Connaître les nombres entiers naturels Progression CE2 ERMEL Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu'au million : Comprendre l'écriture chiffrée des nombres, c'est-à-dire savoir tirer parti des informations apportées par chaque chiffre et savoir les utiliser dans un problème (les craies). Savoir trouver le nombre d'unités correspondant à un nombre de dizaines et de centaines donné (les stocks). Utiliser le nombre de dizaines et de centaines d'un nombre pour constituer une collection (les bandes de dix fleurs). Activités d'accompagnement. Fréquenter la suite des nombres jusqu'à 500. Analyser l'écriture de cette suite et repérer les régularités dans la disposition des chiffres (des chiffres pour écrire des nombres). Faire fonctionner et institutionnaliser les règles de numération orale pour les nombres de 0 à 99 puis au-delà de 00 et en deçà de 000. Faire découvrir, faire fonctionner et institutionnaliser les règles de la numération orale au-delà de 000 et jusqu'au million. Être capable de préciser les relations entre ces diverses règles et les opérations (les mots-nombres). Retrouver l'écriture chiffrée d'un nombre dont on connaît la décomposition en unités, dizaines, centaines, milliers et dizaines de milliers, en utilisant le tableau de numération usuel (le bowling). Parvenir à la décomposition d'un nombre en unités, dizaines, centaines, millier, etc., et à la recomposition d'un nombre à partir de la donnée d'un nombre d'unités, de dizaines, de centaines, de millier, etc. (le jeu des palets). Savoir associer un nombre d'unités, un nombre de dizaines, un nombre de centaines, un nombre de milliers, pour obtenir la forme canonique d'un nombre : 5 centaines et 3 milliers, c'est 4 500 (les étiquettes). Étant donné un nombre de quatre chiffres terminé par un ou deux zéros : lire le nombre de dizaines ou de centaines, lire le nombre de centaines dans le nombre de dizaines, faire le lien entre le nombre de dizaines et le nombre de centaines, faire le lien entre le nombre de groupements par 0 et le nombre de groupements par 20, faire le lien entre le nombre de groupements par 00 et le nombre de groupements par 50 (la rançon du chien de Lucky Luke) Activités rituelles
2 Connaître les nombres entiers naturels Progression CE2 ERMEL Comparer, ranger et encadrer les nombres : Savoir utiliser la droite numérique pour représenter la suite des nombres Savoir placer des nombres sur la droite numérique dans l'ordre : avec ou sans nombres repères, avec ou sans graduations Institutionnaliser la règle de comparaison des nombres (comparaison de nombres : qui a le plus grand nombre?) Savoir situer des nombres par rapport aux multiples de 0, de 00, de 000, etc. Savoir dire si un nombre appartient à un intervalle et savoir trouver des intervalles dans lesquels se situe un nombre donné. Savoir comparer des nombres et les ordonner Situer les nombres par rapport aux multiples de 0, 00, 000, etc. Repérer les chiffres correspondant aux différents ordres de groupement
3 Connaître les nombres entiers naturels Progression CE2 ERMEL Relations arithmétiques entre les nombres : Fréquenter les multiples de 25 et reconnaître les premiers. 25 + 25 = 2 x 25 = 50 50 + 25 = 25 + 50 = 75 75 + 25 = 25 + 75 = 00 25 + 25 + 25 = 3 x 25 = 75 50 + 50 = 2 x 50 = 00 25 + 25 + 25 + 25 = 4 x 25 = 00 Mémoriser des décompositions additives et multiplicatives de 00, 000, 0 000 et 60 ainsi que des sommes et des produits remarquables liées à ces décompositions. Cibler quelques nombres remarquables : 00, 000, 0 000 Mémory 00 Mémory 000, 0 000 Mémory 60 Problèmes de réinvestissement : Retrouver dans un contexte de problème les décompositions additives et multiplicatives de 000 Connaître la moitié, le quart, le double et le quadruple de certains nombres clés. Maîtriser les concepts de double, moitié, quart de façon plus générale. Étudier les différents types de relations qui peuvent exister entre deux nombres, entre deux suites de nombres, entre plusieurs nombres.
