Document d études secondaires Physique 534 Mesures et erreurs Nom : Prénom : Groupe : Date : Par I. Baltatu
Mesures et erreurs Les sciences naturelles étudient les phénomènes qui se produisent dans la nature. Elles mettent en relation différentes grandeurs afin de prédire / expliquer, à partir de certaines données initiales, ce qu il va se passer dans certaines conditions. Ces sciences basées sur la mesure des différentes grandeurs sont connues sous le nom de sciences expérimentales. Qui dit mesure dit erreur! On ne peut jamais connaître la «vraie» valeur d une grandeur. Tout ce qu on peut faire, c est de s approcher de plus en plus de celle-ci. À cette fin, l on utilise des instruments de plus en plus perfectionnés, donc plus précis, de meilleures méthodes, un nombre plus grand de répétitions de la même mesure, etc. Toute mesure implique deux quantités : la quantité à mesurer et une autre, de la même sorte, qu on appelle unité de mesure. Lorsqu on mesure, on veut trouver combien de fois l unité de mesure est comprise dans la quantité à mesurer. Le résultat est un nombre. Le processus de trouver ce nombre est une comparaison. Pour que le résultat ait du sens, il faut que le nombre trouvé par cette comparaison soit accompagné par l unité de mesure. D abord, quelques conventions concernant le vocabulaire utilisé : Mesure Mesure directe Mesure indirecte Valeur vraie d une grandeur Justesse (exactitude) d une mesure Précision d un instrument de mesure Précision d une mesure Incertitude (erreur) Comparaison entre une grandeur et une autre, de la même sorte, prise comme référence et appelée unité. Le résultat de cette comparaison est un nombre accompagné d une unité de mesure. Résultat d une comparaison directe effectuée à l aide d un instrument de mesure étalonné. Par exemple, la mesure d une longueur avec une règle. Résultat obtenu par un calcul utilisant deux ou plusieurs mesures directes. Par exemple, la mesure de la surface d un rectangle à partir de ses longueur et largeur. La valeur réelle, exacte d une grandeur. Elle est inaccessible. L on peut se rapprocher d elle, mais l on ne peut jamais la connaître vraiment. Une mesure ne donne jamais une valeur exacte sauf dans le cas d un simple comptage. Le degré de rapprochement de la valeur vraie (exacte). Puisque la valeur exacte est inaccessible, la justesse peut seulement être estimée. Parfois, on parle de crédibilité. Plus la justesse est élevée, plus la mesure est crédible, digne de confiance. Capacité de mesurer des valeurs et des variations très petites. Plus l instrument est capable de mesurer, de façon fiable, digne de confiance, de petites variations de la grandeur mesurée, plus il est précis ou sensible. Qualité de reproductibilité : la valeur mesurée varie peu d une fois à l autre. Une mesure peut être précise et fausse en même temps! Écart entre la valeur mesurée et la vraie valeur. Comme la vraie valeur est inaccessible, l incertitude peut seulement être estimée. On l appelle aussi erreur. 2
Incertitude absolue (erreur absolue) Incertitude relative (erreur relative) Évaluation quantitative des difficultés rencontrées lors de la prise des mesures. Plus c est difficile de mesurer correctement une grandeur, plus l incertitude absolue est élevée. Exemple : lorsqu on mesure une longueur de 25,3 cm avec une règle graduée en cm, on peut faire une erreur de 0,5 cm en plus ou en moins. Alors on dit que l erreur absolue (ou l incertitude absolue) est de ± 0,5 cm. Lorsqu on dispose d une règle graduée en mm, l incertitude absolue est de seulement 0,5 mm. Il est plus facile de mesurer correctement une longueur de 25,3 mm avec une règle graduée en mm. Si nous connaissons la précision d un instrument, celle-ci constitue l erreur absolue. Si nous ne connaissons pas la précision d un instrument gradué, on lui attribue comme erreur absolue la moitié de sa plus petite graduation. Si l instrument est à affichage numérique, l erreur absolue correspond à la valeur du dernier chiffre affiché. Évaluation quantitative (en %) de la précision de la mesure, de sa reproductibilité. Le % se calcule relativement à la valeur mesurée. Plus l incertitude relative est petite, plus