Tangentes et convexité I Equation d une tangente à une courbe donnée en un point donné 1 ) Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I L équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse a est : y f '( a)( x a) f ( a) 2 ) Méthodes = + Il est tout à fait possible d apprendre par cœur la formule du 1 ) et de l appliquer au besoin Cela dit, on peut aussi utiliser la démarche suivante, qui aura l avantage de s adapter à d autres cas : a) Une équation de droite «non verticale», c est-à-dire non parallèle à l axe des ordonnées, possède toujours une équation du type y = m x + p b) La tangente à la courbe d une fonction dérivable possède un coefficient directeur réel, fini, par définition ; par conséquent, l équation d une tangente à la courbe d une fonction dérivable est toujours du type y = m x + p c) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe d une fonction dérivable au point d abscisse a est le nombre dérivé f '( a ) par définition Donc m f '( a) = d) Un point donné appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation de la droite, donc pour déterminer l ordonnée à l origine p d une tangente ( ) donnée, il suffit de remplacer les coordonnées du point de contact ; ( ) l équation de la tangente : y = m x + p Cela donne f ( a) f '( a) a p peut tirer p f ( a) a f '( a) A a f a dans = +, d où l on = Encore une fois, on peut apprendre le résultat par cœur ou bien donner du sens et retrouver le raisonnement dans chaque cas particulier qui se présentera Cours de Mathématiques de Terminale ES Frédéric Yargui sensmathweeblycom page 1 / 6
TP Exercice 1 3x 2 On pose f ( x) =, pour tout x ] 2; + [ x + 2 a) Calculer l expression de f '( x) b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 0 Tracer cette tangente sur le graphique ci-dessous, sur lequel figure la courbe de f c) Montrer que pour tout x ] 2; + [, f '( x) > 0 d) Résoudre l équation f ( x) = 0, puis l équation f ( x) = 1 Interpréter graphiquement le résultat Exercice 2 La figure ci-contre représente la courbe C de la fonction f ( x) = 8 ( x + 2) 2 1 Développer, réduire et ordonner l expression de ( ) f x 2 Tracer la droite D 1 d équation y = 4x + 20 Déterminer x 1, abscisse du point en lequel D 1 est tangente à C 3 C possède une tangente horizontale D 2; préciser son équation, ainsi que l abscisse x 2 du point de contact entre C et D 2 4 Le nombre dérivé de f en 1 vaut 2 Comment cela se note-t-il? Déterminer une équation de la tangente D 3 à C au point d abscisse 1 Cours de Mathématiques de Terminale ES Frédéric Yargui sensmathweeblycom page 2 / 6
Exercice 3 1 Comment se note symboliquement, le fait que le nombre dérivé de f en 1 vaut 2? Sur le graphique joint, tracer T 1 2 Tracer la tangente à la courbe passant par le point de coordonnées ( 2;6) On déterminera les coordonnées du point de contact par lecture graphique Calculer le coefficient directeur de cette droite et interpréter le résultat en termes de nombre dérivé 3 Déterminer une tangente à la courbe de f parallèle à la tangente de la question 2 Exercice 4 1 On pose f ( x) =, pour tout x [ 0;10] 4 x + 1 a) Calculer l expression de f '( x) b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 1 On vérifiera que cette tangente passe par le point de coordonnées ( 4;1) x 0;10, f '( x) < 0 c) Montrer que pour tout [ ] Exercice 5 (difficile) On pose pour tout O ; i, j orthonormé ( ) 3 2 x 3 : f ( x) = 2x 5x + x + 2 On note C la courbe de f dans un repère 1 Calculer f '( x) 2 Déterminer toutes les tangentes à C parallèles à la première bissectrice du repère 3 Déterminer toutes les tangentes à C passant par le point A de coordonnées ( 0 ;3) 4 Idem avec B ( 0 ;4) Cours de Mathématiques de Terminale ES Frédéric Yargui sensmathweeblycom page 3 / 6
II Dérivée seconde d une fonction a) Définition : Soit f une fonction dérivable sur I Supposons que f ' soit aussi dérivable sur I Alors on dit que f est deux fois dérivable sur I 4 2 3 2 b) Exemple : Si f ( x) = 3x 5x + 6, alors f '( x) = 12x 10x et f ( x) x '' = 36 10, pour x R c) Accélération et décélération : supposons que x soit une durée exprimée en heure et que f ( ) x soit une mesure en km d un véhicule qui parcourt cette distance pendant cette durée x Alors la dérivée f '( x ) mesure la vitesse instantanée du véhicule en km/h Si f '( x ) > 0 alors le véhicule est en train d augmenter la distance, de la faire croitre Et si f '( x ) < 0, alors ce véhicule revient vers le point de départ (ou recule) f '' est la dérivée de la dérivée donc est la vitesse de la vitesse Précisément, si f ''( x ) > 0, alors à l instant x, la vitesse f '( ) x est en train de croître, c est ce que l on appelle une accélération De la même manière, si f ''( x ) < 0, alors la vitesse f '( ) en train de décroître, c est ce que l on appelle une décélération x est NB : en économie, on peut appliquer ce concept à la notion de coût marginal (et autres grandeurs dites marginales bien sûr) : le coût marginal Cm est le coût de la dernière unité produite On modélise C m par la dérivée C ' Ainsi, C '' = ( C m )' montre l accélération ou le freinage des coûts en fonction du nombre d unités produites Etc Cours de Mathématiques de Terminale ES Frédéric Yargui sensmathweeblycom page 4 / 6
III Convexité a) Introduction : lentille optiques Il existe deux types de lentilles : des lentilles concaves et des lentilles convexes Voici une image trouvée sur le site http://capes-montagesskyrockcom/3016878541- P-Montage-2-Lentilles-minces-Miroirs-spheriqueshtml b) Objets concaves et convexes en mathématiques De manière générale, on dit qu un objet est convexe si, pour tout couple de points appartenant à cet objet, le segment reliant ces deux points est tout entier contenu dans l objet Voici une illustration, trouvée sur le site http://imagesmathcnrsfr/hermann- Minkowski-des-formes-476html A gauche, on imagine que même si l on change les points A et B à l intérieur de l objet «rond», le segment [ AB ] est toujours contenu dans l objet On dit au contraire que l objet est concave s il existe au moins deux points A et B à l intérieur de l objet mais tels que le segment [ AB ] sorte de l objet L illustration montre un exemple à droite avec un objet «creux» Cours de Mathématiques de Terminale ES Frédéric Yargui sensmathweeblycom page 5 / 6
c) Définitions : Soit f une fonction dérivable sur l intervalle I On dit que f est convexe sur I si la courbe de f est toujours située au-dessus de ses tangentes On dit que f est concave sur I si sa courbe est toujours située au-dessous de ses tangentes Exemples : 2 La fonction carré x x est convexe sur R 1 La fonction inverse x x et est concave sur ] ;0[ convexe sur ] 0;+ [ Cette fonction f est d abord ;α puis concave sur ] ] convexe sur [ α ; + [, où α reste à déterminer! d) Point d inflexion : on appelle ainsi un point d une courbe où il y a changement de concavité (comme l exemple tout à droite ci-dessus) e) Caractérisations : Soit f une fonction deux fois dérivable sur I 1 ) f est convexe sur I si et seulement si x I f ( x) 2 ) f est concave sur I si et seulement si x I f ( x), '' > 0, '' < 0 3 ) Le point d abscisse a est un point d inflexion de la courbe de f si et seulement si f ''( a ) = 0 et f '' change de signe en a Cours de Mathématiques de Terminale ES Frédéric Yargui sensmathweeblycom page 6 / 6