I. Loi normale centrée réduite 1 Activité d introduction : approximation de la loi binomiale 2 Théorème de Moivre-Laplace Soit X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p) : X n compte les succès lors de n répétitions, effectuées de façon indépendante, d une épreuve de Bernoulli de paramètre p. On a alors l?espérance E(X), la variance V (X) et l écart-type σ(x) sont donnés par les formules : E(X n ) = np V (X) = np(1 p) σ(x) = (np(1 p) On a vu que lorsqu une variable aléatoire X a pour espérance µ et pour écart-type (non nul ) σ, la variable aléatoire Z = X µ a pour espérance 0 et pour écart-type 1. σ Z n = X n E(X n ) = X n np σ(x n ) (np(1 p) Z n est la variable aléatoire centrée réduite associée à X n. Z n a pour espérance 0 et écart type 1. Théorème 1 (Moivre-Laplace). Pour tout réels a et b tels que a < b on a : b lim P(a Z 1 n b) = e x2 2 dx n + a 2π 3 La loi normale centrée réduire N (0, 1) a. Définition Définition 1. La loi normale centrée réduite, notée N (0, 1), est la loi continue dont la densité de probabilité est la fonction f définie sur R par f(x) = 1 2π e x2 2. Soit Z une variable aléatoire suivant la loi N (0, 1). Pour tous réels a et b tels que a < b : P(a Z b) = b a 1 2π e x2 2 dx P(a Z b) f(x) = 1 e x2 2 2π a b Page 1
s La courbe de la fonction f est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche Le théorème de Moivre-Laplace se reformule avec les notations précédemment utilisées : Pour tout réels a et b tels que a < b on a : lim P(a Z n b) = P(a Z b) n + Le théorème signifie que pour n assez grand on peut approximer une loi binomiale par une loi normale. b. Usage de la calculatrice CASIO TI Touches OPTN, F5, F3,F1 puis : F2 pour Ncd F3 pour InvN 2NDE, VAR puis : 2 pour NormalFRép 3 pour FracNormale P(a < X < b) NormCD(a, b) NormalFRép(a, b) k réel tel que P(X < k) = c InvNormCD(c) FracNormale(c) Les calculatrices ne savent calculer que P(a X b) a et b étant des nombres réels. Pour calculer par exemple P(X 1, 2) on pourra prendre a = 1, 2 et b = 10 99, la valeur de b très grande remplace b = +. Pour déterminer le réel k il faudra se ramener à la forme P(X < k). Exercice 1 Soit Z une variable aléatoire qui suit N (0, 1). Vérifier, à l aide de la calculatrice que P( 1 Z 2) 0, 819 à 0,001, P(Z 1) 0, 159, et déterminer le réel u tel que P(Z u) = 0, 6. c. Propriétés Proposition 1. L espérance mathématique d une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite est égale à 0 et son écart-type est égal à 1. Proposition 2. Soit Z qui suit N (0, 1), de densité f 1. L aire sous la courbe de f est égale à 1. 2. P(Z 0) = P(Z 0) = 0, 5 3. Pour tout réel u positifs on a : P( u Z u) = 1 2P(Z u) = 2P(Z u) 1 Démonstration Le premier point est admis, il correspond au fait que P(Z ], + [) = 1, ], + [ représente l ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable Z. Pour le second point, cela provient de la parité de f qui implique la symétrie de la courbe par rapport à l axe des ordonnées. Page 2
P(Z 0) = 0, 5 P(Z 0) = 0, 5 Pour le troisième cela provient encore de la symétrie de la courbe de f (figure ci-dessous) : P(Z u) P(Z u) u u.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Exercice 2 Déterminer u tel que P( u Z u) = 0, 97 à 0,01 près. d. Probabilité d intervalle centré en 0 Théorème 2. Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α de ]0, 1[, il existe un unique réel u α strictement positif tel que : P( u α X u α ) = 1 α Démonstration A traiter sur feuille annexe et à connaître P(X u α ) = α 2 P(X u α ) = α 2 u α u α P( u α X u α ) = 1 α En pratique la valeur de α est petite. Voyons deux valeurs importantes à connaître dans la proposition suivante. Page 3
