STATISTIQUES I - But des statistiques :......... II - Compléter le texte à l aide des mots suivants : ( classes, enquête, unité statistique, quantitatif, population, classement, effectif, qualitatif, sondage, dépouillement ) Après une année de commercialisation d un produit, Mr. Jean doit effectuer une.... Les données dont il dispose sont les factures correspondantes à la vente de ce produit, tout au long de l année. Ces factures constituent la... sur laquelle va porter l étude. Une facture représente une.... Mr. Jean va étudier le montant de ces factures; le montant est un caractère.... Il possède 1200 factures. Il va en faire le.... Pour simplifier sa tâche, il les range par ordre croissant; il effectue ainsi un.... Il regroupe les factures comprises entre 0 et 100 puis entre 100 et 200, etc..; Mr.Jean forme donc des.... Il compte, enfin, le nombre de factures dans chaque groupe. Ce nombre est appelé... III - Vocabulaire des statistiques 1 - Population: L ensemble faisant l objet de l étude statistiques s appelle... Si la population est trop importante, on étudie un sous-ensemble:... 2 - Individu : C est un élément de la population 3 - Caractère: C est un point commun aux individus de la population, c est sur ce caractère que va porter l étude statistique. Le caractère est : -... si ce caractère n est pas mesurable ( ex:...... ) -... si les modalités qui le définissent sont mesurables ( ex:...... ) La valeur du caractère est notée..., l ensemble des valeurs des caractères forme une série statistique.
4 - Effectif: C est le nombre d individus ayant la même valeur de caractère x i. L effectif de la valeur x i est notée.... Les effectifs sont obtenus après dépouillement des valeurs. La somme des effectifs est notée N et est appelé... 5 - Fréquence: Pour permettre des comparaisons entre les différentes valeurs du caractère, on calcule la fréquence d une valeur de la variable statistique. C est le.......... fi = N ni La fréquence peut aussi s exprimer en pourcentage; la somme des fréquences est alors égale à 100; IV - Activité 1 1 - Enoncé fi = ni 100 N Une étude statistique sur l âge de chacun des élèves d une section donne la série suivante : 19-15 - 18-17 - 17-15 - 16-16 - 15-19 - 16-15 - 19-16 - 18-16 - 16-17 - 18-19 - 15-17 - 17-16 - 18-19 - 17-17 - 18-19 - 15-19 - 18-18 - 16-16 - 17-16 - 18-18 - On regroupe les résultats dans un tableau : Ages x i Effectif Fréquence f i Pourcentage % 15 16 17 18 19 N=
V - Activité 2 1 - Enoncé: Une étude statistique sur la taille ( en m ) des élèves d une section donne la série suivante : 1.70-1.67-1.53-1.47-1.72-1.68-1.46-1.76-1.45-1.77-1.71-1.63-1.65-1.58-1.54-1.46-1.75-1.66-1.78-1.52-1.63-1.46-1.80-1.75-1.82-1.51-1.61-1.84-1.49-1.72-1.63-1.64-1.73-1.66-1.58-1.57-1.76-1.63-1.78-1.81 - Les tailles sont regroupées par intervalles appelées... d amplitude déterminée ( ici 5 cm ). On regroupe les résultats dans le tableau suivant: Classes d âges Effectif Fréquence f i Pourcentage % [ 1.45 ; 1.50 [ [ 1.50 ; 1.55 [ [ 1.55 ; 1.60 [ [ 1.60 ; 1.65 [ [ 1.65 ; 1.70 [ [ 1.70 ; 1.75 [ [ 1.75 ; 1.80 [ [ 1.80 ; 1.85 [ N= 2 - Questions: a- Combien y a-t-il d élèves dont la taille est inférieure à 1.65 m? b- Calculer le pourcentage d élèves dont la taille est supérieure ou égale à 1.75 m. VI- Effectifs cumulés Quand les valeurs du caractères sont ordonnées, on peut cumuler les effectifs de façon croissante ou décroissante. 1 - Effectifs cumulés croissants ( ECC ) L effectif cumulé croissant d une classe est la somme de l effectif de cette classe et des effectifs des classes qui précèdent
