INÉGALITÉS DE HEINSENBERG SPATIALES I. Relations d incertitude. 1. Incertitude statistique Quand on observe la figure d interférence produite photon par photon, on constate que les maxima d intensité correspondent aux zones où la probabilité de présence du photon est maximum : la mécanique quantique est une théorie probabiliste. Le caractère aléatoire de la détection fait que toute mesure si précise soit-elle s accompagnera toujours d une incertitude de type statistique (on parle aussi d indétermination quantique). Plaçons nous à une dimension. Si on mesure la valeur de x, en répétant N fois la même mesure sur N particules préparées dans le même état, on obtiendra une dispersion des mesures. L ensemble des mesures se distribue suivant la densité de probabilité ψ(x, t). La valeur moyenne 1 est < x >= + x ψ(x, t) dx Le carré de l écart quadratique moyen, qui mesure la dispersion des mesures autour de la valeur moyenne, est donné par car ( x) =< (x < x >) >=< x > < x > ( x) =< x x < x > + < x > > =< x > < x > + < x > =< x > < x > On retiendra donc x = < x > < x > 1. elle correspond à l espérance mathématique vue en terminale 1
On peut définir de même l incertitude statistique pour p x la composante suivant u x de la quantité de mouvement. p x = < p x > < p x > Remarque : Ces incertitudes n ont rien à voir avec une quelconque imprécision des mesures. Elles sont intrinsèquement quantiques. Si la précision de mesure δx des appareils de mesure est supérieure à x on a une bonne représentation d un objet ponctuel.. Relations d incertitude Revenons à l expérience de diffraction (de photons, d électrons ou d atomes...) par une fente fine de largeur a. Plus la fente est fine, plus la tache de diffraction est large. On note θ la demi-largeur angulaire de la tache centrale de diffraction. Si on se place au niveau de la fente diffractante, de largeur a, l incertitude sur la position x est de l ordre de grandeur de la largeur de la fente : x a La composante p x = p. u x de la quantité de mouvement de la particule considérée varie de p sin θ à p sin θ (en considérant la largeur angulaire de la tache centrale où se concentre la majorité des particules diffractées). Or, sin θ λ, avec λ la longueur d onde de de Broglie. a L ordre de grandeur de l incertitude sur la mesure de p x est donc de l ordre de p x p sin θ Or, sin θ λ, avec λ la longueur d onde de de Broglie. On en déduit a d après la relation de de Broglie p = h λ, d où p x p λ a On a donc p x, h λ λ a h a a p x h x p x h
On a raisonné ici sur des ordres de grandeurs. De manière générale, la relation d incertitude de Heisenberg, s écrit sous la forme : x p x avec = h π. Cette relation s applique bien sûr aux deux autres autres directions de l espace : y p y z p z Par contre x i p j, n admet pas de limite inférieure non nulle pour i j. On ne peut donc pas mesurer simultanément la position et la quantité de mouvement (donc la vitesse) avec une précision arbitrairement grande. La notion classique de trajectoire, pour laquelle la position et la vitesse sont déterminées à chaque instant disparaît. Si on confine des particules, leurs vitesses seront très dispersées. Inversement, si on prépare des particules de manière à ce que leur vitesse soit bien déterminée, alors l indétermination sur leur localisation sera grande (les particules seront délocalisées). Remarque : on comprend ici tout l intérêt d obtenir un faisceau de particules très monocinétique lorsqu on réalise une figure d interférence avec des particules. La vitesse des particules étant très bien définie, v x est faible, donc p x également ce qui entraîne une extension spatiale x importante : elle doit bien sûr être supérieure à l écart entre les deux fentes si on souhaite observer des interférences! II. Énergie minimale de l oscillateur harmonique quantique 1. Oscillateur harmonique classique (rappels) On a étudié en début d année le mouvement harmonique. Si on note x l écart par rapport à la position d équilibre, le mouvement harmonique est caractérisé par x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) v(t) = Aω 0 sin(ω 0 t + ϕ) la position x est comprise entre A et A la vitesse v est comprise ω 0 A et ω 0 A L énergie de l oscillateur harmonique (correspondant à son énergie mécanique) est donnée par E = Ec + Ep = 1 mv + 1 kx = 1 mv + 1 mω 0x On a montré que E = 1 ka = 1 mω 0A avec ω0 = 3 k pulsation propre de l oscillateur. m
Le modèle de l oscillateur harmonique a de nombreuses applications : en général, le mouvement conservatif d un point au voisinage d une position d équilibre stable est du type harmonique au niveau microscopique, les forces d interactions entre les atomes d une molécule sont modélisées par des forces élastiques. On peut donc se ramener au modèle de l oscillateur harmonique pour étudier les vibrations de molécules. Classiquement, quelle peut-être la valeur minimale de l énergie? la réponse est E min = 0 Dans ce cas la particule est en O, avec une vitesse nulle : elle est au repos au niveau de la position d équilibre. Sa position et sa vitesse sont donc parfaitement définies. On aura donc x = 0 et p x = 0. Ce résultat est en total désaccord avec l inégalité de Heisenberg x p x /. L énergie minimale de l oscillateur harmonique quantique ne peut pas être