Analye de texture Analye de texture en traitement d image Iabelle Claude
Analye de texture Sommaire Introduction 3 Définition de la texture 3 3 Le approche tructurelle (macrotexture) 7 4 Caractériation tatitique de microtexture 7 4. Matrice de cooccurrence 8 4. Matrice de longueur de plage 0 4.3 Méthode baée ur la ranformée de Fourier 4.4 Banc de filtre 4.4. Filtrage patial 4.4. Filtrage fréquentiel 3 4.5 Autre attribut de texture 3 4.5. Attribut fractal 3 4.5. Attribut géométrique 3 4.5.3 Moment 4 4.5.4 Attribut diver 4 5 Modéliation de texture 5 5. Modéliation par champ de Markov 5 5. Modéliation autorégreive 7 5.3 Modèle de Wold 8 6 Concluion 9 Iabelle Claude
GB06 Analye de texture en traitement d image Introduction Ce cour concernant directement l analye de texture, il emble intéreant de e pencher au préalable ur le problème de la définition d une texture. En effet, il n exite pa de définition précie de la texture, et, malgré on omnipréence dan le image (importante dan le image médicale, aérienne, de textile,... ou moindre dan le cène réelle), «Il n exite pa d approche formelle ni de définition précie de la texture» [HAR73]. Aprè avoir clarifié cette notion de texture (partie ), nou nou pencheron ur l exploitation de texture et, plu particulièrement, ur le différent traitement applicable à de image texturée : la partie 3 préente brièvement le approche tructurelle, yntaxique et enemblite, la partie 4, le approche tatitique pour la caractériation de microtexture, et la partie 5, une revue de technique de modéliation de texture. Une dernière partie rendra compte de quelque étude comparative concernant le attribut tatitique de texture. Définition de la texture Donner une définition précie et univerelle de la notion de texture et un problème ardu qui n a toujour pa été réolu (le beoin et pourtant réel, puiqu une meilleure compréhenion de la notion de texture permettrait d aborder on analye de façon plu méthodique et plu concentrée; elle réduirait, an doute, la profuion de approche trouvée actuellement dan la littérature). D une part, le terme texture admet de acception différente elon le domaine dan lequel il et utilié (géologie, pétrologie, textile, agro-alimentaire,...), et, d autre part, au ein d un même domaine, et, particulièrement en traitement d image, il n exite pa de véritable conenu en ce qui concerne la définition d une texture. Dire qu une texture et une région d une image préentant une organiation patiale homogène de niveaux de luminance et correct mai trè peu préci. Le manque crucial d une définition exploitable de la notion de texture et, en partie, dû à la difficulté de comprendre et modélier le ytème de perception viuelle humain; malgré le Iabelle Claude 3
Analye de texture progrè effectué en phyiologie du ytème nerveux et en cience cognitive, nou ne connaion toujour pa, exactement, la nature de l information que l être humain capte pour analyer et interpréter une image. Nou ne connaion donc pa l information qu il faudrait fournir à un ytème de viion artificielle pour qu il puie analyer et comprendre une image, comme nou le faion nou-même. C et pourquoi, et malgré la préence importante de texture dan le image, le effort de nombreux chercheur, depui pluieur décennie, ont conduit principalement à de olution «ad-hoc» adaptée à une application précie, ou, tout au moin, à une famille d image. En terme de définition de la notion de texture, on trouve d abord celle donnée par le dictionnaire, qui précie implement qu une texture et la reproduction patiale d un motif de bae dan pluieur direction. Pui, d autre plu précie, telle que : une texture et une tructure patiale contituée par l organiation de primitive (ou motif de bae) ayant chacune un apect aléatoire. Une texture et alor une tructure hiérarchique à niveaux (...). Ou bien encore, cette définition qui conidère une texture comme un phénomène à dimenion : la première concerne la decription d élément de bae ou primitive, à partir dequel et formée la texture la deuxième et relative à la decription de relation patiale entre ce primitive On ditingue en fait, elon l élément de bae et le règle de placement, type de texture : le macrotexture (ou texture tructurée) pour lequelle il et facile d extraire viuellement le motif de bae et le loi d aemblage de primitive entre elle. Ce texture peuvent même préenter une certaine périodicité ou cyclotationnarité (proceu aléatoire plaqué ur un proceu périodique). Certain exemple ont repréentatif de ce type de texture, comme la texture d un mur de brique, de certain tiu ou d un grillage. le microtexture (ou texture aléatoire) qui préentent un apect plu chaotique. et plu déorganié, mai dont l impreion viuelle rete globalement homogène. Le différente région d une image aérienne, le boi, le champ, etc., repréentent de texture