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SESSION 2006 MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES ET INFORMATIQUE SUJET DE MATHÉMATIQUES APPLIQUEES Durée : 2 heures Coefficient : 0,5 Matériel autorisé : Une calculatrice de poche à fonctionnement autonome, sans imprimante, et sans aucun moyen de transmission, à l'exclusion de tout autre élément matériel ou documentaire (circulaire n 99 novembre 1999 ; BOEN n 42). Aucun document. Document remis au candidat : Le sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7. Document à rendre avec la copie : Annexe 3, page 7/7. Il vous est demandé de vérifier que le sujet est complet dès sa mise à votre disposition Barème indicatif : Exercice 1 : 4 points Exercice 2 : 10 points Exercice 3 : 6 points AVERTISSEMENT Si le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement dans votre copie. www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 1/14
EXERCICE 1 : ANALYSE DE DONNEES Une analyse de données économiques françaises a été effectuée pour chacune des années 1987 à 2001, concernant les sept variables ci-dessous, toutes exprimées en centièmes : Taux d'évolution du produit intérieur brut (en volume) Taux d'évolution de l'investissement industriel Taux d'évolution de la consommation des ménages Taux d'évolution des prix à la consommation Taux d'évolution du pouvoir d'achat du revenu des ménages Taux d'épargne des ménages Taux d'intérêts courus (à 3 mois) notée PIB notée INV notée CONS notée PRIX notée ACHAT notée EPAR notée TIC Tous ces taux sont annuels et expriment la variation relative de la variable concernée par rapport à l'année précédente. Par exemple, en 1998, la variable PIB vaut 2,5 ce qui signifie une augmentation de 2,5 % par rapport à 1987 (Source : "Le Monde" : Bilan du monde 2002 28 ème année, Edition 2003.) Sur ces données, une ACP (Analyse en Composantes Principales) normée a été effectuée. L'annexe 1 donne le nuage des 15 individus (les années 1987 à 2001) dans le plan principal, et le cercle des corrélations entre les 7 variables. Travail à faire : 1) La projection des quinze années dans le plan principale est-elle satisfaisante? Justifier la réponse. 2) Interpréter la proximité des quatre variables INV, ACHAT, PIB, CONS dans le cercle des corrélations. 3) Interpréter les positions relatives de deux variables EPAR et PRIX, ainsi que celles des deux variables TIC et INV. 4) A partir des données fournies en annexe 1 : a) Que peut-on dire de l'année 1995? Justifier la réponse. b) Peut-on dire que le pouvoir d'achat a augmenté en 1989? Justifier la réponse. www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 2/14
EXERCICE 2 : PROBABILITES Les calculs relatifs à la loi normale doivent être détaillés et effectués en utilisant la table fournie. Des billes sont produites en grande série, dans le but de fabriquer des roulements à billes constitués chacun de 15 billes. Les 15 billes d un roulement doivent être toutes sans défaut. Chaque bille produite peut avoir deux sortes de défaut : - défaut de diamètre, lorsque le diamètre est inférieur à 15,98 mm ou supérieur à 16,02 mm ; - défaut de surface, lorsque la surface de la bille présente des micro cavités. Pour une bille, choisie au hasard, on note : D l événement : «la bille présente le défaut de diamètre» ; S l événement : «la bille présente le défaut de surface». 