Cours n 4 : La chute

Cours n 4 : La chute 1) Le champ de pesanteur terrestre Il est possible de caractériser en tout point de l espace la capacité d attraction de la terre sur un objet par la définition de la notion de champ de pesanteur. Cette définition se fait par l utilisation de la notion de vecteur champ qui permet d indiquer de manière unique la direction, le sens et l intensité de cette capacité d attraction en un point de l espace. Ce vecteur champ permet de déduire la force agissant sur l objet en ce même point de l espace. L ensemble de ces vecteurs champ constitue la notion de champ de pesanteur. La variation de la valeur de ce champ de pesanteur terrestre en fonction de l altitude étant très faible, il est possible de le considérer comme constant jusqu à des altitudes de quelques kilomètres. La valeur du champ de pesanteur est ainsi le vecteur constant pesanteur et qui est défini par :, que l on appelle accélération de la avec Un corps de masse situé au voisinage de la terre va subir l attraction de la terre, qui correspond à la définition de son poids à partir de la notion de champ de pesanteur. On a : où est le vecteur poids. 2) La chute libre 2.1) Définition des hypothèses de chute libre Un projectile de masse est lancé avec une vitesse initiale, selon une trajectoire de dimensions suffisamment faibles de manière à pouvoir considérer le champ de pesanteur comme uniforme. La chute libre est par définition le mouvement d un objet soumis uniquement à son propre poids. Durant une chute libre, on néglige : - La poussée d Archimède si - Les frottements de l air Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 1

2.2) Caractéristiques dynamiques du mouvement de chute libre On étudie la trajectoire du projectile dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Bilan des forces : poids du projectile 2 nde loi de Newton : Le mouvement de chute libre est un mouvement uniformément varié suivant l accélération de la pesanteur. On a dans un repère orthonormal tel que soit vertical ascendant, le vecteur accélération suivant : 2.3) Etude de cas Il est nécessaire de distinguer plusieurs cas dans l étude du mouvement de chute libre en fonction des conditions initiales du problème. 2.3.1) Chute libre sans vitesse initiale Le mobile étudié est ici lâché sans vitesse initiale. On a les conditions initiales suivantes : On intègre alors le vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales du problème. On a : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 2

On a donc : Par intégration du vecteur vitesse, on a : Ce qui donne : le mouvement est accéléré suivant l axe. Un objet lâché sans vitesse initiale et en chute libre est en mouvement rectiligne uniformément accéléré suivant la direction verticale. A l instant t, on a la hauteur de chute ainsi que la vitesse de l objet : 2.3.2) Chute libre avec vitesse initiale verticale Le mobile est lancé verticalement avec une vitesse positive ou négative non nulle. Conditions initiales du problème Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 3

Par intégration, on a : Par intégration du vecteur vitesse, on obtient : Ce qui donne : Contexte n 1 : Hauteur de chute : Contexte n 2 : Temps de montée pour Position maximale Hauteur maximale : Temps au repassage à l origine L objet repasse en au bout du temps Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 4

! Lorsque un objet est en chute libre, il peut soit tomber soit monter tant que 2.3.3) Chute libre avec vitesse initiale formant un angle avec l horizontale le tir parabolique avec Conditions initiales du problème L intégration de l accélération nous donne : Puis l intégration de la vitesse nous donne : On peut alors éliminer le paramètre dans les équations horaires : L équation de la trajectoire est donc : Portée On appelle portée l abscisse de chute du projectile notée. La portée est telle que Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 5

Flèche : On appelle flèche l altitude maximale atteinte par le projectile. L altitude maximale est atteinte pour au temps. est donc la durée pour atteindre l altitude maximale. On obtient : Les coordonnées du maximum sont donc : Au final il faudra bien poser les conditions initiales du problème pour pouvoir intégrer l accélération et déterminer les équations horaires du mouvement du projectile. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 6

2.3.4) Le tir parabolique cas général synthèse des résultats Accélération : Vitesse : Equations horaires : Equation de la trajectoire : Formules pour Portée : Pour Portée : Temps de chute : Temps de chute : Flèche : Angle : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 7

3) Chute verticale dans un fluide visqueux Lorsqu un corps chute dans un fluide visqueux, il n est plus possible de parler de chute libre. Quand le corps s enfonce dans le fluide, il subit des forces non négligeables devant son poids. 3.1) Etablissement de l équation du mouvement Système = solide assimilé à un point matériel Référentiel = référentiel terrestre supposé galiléen Un solide de masse m, de volume, de masse volumique est lâché sans vitesse initiale dans un fluide visqueux de masse volumique. On travaillera avec car dans le cas contraire le solide va flotter à la surface du fluide. Bilan des forces : Poids : Poussée d Archimède : Force de frottement fluide : On a : car l objet chute 2 nde loi de Newton (RFD) Le mouvement étant suivant l axe., on projette la RFD suivant cette direction. On a : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 8

3.2) Cas du frottement laminaire (faibles vitesses) L équation précédente devient : Rappel mathématique Une équation différentielle du type se résout par : Condition initiale On définit la vitesse limite telle que : On définit la constante de temps telle que : L expression de devient alors : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 9

Valeurs à connaître : On peut considérer que l on est en régime permanent à Soit le temps au bout duquel le solide a atteint la moitié de sa vitesse limite. On a : 3.3) Cas du frottement turbulent (vitesses élevées) On a : L équation différentielle devient : L équation n est pas linéaire est sa résolution est difficile et pas au programme du concours. On peut toutefois déterminer la valeur de la vitesse limite en régime permanent. En régime permanent ( ), les grandeurs physiques ne dépendent plus du temps. On a : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 10

D où l expression de la vitesse limite en régime turbulent : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 11