (ρvs) 2 = ṁ. 2 (ρvs) ( h + gz + 2 v2 ) Ainsi, en fonction de valeurs intensives q = Q/ṁ, w m = Ẇm/ṁ, l équation (7) s écrit sous la forme (h + gz + 2 v2 ) = (h + gz + 2 ) v2 2 (7) q w m (8) Relation entre l équation de Bernoulli et la conservation d énergie L équation (8) peut s écrire sous la forme ( p ρ + gz + ) ( p 2 v2 = ρ + gz + ) 2 v2 2 q + (u 2 u ) w m (9) Il est immédiat que cette équation est reliée à l équation de Bernoulli en l absence de transfert thermique et de changement d énergie interne. Le terme en parenthèse au premier membre représente la charge disponible ou charge totale dont une partie est dissipée pour vaincre les force de frottement. C est pourquoi on appelle cette dernière perte de charge. Notons aussi que ) les 5
forces de frottement conduisent aux pertes d énergie transformée par la suite en chaleur, 2 ) pour un écoulement dans une conduite le fluide peut recevoire d énergie sous la forme de travail fait, par exemple, par une pompe, et 3 ) le fluide fait de travail sur une turbine. Alors, il est commode d réécrire (9) sous la forme de sum de charges : ( p gρ + z + 2 v 2 ) ( p = g gρ + z + 2 Coefficient de perte de charge, K v 2 ) + h frottement h popmpe + h turbine (0) g 2 En générale et dans la plupart des cas on trouve expérimentalement que les pertes de charge sont proportionnelles au carrée de la vitesse moyenne U et s expriment sous la forme : h frottement = K U2 2g. () On appelle la constante K coefficient de perte de charge dont la valeur est conditionnée par la géomètrie de conduite, le régime de l écouement et la rugosité, ǫ. Représentée sur la figure suivante sont les rélations entre le coefficient de frottement, la rugosité relative ǫ/ (, le diamètre de conduite) et le régime de l écoulement dans une conduite circulaire 6
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Exercices Exercice I : On considère l écoulement d eau dans une conduite cylindrique horizontale constituée de : (a) une section cylindrique de diamètre 0 (section 0) (b) un venturi de diamètre (section ) (c) une tuyère convergente de diamètre initial 2 (section 2) et final e (section 3) débouchant à un jet (dévié par une vanne orientable de diamètre e ) dans l atmosphère. La vanne, qui dirige le jet dans une direction α par rapport à l axe de conduite, est vissée sur la tuyère qui, elle-même, est vissée sur la conduite. On note le débit volumique dans la conduite Q (supposé donné), la densité de l eau ρ ; on prend la pression atmosphérique p a comme pression de référence. e α 0 2 Tuyère vanne Calculer la pression à l entrée, au col du venturi et à la section initiale de tuyère, notées respectivement p 0, p et p 2. (On suppose que le fluide est non visqueux et que l écoulement est stationnaire). éterminer la force F à appliquer sur l ensemble tuyère-vanne en fonction de α (0 < α < π) pour qu il reste immobile. Exercice II : On considère un charrette sous la forme d une citerne maintenue en place par un câble comme montré ci-contre. 8
Le charrette est muni d une tuyère d éjection à travers duquel un jet, de sction s m 2, est ejecté au milieu ambient où le débit est généré grace à une ˆp applique à la surface libre de l eau dans la citerne. éterminer la vitesse de jet et en déduire le Câble Air d m h m débit volumique, Q. éterminer la tension dans la câble. α l m Exercice III : Accélération et vitesse de fusée Une fusée initialement au repos est lancée à l instant t = 0. On note la vitesse du jet, z échappant de l éjecteur, w 0, le débit massique associé ṁ, et la masse totale de fusée à t = 0, m 0. g = g z La fusée se met en mouvement dans la direction verticale z. L injecteur supersonique est conçu de telle mainère que la pression à la sortie de fusée est égale la pression atmosphérique. On admet que les force d entraînement visqueux soit négligeable.. éterminer l accélération initiale de la fusée. 2. Calculer la vitesse en t = t 0 On se donne w 0, ṁ, m 0 et g. dans w 0, ṁ Exercice IV : On considère une installation hydraulique, reliée à un très grand réservoir à surface libre comme schématisé sur la figure. L installation est constitué des conduites circulaires, une pompe de puissance hydraulique P, et un tube convergeant débouchant à l air libre. L eau du réservoir est pompée afin d alimenter un jet. ans ce qui suit on suppose que la perte de charge dû à la viscosité est négligeable.. Calculer la vitesse du jet, U j, et en déduire le débit volumique Q. 2. Calculer la force horizontale nécéssaire pour maintenir l installation équlibre statique. 9
K 2 Pompe, P d H 0 H K K 0 L 2 L Figure 4: onnées numérique : H 0 = 20 m, H = 30 m, K 0 = 0.4, K = K 2 = 0.8, = 300 mm, d = 50 mm, P = 65 kw, µ =.002 0 3 N s/m 2, p a =.03 0 5 N/m 2, ρ eau = 000 kg/m 3. g = 9.8 m/s 2. 0