Ecoulements non permanent à surface libre / examen janvier 2002 / Philippe Belleudy page 1 Ecoulements non permanents à surface libre Examen du 14 janvier 2002 (partie Philippe Belleudy) avec la correction, et les remarques au vu des copies Dans tous les cas, essayez de justifier, mais sans perdre trop de temps, votre réponse. Toutes les données nécessaires ne sont pas forcément fournies par l'énoncé. Vous ferez alors les hypothèses nécessaires. Les différentes questions sont indépendantes. Cette partie correspond à la moitié de la note de l'examen. Les lointains habitants du Nhutailla, doivent beaucoup au fleuve Kafétrécho. La ressource est faible et ils ont appris à la distribuer de manière équitable tout au long des 600 km depuis l entrée du fleuve dans la plaine jusqu à l embouchure. Le fleuve est soumis aux longues crues annuelles de ces régions subtropicales On distingue le cours lui même entre les kilomètres 0 et 500 et l estuaire entre les km. 500 et 600 à l aval. On a relevé les sections en travers du fleuve tous les 100 km. Dans les 500 km amont, ces sections sont sensiblement identiques (à l altitude près). On identifie un lit mineur d une largeur de 350 m et d une profondeur de 5 m, et un lit majeur d une largeur approximative de 2500 m. Dans l estuaire (km.500 à km.600) le lit mineur s approfondit et s élargit. La plaine d inondation disparaît progressivement. La figure 1 représente le profil en long du talweg du fleuve tel qu il apparaît à la suite de ces relevés. On a aussi porté sur ce graphique une ligne d eau mesurée avec le débit constant non débordant de 200 m 3 s 1. 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 2.0 4.0 6.0 8.0 distance (km) 100 200 300 400 500 600 z fond mini 200 m3/s Figure 1 A l aval, km.600, le niveau est imposé par la marée : sinusoïdale, période 12 h, amplitude 1 m. (sur le graphique, on a porté dans la partie aval le niveau minimum au cours d un cycle de marée). Nos fameux ingénieurs Andouillette, Boudin, Cervelas et Diot (de Savoie) ont décroché un contrat de l OMVK (Office le Mise en Valeur du Kafétrécho) pour l aménagement du fleuve qui poursuit différents objectifs, en particulier l amélioration de la navigation fluviale et l optimisation des ressources en eau douce pour l agriculture. Nous assistons à certaines de leurs discussions tout au long de l étude. 1 Construction et réglage d un modèle 1.1 Pour étudier les conditions de navigabilité, mais aussi pour étudier les écrêtements de la crue provoqués par les différents débordements, Andouillette a construit un modèle unidimensionnel du fleuve Kafétrécho. Le fond est sableux sur toute la longeur du parcours. C est pourquoi dans un premier essai, Andouillette a pris un coefficient de rugosité Strickler égal à 45. Il compare alors les valeurs mesurées et calculées avec le débit permanent Q=200 m 3 s 1 abscisse (km) cote du fond niveau mesuré (m) 500 2.00 0.19 0.12 400 0.40 1.81 1.53 300 0.90 3.34 3.01 200 3.50 5.52 5.23 100 4.50 7.05 6.71 0 6.00 8.39 8.05 niveau calculé (m) (k str=45) Pour aider Andouillette à régler son modèle rapidement, donnez une meilleure estimation du coefficient de rugosité Strickler.