1) Le diamètre d une bille choisie au hasard, exprimé en millimètres, est une variable aléatoire X qui suit une loi normale d espérance mathématique 16 et d écart type s. Travail à faire : a) Si s =0,01 quel est à 10 -² près, le pourcentage de billes ayant le défaut de diamètre? b) Que doit valoir s, à 10-4 près, si on veut que 2,5% seulement des billes aient le défaut de diamètre? c) 2) On suppose dans cette question que 2,5% des billes ont le défaut de diamètre [P(D)=0,025], que 1,6%, des billes ont le défaut de surface [P(S)=0,016], et que les événements D et S sont indépendants. Travail à faire : On choisit une bille au hasard. a) Calculer à 10-4 près, la probabilité de l événement E : «La bille présente les deux défauts». b) Calculer à 10-4 près, la probabilité de l événement F : «La bille présente au moins un des deux défauts». 3) On suppose que 4% des billes sont défectueuses. Les billes sont conditionnées en lot de n billes. On désigne par Y le nombre de billes défectueuses parmi les n billes d un lot, et on suppose que la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et 0,04. Travail à faire : a) Si n=100, on admet que le loi de Y peut être approchée par une loi de Poisson. En utilisant cette approximation, calculer à 10-3 près, la probabilité qu il soit possible de faire 6 roulements avec les 100 billes d un lot. b) Si n=1000, on admet que la loi Y peut être approchée par une loi normale. En utilisant cette approximation, calculer à 10-2 près, la probabilité qu il soit possible de faire au moins 65 roulements avec les 1000 billes d un lot. www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 3/14
4) Un nouvel abrasif ultra fin et essayé dans la phase finale de fabrication des billes, dans le but de diminuer le pourcentage de billes ayant un défaut de surface, l'ancien pourcentage (1,6 %) étant jugé excessif. Pour cela, on a testé le nouvel abrasif sur un échantillon aléatoire non exhaustif de 630 billes. On y a trouvé 7 billes présentant le défaut de surface. Travail à faire : A l'aide d'un test d'hypothèse au niveau α 0,04, et des résultats de l'échantillon, décider si le nouvel abrasif diminue ou non la proportion de billes ayant le défaut de surface. On notera p la proportion de billes ayant le défaut de surface avec le nouvel abrasif (sur l'ensemble de toutes les billes produites). EXERCICE 3 : GRAPHES Un projet a été décomposé en 8 tâches A, B, C, D, E, F, G, H dont les durées connues (sauf pour G) et les contraintes d'antériorité sont précisées dans le tableau ci-dessous : Tâches A B C D E F G H Durées (en jours) 26 25 40 17 8 14 X 4 Tâches antérieures - - - A A,B B E,F C,F Les graphes MPM et PERT sont donnés en annexe 3 (à rendre avec la copie) Le candidat utilisera au choix l'un des deux graphes. Travail à faire : 1) Indiquer, sur le graphe choisi, les dates de début au plus tôt des tâches D, E, F, G et H. 2) Déterminer la durée minimale d'exécution du projet et le chemin critique dans chacun des cas suivants : Hypothèse 1 : X = 4 ; Hypothèse 2 : X = 6 ; Hypothèse 3 : X = 9 ; 3) On estime que les trois hypothèses précédentes ont les probabilités respectives : p 4 = P(X=4) = 0,3 ; p 6 = P(X=6) = 0,6 ; p 9 = P(X=9) = 0,1 ; Calculer l'espérance mathématique de la durée minimale d'exécution du projet. www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 4/14
ANNEXE 1 Contributions des variables aux Axes (en %) Variable AXE 1 AXE 2 PIB 21-6 INV 22-2 CONS 19-7 PRIX 8 29 EPAR -13-16 ACHAT 16-4 TIC 2 36 Nuage des individus : QUALITE DE REPRESENTATION 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 0,61 0,90 0,98 0,87 0,91 0,69 0,98 0,62 0,09 0,58 0,83 0,91 0,95 0,93 0,64 www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 5/14