microcopique. La figure donne quelque exemple de macro et microtexture. Mai, il et parfoi difficile de claer une texture dan l une ou l autre de catégorie (texture mixte) d autant que la réolution de l image poe un problème upplémentaire, comme en témoigne la figure où du able et photographié à réolution différente; la première image laie à pener que le able et une microtexture, la econde, qu il et plutôt une macrotexture. Ce qui paraît évident et qui et admi par tou, c et que la notion de texture et intimement liée à la perception viuelle, notamment de région et de urface de l image, et qu elle e manifete par une information viuelle fortement redondante. Ceci et traduit par la propriété eentielle de texture qui et leur invariance par tranlation. Leur obervation laie la même impreion viuelle quelle que oit la partie de la texture obervée. Cette idée a été formaliée par la définition ci-deou, que nou retiendron par la uite : Iabelle Claude 4
GB06 rotin carrelage peau de porc tree figure : Exemple de macro et microtexture figure : Exemple de able à réolution différente Iabelle Claude 5
Analye de texture uniformité denité finee régularité linéarité direction fréquence phae figure 3: Qualificatif d une texture Définition Une texture et une région de l image, pour laquelle on peut définir une fenêtre de dimenion minimale, telle qu une obervation au traver de celle-ci e traduit par une perception identique pour toute le tranlation poible de cette fenêtre à l intérieur de la région conidérée. Pour une texture, il exite toujour une telle fenêtre qui correpond à la réolution de la texture. A la foi tructurée et aléatoire, une texture peut être décrite patialement ou tatitiquement, et, d une manière générale, on qualifiera une texture de fine ou groière, plu ou moin homogène, rugueue, plu ou moin régulière, dene, linéaire, iotrope ou directionnelle, tachetée, marbrée, etc. La figure 3 illutre quelque un de ce qualificatif, dont le ignification peuvent d ailleur e recouper. Iabelle Claude 6
GB06 3 Le approche tructurelle (macrotexture) On conidère que le texture ont contituée de motif de bae e répétant dan de direction de l epace de façon quai-régulière. Dan le image étudiée, on conidère donc l exitence de primitive. Une decription tructurale d une texture implique la recherche de motif élémentaire, leur decription, pui, la détermination de règle conditionnant leur poition. Pluieur approche peuvent être regroupée en un enemble de méthode heuritique, dite méthode tructurelle claique, pour lequelle on cherche à détecter et caractérier de primitive, pui, à trouver de règle de placement, (méthode «bottomup») ou inverement (méthode «top-down»). Elle appuient principalement ur le traitement du ignal, la topologie et la géométrie. L avantage de méthode «bottom-up» et que l on peut utilier le technique claique de egmentation, comme la croiance de région, le euillage, la détection de contour, etc., pour ioler le primitive, conidérée comme de enemble de pixel ayant de propriété d homogénéité commune (en niveau de gri, par exemple) [XIE90]. Ce propriété (luminance, aire, taille, courbure, directionnalité, etc.) permettent la decription d un certain nombre de clae de primitive. Le règle de placement ont exprimée à l aide de «vecteur de régularité», de vecteur de denité de primitive ou à partir de centre de gravité de clae. D autre approche, dite approche yntaxique, font appel à la théorie de grammaire qui permet d engendrer de forme en appliquant un enemble de règle de placement donnée à un petit nombre de ymbole. Ce ymbole peuvent être conidéré comme de ou-primitive de bae et doivent pouvoir recontituer toute texture tructurale. Mai, le formalime de ce approche et ouvent complexe. De plu, une texture peut être générée ou analyée par pluieur grammaire. On limite donc leur utiliation à la génération de texture binaire ou à de application trè particulière. Enfin, il exite une autre catégorie de méthode tructurelle dite approche enemblite. Ce approche ont principalement decriptive. Elle appuient ur de opération de morphologie effectuée eentiellement ur de image binaire; il et donc néceaire d appliquer de prétraitement (euillage, détection de contour) ur le image originale. La decription de primitive era eentiellement géométrique avec de propriété comme la taille, la forme, etc. [XIE90]. Ce méthode tructurelle e ditinguent de méthode purement tatitique par le fait qu elle repoent ur une définition explicite de primitive et de leur règle de placement. De ce fait, leur application et limitée à de texture imple et régulière; une approche moin rigide d analye de texture tructurale et ouvent employée, appelée «tructuraletatitique». Elle conite à identifier le élément de texture (texton), à meurer leur propriété caractéritique, pui, à décrire, tatitiquement, leur ditribution patiale. 4 Caractériation tatitique de microtexture Iabelle Claude 7
