Mesures : erreurs et incertitudes.

Mesures : erreurs et incertitudes. Extrait du programme Erreurs et incertitudes Notions et contenus Capacités exigibles Erreurs et notions associées Identifier les différentes sources d erreurs (de limites à la précision) lors d une mesure : variabilité du phénomène et de l acte de mesure (facteurs liés à l opérateur, aux instruments ). Incertitudes et notions associées Évaluer les incertitudes associées à chaque source d erreurs. Comparer le poids des différentes sources d erreurs Évaluer l incertitude de répétabilité à l aide d une formule d évaluation fournie. Évaluer l incertitude d une mesure unique obtenue à l aide d un instrument de mesure. Évaluer, à l aide d une formule fournie, l incertitude d une mesure obtenue lors de la réalisation d un protocole dans lequel interviennent plusieurs sources d erreurs. Expression et acceptabilité du résultat Maîtriser l usage des chiffres significatifs et l écriture scientifique. Associer l incertitude à cette écriture. Exprimer le résultat d une opération de mesure par une valeur issue éventuellement d une moyenne, et une incertitude de mesure associée à un niveau de confiance. Évaluer la précision relative. Déterminer les mesures à conserver en fonction d un critère donné. Commenter le résultat d une opération de mesure en le comparant à une valeur de référence. Faire des propositions pour améliorer la démarche. En physique faire une mesure (mesurage) consiste à chercher la valeur numérique d une grandeur ; mais il est impossible de connaître la valeur exacte (valeur vraie) de la grandeur à cause des erreurs de mesure. L erreur de mesure est donc la différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte : celle-ci étant inconnue, l erreur de mesure est également inconnue. Pour juger de la précision d une mesure, nous ne pouvons qu associer une incertitude de mesure à la valeur mesurée. Il faut déterminer tout d abord les différentes causes d erreurs, puis les différentes méthodes pour évaluer les incertitudes de mesure et enfin, la façon de présenter le résultat. 1. Erreur 1.1 Vraie grandeur 1.2 Le mesurage 1.3 Origines des erreurs 1.4 Vocabulaire de métrologie 2. Incertitudes 2.1 Incertitude absolue ou incertitude de mesure 2.2 Incertitude relative 3. Calculs d incertitude 3.1 Incertitude de type A (plusieurs mesures d une même grandeur) 3.2 Incertitude de type B (mesure unique) 3.2.1 Incertitude de l expérimentateur (imprécision sur la lecture de la grandeur) 3.2.2 Imprécision lié à l instrument de mesure utilisé. 4. Incertitudes dans les calculs 4.1 Cas d une somme ou d une différence 4.2 Cas d un produit et d une division 5. Écriture des résultats 5.1 Les chiffres significatifs 5.2 Présentation d un résultat 5.3 Comparaison à une valeur de référence 5.4 Amélioration d un résultat Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 1/ 14

1. Erreur 1.1 Vraie grandeur On considère une grandeur physique notée X. Sa valeur vraie est la valeur qu on trouverait si on procédait à une mesure idéale de cette grandeur. 1.2 Le mesurage Le mesurage est l ensemble des opérations qui ont pour but, la détermination de la valeur d une grandeur. Le mesurande est la grandeur physique dont on souhaite connaître la valeur. 1.3 Origines des erreurs Les erreurs systématiques : Ce sont les erreurs provenant de l'appareil de mesure, du processus de mesure ou de l'opérateur, qui sont répétitives et constantes. C est une erreur qui prend la même valeur (inconnue) lors de chaque mesure. Par exemple: - une erreur de conception ou de fabrication de l'appareil de mesure - défaut de calibrage, de zéro, d étalonnage de l'appareil de mesure - des conditions d'utilisation de l'appareil non conformes aux spécifications de l'appareil - erreur de parallaxe dans la lecture d une indication Les erreurs aléatoires liées aux conditions opératoires. C est une erreur qui prend une valeur différente lors de chaque mesure, valeur qu il faudra essayer d estimer Est-il possible de réduire les erreurs définies? Si oui comment? Il n est pas possible de compenser une erreur aléatoire, elle peut être réduite en augmentant le nombre de mesures. L erreur systématique est réduite par l application d une correction. 1.4 Vocabulaire de métrologie Justesse (Trueness) : Qualité d un appareillage de mesure dont les erreurs systématiques sont réduites. Capacité à donner des valeurs voisines de la valeur vraie. Fidélité ( Precision) : Qualité d un appareillage de mesure dont les erreurs aléatoires sont faibles. Résultats de mesurage groupés autour de leur valeur moyenne. Capacité à donner des valeurs très voisines lors de mesures répétées dans les mêmes conditions. Exactitude (Accuracy) : Qualité d un appareillage qui est à la fois juste et fidèle donc exact. Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 2/ 14