Ecoulements non permanent à surface libre / examen janvier 2002 / Philippe Belleudy page 2 1.2 Pour la partie aval et l estuaire, Andouillette dispose aussi d une ligne d eau à 50 m 3 s 1 (figure 2. Le tracé dans la zone maritime est aussi celui du plus bas niveau pendant un cycle de marée. Intrigué par le décrochement de la ligne d eau près de l abscisse 400, Andouillette demande l avis de ses collègues : 3.0 2.5 2.0 1.5 0.5 0.5 1.5 2.0 z fond mini 50 m3/s mini 200 m3/s 300 350 400 450 500 550 600 distance (km) Figure 2 Boudin : «C était un étiage exceptionnel ; un vieux griot m a dit que cette année là, même les pirogues devaient être portées près de ce point pour remonter le fleuve. Il doit probablement y avoir une zone de hauts fonds qui n a pas été repérée au cours de la campagne topographique» Cervelas : «Je ne suis pas d accord avec Boudin, un accident sur le fond devrait aussi provoquer un décrochement de la ligne d eau à 200 m 3 s 1 qui n est pas débordant. C est juste un effet artificiel qui simplement dû aux effets transitoires dans l estuaire. N oublions pas que ces courbes représentent le niveau minimum au cours d un cycle de marée ; et que le décrochement se produit précisément au niveau de la pleine mer.» Diot : «Dans l estuaire, c est à dire à l aval de ce point, le fond est probablement composé de vase, beaucoup plus fine que le sable du fleuve. Ce n est donc pas étonnant que le niveau mesuré soit plus faible que prévu pour ce faible débit. Mais dès que l on retrouve le fleuve, le niveau se rétablit à une valeur qui correspond à la rugosité plus grande à l amont.» Qui a raison? 1.3 Andouillette a suivi les conseil de son ami Diot (de Savoie). Il a calculé l amortissement de l onde de marée vers l amont avec différents coefficients de rugosité (k str=35 et k str=45). Il a malheureusement mélangé les fichiers (résultats de calcul sur la figure 3) 1.5 0.5 0.5 72 77 82 87 92 x = 450, calcul 1 x = 450, calcul 2 x = 500, calcul 1 x = 500, calcul 2 x = 550, calcul 1 x = 550, calcul 2 x = 600 (mer), calcul 1 1.5 Figure 3 Boudin : «Toujours aussi brouillon ce pauvre Andouillette! Ces deux calculs correspondent tous les deux à la même rugosité. Pour le calcul 2, c est un calcul avec une valeur plus forte de l amplitude de la marée. Refais les calculs, ça ira plus vite!»
Ecoulements non permanent à surface libre / examen janvier 2002 / Philippe Belleudy page 3 Cervelas : «Calcul 1 : kstr=35 ; Calcul 2 : kstr=45 : les frottements amortissent les ondes!» Diot : «Tu mélanges tout, la marée n est pas une onde comme les autres! Calcul 1 : kstr=45 ; Calcul 2 : kstr=35 : les ondes sont amorties par le bouchon vaseux qui se forme dans les estuaires sur les fonds plus lisses.» Qui a raison? 2 La crue Boudin veut calculer la propagation de la crue de 1997 dans le cours du Kafétrécho. L hydrogramme de la crue de projet est reproduit sur la figure 4 (l heure zéro correspond au 1 er juillet). débit 3 000 (m3/s) 2 500 2 000 1 500 hydrogramme amont 1 000 500 1/7 31/7 30/8 29/9 29/10 28/11 date Figure 4 2.1 Il demande conseil à ses collègues pour le choix des pas d espace et de temps pour ces calculs. Andouillette : «Ce qui nous intéresse, c est de connaître les hydrogrammes au pas de temps journalier. Il faut donc prendre t=24 heures. On détermine le pas d espace en recherchant l optimum que représente un nombre de Courant proche de l unité. Comme la profondeur avant débordement est de l ordre de 5 m, je calcule une célérité de la crue C = gh 7m / s. Je te conseille de prendre x = C. t 10000 m». Cervelas : «Ce n est pas au moment de lancer les calculs que l on fixe le pas d espace! Enfin, cela vaut mieux parce que ce pauvre Andouillette ( Boudin) se trompe, la crue se propage sensiblement à la vitesse du courant. Or un écoulement normal avec une profondeur de 4 m donne sensiblement V=0.2 m/s, donc une propagation environ 30 fois moins rapide que l estimation d Andouillette. Bien entendu, je garde t=24 heures et x 30 fois plus petit, donc environ 300 m». Diot : «La crue est bien au pas de temps de 24 heures ; mais à l aval, la marée doit être décrite par un t beaucoup plus petit, de l ordre de 15 minutes. Je reprends les calculs depuis le début : t=15 minutes ; célérité V = 0.2 m/s (Cervelas a raison). Donc x =V t=180 m.» Boudin : «Moi, je suis un ingénieur, pas un intellectuel ; et je ne comprends rien à tout ce que vous me dites. Et puis d abord, la crue à Mielpop (km.300) n a rien à voir avec la marée. J ai l impression que j aurai un détail suffisant avec x = 2000 m et t = 6 h, alors mon modèle aura 300 points de calcul, et je calculerai 4 mois que dure ma saison de crue en 500 cycles de calcul environ». Qui n a pas tort? Pour vous aider et aussi vous embrouiller, la figure 5 montre les hydrogrammes de crues en différents points du fleuve. 