Analye de texture De nombreue étude ont porté ur la perception viuelle de texture et ont montré que l oeil était enible à leur propriété tatitique. La viion humaine opère en temp : la viion préattentive qui, quai-intantanément, perçoit un large champ viuel pour localier groièrement le région de l image; et, la viion focale qui effectue de meure d organiation patiale par un lent déplacement de l ouverture focale et qui fait appel à l interprétation cognitive (mémoire, connaiance,...). Ceci explique l émergence et l importance de méthode tatitique qui e fondent ur l hypothèe qu une texture et une réaliation d un proceu tochatique bidimenionnel poédant le propriété de tationnarité et d ergodicité. L etimation de paramètre tatitique peut alor e faire ur une réaliation unique du proceu (l image de texture). Le attribut tatitique ont alor de etimation de moment tatitique ou de denité de probabilité. Julez, aprè avoir potulé que l on ne pouvait dicriminer texture dont le probabilité conjointe juqu à l ordre ont identique, a donné de contre-exemple à a propre conjecture, ou forme de texture ynthétiée dont le moment juqu à l ordre 3 ont identique et qui, pourtant, retent identifiable viuellement (figure 4). Cependant, on a pu montrer que cette conjecture était une bonne approximation de performance viuelle humaine pour la plupart de problème de dicrimination de texture naturelle. D autre étude ont confirmé que l oeil ne prend pa en compte le dépendance entre point éloigné. La caractériation e fait donc à un niveau trè local, d où l importance de la notion de voiinage dan l analye de texture. De manière générale, ce méthode tatitique appuient ur une decription de propriété locale de texture, ce qui ou-entend que le relation de placement au ein de microtexture e ituent à faible échelle. L importance de la notion de voiinage et, encore ici, mie en évidence dan la compréhenion du phénomène de texture. Nombreue ont le méthode qui, dan cette catégorie, utilient une approche reconnaiance de forme ur de vecteur d attribut (tatitique ou non) attaché à chaque pixel de l image; avec apprentiage ou an connaiance a priori de clae exitante, ce méthode donnent de réultat atifaiant, i ce n et qu elle perdent une part importante de l information texturale : a compoante patiale. En effet, une texture et à la foi patiale et tatitique puiqu elle met en place de relation de regroupement d élément de bae de la texture. Dan ce qui uit, nou préenton, de façon non exhautive, le méthode tatitique le plu utiliée. 4. Matrice de cooccurrence Cette méthode contitue la référence en analye de texture et ert ouvent de méthode comparative pour le nouvelle approche. Elle et, en effet, imple à mettre en oeuvre et offre de bonne performance. La méthode de matrice de cooccurrence conite à étudier le comportement conjoint de couple de pixel éparé patialement par une tranlation donnée. L amplitude de la tranlation n excède pa, en général, quelque pixel, afin de ne prendre en compte qu une information trè locale de voiinage. Iabelle Claude 8
GB06 figure 4 : exture différentiable viuellement dont le tatitique ont identique juqu à l ordre 3 Pratiquement, on calcule, pour une tranlation donnée, le hitogramme bivarié directionnel ou moyenne d epace du econd ordre aini défini. La matrice obtenue et aui ouvent appelée matrice de dépendance patiale de niveaux de gri (SGLDM pour Spatial Grey Level Dependence Matrix). Définition Soit une image Y de taille IxJ définie par G niveaux de gri et une relation patiale définie par une tranlation de vecteur Vr. On appelle M la matrice de M M ( p, q ), p... G, q G. Le terme M ( p, q ) repréente cooccurrence relative à, { }... la fréquence avec laquelle un pixel de niveau de gri q a uccédé à un pixel de niveau de gri p, dan la direction Vr ; d où : avec ( p, q ) δ ( g ( ), p ) δ( g ( + ), q () M ) N c c N le nombre de couple (,+) de Y, δ ( p, q ) le ymbole de Kronecker et g() le niveau de gri du pixel. Chaque terme M ( p, q ) etime donc la probabilité conjointe qu un pixel de niveau de gri p oit aocié, par Vr, à un pixel de niveau de gri q. Par a définition même, la méthode de matrice de cooccurrence e heurte au problème crucial du choix de la tranlation (que l on décompoe en une direction θ et un déplacement d) et, urtout, à la difficulté du traitement d une mae importante d information. Pratiquement, on choiit θ 0, 45, 90 et 35 et d, ; on calcule la matrice M aprè réduction du nombre de niveaux de gri à 6 ou 8. On utilie, dan un bon nombre d application, une eule matrice qui et la omme de matrice obtenue pour θ 0, 45, 90 et 35 ; cette matrice dépend, alor, plutôt du paramètre d. De plu, ouvent, pour une direction donnée, on ne e préoccupe pa du en de parcour, ce qui revient à rendre la matrice ymétrique. Iabelle Claude 9