nulle.. Oscillateur harmonique quantique L étude quantitative des vibrations de molécules nécessite un traitement quantique. Il faut, pour trouver les niveaux d énergie de l oscillateur, résoudre l équation de Schrödinger. Cette résolution dépassant largement le cadre du programme, on se contentera d un raisonnement semi-classique. L inégalité d Heisenberg va nous permettre permet d évaluer l ordre de grandeur de l énergie minimale d un oscillateur harmonique quantique. Pour une énergie donnée, le mouvement est borné. On peut alors évaluer les ordre de grandeurs des incertitudes x et p x. Classiquement : E = 1 mv + 1 kx = p m + 1 mω 0x = 1 mω 0A < x >= 0, < p x >= 0 ; < x >= 1 A = E ; mω0 < p x >= m < vx >= m A ω0 < sin (ω 0 t + ϕ) >= m A ω0 = me On en déduit les incertitudes sur x et p : x = < x > < x > = E < x > = mω 0 p x = < p x > < p x > = < p x > = me x p x E me mω0 E ω 0 4
Notre calcul, très grossier, ne permet en toute rigueur que d obtenir un ordre de grandeur de l énergie minimale. Cependant, en résolvant l équation de Schrödinger on trouve que les niveaux d énergie de l oscillateur sont quantifiés. Les valeurs des énergies des différents niveaux s expriment sous la forme : ( E n = n + 1 ) ω 0 avec n N On constate que le niveau d énergie minimale (pour n = 0) vaut bien E min = 1 ω 0. Remarque : l hypothèse de Planck était donc bien fondée : quand un oscillateur passe d un niveau n + 1 au niveau n il émet un photon d énergie E n+1 E n = ω 0 = hν et il l absorbe pour passer du niveau n au niveau n + 1. Nous allons voir dans l exemple suivant que, de manière générale, un mouvement limité spatialement (état lié) entraîne une quantification des niveaux d énergie. III. Particule confinée 1. Puits de potentiel infini classique On considère une particule contrainte à être confinée dans un certain domaine spatial de largeur L. Un puits de potentiel infini de largeur L permet de décrire cette situation. si x < 0 E p (x) = 0 si 0 < x < L si x > L À énergie totale constante, la particule possède deux vitesses possibles telles que E = 1 mv x. On peut imaginer un mouvement de va et vient entre les deux parois x = 0 et x = L, le corpuscule étant contraint de "rebondir" sur chacune des parois limites. Classiquement, l énergie minimale possible est bien sûr nulle (particule au repos dans l intervalle [0, L]). Mais, comme on l a vu dans le chapitre précédent, cet état n est pas compatible avec l inégalité de Heisenberg : la limitation spatiale du mouvement entraîne une énergie minimale non nulle.. Quantification des niveaux d énergie Le confinement entre 0 et L, le comportement ondulatoire des particules, ainsi que l additivité des fonctions d ondes, permet de chercher des solutions sous la forme d une superposition d ondes planes progressives se propageant dans deux directions opposées de manière à former une onde stationnaire. 5
La probabilité de trouver la particule en dehors de la zone [0, L] est nulle. En admettant que l amplitude de probabilité est continue en x = 0 et x = L, elle doit s annuler en x = 0 et x = L. Par analogie avec les modes propres de vibration d une corde fixée à ses deux extrémités on en déduit la condition L = n λ En utilisant la relation de de Broglie p = h λ avec n N on écrit p = n h L On obtient ainsi des valeurs discrètes pour l énergie : E n = p x m = h n 8mL = n π ml avec n N L énergie minimale est donc E min = π ml. Une résolution de l équation de Shrödinger permet de retrouver exactement les mêmes niveaux d énergie que ceux établis à l aide de l analogie avec la corde de Melde. La particule peut passer d un niveau d énergie E n à un niveau d énergie inférieur E n (n < n) en émettant un photon dont la fréquence ν telle que : hν = E n E n = (n n ) 8mL Inversement, elle pourra passer du niveau d énergie E n au niveau d énergie supérieur E n en absorbant une photon ayant cette même énergie. La plus petite fréquence pouvant être émise ou absorbée correspond à une transition entre les deux premiers niveaux d énergie n = 1 et n =. h ν min = E E 1 h = 3h 8mL On retiendra que les états liés présentent des niveaux d énergie discrets alors que les états de diffusion (état non lié) peuvent présenter un spectre continu d énergie. Exemples : niveaux d énergie de l électron lié à l atome (état lié). énergie de l e diffusé (état de diffusion). 6
Bibliographie succinte "Physique Moderne" Thornton Rex Ed de boek Cet ouvrage très documenté offre un large panorama de la physique actuelle, tout en exposant les expériences historiques fondamentales sur lesquelles elle s est construite. "Le monde quantique" Michel Le Bellac Ed EDP Sciences Collection "Une introduction à" Cet ouvrage expose les principes de base de la physique quantique ainsi que ses applications les plus récentes : semi-conducteurs, laser, cryptographie quantique... "Le cours de physique de Feynman - Mécanique quantique " Éditions DUNOD Pour une approche plus mathématique : "1 leçons de mécanique quantique" Jean-Louis Basdevant Ed Vuibert réédité sous le titre "Introduction à la physique quantique" chez le même éditeur. Par ailleurs, le site de Julien Bobroff, défenseur intarissable de la physique quantique, permet entre autres, de visualiser certaines expériences d interférence. http://www.toutestquantique.fr/ 7