Proposition 3. Une valeur approchée de u 0,05 est 1,96. Une valeur approchée de u 0,01 est 2,58. Ceci signifie que si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite alors : P( 1, 96 X 1, 96) 0, 95 et P( 2, 58 X 2, 58) 0, 99 Ce qui peut se reformuler ainsi : X fluctue à 95% dans l intervalle [ 1, 96; 1, 96] et à 99% dans [ 2, 58; 2, 58]. Exercice 3 Démontrer que u 0,05 1, 96 et que u 0,01 2, 58 II. Les lois normales N (µ, σ 2 ) 1 Définition et propriétés Définition 2. Soit µ un nombre réel et σ un nombre réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ 2 ) si la variable aléatoire Y = X µ suit la loi normale centrée réduite. σ Proposition 4. Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), alors X a pour espérance µ, pour variance σ 2 et pour écart type σ. La courbe de la fonction densité associée à la loi normale N (µ, σ 2 ) est une courbe en cloche, symétrique par rapport à la droite d équation x = µ. L écart-type σ agit sur l aplatissement de la courbe c est à dire que plus σ est petit, plus la courbe est resserrée autour de l axe de symétrie. Ci-dessous on a représenté les fonctions de densité associé aux lois normales N (3, 1 2 ) et N (3; 0, 3 2 ). σ = 0, 3 σ = 1 x = 3 Page 4
Exercice 4 D après Pondichéry Avril 2013 Dans une entreprise, on s intéresse à la probabilité qu un salarié soit absent durant une période d épidémie de grippe. Cette entreprise emploie 220 salariés. On admet que la probabilité pour qu un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d épidémie est égale à p = 0, 05. On suppose que l état de santé d un salarié ne dépend pas de l état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l espérance mathématique µ et l écart type σ de la variable aléatoire X. 2. On admet que l on peut approcher la loi de la variable aléatoire X µ par la loi normale centrée réduite σ c est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l évènement Z < x pour quelques valeurs du nombre réel x. x 1, 55 1, 24 0, 93 0, 62 0, 31 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 P(Z < x) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939 3. Calculer, au moyen de l approximation proposée en question b., une valeur approchée à 10 2 près de la probabilité de l évènement : «le nombre de salariés absents dans l entreprise au cours d une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15». Exercice 5 D après Liban Mai 2013 L entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination «compote allégée». La législation impose alors que la teneur en sucre, c est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L entreprise possède deux chaînes de fabrication F 1 et F 2. 1. On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F 1, associe sa teneur en sucre. On suppose que X suit la loi normale d espérance m 1 = 0, 17 et d écart-type σ 1 = 0, 006. Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous. α β P(α X β) 0,13 0,15 0,000 4 0,14 0,16 0,047 8 0,15 0,17 0,499 6 0,16 0,18 0,904 4 0,17 0,19 0,499 6 0,18 0,20 0,047 8 0,19 0,21 0,000 4 Donner une valeur approchée à 10 4 près de la probabilité qu un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F 1 soit conforme. 2. On note Y la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F 2, associe sa teneur en sucre. On suppose que Y suit la loi normale d espérance m 2 = 0, 17 et d écart-type σ 2. On suppose de plus que la probabilité qu un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F 2 soit conforme est égale à 0, 99. Soit Z la variable aléatoire définie par Z = Y m 2 σ 2. Page 5
(a) Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle? (b) Déterminer, en fonction de σ 2 l intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient à l intervalle [0,16 ; 0,18]. (c) En déduire une valeur approchée à 10 3 près de σ 2. On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire Z suit la loi normale d espérance 0 et d écart-type 1. 2 Usage de la calculatrice β P( β Z β) 2,432 4 0,985 2,457 3 0,986 2,483 8 0,987 2,512 1 0,988 2,542 7 0,989 2,575 8 0,990 2,612 1 0,991 2,652 1 0,992 2,696 8 0,993 On procède de la même manière que pour la loi normale centrée réduite. On identifie d abordµ et σ puis : CASIO TI Touches OPTN, F5, F3,F1 puis : F2 pour Ncd F3 pour InvN 2NDE, VAR puis : 2 pour NormalFRép 3 pour FracNormale P(a < X < b) NormCD(a, b, µ, σ) NormalFRép(a, b, µ, σ) k réel tel que P(X < k) = c InvNormCD(c, µ, σ) FracNormale(c, µ, σ) Exercice 6 1. Une variable aléatoire X suit la loi normale N (120, 7 2 ). Calculer en arrondissant à 10 2 : P(110 X 160), P(X 130) et P(X 125). 