Légender l illustration suivante en précisant le type d erreurs et le caractère des mesures réalisées: a : mesures justes et précises (bon appareillage et bon opérateur) erreurs aléatoires et systématiques faibles b : mesures justes mais pas très fidèles (bon appareillage mais opérateur peu précis ou au contraire bon opérateur mais appareillage peu précis : erreur aléatoire majoritaires) c : Mesures fidèles (précises) mais fausses (erreurs systématiques majoritaires: bon opérateur mais appareillage ou protocole défectueux) d : Mesures fausses et pas très fidèles (erreurs systématique + aléatoire importantes) La présence d erreur systématique est-elle facile à repérer? En général, on ne connaît pas la cible, la dispersion nous renseigne sur les erreurs aléatoires, mais la présence d erreur systématique est souvent difficile à déceler. 2. Incertitudes 2.1 Incertitude absolue ou incertitude de mesure La valeur g d une grandeur physique G, doit toujours être accompagnée d une incertitude absolue g, cette incertitude de mesure est l estimation de l erreur de mesure. Le résultat s écrit : g = go ± g (go est la valeur mesurée ou calculée). Ce qui signifie que la vraie valeur de g a 95% (valeur prise par défaut) de chance d être comprise dans l intervalle : [go g ; go + g]. C est l intervalle de confiance. Exemple 1 : L = 8,2 ± 0,1 cm au niveau de confiance 95% La vraie valeur de L a 95% de chances de se trouver dans l intervalle [8,1 ;8,3] Exemple 2: L = 8,20 ± 0,01 cm L = 0,01 cm La vraie valeur de L a 95% de chances de se trouver dans l intervalle [8,19 ;8,21] 2.2 Incertitude relative Une incertitude absolue ne permet pas d'avoir une idée sur la qualité d'une mesure. C'est pour cette raison qu'il faut définir l'incertitude relative, elle permet d'estimer la précision sur le résultat obtenu. incertitude absolue Incertitude relative= valeur moyenne Ou encore : ǫ= g g moy L'incertitude relative n'a pas d'unité, elle s'exprime en général en %. Elle est parfois notée ε. NB : - Généralement elle est donnée avec un seul chiffre significatif. - Plus l incertitude relative est petite, plus la précision sur la mesure est grande. Exemple 1 : =, 0,012 soit 1,2%, Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 3/ 14

Exemple 2 : =, 0,0012 soit 0,12%, Exercice d application : Calculer l incertitude relative d une incertitude de 0,1 cm sur une mesure de 5,0 cm et d une incertitude de 0,1 cm sur une mesure de 50,0 cm. Correction : =, 0,02 soit 2%, =, 0,002 soit 0,2%, Faire une incertitude de 0,1 cm sur une longueur de 5,0 cm est beaucoup 5moins précis que d en avoir une de 0,1 cm sur une longueur de 50,0 cm. 3 Calculs d incertitude Il existe deux types d incertitudes. Les normes internationales classent les incertitudes en deux catégories nommées A et B Incertitude de types A : On a réalisé plusieurs mesures de la même grandeur qui permettent un traitement statistique (calcul de la moyenne et de l écart-type). Cette situation est rencontrée en TP où tous les groupes mettent leurs résultats en commun ou alors lorsqu une personne répète plusieurs fois la même mesure avec le même matériel. Incertitude de types B : On réalise une seule mesure et l on évalue l incertitude à partir des données du constructeur de l appareil de mesure et d hypothèse sur la qualité de la lecture réalisée sur l appareil. 3.1 Incertitude de type A (plusieurs mesures d une même grandeur) - On réalise un nombre limité n de mesures d une même grandeur X : x 1, x 2,.., x n. - La meilleur estimation de la valeur vraie est la moyenne de ces mesures notée, tel que : x = - l incertitude de mesure correspondant à des mesures répétées d une même grandeur est appelée incertitude de répétabilité. Elle est liée à l écart-type de la série de mesures. - L écart-type expérimental, noté σ n-1, sert à mesurer la dispersion d un ensemble de données. Plus il est faible, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne. Par exemple pour la répartition des notes d une classe, plus l écart-type est faible, plus la classe est homogène. À l inverse, s il est important, les notes sont moins resserrées. σ n-1 = ( ) Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 4/ 14