la précision de la mesure est grande. Alors, à chaque répétition de la mesure, on aura beaucoup de chances d obtenir le même résultat ou des résultats très semblables. Si l on reprend l exemple précédent : la précision n est pas pareille lorsqu on mesure une longueur de 25 cm en faisant une erreur de 0,5 mm ou une erreur de 5 mm. Dans le premier cas, l erreur (l incertitude) relative est de 0,05 cm / 25 cm = 0,2 %. Dans le deuxième, c est 0,5 cm / 25 cm = 2 %. Dans le deuxième cas, l erreur est dix fois plus importante relativement à la mesure effectuée. Donc, on aura moins de chances d obtenir le même résultat en répétant la mesure avec une règle graduée en cm qu avec une règle graduée en mm. Une mesure de qualité est en même temps précise (reproductible) et exacte (juste). Erreur relative (%) = 100% x erreur absolue / valeur mesurée Erreur absolue = valeur mesurée ou calculée x erreur relative (%) / 100% Toutes les mesures sont affectées de deux sortes d erreurs : 1. les erreurs systématiques, dues aux limites des appareils de mesure et aux méthodes utilisées; 2. les erreurs fortuites ou aléatoires, dues à des facteurs divers, dont l influence ne peut pas être connue d avance. Donc, elles sont imprévisibles. Par exemple, si l on procède à un nombre suffisamment grand de répétitions de la même mesure (des centaines de répétitions), il est impossible de trouver à chaque fois le même résultat. Les valeurs oscillent légèrement autour d une valeur moyenne, considérée comme la meilleure estimation de la vraie valeur. Ces erreurs ne peuvent être évitées par aucun moyen. Elles font l objet d étude d une théorie des erreurs, sujet traité lors d études approfondis en sciences expérimentales. 3
Expression d une mesure Chiffres significatifs En mathématiques, la quantité de chiffres dans un nombre peut être illimité. En sciences expérimentales, elle est toujours restreinte. On s y limite aux chiffres qui sont reliés à la précision des instruments de mesure utilisés. Par exemple, lorsqu on mesure une longueur de 25 cm avec un règle graduée en centimètres, on peut écrire sa valeur comme (25,0 ± 0,5) cm. En d autres mots, on peut faire une erreur de 0,5 cm à la lecture de cette longueur. Lorsqu on la mesure avec une règle graduée en millimètres, on peut faire une erreur de lecture de 0,5 mm ou 0,05 cm. Alors, on peut écrire sa longueur comme (25,00 ± 0,05) cm. Le nombre de chiffres à utiliser dans l expression du résultat varie en fonction de la précision de l instrument de mesure. On définit les chiffres significatifs comme étant tous les chiffres certains d une mesure, plus un chiffre incertain. Le chiffre incertain ou douteux nous est fourni par l erreur absolue et correspond à la précision de l instrument de mesure. Exemples : 1. Sur un thermomètre précis au degré Celsius, on peut faire une lecture de 43 C, mais pas de 43,2 C puisque le chiffre des unités est incertain; 2. Avec une balance, dont la précision est de 0,01 g, on peut mesurer une masse de 95,45 g. L expression 95,457 g est incorrecte parce qu elle dépasse la précision de la balance. Le chiffre zéro : 1. Les zéros qui terminent un nombre décimal sont significatifs. Par exemple, l expression 30,00 g indique que l échantillon a été pesé sur une balance précise au centième de gramme (0,01 g). Les quatre chiffres du résultat sont significatifs. 2. Les zéros qui terminent un nombre entier ou qui commencent un nombre décimal NE sont PAS significatifs, sauf dans le cas d un comptage. Ils précisent seulement l ordre de grandeur. Par exemple, dans les expressions 2500 m et 0,0072 m, il n y a que deux chiffres significatifs. Mais, on a vendu 2500 billets pour un spectacle (on les a comptés). La notation scientifique des nombres : Pour éviter certaines confusions reliées aux zéros ainsi que pour mettre en évidence les chiffres significatifs, on privilégie l emploi de la notation scientifique. Celle-ci permet d écrire autant les nombres très petits que ceux très grands. Un nombre écrit selon la notation scientifique comporte un seul chiffre, suivi ou non d une virgule et d autre chiffres, multiplié par une puissance de dix. Donc, un seul chiffre non nul avant la virgule! Exemples : 25,5 cm = 2,55 x 10 1 cm = 2,55 x 10-1 m (trois chiffres significatifs) 2500 m = 2,5 x 10 3 m (deux chiffres significatifs) 0,0072 m = 7,2 x 10-3 m (deux chiffres significatifs) 2000 m = 2 x 10 3 m (un chiffre significatif) 4
