Nombres entiers et décimaux. Comparaison I. Les nombres entiers Rappel Un nombre entier est un nombre qui peut s'écrire sans virgule. / Nombres et chiffres De même que les vingt-six lettres de l'alphabet permettent d'écrire tous les mots de la langue française, les dix chiffres 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 de notre numération sont suffisants pour écrire tous les nombres rencontrés en classe de 6 ème. C'est rendu possible grâce à l'écriture de position : la place du chiffre indique aussi sa valeur. A retenir «Tous les nombres s'écrivent grâce aux dix chiffres 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9» S'exprimer «4875 est un nombre composé de quatre chiffres : 4, 8, 7 et 5» Exemples 024 possède quatre chiffres. Le chiffre 2 représente vingt unités car c'est le chiffre des dizaines (le deuxième chiffre en partant de la droite). 548 429 possède six chiffres (en réalité cinq différents). Le chiffre 4 apparaît deux fois mais représente une valeur différente suivant sa position. Lorsqu'il est à la troisième place en partant de la droite, il représente quatre cents. Lorsqu'il est à la cinquième place en partant de la droite, il représente quatre mille. La numération romaine Les chiffres les plus connus du système romain sont : I (), V (5), X (0), L (50), C (00), D (500) et M (000). Cette numération n'attribue de la même façon une valeur aux chiffres suivant leur position (position absolue). Par exemple, le nombre III est composé de trois fois le chiffre I qui a la même valeur : 3 fois une unité. Alors que dan s notre numération est un autre nombre. Cependant, la position des chiffres entre eux (position relative) est importante : IV vaut 4 et VI vaut 6. Par exemple, 789 se note MDCCLXXXIX d'après la correspondance suivante : M 000 D 500 C 00 L 50 On observe bien dans cet exemple en quoi notre numération de position est plus économique. http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/page.php?idp=37&idd=0 D'où l'importance de connaître parfaitement le tableau suivant...
2/ Tableau d'écriture des nombres entiers centaines de milliards Classe des milliards Classe des millions Classe des mille Classe des unités dizaines de milliards milliards centaines de millions dizaines de millions millions centaines de mille dizaines de mille mille centaines dizaines unités Méthode de lecture des nombres Pour lire correctement un nombre, il est intéressant de regrouper les chiffres par trois (c'est à dire par tranche) en partant de la droite : 0 4 965 87 23 = 049 658 723 se lit " un milliard quarante-neuf millions six cent cinquante-huit mille sept cent vingt-trois ". A retenir Le nom de chaque chiffres dans un nombre entier : «chiffre des unités, chiffre des dizaines...». Le nom des classes : «classe des milliards, classe des millions...» II. Les nombres décimaux Introduction Pour écrire des nombres compris entre deux nombres entiers, on utilise la virgule (séparateur décimal). Par exemple «une et demi» s'écrit,2, ou encore et trente centimes s'écrit,3. Les chiffres situés à droite de la virgule désignent des parties de l'unité et ceux situés à gauche des multiples de l'unité. La partie entière d'un nombre décimal est le nombre situé à gauche de la virgule. La partie décimale d'un nombre décimal est le nombre situé à droite de la virgule. Décomposition en partie entière, partie décimale 548,054=548 0,054
Tableau d'écriture des nombres décimaux Partie entière Partie décimale Dixième Cent ième M illième Dix-millième Cent -millième 74, 3 7 8 307, 0 0 8 005, 5 6 0 2,, M illionième Exemple 74,378 représente 7 dizaine, 4 unités, 3 dixièmes, 7 centièmes et 8 millièmes. A savoir parfaitement Le nom de chaque chiffre dans le partie décimale : «chiffre des dixièmes, chiffre des centièmes...» Faire le jeu :, _ (montrer l'emplacement et interroger sur le nom du chiffre) Lecture des orale des nombres décimaux 2,48 se dit «2 et 48 centièmes» 7458,089 se dit «7 et 89 millièmes» III. Décompositions d'un nombre décimal / Décomposition décimale 2,47= 0 2 4 0, 7 0,0 A connaître par coeur 0, est un dixième 0,0 est un centième...
2/ Décomposition fractionnaire Il est important de connaître par cœur le tableau suivant : Écriture en toutes lettres Écriture décimale un dixième 0, un centième 0,0 un millième 0,00 un dix-millième 0,000 un cent-millième 0,0000 un millionième 0,00000 Écriture fractionnaire 0 00 000 0000 00000 000000 Décomposition fractionnaire 36, 4 représente 36 unités et 4 dixièmes d'unités. On a donc : 36,04=36 4 00 De même : 74,378=74 3 0 7 00 8 000 ou encore 3538,427=3538 4 0 2 00 7 000 Décomposition en partie entière, partie décimale (2 ème version) On a aussi 3538,427=3538 427 000 Remarque (voir chapitre écritures fractionnaires) 3 0 ; 2 00 et 7 sont appelés des écritures fractionnaires car le dénominateur est égal à 0, 00, 000... 000 Une fraction décimale est une fraction ayant comme dénominateur un multiple de dix. Les décompositions à connaître 79,432=79 0,432=79 432 décomposition en partie entière, partie décimale 000 79,432=70 9 0,4 0,03 0,002 décomposition décimale chiffre par chiffre 79,432= 7 0 9 4 0, 3 0,0 2 0,00 décomposition décimale détaillée 79,432= 7 0 9 4 0 3 00 2 000 décomposition fractionnaire détaillée Remarque On pourra parler des «zéros inutiles».
IV. Comparaison / Avec deux nombres Comparer deux nombres décimaux, c'est dire si l'un est plus grand, plus petit ou égal à l'autre. Exemples 5,02 est plus petit que 5,2. 7,2 est plus grand que 2,7. 02,20 est égal à 2,2. Vocabulaire 5,2 est inférieur à 52 5,2 est supérieur à 5,2. 5,2 est différent de 5,2. Notation Le symbole «supérieur à» se note et le symbole «inférieur à» se note. est le symbole «différent». Méthode 37,999 42,0 car 37 42 49,099 49, car 099 00 ( 49,=49,00 ) On compare les parties entières ; si les parties entières sont égales, on ajoute (éventuellement) des zéros dans la partie décimale pour obtenir le même nombre de chiffre ; on compare les parties décimales ainsi écrites. Méthode 2 49,099 49, car en comparant les chiffres des dixièmes, on a 0. On compare les parties entières ; si les parties entières sont égales, on compare chiffre par chiffres ; si le chiffres des dixièmes sont égaux, on regarde le chiffre des centièmes ; si le chiffres des centièmes sont égaux, on regarde le chiffre des millièmes ; etc. 2/ Avec plusieurs nombres Ranger des nombres par ordre croissant, c'est les classer du plus petit au plus grand. Ranger des nombres par ordre décroissant, c'est les classer du plus grand au plus petit. Exemple 25,4 25,325 00,78456 99,78456 99,9 0,9999999 sont rangés dans l'ordre décroissant. Encadrer nombre, c'est trouver deux autres nombres : l'un plus petit et l'autre plus grand.
Exemple 5 5,025 52 Dans cet exemple, 5,025 est encadré par 5 et 52 On dit aussi que 5,025 s'intercale entre 5 et 52. Vocabulaire : «suivre, précéder» On dit que 999 est le premier nombre entier qui suit 998,9584. On dit 998 est le premier nombre entier qui précède 998,9584