- L'incertitude absolue, X correspondra alors à : x=! σ n-1 avec k : facteur d élargissement qui dépend du niveau de confiance choisi n : nombre de mesures Remarques : -Le facteur d élargissement va augmenter l incertitude sur la mesure ce qui aura pour effet d augmenter la probabilité que la grandeur mesurée expérimentalement x corresponde à la valeur vraie X (les valeurs de k ci-après sont données pour un grand nombre de mesures) Pour avoir un niveau de confiance de 68%, on prendra k=1 Il y a 68% de chance que [ - % ; + % ] Pour avoir un niveau de confiance de 95%, on prendra k=2 Il y a 95% de chance que [ - % ; + % ] Pour avoir un niveau de confiance de 99%, on prendra k=3 Il y a 99% de chance que [ - &% ; + &% ] -Dans la formule de l incertitude absolue, on s aperçoit qu on divise le numérateur par n. Ce terme provient des mathématiques statistiques (loi normale ou de Gauss), il traduit l idée que plus on fait un grand nombre de mesures, plus la valeur moyenne calculée se rapproche de la valeur vraie et que l incertitude de la mesure diminue. -Le calcul de l écart-type sera réalisé soit avec la calculatrice (en mode statistique) soit avec un logiciel. Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 5/ 14

Exercice 1 d application La mesure d une même intensité I (ma) a été réalisée par 7 groupes de TP. Les résultats figurent dans le tableau suivant : Groupe 1 2 3 4 5 6 7 I (ma) 119,0 120,3 118,2 119,7 118,5 125,2 117,9 1) Rentrer les valeurs du tableau dans votre calculatrice en mode statistique 2) À l aide de votre calculatrice, calculer la valeur moyenne de l intensité : I =. 3) À l aide de votre calculatrice, calculer l écart-type : σ n-1 =.. 4) Calculer l incertitude absolue I, en utilisant la formule I=! σ n-1 avec un niveau de confiance de 95% 5) Écrire le résultat de cette mesure sous la forme : I = ) ± I avec un niveau de confiance de 95% 6) Écrire le résultat de la mesure sous la même forme que précédemment avec un niveau de confiance de 99% Remarque : Lors d une série de mesures expérimentale, il arrive que l on obtienne des mesures aberrantes (très éloignées de la valeur moyenne). Dans ce cas, il est judicieux d éliminer cette mesure du tableau de valeurs On peut considérer qu une mesure est aberrante si elle s écarte de plus de 2 σ n-1 de la valeur moyenne 7) En appliquant la règle du «rejet à plus de 2 σ n-1», quelle valeur du tableau peut-on rejeter? 8) En éliminant cette valeur, exprimer le nouveau résultat de la mesure sous la forme : I = ) ± I avec un niveau de confiance de 95%. 9) Calculer alors l incertitude relative sur la mesure de I avec un niveau de confiance de 95% Exercice 2 d application Une mesure de concentration a été effectuée par 10 binômes. Les valeurs obtenues sont indiquées dans le tableau suivant : Essai n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c( mmol.l -1 ) 10,53 10,49 11,00 10,04 10,14 10,29 10,70 10,87 10,44 10,68 1) Calculer la moyenne 2) Calculer l écart-type expérimental: 3) Calculer l incertitude absolue et exprimer le résultat avec un niveau de confiance 68 %: 4) Calculer l incertitude absolue et exprimer le résultat avec un niveau de confiance 95 %: Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 6/ 14

