Tests d ajustement et intervalles de confiance proportion, moyenne, variance Exercice 1. Pour un certain type de graines, un semencier garantit une germination de 80%. Dans un sac de nn 300 graines, on note PP nn la proportion aléatoire de graines qui vont germer. 1. Quelle est la loi de PP nn? 2. Calculer la probabilité : P(75% PP nn 85%). 3. On suppose le taux germination d un sac acheté au semencier est de 75%. Au niveau 5%, peut-on confirmer les dires du semencier? Exercice 2. La fièvre catarrhale du mouton ou maladie de la langue bleue est une maladie virale non contagieuse qui touche les ovins et les bovins et qui se transmet par certains insectes piqueurs. Elle n est pas transmiible à l homme. En Corse en 2010, la maladie de la langue bleue a touché 19% des moutons. Des tests effectués en 2015 sur un échantillon de 253 ovins a révélé que 35 d entre eux sont malades. Au niveau de risque de 5%, peut-on affirmer que la proportion de moutons malades a diminué? Exercice 3. 1. On a dosé le taux de cholestérol en cccc/ll pour un groupe de 300 personnes bien portantes et on a obtenu la répartition suivante : Claes [80;120[ [120;160[ [160;200[ [200;240[ [240;280[ [280;320[ [320;360[ Total Effectifs 7 54 110 72 46 8 3 300 a. Calculer la moyenne et l écart type de l échantillon. b. Donner une estimation de la moyenne globale μμ de toute la population pour une confiance de 95%. 2. Un laboratoire a effectué des analyses du taux de cholestérol pour un groupe de 33 personnes de plus de 60 ans. La moyenne obtenue est de 217,5 cccc/ll et l écart type de 49,5 cccc/ll. Pour un risque d erreur de 5%, tester si la moyenne de cet échantillon est significativement supérieure à la valeur théorique μμ 0 200 cccc/ll. Exercice 4. Sur une parcelle de soja, on a mesuré la hauteur H en cm de 100 plantes à l âge de six semaines. Voici les résultats : H en cm ]31; 33] ]33; 35] ]35; 37] ]37; 39] ]39; 41] ]41; 43] Effectifs 6 11 26 32 14 11 1. Calculer la moyenne et l écart type de l échantillon. 2. Donner un intervalle de confiance de la hauteur moyenne µ d un plan de soja à six semaines pour une confiance de 90%. Exercice 5. On a observé la taille à 10 ans de 25 enfants nés très prématurément. On a obtenu une moyenne et un écart type : mm 131 cccc 7, 3 cccc. 1. Donner les intervalles de confiance à 95% de la taille moyenne et de l écart type des tailles à 10 ans des enfants né très prématurément (on admet la normalité des tailles). 2. La taille moyenne d un enfant de 10 ans est μμ 0 134 cccc. Au risque de 5%, peut-on affirmer qu un enfant né très prématurément a une taille à 10 ans qui est plus faible que cette moyenne?
Exercice 6. On a mesuré le rendement du vignoble de 150 parcelles prises au hasard sur la côte bourguignonne. Voici les résultats donnant le nombre de parcelle par clae de volume de vin (en hl/ha) : 1. Calculer la moyenne et l écart type de l échantillon. 2. Donner un intervalle de confiance du volume moyen μμ de vin à l hectare pour une confiance de 95%. 3. Donner un intervalle de confiance de l écart type σ du volume de vin à l hectare pour une confiance de 95%. Volume en hl/ha effectifs [25 ; 35[ 2 [35 ; 45[ 7 [45 ; 55[ 17 [55 ; 65[ 34 [65 ; 75[ 41 [75 ; 85[ 38 [95 ; 95] 11 Exercice 7. Voici les poids en mg de 20 cocons d une race de bombyx, choisis au hasard : 59 65 70 61 64 75 80 66 68 72 85 83 69 74 63 59 67 58 71 78 1. Calculer le poids moyen mm et l écart type de l échantillon. 2. On admet la normalité de la répartition des poids. On désigne par μμ et σσ la moyenne et l écart type théoriques de la population des cocons. a. Avec un risque d erreur de 5%, donner une estimation de μμ par intervalle de confiance. b. Avec un risque d erreur de 5%, donner une estimation de σσ par intervalle de confiance.