3 500.0 3 000.0 2 500.0 2 000.0 1 500.0 1 000.0 500.0 débit (m3/s) hydrogramme amont km 100 km 200 km 300 km 400 km 500 km 600 temps (heures) 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 Figure 5 hydrogrammes mesurés à différents points au moment de la crue
Ecoulements non permanent à surface libre / examen janvier 2002 / Philippe Belleudy page 4 2.2 L étude est terminée, le rapport est parti, la facture est envoyée depuis plus d un an. Andouillette a acheté un camion à Pizza, Boudin est parti élever des autruches sur le Causse du Larzac, Diot fait une retraite spirituelle dans un couvent de Chartreux. Mais le client refuse de payer la facture au prétexte que le rapport ne contient pas la relation hauteur/débit au km.200 qui est prévue au contrat. Cervelas, nommé depuis à un poste de direction, ne retrouve plus les archives du projet. Aidezle! Tracez aussi précisément que possible à partir des éléments dont vous disposez une représentation vraisemblable de cette relation h(q) au km.200. 3 Projet de barrage antisel Pour éviter les remontées d eau saline en étiage, on envisage la construction d un ouvrage au kilomètre 600. Le fonctionnement de cet ouvrage est le suivant (A désigne l amont immédiat du barrage côté fleuve et B désigne l aval immédiat du barrage côté mer ) : Si le niveau en A est supérieur au niveau en B, alors le barrage est effacé (tout se passe comme si il n existait pas). Si le niveau en B est supérieur au niveau en A, alors les vannes sont fermées et aucun débit ne passe. 3.1 Décrire sur des schémas (f(x), f(t)) les variations de niveau et de débit dans l estuaire (on supposera un débit constant à l amont Q=200m3/s et une amplitude de marée constante égale à 1 m. 3.2 Pour ceux qui (encore) ont du temps Revenez sur la figure 3 (état initial sans barrage), et tracez une estimation de la courbe des variations du débit au point 600 km.
Ecoulements non permanent à surface libre / examen janvier 2002 / Philippe Belleudy page 5 correction : question 1.1 Q k calculé bh 5 3 calculé y calculé x k estimé bh 5 3 mesuré y mesuré x x Y mesuré Y calculé (kstr=45) cote du fond h mesuré h calculé delta H mesuré delta H calculé k estimé 500 0.19 0.12 2.00 2.19 2.12 400 1.81 1.53 0.40 2.21 1.93 1.62 1.41 33 300 3.34 3.01 0.90 2.44 2.11 1.53 1.48 35 200 5.52 5.23 3.50 2.02 1.73 2.18 2.22 35 100 7.05 6.71 4.50 2.55 2.21 1.53 1.48 35 0 8.39 8.05 6.00 2.39 2.05 1.34 1.34 35 Le tableau dans l énoncé était imprécis (mais pas le texte, ni la figure) : beaucoup ont diectement pris les valeurs de ce tables (des niveaux en m) comme des hauteurs d eau. Mes excuses donc. Mais la figure était explicite. Et un peu de sens critique sur les valeurs fournies (8m d eau en amont et 0.12m en aval!) aurait permis de ne pas se tromper. Certains ont remarqué justement qu il restait une incertitude sur la cote du fond (lue sur le graphique). On éliminera aussi la valeur à x=500 km qui concerne les conditions dans l estuaire, difficilement appréciables à partir de ces valeurs. Certaines remarques incongrues ou fausses : «Ce n est qu une approximation parce que Q=200m3/s n est pas le débit nominal» «la résolution de l équation de MannigStrickler» «avec un Strickler plus rugueux, il faudrait des hauteurs plus importantes pour conserver un débit de 200 m3/s» question 1.2 Diot a tort. Certes la rugosité du fond est peutêtre moindre dans l estuaire, mais ce sera très peu perceptible sur les lignes d eau, surtout aux bas débits. Sa dernière affirmation («dès que l on retrouve le fleuve») montre qu il n a pas encore compris ce qu est une courbe de remous. Boudin a raison. La géométrie réelle contient à l abscisse 398 km un seuil à la cote 0.20, soit 0.57 m au dessus du fond interpolé entre les sections relevées aux pk. 300 et 400. L effet de