Correction de l exercice 1 d application La mesure d une même intensité I (ma) a été réalisée par 7 groupes de TP. Les résultats figurent dans le tableau suivant : Groupe 1 2 3 4 5 6 7 I (ma) 119,0 120,3 118,2 119,7 118,5 125,2 117,9 1) Rentrer les valeurs du tableau dans votre calculatrice en mode statistique Attention l écart type de la calculatrice n est pas l écart type expérimental, en effet : σ = ( ) σ n-1 = ( ) σ n-1 = %² 2) À l aide de votre calculatrice, calculer la valeur moyenne de l intensité : ) = 119,8 ma 3) À l aide de votre calculatrice, calculer l écart-type : σ = 2,3 ma donc σ n-1 =,&² +, 2,5mA 4) Calculer l incertitude absolue I, en utilisant la formule I=! confiance de 95% I= + 2,5 1,9 ma σ n-1 avec un niveau de 5) Écrire le résultat de cette mesure sous la forme : I = ) ± I avec un niveau de confiance de 95% I = 119,8 ± 1,9 ma 6) Écrire le résultat de la mesure sous la même forme que précédemment avec un niveau de confiance de 99% Avec un niveau de confiance de 99%, on a I= & 2,5 2,8 ma donc I = 119,8 ± 2,8 ma + Remarque : Lors d une série de mesures expérimentale, il arrive que l on obtienne des mesures aberrantes (très éloignées de la valeur moyenne). Dans ce cas, il est judicieux d éliminer cette mesure du tableau de valeurs On peut considérer qu une mesure est aberrante si elle s écarte de plus de 2 - n-1 de la valeur moyenne. 7) En appliquant la règle du «rejet à plus de 2 σ n-1», quelle valeur du tableau peut-on rejeter? 2 σ n-1 = 2 2,5 = 5mA alors ) 2 σ n-1 = 119,8 5 = 114,8mA ) + 2 σ n-1 = 119,8 + 5 = 124,8mA On rejette 125,2 > 124,8 ma Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 7/ 14

8) En éliminant cette valeur, exprimer le nouveau résultat de la mesure sous la forme : I = ) ± I avec un niveau de confiance de 95%. ) = (119,0+120,3+118,2+119,7+118,5+117,9)/6 ) = 118,9 ma On obtient : σ = 0,8 ma donc σ n-1 =,²,. I = 118,9 ± 0,7 ma 0,9mA et I=, 0,9 0,7 ma 9) Calculer alors l incertitude relative sur la mesure de I avec un niveau de confiance de 95% / / = 0,7/118,9 0,6% Correction de l exercice 1 d application 1) Calculer la moyenne c = (10,53 + +10,68)/10 c 10,52 mmol.l -1 2) Calculer l écart-type expérimental σ n-1 = (, 1,& 1,2 1,2 1,& 1,& 1, 1,&. 1, 1,, ) 3 σ n-1 =,2, 3 = 0,094 0,31mmol.L -1 3) Calculer l incertitude absolue et exprimer le résultat avec un niveau de confiance 68 %: c = σ n-1 c = 0,31 c 0,10 mmol.l -1 c = 10,52 ± 0,10 mmol.l -1 avec un niveau de confiance de 68% 4) Calculer l incertitude absolue et exprimer le résultat avec un niveau de confiance 95 % c = 0,31 c 0,20 mmol.l -1 c = 10,52 ± 0,20 mmol.l -1 avec un niveau de confiance de 95% Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 8/ 14

3.2 Incertitude de type B (mesure unique) - Lorsqu une mesure ne peut-être reproduite plusieurs fois, il est impossible de faire une incertitude de répétabilité. - Il faut estimer l incertitude en se fondant sur des lois de probabilité supposées à priori. - Il faut alors prendre en compte les différentes sources d incertitude : Incertitude de l expérimentateur (imprécision sur la lecture de la grandeur) Imprécision lié à l instrument de mesure utilisé. 3.2.1 Incertitude de l expérimentateur (imprécision sur la lecture de la grandeur) Lorsque la mesure est obtenue par lecture sur une échelle, pour un niveau de confiance de 95%, l incertitude de la mesure liée à la mesure est estimée à la moitié de la plus petite graduation : X lecture = 789:;9<=>? niveau de confiance 95% Exemple : Sur un thermomètre, la plus petite graduation est de 1 C, on a alors T lecture = = 0,28 C soit 0,3 C La valeur lue sur ce thermomètre s écrira : T = 11±0,3 C avec un niveau de confiance de 95% En terminale on arrondissait : T = 11±0,5 C Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 9/ 14