exercice 1 Taux de germination 1. Le taux de germination annoncé est pp 0 80%, la contenance d un sac est de n 300 graines. Comme nn 30, 0,1 pp 0 0,9, nnpp 0 240 > 5, nn(1 pp 0 ) 60 > 5 on a : PP nn NN (80%; 2, 3094%) et ZZ PP nn 80%. 2,3094% 2. P(75% PP nn 85%) P( 2,165 ZZ 2,165) 2 48, 48% 96, 96%. 3. On fait un test d ajustement d une proportion. HH 0 : «l affirmation du semencier est exacte» HH 1 : «le semencier surestime le taux de germination» (test unilatéral inférieur) On note pp le taux de germination théorique. Alors HH 0 : «pp pp 0 80%» et HH 1 : «pp < pp 0 80%» Étape 2. On note PP nn le taux de germination aléatoire sur les sacs de 300 graines. D après la question 1, sous HH 0 ZZ PP nn 80% 2,3094% Étape 3. La zone critique (ou de rejet de HH 0 ) de la variable ZZ est : KK αα (ZZ) {ZZ 1,645} ZZ obs 75% 80% 2,3094% 2,165 KK αα(zz) On accepte HH 1. Au niveau de risque de 5% et au vu du résultat expérimental, on peut affirmer que le semencier a tort : il surestime le taux de germination. exercice 2 Maladie de la langue bleue On fait un test d ajustement d une proportion. HH 0 : «la proportion de moutons malades n a pas diminué» HH 1 : «la proportion de moutons malades a diminué» (test unilatéral inférieur) On note pp 0 19% la proportion de moutons touchés par la maladie en 2010 et pp la proportion de moutons touchés par la maladie en 2015. On a : HH 0 : «pp pp 0 19%» et HH 1 : «pp < pp 0 19%» Étape 2. On note PP nn la proportion aléatoire de moutons touchés par la maladie sur les échantillons de nn 253 moutons en 2015. Sous HH 0, pp pp 0 19% et comme nn 30, 0,1 pp 0 0,9, nnpp 0 > 5, nn(1 pp 0 ) > 5 on a : ZZ PP nn 19% 2,466% Étape 3. La zone critique (ou de rejet de HH 0 ) de la variable ZZ est : KK αα (ZZ) {ZZ 1,645} 35 ZZ obs 253 0,19 0,02466 2,095 KK αα(zz) On accepte HH 1. Au niveau de risque de 5% et au vu du résultat expérimental, on peut affirmer que la proportion de moutons malades a diminué exercice 3 Taux de cholestérol 1. a. mm 197,6 46,18. b. On note MM nn et SS nn la moyenne et l écart type aléatoires des taux de cholestérol sur les échantillons de taille nn 300. Comme nn 300 > 30 on peut utiliser une loi normale : Pour 1 αα 95%, zz αα 1,96 et aa αα 1,96 nn 2. On fait un test d ajustement d une moyenne. II αα (μμ) [192,37 ; 202,83] donc on obtient l intervalle de confiance
HH 0 : «le taux de cholestérol moyen des personnes de plus de 60 ans est conforme à la moyenne théorique μμ 0 200» HH 1 : «le taux de cholestérol moyen des personnes de plus de 60 ans est supérieur à la moyenne théorique μμ 0 200» (test unilatéral supérieur) On note μμ le taux de cholestérol moyen des plus de 60 ans. HH 0 : «μμ μμ 0 200» et HH 1 : «μμ > μμ 0 200» Étape 2. On note MM nn et SS nn la moyenne et l écart type aléatoires sur les échantillons de nn 33 personnes de plus de 60 ans. Sous HH 0, μμ μμ 0 200 et 0 MM nn 200 SS nn / 32 SSSS(32) Étape 3. La zone critique (ou de rejet de HH 0 ) de la variable TT est : KK αα (TT) {TT 1,694}. (remarque : une loi normale centrée réduite donne un aez bonne approximation : nn 33 est supérieur à 30) TT obs 217,5 200 49,5/ 32 2,0 KK αα(tt) {TT 1,694} On accepte HH 1. Au niveau de risque de 5% et au vu des résultats expérimentaux, on peut affirmer que le taux de cholestérol moyen des personnes de plus de 60 ans est plus élevé que la moyenne. exercice 4 Hauteur du soja 1. mm 37, 2, 63. 