4 Connaître les nombres entiers naturels Progression CM ERMEL Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu'au milliard : Groupements par 0 : redécouvrir l'intérêt d'organiser une collection selon des groupements réitérés de 0 pour dénombrer rapidement, mettre en évidence le fait que l'écriture d'un nombre traduit cette organisation, distinguer chiffre des centaines et nombre de centaines (idem pour le rang des dizaines) Comparaison, ordre savoir situer des nombres par rapport aux multiples de 0, de 00, de 000, etc., savoir dire si un nombre appartient à un intervalle et savoir trouver des intervalles dans lesquels se situe un nombre donné, savoir choisir une graduation permettant de placer une suite donnée de nombres. Écriture des grands nombres savoir tirer parti des informations apportées par la position des chiffres dans un nombre, savoir lire un nombre de six chiffres, savoir comparer les nombres de six chiffres savoir intercaler un ou plusieurs nombres entre deux nombres donnés. Numération orale et écrite faire fonctionner et institutionnaliser les règles de numération orale pour les nombres de 0 à 000, faire (re)découvrir, faire fonctionner et institutionnaliser les règles de la numération orale pour les nombres de 000 à 999 999 999, notamment mettre en évidence que la numération orale utilise comme bases auxiliaires le millier et le million, faire préciser les relations entre ces diverses règles et les opérations. Caractéristiques de notre système de numération : renforcer la maîtrise des règles de la numération écrite décimale positionnelle par l'étude d'une numération additive qui utilise des groupements réguliers de 0 (la numération égyptienne). Écriture des grands nombres
5 Mesures, fractions et décimaux Progression CM ERMEL Mesurer des grandeurs Comparer des masses comparer des objets du point de vue de la masse valider ou remettre éventuellement en cause, à l'aide de la balance, les impressions produites par les sens Utiliser des masses marquées savoir faire une simple pesée en évitant trop d'opérations inutiles savoir extraire les informations fournies par des situations d'équilibre et de déséquilibre savoir calculer sur des mesures de masse connaître la relation kg = 000 g et savoir l'utiliser pour exprimer le résultat d'un mesurage ou d'un calcul. Instants et durées comprendre la signification des fractions simples de l'heure connaître des équivalences entre les différentes expressions de l'heure : écriture fractionnaire, heure et minutes, position des aiguilles sur l'horloge. Estimer des masses mettre en place et utiliser des points de référence en soupesant et en pesant des objets familiers peser des objets avec une balance de Roberval et une balance à cadran Comparer des aires faire passer les élèves, pour comparer des rectangles, de critères spontanés comme l'estimation perceptive, l'encombrement c'est-à-dire la plus grande longueur -, ou le périmètre, au critère de comparaison par les aires développer des procédures de comparaison fondées sur des critères mathématiques, mais sans la mesure des aires, c'est-àdire soit directement, par inclusion d'un rectangle dans l'autre, soit indirectement, par décomposition recomposition effective ou fictive Instants et durées : emploi du temps savoir lire les "heures" indiquant les débuts et fins d'activités savoir évaluer la durée d'une activité (procédures élèves) apprendre à calculer sur les nombres complexes (par adaptation des techniques connues sur les nombres entiers ou en recourant au calcul réfléchi) Mesurer des longueurs : autour des périmètres pratiquer le mesurage avec la règle graduée pratiquer des calculs de sommes de longueurs (règles de calcul à partir d'écritures complexes ou à virgule) gérer les imprécisions du mesurage et les maîtriser numériquement (ce que l'on ne peut pas savoir et ce que l'on peut savoir avec certitude) Comparer des aires étendre à des polygones quelconques le critère de comparaison par les aires, appliqué jusque là aux rectangles faire comprendre que deux polygones de même aire peuvent avoir des périmètres différents Comparer des aires donner du sens aux expressions "deux surfaces ont même aire", "une surface a une aire plus petite qu'une autre" en se référant à des déplacements possibles de parties de surfaces (décompositionrecomposition fictive sans chevauchement des morceaux) et à un pavage régulier (comparaison des nombres de carreaux utilisés), déterminer l'étendue qu'elle occupe. Comprendre que ce nombre caractérise numériquement ce qui est appelé l'aire. Mesurer des aires prendre conscience que la mesure d'une grandeur nécessite la référence à une unité utiliser les fractions dans un contexte d'aire