3.2.2 Imprécision lié à l instrument de mesure utilisé. Sur certains appareils de mesure le fabricant indique un écart, on prendra comme incertitude absolue : éa98< B9C8=A9?< X fabricant = niveau de confiance 95% & Exemple : Sur une balance de 1/100 g, on peut lire : 24,04 Indicateur constructeur : ±0,03g m =,& = 0,02 g & On écrira alors le résultat de la pesée : m = 24,04±0,02g avec un niveau confiance de 95% 4. Incertitudes dans les calculs Après avoir réalisé des mesures et évalué leur incertitude, on est amené à calculer une nouvelle grandeur. Par exemple, après avoir mesuré la masse m d un liquide qui occupe un volume V dans une fiole jaugée, on peut par le calcul déterminer la masse volumique du liquide par la formule : D= E. Comment déterminer F l incertitude sur la masse volumique? 4.1 Cas d une somme ou d une différence Si X = X 1 +X 2 alors X = G1 + G2 Si X = X 1 -X 2 alors X = G1 + G2 Exemple : on a mesuré avec une balance m 1 = 23,13±0,03g avec un niveau confiance de 95% et avec une autre balance m 2 = 132,5 ±0,1g. On aura alors m = m 1 + m 2 = 23,13 +132,5 = 155,63 = 155,6g (on ne garde que 1 CS après la virgule : règle pour l addition) K= K1 + K2 =L0,03 +0,1 = 0,104 0,1 g On écrira le résultat sous la forme : m = 155,6 ± 0,1g avec un niveau confiance de 95%. Exercice 1 d application On mesure les deux volumes suivant V 1 = 100,0 ± 0,25 ml et V 2 = 12,5 ± 0,1 ml Exprimer la somme de ces deux volumes sous la forme X = x ± G V = V 1 +V 2 ΔV = O1 + O2 V = L0,25 +0,1 = 0,27mL soit V = 0,3mL V = 100,0 + 12,5 V = 112,5 ± 0,3 ml 4.2 Cas d un produit et d une division Si X = X 1 X 2 alors Q Q =(( Q Q )²+( Q Q )²) Si X = Q Q alors Q Q =(( Q Q )²+( Q Q )²) Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 10/ 14

Exemple : on cherche à déterminer la masse volumique d un liquide. On mesure la masse m = 39,3 ±0,3g avec un niveau de confiance de 95% pour un volume V = 50,0 ±0,25 ml avec un niveau de confiance de 95%. On calculer D= E = &3,&7 = 0,786 g/ml F.,E R = R (( E E )²+( F )²) = ((,& F &3,& )²+(,. )²) = 0,0091 et D=0,0091 0,786 = 0,007 g/ml., On écrira alors le résultat :D = 0,786 ± 0,007 g/ml avec un niveau de confiance de 95% Il existe cependant d autres méthodes plus précises vues au niveau BTS Calcul d erreurs par la méthode des dérivées partielles : d D = :E F E :F F² On réalise une majoration de l erreur relative en passant aux valeurs absolues des dérivées, puis on remplace les éléments différentiels par les incertitudes absolues de chaque donnée de l énoncé. Δ D = E F + E F F² Δ D =,& &3,&,. + = 0,006 + 0,00393..² Δ D = 0,00993 Δ D 0,010 On écrira alors le résultat :D = 0,786 ± 0,010 g/ml avec un niveau de confiance de 95% Calcul d erreurs par les dérivées logarithmiques : On isole la variable dont on veut connaître l incertitude relative (puis absolue), puis on prend le logarithme népérien. On fait alors apparaître un maximum de somme et de différence de logarithme. ln D = ln m ln V On dérive ensuite chaque membre de l équation (le membre de gauche fait apparaître l erreur relative, le membre de droite est dérivée comme une fonction de plusieurs variables) puis on regroupe et ordonne les termes de même nature. :R R = :E E :F F On réalise une majoration de l erreur relative en passant aux valeurs absolues des dérivées, puis on remplace les éléments différentiels par les incertitudes absolues de chaque donnée de l énoncé. R R = E E + F F R =,& +,. = 0,0126 soit 1,26 % R &3,&. ρ = 0,786 1,26 /100 = 0,0099036 ρ 0,010g/mL On écrira alors le résultat :D = 0,786 ± 0,010 g/ml avec un niveau de confiance de 95% On retrouve le même résultat par les deux méthodes. Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 11/ 14

