hap-i: Systèmes de numération et codes IRUITS LOGIQUES OMBINATOIRES Systèmes de numération et codes Attention! e produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'uvt. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis. 1
SYSTEMES DE NUMERATION ET ODES Objectif du chapitre e chapitre traite en détail les différents systèmes de numération : systèmes décimal, binaire, octal et hexadécimal ainsi que les méthodes de conversion entre ces systèmes de numération. Nous étudierons également les opérations arithmétiques sur les nombres binaires signés, après avoir introduit la notion du complément à 2 d un nombre binaire. Nous terminons ce chapitre par l étude de plusieurs codes numériques tels que les codes B..D, Gray et A.S..I.I Systèmes de numération De nombreux systèmes de numération sont utilisés en électronique numérique. Les plus utilisés sont les systèmes : - Binaire (base 2). - Octal (base 8). - Décimal (base 10). - Hexadécimal (base 16). - Représentation polynomiale Tout nombre N peut se décomposer en fonction des puissances entières de la base de son système de numération. ette décomposition s appelle la forme polynomiale du nombre N et qui est donnée par : N a n.b n a n-1.b n-1 a 1.b 1 a 0.b 0 a -1.b -1. a -m.b -m b: base du système de numération, il représente le nombre de chiffres différents qu utilise ce système de numération. a i : un chiffre (ou digit) parmi les chiffres de la base du système de numération. i: Rang du chiffre a i. - Système décimal (base 10) Le système décimal comprend 10 chiffres qui sont {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Exemples : hiffre de poids fort hiffre de poids faible 2 3 5 6 10 2.10 3 3.10 2 5.10 1 6.10 0 représente la base 10 4 2 9, 6 5 7 10 4.10 2 2.10 1 9.10 0 6.10-1 5.10-2 7.10-3 2
- Système binaire (base 2) Dans ce système de numération, il n'y a que deux chiffres possibles {0,1} qui sont souvent appelés bits "binary digit". Exemples : Bit de poids fort noté M.S.B Bit de poids faible noté L.S.B 1 0 1 1 0 2 1.2 4 0.2 3 1.2 2 1.2 1 0.2 0 22 10 représente la base 2 0110,1011 2 1.2 4 0.2 3 1.2 2 1.2 1 0.2 0 1.2-1 0.2-2 1.2-3 1.2-4 22,6875 10 - Système octal (base 8) e système octal ou à base 8, comprend 8 chiffres qui sont {0,1,2,3,4,5,6,7}. Les chiffres 8 et 9 n'existent pas dans cette base. Exemples : 6057 8 6.8 3 0.8 2 5.8 1 7.8 0 3119 10 6057,14 8 6.8 3 0.8 2 5.8 1 7.8 0 1.8-1 4.8-2 3119 10 - Système hexadécimal (base 16) Le système hexadécimal ou base 16 contient seize éléments qui sont {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,,D,E,}. Exemples : N 1 356 16 3.16 2 5.16 1 6.16 0 854 10 N 2 2A 16 2.16 2 10.16 1 15.16 0 687 10 N 3 81,B 16 8.16 1 1.16 0 11.16-1 129,6875 10 3
Résumé ODES BASE SYMBOLES UTILISATIONS Décimal 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Usage courant Binaire 2 0, 1 est le code le plus utilisé en électronique numérique Ex : 0 0 volt 1 5 volts Octal 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hexadécimal 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,, D, E, Utilisé en informatique pour simplifier l écriture des nombres binaires. Ex :(110001110101) 2 (75) 16 hangement de base Il s'agit du processus de conversion d'un nombre écrit dans une base b 1 à une autre base b 2. - onversion d'un nombre en base b base 10 La valeur décimale d un nombre N, écrit dans une base b, s obtient par sa forme polynomiale. N 1 101101 2 1.2 5 0.2 4 1.2 3 1.2 2 0.2 1 1.2 0 45 10 N 2 6734 8 6.8 3 7.8 2 3.8 1 4.8 0 3548 10 N 3 A73 16 10.16 2 7.16 1 3.16 0 2675 10 - onversion d'un nombre en base 10 base b La conversion d un nombre décimal entier en un nombre écrit dans une base b quelconque est obtenu par la division successive par b. Exemples :onvertir le nombre décimal 423 10 en nombre binaire, octal et hexadécimal. a/ onversion décimale binaire 423 2 1 211 2 1 105 2 1 52 2 0 26 2 Sens de la lecture 0 13 2 1 6 2 0 3 2 1 1 2 1 0 Résultat :423 10 110100111 2 4
