Un modèle phénoménologique des vibrations induites par détachement tourbillonnaire Matteo Luca Facchinetti, Emmanuel de Langre & Francis Biolley Département de Mécanique - LadHyX, CNRS - Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, France Division de Mécanique Appliquée - Institut Français du Pétrole, 92852 Rueil-Malmaison, France delangre@ladhyx.polytechnique.fr Résumé : Nous nous intéressons à la réponse aux vibrations induites par détachement tourbillonnaire (VIV) d un c ˆable très élancé soumis à un écoulement stationnaire et uniforme. Un modèle phénoménologique du sillage basé sur le concept d oscillateur fluide (équation de van der Pol) est développé et son efficacité est mise en évidence par rapport à des simulations numériques d écoulement par résolution des équations de Navier-Stokes et des mesures expérimentales. Un critère de sélection des caractéristiques des ondes induites par le détachement tourbillonnaire est établi : le fluide sélectionne la pulsation selon la loi de Strouhal, alors que la structure fixe la longueur d onde par sa propre relation de dispersion. Abstract : We investigate the vortex-induced vibrations (VIV) of a very slender cable subjected to a stationary uniform flow. A phenomenological model of the near wake based on a wake oscillator (van der Pol equation) is developed and is proven effective with respect to numerical simulations of Navier-Stokes equations and experimental measures. A selection criteria for vortex-induced wave features is then established : the fluid selects the frequency, according to Strouhal s law, then the structure fixes the wavelength, as dictated by its dispersion relation. Mots-clefs : interaction fluide-structure ; vibrations induites par détachement tourbillonnaire (VIV) ; oscillateur de van der Pol 1 Introduction Les vibrations induites par détachement tourbillonnaire (VIV) constituent un phénomène d interaction mécanique fluide-structure qui concerne aujourd hui de nombreuses structures cylindriques, soumises à de forts vents et courants [Blevins, 199]. En particulier, pour l exploitation des champs pétrolifères offshore, des structures très élancées sont utilisées afin d assurer les liaisons entre les têtes de puits au fond de l océan et le support flottant, plate-forme ou navire en surface, tels que les câbles d ancrage et les conduites. Nous nous intéressons ici à la réponse aux VIV d une structure cylindrique très élancée, en considérant un câble de diamètre soumis à un courant uniforme et stationnaire de vitesse, figure 1a. Les VIV se manifestent quand les échelles de temps caractéristiques du fluide et de la structure sont du même ordre de grandeur. La pulsation du détachement tourbillonnaire est adimensionnée par rapport au temps d advection du fluide le long de la structure, en définissant le nombre de Strouhal,. Inversement, si la structure oscille à la pulsation propre de vibration, on introduit la vitesse réduite,!. Les VIV se manifestent ainsi autour de la condition de résonance entre fluide et structure, soit "#%$ &. Par contre, plusieurs échelles spatiales peuvent intervenir simultanément. La longueur d onde des vibrations de la structure doit être mise en relation avec les longueurs ca- $
z T y U x y x m U U q(t) θ T z z D FIG. 1 Câble soumis aux vibrations induites par détachement tourbillonnaire : modèle ; montage expérimental. ractéristiques propres au fluide, tel que les longueurs de corrélation du détachement tourbillonnaire et la taille des cellules en écoulement cisaillé [Facchinetti, 23]. C est ainsi qu un critère de sélection de la longueur d onde des VIV doit être établi. Nous allons d abord établir le modèle étudié : la dynamique vibratoire d un câble de longueur infinie est couplée avec un modèle phénoménologique de son sillage proche, basé sur le concept d oscillateur fluide. Ensuite, nous analysons les caractéristiques des ondes dues aux vibrations induites par détachement tourbillonnaire : leurs pulsation et longueur sont calculées analytiquement, puis comparées avec des simulations numériques par résolution des équations de Navier-Stokes et des mesures expérimentales. 2 Modélisation 2.1 Structure La dynamique d une structure élastique très élancée vis-à-vis des VIV, telle qu une liaison fond-surface dans le cadre de l exploitation des champs pétrolifères offshore en grande profondeur, est convenablement décrite par un modèle classique unidimensionnel de câble. En rendant adimensionnel le temps par rapport à la pulsation de Strouhal et les longueurs par rapport au diamètre de la structure son mouvement transverse est décrit par l équation d onde! (1) La célérité de phase est #" $ &%, où % est la masse linéique, incluant de la masse ajoutée du fluide, et $ la tension axiale. L amortissement sépare la composante structurelle,, de celle due au fluide,, où est un paramètre et '% &( est le rapport de masse. 2.2 Fluide Pour des structures très élancées et des écoulements à haut nombre de Reynolds, la modélisation du fluide par résolution numérique des équations de Navier-Stokes atteint ses limites : la simulation s avère coûteuse, voire complètement irréaliste. Pour la modélisation des