2. Une variable aléatoire X suit la loi normale N (10, 4). Calculer en arrondissant à 10 2 : P(9 X 11) Exercice 7 Les températures de l eau du mois de juillet, autour du lac Léman, suivent la loi normale d espérance 18, 2 C et d écart-type 3, 6 C. Une personne part camper en juillet sur le pourtour du lac Léman. On note T température de l eau. Que peut-on lui indiquer comme probabilité de température de l eau des plages dans les cas suivants : a) températures inférieures à 16 C. b) températures comprises entre 20 C et 24, 5 C. c) températures supérieures à 21 C. 3 Les intervalles «un, deux ou trois σ» Proposition 5. Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), alors : 1. P(µ σ X µ + σ) 0, 683 2. P(µ 2σ X µ + 2σ) 0, 954 3. P(µ 3σ X µ + 3σ) 0, 997 Page 6
III. Exercice 8 Soit une variable aléatoire X suit la loi normale N (2; 0, 6 2 ). Déterminer les intervalles «un, deux ou trois σ». Exercice 9 La taille moyenne de 500 élèves d un collège est de 151 cm, et l écart-type 15 cm. On suppose que la taille est distribuée suivant une loi normale. 1. Quel pourcentage d élèves a une taille comprise entre 120 cm et 155 cm? 2. Combien d élèves mesurent plus de 185 cm? 3. Combien d élèves mesurent moins de 128 cm? Exercice 10 Une machine remplit des bouteilles d huile avec un volume moyen de 265 ml et un écart-type de 10 ml. 1. Quelle proportion des bouteilles contient entre 245 et 285 ml? 2. Un ingénieur dit qu en modifiant légèrement la machine, il peut réduire l écart-type. Quel devrait être cet écart-type pour que 95% des bouteilles aient un volume compris entre 250 ml et 280 ml? Travail en autonomie savoir-faire 10 et 11 page 333 ; ex 96 et 99 page 341 Echantillonnage et estimation 1 Intervalle de fluctuation et prise de décision a. Définition de l intervalle de fluctuation asymptotique Problématique : Dans une certaine population, la proportion d individus présentant le caractère de C est p. Que peut-on dire de la fréquence f du caractère C sur un échantillon aléatoire de taille n? La variable aléatoire X n qui à un échantillon de taille n associe le nombre d individus présentant le caractère C suit la loi binomiale de paramètres n et p. En effet le choix au hasard d un échantillon est assimilé à un tirage avec remise. De plus en posant F n = X n, on définit la variable aléatoire «fréquence du caractère C dans l échantillon». n Dans ce contexte la proportion p est connue ou supposée connue. Théorème-Définition 3. Soient X n une variable aléatoire suivant la loi B(n, p), F n = X n et Z la loi normale centrée réduite. n Soit α ]0, 1[ et u α le réel tel que P( u α X u α ) = 1 α. Alors : lim P(F n I n ) = 1 α avec I n = n + [ ] p(1 p) p(1 p) p u α, p + u α n n L intervalle I n est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence F n au seuil de 1 α. Démonstration A traiter sur feuille annexe et à connaître Page 7
s Ce théorème signifie que pour n grand la variable aléatoire F n prend ses valeurs dans I n avec une probabilité proche de 1 α ou de manière équivalente qu elle prend ses valeurs en dehors de I n avec une probabilité proche de α. On dit indifféremment «au seuil de 1 α» ou «au seuil de confiance 1 α» ou «au niveau de confiance de 1 α». On peut aussi dire «au risque de α». On admet que pour n 30,np 5 et n(1 p) 5 on peut approcher P(F n I n ) par 1 α. On vérifiera donc que ces trois conditions sont bien remplies pour appliquer cette approximation. Si les trois conditions ne sont pas remplies on appliquera l intervalle de fluctuation vu en première avec la loi binomiale ( voir p 387 de votre livre). Exemple L intervalle de fluctuation au seuil de 95% (A connaître) On veut l intervalle de fluctuation au seuil de 95%, on a donc 1 α = 0, 95, donc α = 0, 05. Or on a vu en I 3d) qu une valeur approchée de u 0,05 est 1,96. On prendra par conséquent : I n = [ p 1, 96 p(1 p) p(1 p), p + 1, 96 ]] n n On peut montrer que l intervalle ci-dessus est contenu dans l intervalle de fluctuation au seuil de 95% vu en seconde : [ p 1, p + 1 ] n n. Exercice 11 Dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules bleues, on effectue 100 tirages avec remise. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules rouges obtenues. On pose F = X 100. 