2 - Effectifs cumulés décroissants ( ECD ) L effectif cumulé décroissant est la somme de l effectif de cette classe et des effectifs des classes suivantes. 3 - Activités : En utilisant les données des activités 1 et 2 compléter les tableaux correspondants aux effectifs cumulés. Ages x i Effectif ECC ECD 15 16 17 18 19 N= Classes d âges Effectif ECC ECD [ 1.45 ; 1.50 [ [ 1.50 ; 1.55 [ [ 1.55 ; 1.60 [ [ 1.60 ; 1.65 [ [ 1.65 ; 1.70 [ [ 1.70 ; 1.75 [ [ 1.75 ; 1.80 [ [ 1.80 ; 1.85 [ N= VII - Représentation graphique des séries statistiques
1 - Diagramme bâtons Il est utilisé pour représenter les séries statistiques correspondant à un caractère quantitatif à variable discrète ( si elle ne prend que des valeurs isolées, souvent entières ). Les bâtons sont représentés par des segments de droite dont les longueurs sont proportionnelles: - aux effectifs s il s agit d un diagramme des effectifs - aux fréquences s il s agit d un diagrammes des fréquences - aux effectifs cumulés ( ou ) s il s agit d un diagramme des effectifs cumulés ou. - Activité : Compléter les diagrammes suivants à l aide des données de l activité 1 effectifs 10 8 6 4 2 âges 15 16 17 18 19 x i fréquence 30 % 25 20 15 10 5 âges 15 16 17 18 19 x i
2 - Diagramme à secteurs : a - Introduction : Un diagramme à secteurs admet pour support un disque découpé en secteurs dont les aires sont proportionnelles aux fréquences ou aux effectifs. b - Exemple 1 : La répartition des dépenses prévues au budget de la C.E.E. est la suivante : Angle au centre ( degré ) - Agriculture et pèche 72,9%... - Politique sociale 5,7%... - Industrie et transports 2,6%... - Politique générale 5,9%... - Recherche 3,9%... - Frais de fonctionnement 4,6%... - Divers 4,4%... explication : Comme 100% correspond au disque entier soit à 360 ; il en résulte que 1% est représenté par un secteur circulaire de... c - Exemple 2 : Dans une société d assurances, les salaires mensuels payés au personnel sont résumés dans le tableau suivant : Salaire ( en ) effectif ( ) fréquence ( % ) angle au centre ( ) [ 800; 850 [ 2 [ 800; 900[ 5 [ 900; 950 [ 12 [ 950; 1 000 [ 36 [ 1 000; 1 500 [ 30 [ 1 500; 2 000 [ 15 N = 100 360 Faire un diagramme à secteurs.
3 - Histogramme : Une série statistique dont les valeurs sont regroupées par classe est représentée par un histogramme. a) Toutes les classes ont même amplitude : Les résultats sont traduits au moyen d un diagramme composé de rectangles: - La base de chaque rectangle a même largeur: c est l amplitude des classes ;dans l activité 2 : 5 cm - Les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs si on représente l histogramme des effectifs. effectif 10-9 - 8-7 - 6-5 - 4-3 - 2-1 - tailles 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 (m) b) Toutes les classes n ont pas la même amplitude: exemple: On donne la répartition du personnel d un hôpital selon leur ancienneté: Ancienneté (ans) [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 15 [ [ 15 ; 20 [ [ 20 ; 30 [ [ 30 ; 35 [ [ 35 ; 40 [ effectifs ( ni ) 15 22 54 64 22 30 La première classe [0; 5 [ a pour amplitude 5; la seconde [5; 15 [ et la quatrième [20; 30 [ ont pour amplitude 10. Pour tracer l histogramme, on opère de la façon suivante : - on choisit 5 pour unité de classe ( généralement celui de la classe la plus petite ) - on détermine le nombre d intervalles unitaires de chaque classe - on détermine la hauteur des rectangles en divisant l effectif de la classe par le nombre d intervalles unitaires.