ANNEXE 2 EXTRAITS DE LA TABLE DE LA FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE N (0, 1) t Π (t) = p(t t) = f(x)dx - t 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9157 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 Nota : Π (- t) = 1 - Π (t) EXTRAITS DE LA TABLE DE LA LOI DE POISSON CUMULEE DE PARAMETRE λ F(k) = P(X k) λ = 1 λ = 2 λ = 3 λ = 4 λ = 5 λ = 6 λ = 7 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0,3679 0,7358 0,9197 0,9810 0,9963 0,9994 0,9999 1 0,1353 0,4060 0,6767 0,8571 0,9473 0,9834 0,9955 0,9989 0,9998 1 0,0498 0,1991 0,4232 0,6472 0,8153 0,9161 0,9665 0,9881 0,9962 0,9989 0,9997 0,9999 1 0,0183 0,0916 0,2381 0,4335 0,6288 0,7851 0,8893 0,9489 0,9786 0,9919 0,9972 0,9991 0,9997 0,9999 1 0,0067 0,0404 0,1247 0,2650 0,4405 0,6160 0,7622 0,8666 0,9319 0,9682 0,9863 0,9945 0,9980 0,9993 0,9998 0,9999 0,0025 0,0174 0,0620 0,1512 0,2851 0,4457 0,6063 0,7440 0,8472 0,9161 0,9574 0,9799 0,9912 0,9964 0,9986 0,9995 1 0,9998 0,9999 1 0,0009 0,0073 0,0296 0,0818 0,1730 0,3007 0,4497 0,5987 0,7291 0,8305 0,9015 0,9467 0,9730 0,9872 0,9943 0,9976 0,9990 0,9996 0,9999 1 www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 6/14
ANNEXE 3 (A RENDRE AVEC LA COPIE) Graphe MPM de l'exercice 3 : Graphe PERT de l'exercice 3 : www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 7/14
PROPOSITION DE CORRECTION EXERCICE 1 : ANALYSE DE DONNEES 1) La projection des quinze années dans le plan principale est-elle satisfaisante? Justifier la réponse. Oui, cette projection est satisfaisante dans le plan principal (Axe 1, Axe 2) car les axes 1 et 2 contiennent au total 50,6%+32,8%, soit 83,4% de l inertie. 2) Interpréter la proximité des quatre variables INV, ACHAT, PIB, CONS dans le cercle des corrélations. Ces quatre variables sont proches et sont fortement corrélées positivement. Les taux d évolution du produit intérieur brut en volume, de l investissement industriel, de la consommation des ménages et du pouvoir d achat du revenu des ménages sont très liés. Quand l un augmente, l autre suit la même évolution. 3) Interpréter les positions relatives de deux variables EPAR et PRIX, ainsi que celles des deux variables TIC et INV. Les deux variables EPAR et PRIX sont dans des directions quasi opposées par rapport au centre du repère et correspondent à des variables fortement corrélées négativement. Les taux d épargne des ménages et le taux d évolution des prix à la consommation sont fortement opposés. Quand l un augmente, l autre suit une évolution inverse. Les deux variables TIC et INV sont dans des directions quasi orthogonales par rapport au centre du repère et correspondent à des variables très faiblement corrélées. Les taux d intérêt courts et d évolution de l investissement industriel sont peu liés. 4) A partir des données fournies en annexe 1 : a) Que peut-on dire de l'année 1995? Justifier la réponse. L année 1995 est proche du centre du repère. Plus une coordonnée est voisine de 0, moins l'axe correspondant a de sens. La variable ou l'individu contribue de moins en moins au plan mis en évidence par les axes. Par conséquent, l année 1995 est peu significative. b) Peut-on dire que le pouvoir d'achat a augmenté en 1989? Justifier la réponse. Oui, le pouvoir d'achat a augmenté en 1989 car cette année est proche de la zone couverte par la variable ACHAT. Le taux d évolution du pouvoir d achat du revenu des ménages a augmenté. www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 8/14
EXERCICE 2 : PROBABILITES Les calculs relatifs à la loi normale doivent être détaillés et effectués en utilisant la table fournie. Des billes sont produites en grande série, dans le but de fabriquer des roulements à billes constitués chacun de 15 billes. Les 15 billes d un roulement doivent être toutes sans défaut. Chaque bille produite peut avoir deux sortes de défaut : - défaut de diamètre, lorsque le diamètre est inférieur à 15,98 mm ou supérieur à 16,02 mm ; - défaut de surface, lorsque la surface de la bille présente des micro cavités. Pour une bille, choisie au hasard, on note : D l événement : «la bille présente le défaut de diamètre» ; S l événement : «la bille présente le défaut de surface». 