1. (a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X. (b) En vous aidant des tableaux ci-après, déterminer l intervalle de fluctuation de la variable aléatoire F au seuil de 95% (1 S). 2. En utilisant la loi normale centrée réduite, déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95% (arrondir les bornes à 10 2 ). Comparer avec le résultat obtenu à la question 1b). k 16 17 18 19 20 21 22 P(X k) 0,00097 0,00216 0,00452 0,00889 0,01646 0,02883 0,04787 k 35 36 37 38 39 40 41 P(X k) 0,88392 0,92012 0,94695 0,96602 0,97901 0,98750 0,99283 Travail en autonomie Savoir-faire 1 et 2 p 359 + 17 p 365 2 Prise de décision La prise de décision concerne une hypothèse que l on fait sur la fréquence p d un caractère C d une population et se fait à partir d un échantillon de taille n pour lequel la fréquence de C est f, en utilisant l intervalle de fluctuation asymptotique I n. La procédure est la suivante : (prise de décision au seuil de 95%) On formule l hypothèse : «la fréquence du caractère C dans la population est p». On vérifie : n 30,np 5 et n(1 p) 5. Page 8
On calcule I n = [ p(1 p) p(1 p) p 1, 96 n, p + 1, 96 n ]] en arrondissant les bornes. On calcule la fréquence f observée sur l échantillon de taille n. On applique la règle de décision au seuil de 95% : Si f I, l hypothèse est acceptée, si f / I, l hypothèse est rejetée. s On peut rencontrer parfois l expression «décision au seuil de 5%» mais dans ce cas le seuil en question est le seuil de risque. Le risque devant être petit on comprendra selon le cas s il s agit du seuil de risque ou du seuil de confiance. Le théorème du a) prouve que l on peut rejeter l hypothèse à tort avec une probabilité de 0,05 (risque d erreur 5%). D autres seuils sont possibles et pratiqués en particulier le seuil de décision de 99 Exercice 12 Pour créer ses propres bijoux, on peut acheter un kit contenant des perles de cinq couleurs différentes, dans des proportions affichées sur le paquet. Ainsi, les perles de couleur marron sont annoncées comme représentant 20% de l ensemble des perles. Les élèves d une classe de Terminale ont voulu vérifier cette information. Pour cela, ils ont choisi d observer un échantillon aléatoire de perles et de construire un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la proportion de perles marron. Ils ont donc constitué un échantillon, que l on peut considérer aléa-toire, de 690 perles. Ils ont dénombré 140 perles marron. La règle de décision est la suivante : si la proportion de perles marron dans l échantillon n appartient pas à l intervalle de fluctuation, on rejette l hypothèse selon laquelle les perles marron représentaient 20% des perles pendant la période où les kits utilisés pour l expérience ont été produits. 1. Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique J au seuil de 95% pour la proportion de perles marron. 2. Calculer la proportion de perles marron dans l échantillon. Que peut-on en conclure? 3. Dans le même échantillon, il y avait 152 perles jaunes pour une proportion annoncée de 20% et 125 perles rouges, pour une proportion annoncée de 10%. Que peut-on conclure de ces résultats? Exercice 13 Dans un casino, il a été décidé que les «machines à sous» doivent être réglées sur une fréquence de gain du joueur de g = 0, 06. Une fréquence inférieure est supposée faire «fuir le client», et une fréquence supérieure est susceptible de ruiner le casino. Deux contrôleurs différents vérifient une même machine. Le premier a joué 120 fois et gagné 14 fois, le second a joué 400 fois et gagné 30 fois. En utilisant des intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil 95%, examiner dans chaque cas la décision à prendre par le contrôleur, à savoir accepter ou rejeter l hypothèse g = 0, 06. Travail en autonomie Savoir-faire 3 et 4 p 361 + 29 p 366 3 Intervalle de confiance et estimation a. Définition de l intervalle de confiance Problématique : Dans une certaine population, la fréquence d individus présentant le caractère C sur un échantillon donné de taille n est f. Que peut-on dire de la proportion p de C dans la population? Dans ce contexte la proportion p est inconnue. Page 9