Ancienneté (ans) [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 15 [ [ 15 ; 20 [ [ 20 ; 30 [ [ 30 ; 35 [ [ 35 ; 40 [ effectifs ( ni ) 15 22 54 64 22 30 Nbre d intervalles unitaires Effectif par inter. unitaire Eff. 100-90 - 80-70 - 60-50 - 40-30 - 20-10 - 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ancienneté ( ans ) 4 - Polygone statistique des effectifs ( ou fréquences ) cumulés a) Polygone des effectifs cumulés croissants: A l aide des données l activité 2, on situe les points : (1.50; ) ; (1.55; ) ; (1.60; ) ; ( 1.65; ) ; ( 1.70; ) ; ( 1.75; ) ; (1.80; ) ; (1.85; ) On obtient le polygone des effectifs cumulés croissant en joignant les points par des segments de droite. b) Polygone des effectifs cumulés décroissants: A l aide des données de l activité 2, on situe les points : (1.45; ) ; (1.50; ) ; (1.55; ) ; (1.60; ) ; (1.65; ) ; (1.70; ) ; (1.75; ) ; (1.80; ) On procède comme ci-dessus.
effectifs 40 cumulés 30 20 10 tailles 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 en m VIII - PARAMETRES DE POSITION Approche: On a relevé, dans un bureau de poste, le montant des retraits pour une journée: Montant en Effectifs ECC ECD Fréquence % Centre de classes x i Produits x i [ 0; 500 [ 28 [ 500; 1 000 [ 72 [ 1 000; 1 500 [ 56 [ 1 500; 2 000 [ 28 [ 2 000; 2 500 [ 14 [ 2 500; 3 000 [ 22 N = 1 - Mode ( ou classe modale ) Le mode de la série est la valeur de la variable correspondant au plus grand effectif. Dans l exemple ci-dessus, la classe modale de la série est..., elle correspond au plus grand effectif...
a) Définition 2 - Médiane : La médiane d une série statistique est la valeur de la variable telle qu il y ait dans cette série autant de valeurs plus grandes que plus petites. b) Exemple 1 Considérons la série de notes obtenues par un élève au cours de la semaine: 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 16 ; 18 Les notes ( N= 9, N impair ) sont classées dans l ordre croissant, la valeur du caractère situé au milieu de la série est.... La médiane est donc :... c) Exemple 2 Au cours de cette même semaine, un autre élève a obtenu les notes suivantes: 5 ; 7 ; 7 ; 9 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 Le nombre total de notes est 8 ( N=8, N pair ), on prend donc pour médiane la ½ somme des 2 valeurs centrales. Soit : La médiane de cette série est :... d) Détermination graphique de la médiane Utilisons l exemple de l approche. Pour déterminer la médiane, on représente le polygone des effectifs cumulés croissants et décroissants. 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Montant ( en ) Le montant des chèques étant classé par ordre croissant, le montant médian correspond au110 ème chèque; soit M=...
a) Définition : 3 - Moyenne : C est la somme de toutes les valeurs du caractère divisée par le nombre total de valeurs. On la note x. b) Moyenne arithmétique : x = * Exemple : Au cours d un trimestre, un élève a obtenu les notes suivantes : 11 ; 8 ; 13 ; 7 ; 12 ; 15 ; 14 ; 9 * D une manière générale : x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6...x i étant les différentes valeurs de la variable, on a : x = ou x = c) Moyenne arithmétique pondérée : Exemple : Au cours d un examen, un élève a obtenu les notes suivantes : Matières Notes x i Coefficient Produit x x i Français Maths Sciences Anglais Histoire 11 13 10 11 12 2 3 2 1 1 N = x = * D une manière générale : x = d) Cas ou les données sont regroupées en classes : Dans ce cas, la moyenne de la série est la moyenne pondérée en prenant pour valeurs les centres de classe et pour coefficients les effectifs des classes. En pratique, on peut détailler le calcul de la moyenne dans un tableau. Cas de l exercice cité en approche du VIII : le montant moyen des retraits est :...