À noter : Dans l expression d une mesure, on attribue le même exposant à la valeur et à l incertitude absolue, puis on le place en évidence. Par exemple, (0,0152 ± 0,0007) m s écrit (1,52 ± 0,07) x 10-2 m. Pour les valeurs expérimentales tirées de références, on considère que l incertitude absolue est égale à une unité sur le dernier chiffre donné. Par exemple, la masse atomique du magnésium étant 23,305 u, l incertitude absolue sera égale à ± 0,001 u. Le calcul d erreur Lors de la mesure indirecte d une grandeur, les erreurs dues à la précision limitée des appareils de mesure s ajoutent l une à l autre. Par exemple, lorsqu on mesure une vitesse, à l erreur faite dans la mesure de la longueur s ajoute celle faite dans la mesure du temps. On dit que, lors d une mesure indirecte, les erreurs se propagent. Selon le type de calcul fait pour obtenir la grandeur mesurée indirectement, deux règles différentes s appliquent : 1. Lors d addition et de soustraction de mesures dont on connaît l incertitude absolue, il suffit d additionner les erreurs absolues. Par exemple, pour une variation de température T : (19,0 ± 0,5) C (10,5 ± 0,5) C = (9 ± 1) C Attention, l erreur absolue s exprime toujours à l aide D UN SEUL CHIFFRE SIGNIFICATIF! 2. L incertitude découlant du calcul d un produit ou d un quotient correspond à la somme des erreurs relatives de chacune des mesures. Par exemple, pour savoir comment exprimer une quantité de chaleur, Q = m c T, il faut d abord calculer l erreur relative qui affecte chaque grandeur qui entre dans l expression de la chaleur : Q = (3,53 ± 0,02) g x (4,19 J/g C) x (9 ± 1) C (3,53 g ± 100% x 0,02/3,53) x (4,19 J/g C) x (8,5 C ± 100% x 1/8,5) = (3,53 g ± 0,57%) x (4,19 J/g C) x (8,5 C ± 12%) = 125,7 J ± 13% Comme une erreur de 13 % affecte les dizaines, nous arrondissons la réponse aux dizaines : 130 J ± 13%. Attention, l erreur relative s exprime à l aide de DEUX CHIFFRES SIGNIFICATIFS! Exemple : m.v. = [(30,75 ± 0,01) g (20,00 ± 0,01) g] / (10 ± 1) ml = 1 g/ml ± 10% et non pas (1,1 ± 0,1) g/ml, qui conduirait à une erreur relative de 9,1%, plus petite que celle obtenue par l addition des erreurs relatives sur les facteurs de la formule. 5
Cependant, il y a une règle plus simple, mais moins précise, pour exprimer le résultat d une mesure indirecte en respectant les limites des appareils de mesure utilisés. Il s agit de la méthode des chiffres significatifs : tout résultat ne peut avoir une plus grande précision que le nombre le moins précis utilisé dans le calcul. C est-à-dire, la réponse ne peut comporter plus de chiffres significatifs que le nombre qui en a le moins. Cependant, pour une addition ou une soustraction, le nombre de décimales du résultat est égal au nombre de décimales de la mesure la moins précise utilisée dans le calcul. Dans les exemples précédents, lorsqu on calcule la variation de température, on obtient un résultat à une décimale parce que les deux températures ont une décimale. Le résultat peut en avoir aussi une décimale. Dans le cas de la quantité de chaleur, la variation de température a le moins de chiffres significatifs (deux). La réponse ne devrait avoir plus de deux chiffres significatifs. Donc, Q = 1,3 x 10 2 J. Lorsqu on doit faire des calculs, on arrondit le résultat au bon nombre de chiffres significatifs seulement à la fin. L utilisation de l incertitude dans les graphiques Vitesse de formation d'un gaz --> À discuter lors du 1er labo Lorsqu on trace un graphique, il faut tenir compte des incertitudes des données expérimentales. Par exemple, les données concernant la vitesse de formation d un gaz lors d une réaction chimique se trouvent dans le tableau ci-dessous. Volume (± 0,5 ml) 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 Temps (± 1 s) 3 10 19 34 Leur représentation graphique met en évidence les erreurs absolues dans la mesure du temps et du volume. Les marges d erreur sont illustrées par des barres horizontales et verticales autour de chaque point. Volume (ml) 45.0 40.0 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Temps (s) 6