b/ onversion décimale octale 423 8 7 52 8 4 6 8 6 0 Sens de la lecture Résultat : 423 10 647 8 c/ onversion décimale hexadécimale 423 16 7 26 16 10 1 16 1 0 Sens de la lecture Résultat : 423 10 1A7 16 Pour convertir un nombre décimal à virgule dans une base b quelconque, nous effectuons la division successive par b de la partie entière et on multiplie la partie fractionnaire du nombre à convertir par la base b et on note sa partie entière. Exemple: Recherche de la partie entière par divisions successives par 2 onversion du nombre 58,32 10 en base 2. Recherche de la partie fractionnaire par multiplications successives par 2 58 2 0 29 2 1 14 2 0 7 2 Sens 1 3 2 de la 1 1 2 lecture 1 0 0,32 0,64 0,28 0,56 0,12 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 0,64 1,28 0,56 1,12 0,24 Sens de la lecture Pour la partie décimale, on s'arrête quand le nombre de bits permet de respecter la précision souhaitée. Résultat : 58,32 10 111010,01010 2 Remarque : On limite le nombre de chiffre après la virgule en fonction de la précision souhaitée. Si par exemple, un nombre décimal est exprimé avec 3 chiffres après la virgule, il est connu avec une précision de 10-3. Exprimé en base 2, la partie fractionnaire devra comporter au plus 10 chiffres; en effet 2-10 1/1024 10-3. - Autres conversions : octal-binaire, hexadécimal-binaire, et vice versa a- La conversion octal-binaire s obtient en remplaçant chaque chiffre du nombre octal par son équivalent binaire écrit sur trois bits. 5
2 5 7 8 010 101 111 2 5 7, 3 1 8 101 111, 011 001 2 Inversement, pour convertir un nombre binaire en un nombre octal, il faut regrouper les bits du nombre binaire par trois en allant vers la gauche à partir de la virgule pour la partie entière, et vers la droite pour la partie fractionnaire, puis chaque groupe est remplacé par le chiffre octal correspondant. 11001101111 2 11 001 101 111 3157 8 11010,1011 2 11 010, 101 100 32,54 8 3 1 5 7 3 2, 5 4 b- La conversion hexadécimal-binaire s obtient en remplaçant chaque chiffre du nombre hexadécimal par son équivalent binaire sur quatre bits. 9 B 2 16 1001 1011 0010 2 3, 4 16 1100 0011 0100 1111 2 Inversement, pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, il faut regrouper les bits du nombre binaire par quatre en allant vers la gauche à partir de la virgule pour la partie entière, et vers la droite pour la partie fractionnaire, puis chaque groupe est remplacé par le chiffre hexadécimal correspondant. 001110100110 2 0011 1010 0110 3A6 16 101011,110111 2 10 1011, 1101 1100 3 A 6 2 B, D 6
Opérations arithmétiques binaires Avant d effectuer des opérations arithmétiques sur les nombres binaires, il faut définir au préalable, la représentation des nombres binaires signés. Le codage des nombres négatifs se fait le plus souvent en notation complément à 2. Représentation en complément à 2 Un nombre binaire signé est écrit en notation complément à 2 comme suit: - Si le nombre est positif, il est écrit en nombre binaire pur avec un bit de signe 0, représenté par le bit de poids le plus fort. - Si le nombre est négatif, il possède un bit de signe 1, mais il est écrit en notation en complément à 2. Le complément à 2 d'un nombre binaire est obtenu en changeant chaque 0 par 1 et chaque 1 par 0 (cette étape est appelée complément à 1) et en ajoutant 1 au bit de poids le plus faible. Méthode pratique pour le calcul du complément à 2 : ette méthode consiste à examiner chaque bit du nombre binaire, en commençant par celui de poids le plus faible (L.S.B). Tous les zéros à partir du L.S.B (s il y en a) jusqu au premier 1 rencontré seront conservés et tous les bits suivants seront inversés. Exemple Premier 1 rencontré N : 1 0 0 1 0 1 0 0 omplément à 2 de N : 0 1 1 0 1 1 0 0 bits inversés bits inchangés Le tableau ci-dessous donne tous les nombres binaires écrits en notation en complément à 2 sur 4 bits : Valeur décimale Nombre binaire en complément à 2 72 3-1 0111 6 0110 5 0101 4 0100 3 0011 2 0010 1 0001 0 0000-1 1111-2 1110-3 1101-4 1100-5 1011-6 1010-7 1001-8-2 3 1000 omplément à 2 des nombres binaires à 4 bits 7