Exercices : Statistiques Exercice 1 : Voici la répartition, par tranches d âges de 500 clients dans un salon de coiffure pendant un mois. 1 - Compléter le tableau suivant : Tranches d âges Effectifs % Valeur centrale x i Produit x i x [ 0 ; 20 [ 45 9 10 450 [ 20 ; 40 [ 50 [ 40 ; 60 [ 29 [ 60 ; 80 [ 12 500 100 2 - Calculer l âge moyen des clients ( arrondir à l entier le plus proche ). 3 - Tracer l histogramme des effectifs( echelle : abs : 1 cm = 10 ans; ord : 1 cm = 20 clients ). Exercice 2 : Un coiffeur établit une statistique sur un mois concernant le montant des factures de ses clients. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous. 1 - Compléter le tableau : Montant ( ) Effectifs % Valeur centrale x i Produit x I x [ 0 ; 20 [ 30 [ 20 ; 40 [ 40 [ 40 ; 60 [ 100 [ 60 ; 80 [ 60 [ 80 ; 100 [ 20 2 - Combien de clients dépensent moins de 40? 3 - Calculer le montant moyen d une facture. 4 - Tracer l histogramme des effectifs ( échelle : abs : 1 cm = 10 ; ord : 1 cm = 10 clients ) ; Exercice 3 : La répartition statistique des âges de la clientèle d unstitut de beauté pendant une semaine est indiquée ci-dessous : Tranches d âges Effectifs % Valeur centrale x i Produit x I x [ 15 ; 25 [ 18 [ 25 ; 35 [ 32 [ 35 ; 45 [ 44 [ 45 ; 55 [ 50 [ 55 ; 65 [ 35 [ 65 ; 75 [ 21 Quel est l âge moyen de fréquentation? ( à 1 an près par défaut )
EXERCICE 4 : Le tableau ci-dessous représente les salaires des employés d une entreprise: Salaire ( en ) [ 850; 900 [ [ 900; 950[ [ 950;1 000 [ [ 1 000;1 500 [ [1 500;2 000 [ Effectif Fréquence %... 22,5 80... 32 20... 5...... E.C.C. Centre des classes x i produit x i x N = 160 100 1 - Compléter le tableau ci-dessus. 2 - Combien y - a - t - il d employés qui ont un salaire au moins égal à 1 000? 3 - Quelle est la classe modale? 4 - Déterminer le salaire moyen? 5 - Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants. En déduire la médiane. ( Débuter l axe des abscisses à 800 ). Echelle : abscisse : 1 cm pour 50 - ordonnée : 1 cm pour 10 employés. Donner une signification de la médiane. Exercice 5 : Un sondage effectué sur un ensemble de 1 600 consommateurs et portant sur la dépense mensuelle occasionnée par la consommation d eau minérale a donné les résultats suivants : Dépense ( en ) [ 5 ; 15 [ [ 15 ; 25 [ [ 25 ; 35 [ [ 35 ; 45 [ [ 45 ; 55 [ Nombre de consommateurs 268 528 296 312 196 1 - Dresser le tableau statistique faisant apparaître les effectifs, les fréquences en %, le centre des classes x i,les produits x i x. 2 - Tracer l histogramme des effectifs. Echelle : abscisse : 1 cm pour 5 - ordonnée : 1 cm pour 20 consommateurs 3 - Calculer la dépense mensuelle moyenne. 4 - Calculer le nombre de consommateurs qui ont dépensé entre 15 et moins de 35 par mois. 5 - Calculer le nombre de consommateurs dépensant plus de 15. Exprimer ce résultat à l aide d un pourcentage de l effectif total.