Exercice 2 d application Un élève effectue le titrage colorimétrique d un volume V A = (20,00±0,05)mL d une solution aqueuse d acide lactique de concentration molaire C A = (2,220±0,005).10-2 mol.l -1 par une solution aqueuse de soude étiquetée «concentration C B = (3,00±0,01). 10-2 mol.l -1». La valeur du volume à l équivalence relevée par un élève est V E = (10,1±0,3)mL. L estimation de l incertitude sur la mesure est liée au repérage de l équivalence et à la précision de la burette dans les conditions de l expérience. 1) La concentration molaire expérimentale C Aexp est obtenue par la relation : C Aexp = ST UV FW 2) L incertitude relative sur C Aexp s exprime : XWYZ[ XWYZ:[ =(( X\ )²+] F^ X\ F^_ +( FW )²) FW a) On estime qu une incertitude relative est négligeable devant une autre, si elle est environ dix fois plus petite. Montrer que les incertitudes relatives sur V A et C B sont négligeables devant celle sur V E. b) Dans cette hypothèse, calculer l incertitude relative sur la valeur de C Aexp : XWYZ[ XWYZ:[ c) Exprimer la valeur de la concentration molaire expérimentale sous la forme : X = x ± G d) Exprimer la valeur de la concentration molaire expérimentale sous la forme d un encadrement e) L encadrement de la concentration molaire obtenue expérimentalement est elle cohérent avec l encadrement de la concentration molaire attendue? Justifier. f) Quelle(s) raison(s) pourrai(en) expliquer un écart éventuel entre l encadrement attendu et l encadrement expérimental? Correction de l exercice 2 d application 1) La concentration molaire expérimentale C Aexp est obtenue par la relation : C Aexp = ST UV C Aexp = `, ab, b, = 1,52 10-2 mol.l -1 2) L incertitude relative sur C Aexp s exprime : XWYZ[ XWYZ:[ =(( X\ X\ )²+] F^ F^_ +( FW FW )²) a) On estime qu une incertitude relative est négligeable devant une autre, si elle est environ dix fois plus petite. Montrer que les incertitudes relatives sur V A et C B sont négligeables devant celle sur V E. FW cd cd =, `, = 0,3% ef ef =,`, = 3% eg eg =, b, = 0,3% Les incertitudes relatives sur V A et C B sont négligeables devant celle de V E. b) Dans cette hypothèse, calculer l incertitude relative sur la valeur de C Aexp : XWYZ[ cghij cghij ef ef =,`, = 3% XWYZ:[ c) Exprimer la valeur de la concentration molaire expérimentale sous la forme : X = x ± G C Aexp = 0,03 1,52 10-2 C Aexp 0,05 10-2 mol.l -1 C Aexp = (1,52 ± 0,05) 10-2 mol.l -1 Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 12/ 14