Analye de texture De manière à exploiter plu aiément le information contenue dan ce matrice, on en extrait certain attribut. Ce attribut vient chacun à repréenter une caractéritique phyique de la texture et e veulent un enemble dicriminant pour chaque texture. Nou donnon, ci-deou, le principaux attribut : G G Second Moment Angulaire : ASM ( M p, q )) G Contrate : n p q ( () CON M ( p, q ) (3) n 0 p q n G G Entropie : EN M p, q ) ln ( M ( p, q )) p q ( (4) avec Corrélation : µ µ σ σ x y x y COR G p G q G p G G G p q ( p µ ) pqm ( q µ y ) q p q G q G p M M x ( p, q ) ( p, q ) G q G p M M ( p, q ) µ µ σ σ (5) ( p, q ) ( p, q ) x y x y (6) Le performance de cette méthode ont liée au choix de θ et d, qui dépendent ouvent de l application, et, au compromi entre réduction du nombre de niveaux de gri et pouvoir dicriminant de paramètre de cooccurrence. 4. Matrice de longueur de plage Le longueur de plage ont une manière de repréenter une texture par un enemble de egment de droite de même luminance et de taille maximale. Cette méthode etime la probabilité d oberver de plage à niveau de gri contant dan une certaine direction. Définition 3 A chaque direction θ, on peut aocier une matrice de longueur de plage P θ telle qu un élément P θ ( g, l) de la matrice oit égal au nombre de plage de niveau de gri g et de longueur l dan la direction θ. Sur cette matrice, on calcule également quelque attribut, comme : le nombre de longueur de plage : SLP Pθ ( g, l) (7) G L g 0 l la proportion de petite et grande plage : RF SLP G L g 0 l P ( g, l) θ (8) l G L RF l Pθ ( g, l) (9) SLP g 0 l Iabelle Claude 0
GB06 l hétérogénéité de niveaux de gri: qui meure la diperion de plage entre le niveaux de gri, l hétérogénéité de longueur de plage : qui meure la diperion de plage entre le longueur, G RF P ( g, l) SLP θ (0) 3 L g 0 l l G RF P ( g, l) SLP θ () 4 L g 0 et le pourcentage de plage: (avec K le nombre total de pixel de l image) RF SLP / K 5 () Cette méthode et également utiliée pour le codage d image et la réduction du nombre de niveaux de gri d une image. 4.3 Méthode baée ur la ranformée de Fourier La ranformée de Fourier permet, dan le domaine de l image, d obtenir une repréentation fréquentielle patiale de donnée. Définition 4 Pour une image y(i,j), avec 0 i I,0 j J, à upport borné, la ranformée de Fourier Dicrète (FD) et donnée par : FD I ( u, v ) IJ I J i 0 avec 0 I et 0 v J u. j 0 y ( i, j) exp ui vj j π + (3) I J Cette FD bidimenionnelle n et pa toujour facile à interpréter; on intéree principalement à on module, appelé pectre de Fourier. De façon trè générale, on peut dire que : i la texture et directionnelle, le pectre de puiance contient de pic ur une ligne perpendiculaire à la direction principale de la texture. i la texture et formée de grain circulaire, le pectre contient de pic ur un anneau circulaire centré ur l origine. i la texture et périodique, on retrouvera cette périodicité dan le pectre. i la texture et fine, le pectre era maximum dan le haute fréquence, et, inverement, i elle et plutôt groière, le maximum era proche de bae fréquence; en effet, le pectre de Fourier rend compte de la rugoité d une texture. On peut également calculer de attribut de texture ur le pectre de Fourier, comme l énergie et l étendue du pic principal, le énergie et entropie relative de différente région carrée centrée ur l origine du pectre, le moment d inertie de chaque quadrant, etc. L intérêt de ce méthode travaillant dan le domaine fréquentiel, et urtout lié à la repréentation quai-uniforme du bruit dan ce domaine, alor qu il peut altérer, de façon Iabelle Claude
Analye de texture dramatique, le variation locale d intenité dan la repréentation patiale. De même, le attribut tatitique patiaux ont plu enible au bruit que le attribut tiré du pectre de Fourier. Depui peu, l utiliation de repréentation temp-fréquence en analye d image et développée. Le problème crucial rete l interprétation de donnée obtenue; le 4 dimenion ne peuvent être viualiée, même i ce repréentation peuvent être vue comme une manière d aocier à chaque point de l image, un «pectre local». De manière à réduire la quantité de donnée, de attribut ou caractéritique ont calculé ur ce pectre locaux (compoante le plu énergétique, moment de pectre en coordonnée polaire, amplitude et orientation du pic principal, etc.). Ce méthode ont un champ d application aez retreint pour le moment (texture ynthétique directionnelle, image réelle directionnelle); cependant, leur invetigation et loin d être terminée et, de ce fait, le réultat ont prometteur. 