ce seuil se fait sentir surtout à l étiage, il prend moins d importance pour les débits plus importants. Même en conditions non débordantes, on peut ne «rien» voir. Cervelas a tort. «Pleine mer» par opposition à «basse mer» et non «au large»! question 1.3 Les variations du niveau ont plus d amplitude avec le calcul 2. Mais on remarque aussi que pour le point le plus en amont, le niveau obtenu par le calcul 2 est plus faible : la perte de charge est donc moindre. Cervelas a donc raison. Boudin a tort. Diot dit une fois encore des âneries (où atil eu son diplôme?). La marée est bien une onde comme les autres. S il y a un bouchon vaseux, il n y a pas de raison qu il se manifeste dans une simulation qui n en tient pas compte! question 2.1 Andouillette a raison quand il note qu une précision d une journée sur cette crue est suffisante. ; mais connaître la ligne d eau avec un pas de 10000m n est pas suffisant. De toutes manières il fait plusieurs erreurs. La principale c est d utiliser la célérité des ondes pour calculer la vitesse de propagation de la crue. Celleci est plutôt de l ordre de grandeur de la vitesse d écoulement. Il fait aussi à la fin une erreur de calcul : C=7m/s entraîne x = 7*86400 = 605 km! Cervelas a raison : ce n est pas au moment de lancer les calculs que l on réfléchit au choix pour le pas d espace. Il faut en particulier que le réglage et les simulations soient faits avec les mêmes paramètres numériques.. Mais il se trompe ensuite comme Andouillette : on devrait alors trouver x = 17 km. Ici encore ce pas d espace est trop important pour une précision satisfaisante Comme le remarquera Boudin, la marée ne concerne que l aval. On peut donc ne pas la prendre en compte pour le calcul de propagation de la crue (Diot a donc tort sur ses arguments). Boudin a raison! Si on analyse la figure 5, on trouve approximativement une viteses de propagation de 0.5 m/s avant débordement et environ 0.15 m/s après débordement : le débordement ralentit la crue. Ce qui donne avec les dx et dt de Boudin Ct=5 avant débordement et Ct=1,5 après débordement : Ct de l ordre de 1 n est pas une priorité dans ce cas, mais c est cependant vérifié de façon satisfaisante!
Ecoulements non permanent à surface libre / examen janvier 2002 / Philippe Belleudy page 6 question 2.2 La réponse la plus simple sera de tracer une courbe avec deux parties, avant et après débordement. La transition se faisant à 7.0 hauteur d'eau la profondeur de 5 m. au dessus du descente de crue 6.0 fond (m) La réponse peut être précisée en donnant les ordres de grandeur de débit. Avant débordement, on donnera la relation 5.0 entre la profondeur normale et le débit (avec la pente montée de crue profondeur du fleuve à l aval du km.200). Après débordement, 4.0 on calculera la hauteur nomale en ajoutant les débitances 3.0 respectives de chacune des parties du lit. On pourra prendre H P200 par exemple kstr=35 pour le lit mineur et kstr=20 pour le lit 2.0 majeur. Enfin, la réponse peut être encore raffinée qualitativement (ça suffira étant donné la longeur de l examen ) en traçant les deux débit (m3/s) parties correspondant à la montée et à la descente de crue. (remarque : ce n est pas seulement après débordement que la montée est différente de la descente). 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 Bien entendu, toute ressemblance de l énoncé avec des personnages ou une situation réelle ne serait que fortuite. question 3.1 Le profil en long de la figure 2 permet de situer le niveau au mament de la basse mer (sans barrage). Avec barrage, le niveau varie peu à l amont immédiat du barrage (le débit propre du fleuve est insuffisant si on le compare au volume de l estuaire). On n a donc un écoulement (vers l aval) qu au moments où le niveau aval est plus faible. 1.5 0.5 1 400 1 200 1 000 débit barrage (m3/s) 0.5 420 425 430 435 440 445 450 800 600 1.5 2.0 2.5 Y amont Y aval 400 200 420 425 430 435 440 445 450 question 3.2 Bien entendu, les échanges de débit sont tès importants dans l estuaire. Un ordre de grandeur du débit peut être approché à partir du volume de l estuaire. Q P600 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 débit (m3/s) 72 78 84 90 96 Etant donné le faible taux de participation, l absence de réponse à ces deux questions n a pas été sanctionnée.