d) Exprimer la valeur de la concentration molaire expérimentale sous la forme d un encadrement 1,47 10-2 < C Aexp < 1,57 10-2 e) L encadrement de la concentration molaire obtenue expérimentalement est elle cohérent avec l encadrement de la concentration molaire attendue? Justifier. L encadrement de la concentration molaire obtenue expérimentalement n est pas cohérent avec l encadrement de la concentration molaire attendue, en effet : 2,215 10-2 < C A < 2,225 10-2 f) Quelle(s) raison(s) pourrai(en) expliquer un écart éventuel entre l encadrement attendu et l encadrement expérimental? Le volume à l équivalence a probablement était mal évalué par l expérimentateur. 5. Écriture des résultats 5.1 Les chiffres significatifs Les chiffres significatifs d une valeur numérique sont tous les chiffres autres que les «zéros» situés à gauche du nombre, sans tenir compte de la puissance de 10. Pour évaluer le nombre de chiffres dit significatifs d une mesure ou valeur, il faut toujours exprimer cette mesure à l aide de la notation scientifique. Cette notation consiste à écrire tout résultat sous la forme a.10 n : n : puissance de 10, entièrement relative (n Z) a : mantise : 1< a < 10 (encadrement strict) Les chiffres significatifs correspondent au nombre de chiffres nécessaires à l écriture de «a». Exemples : 0,0420 mm comporte 3 chiffres significatifs, les deux «zéros» placés à gauche ne sont pas significatifs. On peut aussi l écrire 4,20 10 2 mm. 346789 = 3,46789.10 5 0,000000456709 = 4,56709.10-7 Dans les deux exemples précédents, on a 6 chiffres significatifs sur 346789 et sur 0,00000456709 aussi!! Remarque : 0,00000346789 a autant de chiffres significatifs que 346789. Par contre le zéro là, lui il compte. Et ce n est pas le seul. De manière générale, tous les zéros écrits avant (c est à dire à gauche) du résultat sont inutiles. Par contre ceux qui sont dans ou après le résultat sont utiles!!! Mais à quoi ça sert? Pour un physicien 742 (Volt, Watt, radian ou Joule ou ) n est pas égal à 742,0 et encore moins à 742,000. Oui je sais cela contredit les mathématiques, ou du moins ce que vous en avez retenu en général. La différence repose bien sûr sur le nombre de chiffres significatifs utilisé dans les deux cas (3 pour le premier résultat et 6 pour la dernière mesure). Car pour mesurer 742 V ou 742,000 Volt on n utilise sans doute pas le même appareil ou du moins pas avec les mêmes calibres. La dernière mesure est beaucoup plus précise que la première!!! et c est bien cela que «mesure» le nombre de chiffre significatifs. Car tout résultat de mesure en physique donne de manière implicite sa précision ; en effet avec les règles d arrondis classiques, on a : dans le premier cas x = 742 alors, 741,5 < x < 742,4 tandis que dans le troisième cas (avec y = 742,000), 741,995 < y < 742,004 Les notices techniques des instruments de mesures (du voltmètre au tachymètre en passant par un télémètre sans oublier la verrerie jaugée) donnent les précisions attendues lors d une utilisation nominale. Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 13/ 14

L emploi de tel ou tel instrument n est donc pas forcément équivalent pour effectuer une mesure au centième par exemple ; de plus le prix des instruments grimpe (de manière non proportionnelle, loin de là) avec la précision. Autre exemple : Écrire π = 3,14 ou 3,14159 ou bien 3,141592654 avec des milliards de milliards de chiffres significatifs (il y a des matheux qui se «battent» pour établir des records du nombre de décimales de pi et d autres nombres dits transcendants...) ce n est pas du tout la même chose. En effet le nombre «pi» est utilisé dans des logiciels de cryptage, dans le premier cas votre cryptage sera cassé par le premier hackeur venu, par contre dans le second cas il risque (même avec des millions d ordinateurs en parallèle) d y passer quelques milliards d années ça décourage! 5.2 Présentation d un résultat Le résultat d une mesure devra être écrit sous la forme : X = x ± G avec si possible un niveau de confiance. L incertitude ne devra jamais comporter plus de 2 chiffres significatifs. Généralement on en garde qu un seul. Pour la valeur numérique du résultat le dernier chiffre à retenir est celui qui a même position que le deuxième chiffre significatif dans l expression de l incertitude. Exemple : Si la mesure d une résistance donne une valeur r = 100,251389 Ω avec une incertitude R = 0,812349Ω, on écrit alors le résultat sous la forme : R = 100,3 ± 0,8 Ω On ne garde qu un seul CS pour R. 5.3 Comparaison à une valeur de référence C'est le pourcentage de l'écart entre la mesure et la valeur théorique par rapport à la valeur théorique : k YZ[ <mé>8=n;y k <mé>8=n;y Application : Calcul sur la vitesse du son : On obtient après une série de mesures une vitesse de 347 m.s -1, la valeur de référence est de 340 m.s -1. ko YZ[ o <mé>8=n;y k 347 340 = =2.10 =2% o <mé>8=n;y 340 5.4 Amélioration d un résultat Un protocole est d autant meilleur que l incertitude de mesure est faible. Les moyens d améliorer un protocole sont nombreux, voici quelques pistes à suivre (liste non exhaustive) : Multiplier les mesures : une série de mesures a toujours une incertitude plus faible qu une mesure ponctuelle. Éliminer les valeurs aberrantes ; Exploiter les appareils de mesures dans la gamme de valeur où leur précision est la meilleure Modifier le protocole Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 14/ 14