Lemme 1. Soit X n une variable suivant la loi B(n, p) et F n = X n n. Pour tout p ]0, 1[, il existe n 0 entier naturel tel que : [ Si n n 0, alors : P( p 1 F n p + 1 ]) 0, 95 n n Théorème 3. Soit X n une variable suivant la loi B(n, p) et F n = X n n. Pour tout p ]0, 1[, il existe n 0 entier naturel tel que : [ Si n n 0, alors : P( F n 1 p F n + 1 ]) 0, 95 n n Démonstration................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... [ Interprétation : F n étant la fréquence observée sur un échantillon de taille n, si n n 0, p est dans l intervalle F n 1, F n + 1 ] avec un niveau de confiance de plus de 95%. n n Définition 4. Soit f la fréquence du caractère C sur un échantillon de taille n. L intervalle appelé intervalle de confiance à 95% de la proportion inconnue p dans la population. [ f 1, f + 1 ] est n n s On utilise cet intervalle dès que n 30,np 5 et n(1 p) 5. La précision de cet intervalle est égale à sa longueur à savoir Travail en autonomie Savoir-faire 6 p 363 2 n. b. Estimation d une proportion, utilisation de l intervalle de confiance On estime la proportion p par un intervalle de confiance déterminé à partir de f et de n selon un niveau de confiance de 95%. Exercice 14 Dans une urne contenant des boules rouges et bleues en proportions inconnues, on effectue des tirages au hasard avec remise. 1. Après avoir effectué 100 tirages, on compte 52 boules rouges et 48 boules bleues. Donner un intervalle de confiance à 95% de la proportion p de boules rouges dans l urne. 2. Combien faudrait-il, au minimum, effectuer de tirages pour obtenir un intervalle de confiance à 95% de longueur inférieure ou égale à 2.10 2 (c est-à-dire une précision d au moins 0,02)? Page 10
Exercice 15 Une usine fabrique des pièces métalliques, qui sont censées résister à certaines contraintes mécaniques. Le responsable de fabrication souhaite estimer le taux de pièces défectueuses concernant la résistance mécanique dans la production. Pour cela, il utilise la méthode par intervalle de confiance au niveau 95%, en extrayant au hasard n pièces en fin de production, qui sont soumises à contrainte mécanique jusqu à la rupture. En fonction du niveau de contrainte à la rupture, on décide de la nature défectueuse ou pas de la pièce. 1. Chaque pièce testée étant détruite, le responsable souhaite minorer la taille de l échantillon testé, tout en ayant un intervalle de confiance de longueur inférieure à 0,1. Quelle taille d échantillon peut-on lui conseiller? 2. II est finalement décidé de mener l étude sur 500 pièces ; on en trouve 40 défectueuses. Quel intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, obtient-on? (Arrondir les bornes à 10 4 ) 3. L année précédente, à l issue d un problème grave de rupture d une pièce, une large étude avait débouché sur 130 pièces défectueuses dans un échantillon de 1 000. Peut-on supposer que la mise en place de nouvelles procédures de fabrication a vraiment diminué la proportion de pièces défectueuses? (Arrondir les bornes à 10 4 ) Exercice 16 Voici les résultats d un sondage IPSOS réalisé avant l élection présidentielle de 2002 pour Le Figaro et Europe 1, les 17 et 18 avril 2002 auprès de 989 personnes, constituant un échantillon national représentatif de la population française âgée de 18 ans et plus et inscrite sur les listes électorales. On suppose cet échantillon constitué de manière aléatoire (même si en pratique cela n est pas le cas). Les intentions de vote au premier tour pour les principaux candidats sont les suivantes : 20% pour J. Chirac, 18% pour L. Jospin et 14% pour J.-M. Le Pen. Les médias se préparent pour un second tour entre J. Chirac et L. Jospin. 1. Déterminer pour chaque candidat, l intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 de la proportion inconnue d électeurs ayant l intention de voter pour lui. 2. Le 21 avril, les résultats du premier tour des élections sont les suivantes : 19, 88% pour J.Chirac, 16, 18% pour L. Jospin et 16, 86% pour J.-M. Le Pen. Les pourcentages de voix recueillies par chaque candidat sont-ils bien dans les intervalles de confiance précédents? 3. Pouvait-on, au vu de ce sondage, écarter avec un niveau de confiance de 0,95, l un de ces trois candidats pour le second tour? Travail en autonomie Savoir-faire 5 et 7 p 363 Page 11