4.4 Banc de filtre 4.4. Filtrage patial Le méthode de filtrage patial ont également trè répandue en analye de texture. L opération de filtrage conite en une convolution de l image originale par un maque de taille réduite (3x3 ou 5x5 pixel) qui contitue le filtre. De telle approche ont appelée également méthode d analye par tranformation linéaire locale. De façon plu formelle, dan le cadre de ce méthode, on conidère la texture x comme la S,..., et réaliation d un proceu tochatique X indexé par l enemble de ite { } S à valeur dan Ω Γ. L état x d un pixel et à valeur dan l enemble de niveaux de gri Γ {,..., G }. Le proceu X et uppoé homogène, iotrope et ergodique. On définit, en outre, un ytème de voiinage ϑ { ϑ,ϑ S, S }, où ϑ contitue l enemble de voiin du pixel, et, un vecteur d état local à n compoante, formé de état du pixel et de e X X X, r ϑ. On applique, alor, une tranformation linéaire au vecteur voiin, ( ( )) ' x :, r, y x (4) (i ) On tranforme, de ce fait, la texture x en t texture y, chacune d elle étant une convolution de x avec le filtre contitué par le ième vecteur ligne de la matrice. Lorque la matrice et réduite à un vecteur, on définit un imple filtre; dan le ca où elle poède t ligne, on définit un banc de filtre à t compoante. (i ) Sur chaque image filtrée y, on peut calculer un enemble d attribut (variance, entropie, moment patiaux, etc.) contituant l enemble dicriminant de la texture. Le filtrage et dit adapté il et extrait directement de la texture à analyer. Par exemple, le modèle autorégreif peut être vu comme un filtrage adapté, et, de façon différente, la tranformation de Karhunen-Loeve permet de définir un banc de filtre adapté. Ce dernier ca permet de définir un banc de filtre, réultant de l extraction de vecteur propre de la matrice de covariance C calculée ur un voiinage X X donné de l image. La tranformation de Karhunen-Loeve dicrète et alor définie comme la tranformation orthogonale Φ ( ϕ, ϕ,..., ϕ ) ', dont le vecteur ligne ont le vecteur propre ϕ t i de C ; X chaque vecteur propre ϕ et utilié comme un filtre dont la ortie et l image y ' ( x S ) i ( i ) ϕ i,. Le variance de chaque image filtrée contituent alor un vecteur N Iabelle Claude
GB06 caractéritique de meure d énergie pour chaque texture; ce point et à mettre en relation avec le meure d énergie calculée ur le image filtrée par le filtre de Law, qui contituent une référence dan ce domaine; ce filtre, expérimentaux, ne ont pa adapté, mai il permettent de capter de microtructure (détecteur de ligne horizontale et verticale, de point, d anneaux, de tranition, d ocillation, etc.) et ont permi d obtenir de taux de bonne claification de l ordre de 94%, ur une bae de texture naturelle. 4.4. Filtrage fréquentiel Dan le domaine fréquentiel, on utilie également de banc de filtre, chaque filtre correpondant à un canal décompoant l image dan certaine bande de fréquence et d orientation. On parle de filtrage multicanal. Le filtre pae-ba ont utilié en débruitage d image, le filtre pae-haut en détection de contour, et, actuellement, le filtre de Gabor connaient un certain uccè, dû à leur imilitude avec le fonctionnement de la perception viuelle humaine. En effet, il et maintenant admi que cellule adjacente du cortex viuel ont aez bien modéliée par une paire de filtre en quadrature. Un autre avantage de filtre de Gabor et qu il ont le eul à atteindre la limite dan le principe d incertitude d Heienberg; il permettent une bonne localiation, tant dan le domaine fréquentiel que patial. Le filtre de Gabor -D ont défini par une fonction inu complexe modulée par une enveloppe gauienne de dimenion. Le problème relatif au filtrage fréquentiel et le choix de canaux à conidérer. 4.5 Autre attribut de texture La multiplicité et la diverité de travaux ur la caractériation de texture rend difficile une catégoriation finie et exhautive de différente méthode; aui, la uite donnera-telle un aperçu de approche «divere» de la littérature. 4.5. Attribut fractal La théorie de fractal a été introduite par Mandelbrot pour décrire de objet réel poédant la propriété d auto-imilitude, c et-à-dire, la répétition de motif élémentaire à différente échelle, et, pour lequel, la géométrie euclidienne était inadaptée. L utiliation de la théorie de fractal et répandue en analye de texture (même i le texture ne ont pa néceairement de objet fractal). L avantage de cette approche réide dan le fait que la dimenion fractale et aez peu enible à la réolution de la texture et et fortement corrélée avec la perception humaine de la rugoité d une urface; elle permet de meurer la complexité géométrique d un enemble. Le attribut fractal conitent principalement en la dimenion fractale, le pectre multifractal, le dimenion fractale généraliée et la lacunarité, qui et faible (repectivement forte) pour une texture fine (repectivement groière). Mai, la dimenion fractale n et pa uffiante pour dicriminer de texture naturelle. Elle peut, cependant, être ajoutée à un groupe de caractéritique tatitique, pour rendre compte de la rugoité d une texture. 4.5. Attribut géométrique Le attribut géométrique claique e calculent ur de région R i homogène, au en d un certain critère, et connexe. Il agit, principalement, de l aire, du périmètre, du diamètre, de la compacité, de la direction principale d inertie, du nombre de connexité, etc., de chaque région R i. Iabelle Claude 3