2. On note MM nn et SS nn la moyenne et l écart type aléatoires des hauteurs de pieds de soja sur les échantillons de taille nn 100. Comme nn 100 > 30 on peut utiliser une loi normale : Intervalle de μμ aa αα 1, 645 1, 645 0, 2644 0, 43 donc : II αα (μμ) [36, 97; 37, 83]. 3. Intervalle de σσ yy 1 77, 05 yy 2 123, 23 donc : II αα (σσ) nn yy 2 ; nn yy 1 [2, 36; 2, 98]. exercice 5 Enfants prématurés 1. a. On note MM nn et SS nn la moyenne et l écart type aléatoires des tailles à 10 ans sur les échantillons nn 25 enfants nés très prématurément. On a un petit échantillon donc on utilise une loi de Student (on suppose que les tailles suivent une loi normale) : SStt nn 1 Intervalle de μμ aa αα tt αα 2, 0639 0, 149 3, 1 donc II αα (μμ) [127, 9; 134, 1]. b. Intervalle de σσ : yy 1 12,40 yy 2 39,36 donc II αα (σσ) 25 yy 2 ; 25 yy 1 [5,82 ; 10,36]. 2. On fait un test d ajustement d une moyenne. HH 0 «la taille moyenne à 10 ans des enfants nés très prématurément est semblable à la taille moyenne des autres enfants.» HH 1 «la taille moyenne à 10 ans des enfants nés très prématurément est inférieure à la taille moyenne des autres enfants.» On note μμ la taille moyenne à 10 ans des enfants nés très prématurément. On a : HH 0 «μμ μμ 0 134.» HH 1 «μμ < μμ 0 134.»
Étape 2. On note MM nn et SS nn la moyenne et l écart type aléatoires des tailles à 10 ans sur les échantillons de nn 25 enfants nés très prématurément (on suppose à nouveau que les tailles suivent une loi normale). Sous HH 0, μμ μμ 0 134 et 0 MM nn 134 SS nn / 24 SSSS(24) Étape 3. La zone critique (ou de rejet de HH 0 ) de la variable TT est : KK αα (TT) {TT 1, 7109} TT oooooo 134 131 7,3/ 24 2, 0133 KK αα(tt). On accepte HH 1. Au niveau de risque de 5% et au vu des résultats expérimentaux, on peut affirmer que la taille moyenne à 10 ans des enfants nés très prématurément est inférieure à la taille moyenne des autres enfants. exercice 6 Rendement du vignoble 1. mm 67,53 13,41. 2. On note MM nn et SS nn la moyenne et l écart type aléatoires rendements sur les échantillons de nn 150 parcelles. Comme nn 150 > 30 on peut utiliser une loi normale : Intervalle de μμ aa αα 1, 96 1, 96 1,10 2,15 donc II αα (μμ) [65,4 ; 69,7]. 3. Intervalle de σσ yy 1 117, 1 yy 2 184, 7 donc : II αα (σσ) [12,1; 15,2]. exercice 7 Cocons de bombyx. 1. mm 69,35 7,754 2. On note MM nn et SS nn la moyenne et l écart type aléatoires des poids sur les échantillons de nn 20 cocons. On a un petit échantillon donc on utilise une loi de Student (on suppose que les poids suivent une loi normale) : SStt nn 1 Intervalle de μμ tt αα 2,093, aa αα 2,093 2,093 1,789 3,74 donc II αα (μμ) [65,63; 73,07] 3. Intervalle de σσ yy 1 117, 1 yy 2 184, 7 donc : II αα (σσ) [1, 213; 1, 524].