D après le tableau ci-dessus, on remarque : En notation en complément à 2, les nombres positifs sont représentés avec un bit de signe 0 et les nombres négatifs par un bit de signe 1. En notation en complément à 2 et avec n bits, on représente les nombres signés compris dans l intervalle [-2 n-1,2 n-1-1]. La représentation en complément à 2 est tès utile dans les opérations arithmétiques binaires car toute soustraction peut se ramener à une addition en remplaçant les nombres négatifs par leurs compléments à 2. ela est très important dans le cas des ordinateurs et les calculateurs, puisqu'avec les mêmes circuits, on effectue l'addition et la soustraction. Démonstration. Addition binaire La méthode d addition pour des nombres binaires signés, consiste à écrire les nombres positifs en binaire avec un bit de signe 0, et à remplacer les nombres négatifs par leur complément à 2 avant l'addition. Si le résultat est positif, il est en notation binaire, s'il est négatif, il est en notation complément à 2. En voici quelques exemples, où les nombres binaires sont écrits avec n5 bits. a/ 9 10 4 10? 0 1 0 0 1 9 10 0 0 1 0 0 4 10 0 1 1 0 1 9 10 b/ 9 10-4 10? omme -4 10 est un nombre négatif, il faut le remplacer par son complément à 2. 0 1 0 0 1 9 10 1 1 1 0 0 omplément à 2 de 4 1 0 0 1 0 1 5 10 débordement à éliminer c/ -9 10-4 10? omme -9 10 et -4 10 sont des nombres négatifs, il faut les remplacer par leurs compléments à 2 respectifs. 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 omplément à 2 de 9 omplément à 2 de 4 omplément à 2 de 13 débordement à éliminer 8
Le bit de signe est 1, donc le résultat de la somme est négatif, Il faut le complémenter à 2 pour trouver sa valeur absolue. Remarque: Le débordement sur le (n1) ème bit du résultat de l addition est toujours ignoré, car la taille des nombres binaires est limitée à n bits uniquement. Opérations arithmétiques hexadécimales Addition hexadécimale La procédure proposée est la suivante : - Additionner les deux chiffres hexadécimaux comme des chiffres décimaux, en remplaçant mentalement les lettres par leurs équivalents décimaux. - Si la somme 15, inscrire directement le chiffre hexadécimal. - Si la somme est égale ou supérieur à 16, soustraire 16 et reporter 1 sur le rang à gauche. 5 3 8 8 4 5 4 A 8 B 3 3 4 7 A 3 E B 1 9 A A 5 E E Soustraction hexadécimale On peut soustraire les nombres hexadécimaux en utilisant la même méthode que celle pour les nombres décimaux. - 5 B 5 9 2 6 9-1 0 5 7 D D E 5 9 - B 9 1 4 D 7 7 4 9 A Les codes L action de faire correspondre à des nombres, des lettres ou des mots, un groupe spécial de symboles s appelle codage. On distingue deux types de codes: les codes numériques (codes B..D, Gray...) et alphanumériques (code A.S..I.I, ). ode B..D (Binary oded Decimal) Le code B..D est un code pondéré qui représente chaque chiffre décimal par son équivalent binaire sur 4 bits, comme le montre le tableau suivant: 9
ode décimal ode B..D 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 ode B..D On note que les codes 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 sont des combinaisons interdites, on les appelle des pseudo-tétrades. Le codage en B..D d un nombre décimal se fait en remplaçant chaque chiffre individuel de ce nombre par son équivalent binaire sur 4 bits. Exemple: 8 7 4 ode décimal 1000 0111 0100 ode B..D On note bien la facilité relative avec laquelle on passe de ce code au nombre décimal correspondant et vice versa. Il y a une méthode qui permet d effectuer l addition sur des nombres en B..D méthode. ode Gray) Le code Gray (ou code binaire réfléchi) est un code qui appartient à la catégorie des codes dit à distance minimale, du fait qu une représentation codée en Gray ne diffère de celle qui la précède que d un élément binaire et d un seul, comme le montre le tableau 1.3. ode décimal ode binaire ode Gray 0 0000 0000 1 0001 0001 2 0010 0011 3 0011 0010 4 0100 0110 5 0101 0111 6 0110 0101 7 0111 0100 8 1000 1100 9 1001 1101 10 1010 1111 11 1011 1110 12 1100 1010 13 1101 1011 14 1110 1001 15 1111 1000 ode décimal, binaire et Gray 10