Analye de texture En ce qui concerne leur utiliation en analye de texture, l approche la plu ouvent utiliée conite à binarier l image originale de texture, à l aide de euil différent et de calculer le attribut géométrique ur le région aini créée. 4.5.3 Moment Pour ce méthode, qui utilient de etimation de moment tatitique ur l image, on conidère que l enemble de moment de tou ordre ou l enemble de ditribution de probabilité ont de candidat poible à la dicrimination de texture microcopique. Dan le ca d un proceu homogène et ergodique, le moment et moyenne d epace d ordre k ont le meilleur etimateur non biaié au en de la norme quadratique de moment et ditribution de probabilité et de cooccurrence d ordre k. k µ k i x i (5) k On définit le moment d ordre k par : ( x ) Ε{ X } Ρ( X x ) i et le moment d epace d ordre k par : m k K x k (6) De expérience pychoviuelle ont montré que l enemble de attribut dicriminant d une texture homogène et upérieur à l enemble de moment de premier ordre et inférieur à l enemble de moyenne d epace du econd ordre (raemblée dan le matrice de cooccurrence). Plu récemment, de moment d ordre inférieur ou égal à ont été calculé localement ur le proceu bidimenionnel pour egmenter de texture. Ce moment ont défini par : W / W / p q m g ( i, j) x y (7) pq W / W / i j où g(i,j) et le niveau de gri du pixel (i,j), W et la taille de la fenêtre de calcul de moment, x et y i j ont le cordonnée normaliée du pixel (i,j). Calculé en chaque pixel, ce attribut forment un vecteur de 6 caractéritique. 4.5.4 Attribut diver «Spectre de texture» : c et une nouvelle meure tatitique caractéritique d une texture : l unité de texture et on pectre aocié. Le terme «pectre» n et pa utilié au en de Fourier, mai repréente la fréquence d occurrence de unité de texture. Cette méthode et à rapprocher de l idée de texton, auf que, dan le ca de unité de texture, le voiinage conidéré et de taille fixe (3x3). Pour chaque pixel de l image et on voiinage 3x3, on aocie, à chaque voiin t, une valeur E dan l enemble { 0,, }, fonction de la t différence entre on niveau de gri g ) et celui du pixel central g ), étant donné : E ( t g ( t ) < ( g ( 0 ) ) ( g ( 0 ) ) < g ( t ) < ( g ( 0 ) + ) g ( ) > ( g ( ) + ) 0 i t i pour t,...,8. (8) i t 0 La combinaion de 8 valeur de voiin ( N U 8 t E t 3 t ( 0 ) produit un numéro d unité de texture parmi 3 8 poibilité. En calculant la fréquence d apparition de chaque unité de texture ur une image (hitogramme), on contruit le pectre de texture, caractéritique de l image originale. Une propriété intéreante de cette méthode et l invariance par tranlation, fondamentale dan la définition d une texture. Le fait que cette méthode oit Iabelle Claude 4
GB06 indépendante de changement de luminoité (tranlation en niveaux de gri) et, également, un avantage certain. Meure directionnelle : Ce meure directionnelle correpondent à une analye de différence de niveaux de gri dan de direction prédéfinie et déterminée par la taille de fenêtre de travail. Il exite aui de meure d orientation de texture : partant de l image de contour de la texture, on calcule la contribution de chaque pixel dan de direction prédéfinie et on trace de «hitogramme d angle», caractéritique de l orientation de texture. Autre meure : l utiliation d un coefficient de corrélation multiple, calculé entre bloc de pixel voiin, permet de caractérier une texture. 5 Modéliation de texture La modéliation de texture et d une grande importance. En effet, d un point de vue méthodologique, cette approche met à dipoition un modèle réverible, utiliable tant en ynthèe qu en analye de texture. La decription de propriété de texture e ramène alor à l identification ou l etimation de paramètre du modèle. L adéquation de ce modèle peut être vérifiée par la génération de texture ynthétique. Un bon nombre de modèle ont iu de la théorie de proceu tochatique. Une texture et, dan ce ca, la réaliation d un proceu aléatoire tationnaire et ergodique. On peut citer : le modèle markovien, le modèle utiliant un filtre linéaire excité par un bruit blanc, avec, comme ca particulier, le modèle autorégreif (AR ou ARMA), dit «paramétrique», d autre modèle, comme le modèle de urface, le modèle de Wold et le modèle fractal. 