6 Mesures, fractions et décimaux Progression CM ERMEL Fractions et décimaux Connaître et utiliser des fractions simples : bande unité utiliser des fractions élémentaires et des écritures additives telles que 2 4 3 5 4 3 2 + 8 8 8 4 4 3 + 8 etc. pour exprimer Connaître et utiliser des fractions simples : droite graduée utiliser des fractions et des écritures additives pour situer des points sur une demi-droite graduée et pour exprimer des distances concevoir qu'une position ou une distance peut s'exprimer de différentes façons et établir ainsi des égalités et des 5 4 2 2 décompositions : = = 2 0 6 3 0 Apprendre à comparer des décimaux élaborer des procédures de comparaison des nombres décimaux en s'appuyant sur la signification des différents chiffres de leur écriture à virgule Calculer sur les décimaux calculer des sommes et des différences de nombres décimaux en s'appuyant sur la signification fractionnaire des décimales calculer des sommes et des différences de nombres décimaux, des produits d'un nombre décimal par un entier inférieur à 0 dans le contexte de la monnaie des mesures de longueur obtenues en reportant une bande unité utiliser les notations et le vocabulaire associé concevoir qu'une mesure peut s'exprimer de différentes façons et établir ainsi des équivalences entre fractions : 3 6 =, des 4 8 décompositions faisant apparaître la partie entière : 7 3 = +, des résultats 4 4 d'additions simples : + 2 5 = 7 3, + = 2 2 4 4 2 25 5 0 = + = 2 + = 2 3 = 0 0 0 5 30 29 9 = 2 + = 3-0 0 0 0 Des fractions décimales aux nombres décimaux : droite graduée donner du sens aux mots dixième, centième, millième et aux écritures 0 00 000 0, 0,0 0,00 donner du sens aux fractions décimales et aux écritures à virgule connaître, pour un nombre décimal, différentes désignations orales, différentes écritures fractionnaires, son écriture à virgule et savoir passer d'une désignation à l'autre Décimaux et droite graduée savoir utiliser la demi-droite graduée et le calcul : o pour trouver la distance entre deux points ou deux nombres et pour l'exprimer à l'aide d'un nombre décimal o pour trouver le (ou les) nombre(s) situé(s) à une certaine distance d'un nombre donné
7 Mesures, fractions et décimaux Progression CM2 ERMEL Mesurer des grandeurs Distinguer les concepts d'aire et de périmètre d'une figure plane comprendre que deux quadrilatères (un rectangle et un carré) peuvent avoir la même longueur de périmètre et des aires différentes Distinguer aire et forme acquérir des images de parties d'un rectangle (triangles ou quadrilatères) ayant pour aires des fractions (moitié et quart) de l'aire du rectangle, celui-ci étant considéré comme ayant une aire égale à comprendre qu'une même fraction représente l'aire de parties du rectangle de formes différentes Vers la formule évaluer l'aire d'un rectangle par un pavage effectif, puis prendre conscience qu'un calcul est plus efficace prendre conscience qu'un calcul permet de déterminer l'aire de tous les rectangles (avec, pour l'instant, des mesures entières) utiliser la formule du calcul de l'aire du rectangle dans un problème de comparaison d'aire Utiliser la formule relative à l'aire du rectangle mesurer des aires, avec l'unité centimètre carré, en utilisant l'aire du rectangle et en partageant la surface en sous-surfaces dont les aires sont facilement calculables comprendre que l'unité centimètre carré (cm²) peut se découper, se recoller, se déformer Estimer des longueurs, des aires, des