Le code de Gray peut être généré par réflexion effet miroir. Il existe une méthode pratique qui permet la conversion binaire Gray et vice versa méthode. ode A.S..I.I (American Standard ode for Information Interchange) Le code A.S..I.I est un code alphanumérique, devenu une norme internationale. Il est utilisé pour la transmission entre ordinateurs ou entre un ordinateur et des périphériques. Sous sa forme standard, il utilise 7 bits, ce qui permet de générer 2 7 128 caractères. e code représente les lettres alphabétiques majuscules et minuscules, les chiffres décimaux, des signes de ponctuation et des caractères de commande. Le code A.S..I.I est représenté sur le tableau suivant. b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 000 (0) H 001 (1) H 010 (2)H 011 (3) H 100 (4) H 101 (5) H 110 (6) H 111 (7) H 0000 (0) H NUL DLE (space) 0 @ P ' p 0001 (1) H SOH D1! 1 A Q a q 0010 (2) H STX D2 " 2 B R b r 0011 (3) H ETX D3 # 3 S c s 0100 (4) H EOT D4 $ 4 D T d t 0101 (5) H ENQ NAK % 5 E U e u 0110 (6) H AK SYN & 6 V f v 0111 (7) H BEL ETB ' 7 G W g w 1000 (8) H BS AN ( 8 H X h x 1001 (9) H HT EM ) 9 I Y i y 1010 (A) H L SUB * : J Z j z 1011 (B) H VT ES ; K [ k { 1100 () H S, < L \ l 1101 (D) H R GS - M ] m } 1110 (E) H SO RS. > N ^ n ~ 1111 () H SI US /? O _ o DEL NUL (Null): caractère nul. SOH (Start Of Heading): début d'en-tête. STX (Start of Text): début de texte. ETX (End of Text): fin de texte. EOT (End Of Transmission): fin de transmission. ENQ (ENQuiry): demande de renseignement. AK (AKnowledge): accusé de réception. BEL (Bell): caractère d'appel. BS (Back Space): retour arrière. HT (Horizental Tabulation): tabulation horizontale. L (Line eed): changement de ligne. VT (Vertical Tabulation): tabulation verticale. (rom eed): changement de page. R (arriage Return): retour chariot. SO (Shift Out): caractère hors code. SI (Shift In): caractère en code normal. DLE (Data Link Escape): échappement transmission odes A.S..I.I D1 (Direct ontrol 1): commande d'appareil auxiliaire 1. D2 (Direct ontrol 2): commande d'appareil auxiliaire 2. D3 (Direct ontrol 3): commande d'appareil auxiliaire 3. D4 (Direct ontrol 4): commande d'appareil auxiliaire 4. NAK (Negative Acknowledge): accusé de réception négatif. SYN (SYNchronous idle): caractère de synchronisation. ETB (End Transmission Block): fin de bloc de transmission. AN (ANcel): annulation. EM (End of Medium): fin de support. SUB (SUBstitute): caractère substitut. ES (ESape): échappement. S (orm Separator): séparateur de page. GS (Group Separator): séparateur de groupe. RS (Record Separator): séparateur d'enregistrement. US (Unit Separator): séparateur d'élément. SP (SPace): espace. DEL (DELete): caractère d'effacement. haque code est défini par 3 bits d'ordre supérieur b 6 b 5 b 4 et 4 bits d'ordre inférieurs b 3 b 2 b 1 b 0. Ainsi le caractère "A" a pour code hexadécimal 41 H (intersection de la colonne 4 et la ligne 1), ce qui correspond au code binaire 1000001. Les caractères de 00 H à 1 H (les deux premières colonnes) sont des caractères de commande. Ils sont employés pour commander le fonctionnement d'un dispositif récepteur, telle qu'une imprimante, pour effectuer par exemple, un retour chariot ou l'avance ligne. Les caractères relatifs à ces codes ne sont pas supposés produire une marque sur le papier, toutefois, ils sont représentés par des symboles graphiques, si on les envoie à un écran d'affichage. Les caractères de 20 H à 7 H représentent les chiffres décimaux, les lettres alphabétiques majuscules et minuscules et les signes de ponctuation. Le dernier caractère de la colonne 7 n'est pas un caractère imprimable, c'est DEL (delete). Il existe le code ASII à 8 bits. 11