Classe : 1 CO 2, 1 ESTH Mathématiques : Contrôle N 11 Le : 12.05.98 Exercice 1 : Une aide-maternelle organise un jeu avec un groupe de 11 enfants dont les tailles sont : 1,03-1,00-0,94-0,98-1,00-1,10-1,08-0,98-1,02-1,03-1,03 1 - Quel est le caractère étudié? 2 - Est-ce un caractère qualitatif ou quantitatif? 3 - Quelle est la taille médiane des enfants? Recopier et compléter: La moitié des enfants mesurent plus de..., la moitié des enfants mesurent moins de... 4 - Quelle est la taille moyenne? Exercice 2 : Dans la revue «L artisanat en Alsace 97», on a noté qu il y avait 19 755 entreprises artisanales se répartissant de la manière suivante : 1 - Quel est le secteur de l artisanat le plus important dans la région? 2 - Recopier et compléter le tableau ci-dessous. ( pour les pourcentages, les résultats seront arrondis au 1/10 éme Près ) : Secteur Nbre d entreprises % ( par rapport au nombre total d entreprises ) Production Alimentation Bâtiment Services 3 - Calculer le pourcentage de salons de coiffure dans la région par rapport au nombre total d entreprises artisanales alsaciennes ( résultat au 1/100 éme le plus proche ). Exercice 3 : Le tableau ci-dessous donne le montant des versements des clients d une agence bancaire. Montant ( en F ) Effectifs Fréquences f i Centre de classe x i Produit x x i [ 0 ; 300 [ 60 [ 300 ; 600 [ 90 [ 600 ; 900 [ 270 [ 900 ; 1 200 [ 45 [ 1 200 ; 1 500 [ 15 1 - Recopier et compléter le tableau. 2 - Quelle est la classe modale? 3 - Quel est le montant moyen des versements? 4 - Représenter cette série statistique par un histogramme. Echelle : ( abs: 1 cm = 150 F ; ord: 1 cm 1 cm = 20 versements )
Classe : 2 CO 2 Mathématiques : contrôle N 1 Le : 05.10.01 Exercice 1 : Le tableau ci-dessous donne la répartition des salaires mensuels nets (en F) au sein d une entreprise. Salaires ( en ) Effectifs [ 1 000, 1 200 [ 56 [ 1 200, 1 400 [ [ 1 400, 1 600 [ 120 [ 1 600, 1 800 [ 92 [ 1 800, 2 000 [ 20 [ 2 000, 2 200 [ 8 400 pourcentage % E.C.C. centre des classes x i produits x i x 1 - Compléter le tableau. 2 - Combien d employés gagnent moins de 1 600? Combien d employés gagnent au moins 1 800? 3 - Déterminer le salaire moyen? 4 - Tracer l histogramme de la série sur une feuille de papier millimétré. Echelle : abscisses : 1 cm pour 100 - ordonnées : 1 cm pour 10 employés. Exercice 2 : Dans une grande surface, on a relevé le montant des achats effectués par des clients. Achats Effectifs pourcentage % E.C.C. E.C.D. centre des ( F ) [ 0, 500 [ 80 [ 500, 1 000 [ 95 [ 1 000, 1 500 [ 75 [ 1 500, [ 40 70 1750 [, 2 500 [ 30 classes x i produits x i x 1 - Compléter le tableau statistique. 2 - Indiquer, en une phrase, ce que représente l effectif cumulé décroissant 70. 3 - Quelle est la classe modale? 4 - Calculer le montant moyen d un achat? 5 - Tracer le diagramme des effectifs cumulés croissants et décroissants. Echelle : abscisses : 1 cm pour 250 F - ordonnées : 1 cm pour 20 clients. 6 - Déterminer le montant médian d achat.