5. Modéliation par champ de Markov Utilié depui de nombreue année en mécanique tatitique pour modélier, par exemple, de phénomène ferromagnétique, le champ aléatoire de Markov ont appliqué au traitement d image. L idée de bae de cette modéliation et que la connaiance du voiinage d un pixel et uffiante pour calculer a loi conditionnelle. Leur utiliation, en analye d image, repoe, eentiellement, ur le théorème d Hammerley-Clifford qui donne une équivalence entre champ de Markov et ditribution de Gibb. En reprenant le notation du paragraphe 3.4., nou allon rappeler le principale définition relative aux champ de Markov et qui aboutient à l énoncé de ce théorème. Définition 5 Un ytème de voiinage ur S et une famille { ϑ,ϑ S, S } ϑ de ouenemble de S qui vérifie : ϑ, - Le élément de - pour et r appartenant à S, ϑ r ϑ. r ϑ ont le voiin du point. Iabelle Claude 5
Analye de texture Définition 6 Un ou-enemble C de S et une clique relativement à ϑ i : - ou bien C et réduit à un point - ou bien C contient au moin élément et tout couple (r,) d élément ditinct de C et formé de point voiin au en de ϑ Définition 7 Soit X { X S } coordonnée ont indexée par S, et oit un ytème de voiinage ϑ { ϑ,ϑ S, S } ;, la variable aléatoire à valeur dan Ω dont le un champ aléatoire de Markov relativement à ϑ i : - Ρ( X x ) > 0 pour tout x de Ω, - Ρ X x / X x, r ) Ρ( X x / X x, r ϑ ) pour tout x Ω et tout S. ( r r r r ; X et Définition 8 Etant donnée une fonction U définie ur Ω et à valeur dan R, la meure de Gibb de fonction d énergie U et la probabilité Π ur Ω définie par : ( U ( ) ) ( x ) exp x Z Π (9) où Z et la contante de normaliation, appelée fonction de partition de la meure de Gibb. Définition 9 La meure de Gibb d énergie U et dite aociée au ytème de voiinage ϑ i on énergie écrit : ( x ) V c ( x (0) U ) c C où C et l enemble de clique relativement à ϑ. héorème d Hammerley-Clifford : Un champ aléatoire X et un champ de Markov ϑ ϑ,ϑ S, S i a ditribution de probabilité P(Xx) aocié au ytème de voiinage { } et une meure de Gibb aociée à ϑ. Le choix de la forme de U détermine le modèle paramétrique; on peut citer : le modèle d Iing, un de plu imple qui et utilié pour de image binaire, le modèle de Graffigne, dont le potentiel ont de la forme : V c ( x ) + ( x x ) 8 θ c t () le modèle de filtre propre, le modèle gauien pour lequel la denité de probabilité conditionnelle et gauienne. Un de problème et lié à la imulation de champ de Markov. On utilie de algorithme tochatique permettant de viiter le ite une infinité de foi et de converger ver la probabilité Π (x ) choiie; le plu courant ont l algorithme de Métropoli et l échantillonneur de Gibb; le recuit-imulé (Simulated Annealing) étant plu préciément un algorithme de retauration. Quelque algorithme déterminite, comme l algorithme ICM (iterated Conditional Mode), ont, de plu en plu utilié, en optimiation, de manière à pallier l inconvénient majeur de l utiliation de champ markovien : le coût prohibitif de calcul. A noter, qu en egmentation, une modéliation doublement tochatique et utiliée : un proceu markovien et attaché à l obervation et un econd proceu markovien et lié au champ de étiquette de région. L énergie de Gibb contient alor de terme d interaction entre le proceu dont le poid relatif peut varier au cour de itération. Iabelle Claude 6
GB06 Le problème délicat de la complexité calculatoire de cette méthode de modéliation et important; comme nou venon de le voir, l utiliation d algorithme déterminite et leur coopération avec de méthode tatitique dan le cadre de modéliation tochatique permettent de pallier, partiellement, cet inconvénient. 5. Modéliation autorégreive La modéliation autorégreive joue un grand rôle en traitement du ignal. Du fait de leur bon compromi complexité-adéquation, le méthode d identification et d optimiation de ce modèle ont été particulièrement développée et tetée. A noter que cette identification et limitée au econd ordre. Conidérer une image de texture comme la réaliation d un modèle autorégreif revient à conidérer la variable aléatoire attachée à un ite de l image comme linéairement dépendante de variable aléatoire attachée aux ite voiin. Soit Y une image et S l'enemble de ite de Y : S { i, j); i I, j J } Y et la réaliation d'un modèle AR D i : avec y y ( () ( i, j) a ( m, n, i, j) y ( i m, j n ) + b e ( i, j ) (3) ( m, n ) D e : variable aléatoire qui définit le type du modèle; i e et un bruit blanc, le modèle et un modèle AR (Autoregreive) et i e et un bruit corrélé, le modèle et un modèle ARMA (Autoregreive Moving Average) b : écart-type de e D : enemble de prédiction du modèle dont la forme dépend du type de caualité choiie a : paramètre du modèle; i a(m,n,i,j) a(m,n), le modèle et tationnaire Un de point cruciaux pour l utiliation de ce modèle et, ici, mi en évidence : le choix du voiinage et, par conéquent, le type de caualité du modèle. Exemple de upport : 0,0 paé futur Le nombre de voiin, donc l'étendue patiale du voiinage, détermine le nombre de coefficient du modèle. Ceux-ci doivent être etimé ur la texture et la méthode d'etimation choiie joue un rôle dan la qualité de repréentativité du modèle AR. La méthode du maximum de vraiemblance (MLE) donne généralement de bon réultat, mai et trè coûteue en temp de calcul et néceite certaine hypothèe de travail. Dan le ca d un ignal D, l hypothèe gauienne uffit pour obtenir une équivalence entre etimation par moindre carré (LSE) et par MLE. Pour de ignaux D, il faut, en outre, Iabelle Claude 7