Quelques points à retenir pour la présentation des données expérimentales Les données expérimentales doivent être présentées sous forme de rapport de laboratoire. Celui-ci doit contenir une page de présentation. Le premier nom sur la page est celui de l auteur et le second est celui du coéquipier. Il faut préciser aussi le titre du rapport, à qui on le présente, le groupe cours et la date. Outre la page de présentation, le rapport doit comprendre 6 parties : (1) le but, (2) l hypothèse, (3) le protocole, (4) les résultats, (5) leur analyse et (6) la conclusion. Chacune des 6 parties doit être clairement identifiée dans le rapport. 1. Le but est la question à laquelle on répondra dans la conclusion. 2. L hypothèse est une prédiction de ce qu on pense qu il va se produire si l on suit le protocole. Ou, quelles variables devrait-on mesurer pour répondre à la question formulée au # 1. Attention! Quand il y a plusieurs variables qui peuvent influer sur une autre, il faut vérifier l action d une seule à la fois. Il faut modifier une seule variable, en maintenant les autres inchangées, pour voir comment agit-elle sur la grandeur d intérêt. 3. Le protocole comprend une liste de matériel nécessaire et la description des manipulations qui permettraient à un autre élève de reproduire la même expérience. 4. Les résultats doivent être toujours présentés sous la forme d un tableau, ayant un titre et des en-têtes de colonnes identifiés (l unité de mesure de la variable s écrit seulement dans l en-tête de la colonne). La variable indépendante figure dans la première colonne. Lorsque certaines variables résultent d un calcul, il faut toujours montrer un exemple de calcul. Souvent, il est nécessaire de faire aussi une représentation graphique (sur papier millimétrique!) pour mieux illustrer l interdépendance des données du tableau. La distance parcourue par un mobile en fonction de sa vitesse Intervalle de temps (s) Vitesse (m/s) Distance parcourue (m) 30 0.01 0.3 30 0.05 1.5 30 0.10 3.0 30 0.25 7.5 distance (m) 8 6 4 2 La distance parcourue par un mobile en fonction de sa vitesse 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 vitesse (m /s) 5. L analyse comprend deux parties : la comparaison des résultats et la discussion des erreurs qui ont pu influencer les résultats, les qualités et les défauts de la méthode utilisée. On compare les résultats entre eux ou avec des valeurs attendues ou admises dans les ouvrages de référence. S il y a des divergences, il faut tenter de les expliquer et de dégager la cause d erreur la plus importante. 7
Quand peut-on dire que deux variables, m et n, mesurées expérimentalement ou issues d un calcul qui utilise des valeurs déterminées expérimentalement sont égales, dans les limites des erreurs admissibles? Pour décider de leur égalité, il faut calculer leur écart relatif : m n / 0,5 x (m + n). Il représente, en pourcentage, la valeur absolue de leur différence ( m n ) rapportée à leur valeur moyenne (0,5 x (m + n)). Si cette différence n excède pas 5% (parfois plus), on peut considérer les deux valeurs égales, dans les limites des erreurs expérimentales. Quand peut-on considérer qu une variable mesurée expérimentalement ou issue d un calcul qui utilise des variables mesurées expérimentalement est constante? Pour en décider, il faut observer ses valeurs. Si ses valeurs présentent une tendance claire de croissance ou de décroissance, elle n est pas constante. Par contre, si ses valeurs oscillent autour d une valeur moyenne, ne s écartant pas de plus de 5% (parfois plus) de celle-ci, on peut la considérer constante. La conclusion résume la réponse à la question posée au point # 1. 8