périmètres réinvestir les connaissances de base (relations entre les unités, formule donnant l'aire d'un rectangle) pour estimer et pour calculer des longueurs, des distances, des périmètres, des aires Combien de établir des relations entre certaines unités d'aires usuelles (cm², dm² et m²) donner une image mentale de l'hectare Estimer des longueurs, des aires, des périmètres savoir utiliser un formulaire donnant l'aire et la longueur du périmètre de quelques figures simples Estimer des capacités fréquenter des mesures de volumes exprimées en litres, en décilitres et en centilitres mettre en place différentes représentations du litre savoir que litre d'eau pèse kilogramme et être capable d'utiliser cette connaissance pour vérifier ou pour établir les relations entre le litre et le centilitre, entre le litre et le décilitre connaître et utiliser les relations l = 0 dl, l = 00 cl donner des moyens pour mesurer et pour estimer des capacités
8 Mesures, fractions et décimaux Progression CM2 ERMEL Fractions et décimaux Retour sur la signification d'écritures fractionnaires signification des fractions simples ( 2 4 4 3 8 8 3 ) dans un contexte de longueur Des fractions décimales aux écritures à virgule (et inversement) comprendre et utiliser le principe de construction d'une graduation régulière en dixièmes et en centièmes établir et utiliser les relations entre dixième et unité, entre dixième et centième savoir situer des fractions sur une graduation, les décomposer en somme de la partie entière et de fractions décimales établir le lien entre fractions décimales et écritures à virgule savoir situer les nombres décimaux sur une graduation, les décomposer en somme de la partie entière et de fractions décimales passer de l'écriture à virgule à des écritures à l'aide de fractions décimales et inversement connaître la signification des chiffres dans une écriture à virgule, l'utiliser pour lire les nombres décimaux Comparer des décimaux à l'aide de procédures personnelles résoudre des problèmes de rangement et de comparaison de nombres décimaux par des procédures personnelles en s'appuyant sur la signification des chiffres des écritures à virgule réaliser qu'entre deux nombres décimaux on peut en intercaler plusieurs articuler, dans un contexte de masse, écritures décimales et fractions décimales mettre en œuvre et expliciter des relations entre unités, dixièmes, centièmes Relations entre unités, dixièmes, centièmes distinguer dixième et dizaine, centième et centaine, millième et millier préciser les relations entre ces différents éléments et leurs relations avec l'unité Sommes et différences de décimaux prendre conscience que l'addition et la soustraction permettent de trouver le ou les nombres situés à une certaine distance d'un nombre donné et de calculer des distances Relation entre deux expressions d'une mesure, à l'aide d'une seule ou de plusieurs unités différencier une écriture décimale d'une écriture complexe et passer de l'une à l'autre renforcer la signification des chiffres de la partie décimale d'une écriture à virgule pour les principales grandeurs, expliciter et utiliser les relations entre l'unité principale et les unités les plus courantes Comment multiplier ou diviser un décimal par 0, 00, mettre en évidence le changement de rang des différents chiffres lors d'une multiplication ou d'une division par 0, 00 ou 000, expliciter le changement de nature du chiffre des unités Élaboration d'une règle pour comparer des décimaux Décimaux et changement d'unité connaître les désignations usuelles des unités de mesure de grandeurs (longueur, masse, capacité) établir les relations entre les désignations des principales unités et faire le lien entre ces désignations et les relations qui lient une unité à une autre Vers l'algorithme dégager une règle de calcul du produit d'un nombre décimal par un nombre entier Multiplier par 0, 00, dans le contexte "monnaie" utiliser en contexte la multiplication et la division par 0, 00 ou 000 conforter les relations entre les différentes unités Calculer une fraction (simple) d'une quantité