Analye de texture que le ignal oit caual. Dan la pratique, l etimation par LSE et aez largement préférée pour on bon compromi complexité/performance. De manière plu précie, on peut rappeler que la réolution de équation normale bidimenionnelle (c et à dire l algorithme de moindre carré) a été le premier algorithme d etimation de paramètre d un modèle AR D; il et, encore, trè utilié car il rete l algorithme le plu facile à implémenter et donnant de bon réultat. 5.3 Modèle de Wold Un nouveau modèle générique de texture a été propoé, qui appuie ur une décompoition de Wold bidimenionnelle et permet de prendre en compte 3 caractéritique eentielle d une texture : la périodicité, la directionnalité et l apect aléatoire. Une texture et alor conidérée comme la réaliation d un champ aléatoire bidimenionnel homogène, décompoé en la omme de 3 compoante orthogonale (l orthogonalité étant définie ici comme l epérance du produit de compoante égale à 0) : le première ont regroupée ou l appellation «champ déterminite» (ce ont bien de champ aléatoire mai il ont dit déterminite au en de moindre carré, c et à dire que l epérance de la différence au carré entre la valeur du champ en un point et a valeur etimée et égale à 0) et repréentent la compoante tructurale globale; elle comporte une compoante harmonique et une compoante dite «évanecente généraliée». Cette dernière et une combinaion linéaire de champ évanecent mutuellement orthogonaux. la econde et purement tochatique et peut être repréentée par un modèle MA (Moving Average) ou, dan certain ca, par un modèle AR bidimenionnel à upport demi-plan non ymétrique (NSHP). La figure 5 illutre cette décompoition de Wold. La modéliation unifie le différente approche tructurelle et probabilite et apparente à une méthode traitant de texture «mixte» : on y ditingue de primitive (dont la forme et l apect peuvent varier, dan une certaine meure) et dont l arrangement patial n et ni totalement périodique, ni totalement aléatoire. En choiiant le paramètre de 3 compoante, on peut couvrir la modéliation d un grand nombre de texture, allant de macrotexture périodique à de microtexture aléatoire. La compoante harmonique rend compte de attribut périodique du champ de texture, tandi que la compoante évanecente (contituée d un ignal monodimenionnel tochatique modulant un ytème de «vague») repréente le attribut directionnaux globaux de la texture. Mai, le problème de l etimation d un tel modèle (omme de ditribution pectrale) n et pa complètement réolu. La ynthèe de texture et obtenue en générant une réaliation du modèle AR etimé, à l aide d un bruit blanc gauien, et, en y ajoutant le compoante déterminite. Le réultat en ynthèe de texture naturelle ont trè prometteur. champ patial homogène champ purement tochatique Iabelle Claude 8 champ évanecent généralié champ déterminite champ harmonique
GB06 figure 5 : Modéliation de Wold 6 Concluion Ce cour traitant de l analye de texture fait état d un grand nombre d approche et de méthode exitante dan la littérature. Il et témoin d un beoin croiant de connaiance plu approfondie ur la notion même de texture et ur le mécanime humain de perception de texture. Au vu de cette ynthèe, il apparaît que la profuion de approche et de méthode traitant de l analye de texture rend difficile le choix d une méthode particulière pour une application donnée et, plu généralement, le beoin d une hiérarchiation, au en de réultat obtenu, e fait entir. En ce qui concerne le application aux image médicale, la méthode de matrice de cooccurrence et, là aui, la méthode de référence. Mai, d autre approche, comme le banc de filtre linéaire, donnent de bon réultat ur de image échocardiaque, par exemple. De plu, le technique claique de traitement d image en niveaux de gri avèrent inuffiante pour certaine application comme le image échographique ou radiologique, dan la meure où celle-ci préentent de zone texturée. La prie en compte de approche préentée dan ce cour devient donc indipenable pour le traitement de telle image. Pour de plu ample information ur ce application médicale, nou renvoyon le lecteur aux tranparent du cour. Iabelle Claude 9
Analye de texture BM06 ranparent du cour : Analye de texture en traitement d image Iabelle Claude 0