Quelques points à retenir pour la confection des graphiques à partir de mesures 1. Tout graphique doit avoir un titre éloquent. 2. Utiliser au moins 2/3 de l espace disponible, donc une échelle appropriée. 3. Les axes doivent être orientées. Les flèches des axes doivent être apparentes. 4. L identification des axes doit être complète : symboles des variables et des unités de mesure (les derniers, entre parenthèses). 5. L étalonnage des axes doit être simple : des unités ou des multiples de 2 ou de 5 unités. 6. La graduation des axes doit être régulière et espacée : 5 à 10 inscriptions par axe. 7. Autant que possible, les axes doivent se couper à l origine (0; 0). Cependant, si trop de surface est perdue à cause de cette restriction, on peut déplacer les axes vers des nombres plus appropriés. Vitesse en fonction du temps 350 v (mm/s) 300 250 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 t (s) Series1 Series2 8. Signaler l incertitude des données par des segments de droite qui se croisent, dont la mesure est égale à la marge d erreur pour la variable représentée en abscisse et, respectivement, pour celle représentée en ordonnée (voir le graphique de la page 5). 9. Évaluer s il faut tracer la «meilleure droite». Sinon, tracer une courbe régulière passant par la majorité des points. Il ne faut pas relier les points entre eux par des segments de droite. 10. Si nécessaire (par exemple vous représentez plusieurs courbes dans le même système d axes), ajouter une légende et la mettre en évidence. 9
Attention! Une mesure peut être précise et fausse en même temps. L'exemple classique est le tir sur cible. Selon cet exemple, si vous êtes précis, vous atteignez la cible toujours dans la même région, mais vous ne touchez pas nécessairement le milieu de la cible. Si vos dards atteignent le centre de la cible, vous pouvez affirmer que vous visez bien, que vous visez juste, que vous êtes exact. Par contre, si vos dards se fixent un peu partout sur la cible et même en dehors, on pourra rire de vous, mais êtes-vous exact? Cela dépend. Si, en moyenne, vos dards atteignent le centre de la cible, alors vous êtes exact. 10
Document d études secondaires Physique 534 Mesures et erreurs Nom : Prénom : Groupe : Date : Par I. Baltatu
Exercices 1. Indiquez la longueur du trait ci-dessous, en mentionnant l erreur absolue. Le trait a la longueur de : 2. Vous lisez une température de 22 C sur un thermomètre gradué au degré Celsius. Inscrivez correctement la température mesurée. 3. Calculez les erreurs relatives (en %) sur les mesures suivantes : a) (21,0 ± 0,5) C f) (2,0 ± 0,5) C b) (68,5 ± 0,5) mm g) (12,0 ± 0,5) mm c) (12,3 ± 0,1) cm h) (45,15 ± 0,01) g d) (18,2 ± 0,5) V i) (0,85 ± 0,05) A e) (0,45 ± 0,05) g j) (120 ± 5) V 4. Indiquez le nombre de chiffres significatifs dans chacune des mesures suivantes. a) 37,6 C f) 3000 C b) 23,5 mm g) 0,0012 m c) 31,2 cm h) 200,04 g 5. Écrivez les mesures suivantes en utilisant la notation scientifique et corrigez les erreurs, si cela est nécessaire. a) (21,105 ± 0,01) g f) (102,0 ± 0,5) C b) 0,05 m g) (12,00 ± 0,5) mm c) 81 000 cm h) (0,0035 ± 0,0001) g 12
6. Effectuez les opérations suivantes et indiquez l incertitude à l aide de l erreur relative et des chiffres significatifs. Laissez les traces de votre démarche. Opération Erreur relative Avec chiffres significatifs a) (10,51 ± 0,5) C x (21,45 ± 0,02) g Résultat final 2,2 x 10 2 C g (0,5 / 10,5) x 100% = 4,8% 10,5 C (0,02 / 21,45) x 100% = 0,093% 21,45 g 4,8% + 0,093% = 4,9% 10,5 x 21,45 = 225,225 C g Erreur absolue sur le résultat = (4,9% / 100%) x 225,225 10 C g Opération Erreur relative Avec chiffres significatifs b) (21,7 ± 0,1) cm x (27,8 ± 0,1) cm Résultat final Opération Erreur relative Avec chiffres significatifs c) (19,82 ± 0,02) g (24,8 ± 0,1) ml Résultat final Opération Erreur relative Avec chiffres significatifs d) (0,76 ± 0,05) m (0,45 ± 0,05) s Résultat final 13
Opération Erreur relative Avec chiffres significatifs e) (120 ± 5) V x (10,5 ± 0,5) A Résultat final W 7. Effectuez les opérations suivantes. Exprimez le résultat selon la notation scientifique. Opération Résultat a) 1,2 x 10 2 V x 2,5 A = W b) 10,8 g + 0,125 g + 4,25 g = c) 0,288 g 0,4 cm 3 = d) 4,5 x 10 3 W 20,25 A = e) 60,6 ml 10,25 ml = f) 4,5 x 10-1 mol 115,4 s = g) (45 25) m/s 2 s = h) (2,3 x 10 3 1,5 x 10 3 ) m 1 x 10 2 s = i) 1,5 x 10 3 ml 3 x 10 2 ml = j) 0,785 m + 1,25 m + 13,5 m = k) (2,32 g 0,45 g) + 32 g + 5,5 g = l) 245,37 g 75 ml = m) 2,8 cm x 14,6 cm = n) 122,2 N x 2,2 m = J o) 28,58 kg x 2,6 x 10-1 m 9 s 2 = N 14