1) Le diamètre d une bille choisie au hasard, exprimé en millimètres, est une variable aléatoire X qui suit une loi normale d espérance mathématique 16 et d écart type s. a) s =0,01 quel est à 10 -² près, le pourcentage de billes ayant le défaut de diamètre? Soit X la variable aléatoire représentant le diamètre d une bille exprimé en millimètres. X suit une Loi Normale de moyenne m=16 et d écart type σ =0,01. X m X 16 T = N( 0,1) T = N ( 0, 1) σ 0, 01 Nous cherchons le pourcentage de billes ayant le défaut de diamètre, c'est-à-dire 15.98 > D > 16.02 15, 98 16 X 16 16, 02 16 => P > > 0, 01 0, 01 0, 01 ( ) = P 2 > T > 2 = PT ( < 2) + PT ( > 2) = 1 PT ( < 2) + 1 PT ( < 2) = 2 0, 9772 + 0, 9772 = 0, 0456 Ainsi, le pourcentage de billes ayant le défaut de diamètre est de l ordre de 4,56%. b) Que doit valoir s, à 10-4 près, si on veut que 2,5% seulement des billes aient le défaut de diamètre? X 16 Pour obtenir 2,5% seulement des billes avec le défaut de diamètre, il faut => T = N( 0,1) 15, 98 16 X 16 16, 02 16 = > P > > = 1 0,025 σ σ σ σ 16,02 16 0,025 P T > = 1 = 0,9875 P ( T < 2,24) = 0,9875 σ 2 16, 02 16 = 2, 24 σ = 16.02 16 = 0, 0089 σ 2, 24 www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 9/14
2) On suppose dans cette question que 2,5% des billes ont le défaut de diamètre [P(D)=0,025], que 1,6%, des billes ont le défaut de surface [P(S)=0,016], et que les événements D et S sont indépendants. a) Calculer à 10-4 près, la probabilité de l événement E : «La bille présente les deux défauts». Si A et B sont deux événements indépendants alors : La probabilité d'avoir les deux défauts correspond à la probabilité de leur intersection. P ( A B) = P( A) * P( B) P( E) = P( D) * P( S) = 0, 025 * 0, 016 = 0, 0004 b) Calculer à 10-4 près, la probabilité de l événement F : «La bille présente au moins un des deux défauts». Si A et B sont deux événements indépendants alors : La probabilité d'avoir au moins un défaut correspond à la probabilité de leur union. P ( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P( F) = P( D) + P( S) P( E) = 0, 025 + 0, 016 0, 0004 = 0, 0406 3) On suppose que 4% des billes sont défectueuses. Les billes sont conditionnées en lot de n billes. On désigne par Y le nombre de billes défectueuses parmi les n billes d un lot, et on suppose que la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et 0,04. a) Si n = 100, on admet que le loi de Y peut être approchée par une loi de Poisson. En utilisant cette approximation, calculer à 10-3 près, la probabilité qu il soit possible de faire 6 roulements avec les 100 billes d un lot. La probabilité de faire 6 roulements avec les 100 billes d un lot correspond à obtenir 90 billes non défectueuses, d avoir au plus 10 billes défectueuses. La variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et p et qu elle est approximable par une loi de Poisson de paramètre λ = np. Y : Β (100; 0, 04) est approximable par Y : P(4) La probabilité d avoir 10 billes défectueuses au plus P(Y 10) = P(Y = 0) + P(Y = 1) +... + P(Y = 10) L extrait de la table de la loi de Poisson cumulée nous donne pour k=10 et λ = 4 P(Y 10) = 0,997 b) Si n = 1 000, on admet que la loi Y peut être approchée par une loi normale. En utilisant cette approximation, calculer à 10-2 près, la probabilité qu il soit possible de faire au moins 65 roulements avec les 1 000 billes d un lot. Pour n=1 000, la loi Y est approximée par une loi normale. N (np; npq) avec n = 1 000, p = 0,04, q = 1 p = 0,96 N (40; 6,19677) www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 10/14
La probabilité de faire 65 roulements avec les 1 000 billes d un lot correspond à obtenir 975 billes non défectueuses, d avoir au plus 25 billes défectueuses. 25-40 P (Y 25) = Π = Π( - 2,42 ) = 1 - Π( 2,42 ) = 1-0,9922 = 0,0078 = 0,01 6,19677 4) Un nouvel abrasif ultra fin et essayé dans la phase finale de fabrication des billes, dans le but de diminuer le pourcentage de billes ayant un défaut de surface, l'ancien pourcentage (1,6 %) étant jugé excessif. Pour cela, on a testé le nouvel abrasif sur un échantillon aléatoire non exhaustif de 630 billes. On y a trouvé 7 billes présentant le défaut de surface. A l'aide d'un test d'hypothèse au niveau α 0,04, et des résultats de l'échantillon, décider si le nouvel abrasif diminue ou non la proportion de billes ayant le défaut de surface. On notera p la proportion de billes ayant le défaut de surface avec le nouvel abrasif (sur l'ensemble de toutes les billes produites). Détermination de la région d acceptation H 0 Le test a été effectué sur un échantillon aléatoire non exhaustif de 630 billes. Cet échantillon est de taille assez grand. Le test est unilatéral. La variable aléatoire F 630 suit la loi F630 N 0,016; 0,016 (1-0,016) 630 N p; p (1 - p) n car 630 est assez grand. Déterminons la frontière C telle que la proportion observée sur un échantillon de taille 630 n ait que 4 chances sur 100 de lui être inférieure. C vérifie : P(F 630 > C) = 0,04 soit P(F 630 < C) = 0,96 ou encore Π C - 0,016 0,016 (1-0,016) 630 = 0,96 D après la table de la fonction de répartition de N (0 ;1), nous avons : C - 0,016 = 1,75 => C = 0,0247 soit 2,47%. 0,016 (1-0,016) 630 Cela correspond sur un échantillon de 630 billes à 15,56 billes défectueuses. La proportion F observée sur l échantillon est : 7 630 = 0, 011 et inférieure à la limite acceptable. Le nouvel abrasif diminue la proportion ayant le défaut de surface. www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 11/14
EXERCICE 3 : GRAPHES Un projet a été décomposé en 8 tâches A, B, C, D, E, F, G, H dont les durées connues (sauf pour G) et les contraintes d'antériorité sont précisées dans le tableau ci-dessous : Tâches A B C D E F G H Durées (en jours) 26 25 40 17 8 14 X 4 Tâches antérieures - - - A A,B B E,F C,F Les graphes MPM et PERT sont donnés en annexe 3 (à rendre avec la copie) Le candidat utilisera au choix l'un des deux graphes. Travail à faire : 1) Indiquer, sur le graphe choisi, les dates de début au plus tôt des tâches D, E, F, G et H. Graphe PERT de l'exercice 3 : 26 26 0 25 39 44 39 40 www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 12/14
2) Déterminer la durée minimale d'exécution du projet et le chemin critique dans chacun des cas suivants : Durée minimale d exécution Chemin critique Hypothèse 1 : X = 4 44 CH Hypothèse 2 : X = 6 45 BFG Hypothèse 3 : X = 9 48 BFG Le chemin le plus long entre une tâche de niveau 0 et la «FIN» est appelé chemin critique ; tous les sommets de ce chemin sont les tâches critiques. Pour toute tâche critique : date de début au plus tard = date de début au plus tôt. 26 27 Hyp1 : X = 4 26 32 0 0 25 26 39 40 44 44 39 40 40 40 www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 13/14
26 28 Hyp1 : X = 6 26 31 0 0 25 25 39 39 45 45 39 39 40 41 26 31 Hyp1 : X = 9 26 31 0 0 25 25 39 39 48 48 39 39 40 44 3) On estime que les trois hypothèses précédentes ont les probabilités respectives : p 4 = P(X=4) = 0,3 ; p 6 = P(X=6) = 0,6 ; p 9 = P(X=9) = 0,1 ; L'espérance mathématique de la durée minimale d'exécution du projet est égale à : i = n E(X) = X I P(X I ) = 44 * p 4 + 45 * p 6 + 48 * p 9 = 44 * 0,3 * 45 * 0,6 + 48 * 0,1 = 45 i= 1 www.comptalia.com - 0800 COMPTA (soit 0800 266 782 - Appel gratuit depuis un poste fixe) 14/14