VIV dans un tel cadre, on fait donc recours à un modèle phénoménologique du détachement tourbillonnaire. La dynamique fluctuante du sillage proche est décrite à chaque point le long de l axe de la structure par un oscillateur fluide, figure 1a, dont la variable réelle obéit à l équation de van der Pol où est un paramètre positif, petit devant 1. $ ' (2) 2.3 Couplage Le système dynamique des équations (1) et (2) constitue une base pour le développement de modèles phénoménologiques des VIV en exploitant le concept d oscillateur fluide. L action du sillage proche sur la structure est habituellement considérée comme une portance fluctuante. La variable est donc interprétée comme un coefficient de portance normalisé,, où est celui observé sur une structure stationnaire soumise au détachement tourbillonnaire. D autre part, l action de la structure sur le modèle du sillage proche est supposée de nature inertielle [Facchinetti et al., 22a]. Le système dynamique couplé s écrit ainsi $ où est un nombre de masse et s écrit $ 2.4 Paramètres, et (3) est un paramètre. Pour la structure (1), l amortissement réduit et le rapport de masse sont des paramètres mesurables du système physique. Le paramètre d amortissement ajouté du fluide est une constante qui dépend du coefficient de traînée [Blevins, 199] : pour un cylindre en mouvement transverse on considère!. Pour un cylindre immobile en régime sous-critique ( $! ), le nombre de Strouhal ne dépend pas en première approximation du nombre de Reynolds et vaut!, alors que le coefficient de portance est " #!. Pour l oscillateur fluide (2), il est nécessaire de fixer les valeurs des paramètres et, ce qui est possible en observant la réponse du sillage au mouvement imposé de la structure, notamment l amplification de la portance sur la structure en fonction de la vitesse réduite, figure 2. Par interpolation aux moindres carrés de données expérimentales tirées de la littérature, on déduit les valeurs '!$ et $ [Facchinetti et al., 22a]. 3 Ondes de vibration induites par détachement tourbillonnaire Une solution au système (3) est cherchée sous les hypothèses d harmonicité et synchronisation en fréquence et nombre d onde, soit &%('*),+.-/21 /43!5 "678%('*),+.-/21 5 (4) où les signaux et ont une pulsation et un nombre d onde 9 communs, des amplitudes et : et une phase ; indépendants du temps et de la position. Par substitution dans (3) et
$ 9 3.5.4 2.5 2.3.2 rag replacements 1.5.1 1.1.2.3.4.5.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 FIG. 2 Détermination des paramètres de l oscillateur fluide par interpolation de données expérimentales : amplification du coefficient de portance en fonction de l amplitude du mouvement imposé à la structure à la résonance ; domaine d accrochage dans le plan ( " ). en considérant seulement la contribution harmonique principale des non-linéarités, un calcul d algèbre permet d aboutir à la relation de dispersion du système couplé [Facchinetti et al., 22b] 9 : 9 9 : # # (5) où les termes et sont respectivement les relations de dispersion de la structure et du fluide sans couplage, soit 9 ' (6) 9 7 alors que les composantes et $' (7) sont associées aux termes de couplage fluide-structure! (8) En cherchant explicitement des ondes neutres, caractérisées par une pulsation d onde 9 réels, on déduit la solution % % ' % % et un nombre! (9) Les deux premières équations dépendent seulement des opérateurs de raideur et d inertie des modèles structure et fluide. Le couple 9 est donc obtenu par intersection des relations de dispersion sans amortissement de la structure et du fluide, comme illustré en figure 3. Du point de vue de l interprétation physique, la structure accepte tout couple 9 tel que 9, sans aucune préférence si les conditions aux limites ne sont pas contraignantes, autrement dit sous l hypothèse de milieu de longueur infinie. En revanche, le fluide est en mesure de sélectionner la pulsation de Strouhal, ici normalisée à l unité : l hypothèse de synchronisation implique que la structure accepte la pulsation proposée par le fluide, en fixant par conséquent le nombre d onde 9 via sa propre relation de dispersion.
16 ème Congrès Français de Mécanique Nice, 1-5 septembre 23 FIG. 3 Sélection du couple 9 par intersection des relations de dispersion sans amortissement de structure et fluide. 4 Validation du critère Le critère de sélection de la pulsation et de la longueur des ondes de vibration induites par détachement tourbillonnaire est validé par rapport à des simulations numériques d écoulement par résolution des équations de Navier-Stokes et des mesures expérimentales. En figure 3, l évolution spatio-temporelle du détachement du câble obtenu par simulation numérique du système (3) est comparée à des calculs de VIV où l écoulement est simulé par intégration directe des équations de Navier-Stokes (DNS) par Newman and Karniadakis [1997]. Dans les deux cas, la pulsation est celle de Strouhal du détachement tourbillonnaire à structure immobile, alors que la longueur d onde est établie par la relation de dispersion du câble,. On remarque également que le modèle phénoménologique ici discuté s avère en mesure de décrire les VIV d un câble (ondes stationnaires, progressives et transitoires) tout en étant beaucoup plus simple et moins demandeur de ressources qu un modèle DNS. 12 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 FIG. 4 Déplacement transverse d un câble soumis aux VIV : simulation numérique du système (3) ; calcul par DNS [Newman and Karniadakis, 1997]. Une expérience de laboratoire est mise au point dans le but de mettre en évidence des ondes progressives dues aux VIV le long d un câble remorqué dans une cuve d eau, figure 1b. Le câble est articulé à l extrémité supérieure et libre à celle inférieure, et soumis à un écoulement apparent uniforme. L évolution spatio-temporelle de son mouvement transverse est obtenue par traitement d images filmées avec une caméra digitale. La pulsation de Strouhal domine le spectre de tout point le long de la structure, figure 5a, alors que la longueur des ondes respecte la relation de dispersion locale du câble, figure 5b.
"'! $.3 6 5 1 15 2 25.25.2.15 5 4 3 rag replacements 3 35.1 2 4.5 1 45 5.5 1 1.5 2 2.5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 % % FIG. 5 Densité spectrale de puissance du mouvement transverse du câble le long de l abscisse. Célérité de phase des ondes du câble le long de l abscisse :, relation de dispersion locale ;, mesure expérimentale. 5 Conclusions Pour l étude des vibrations induites par détachement tourbillonnaire, un modèle phénoménologique du sillage proche basé sur le concept d oscillateur fluide (équation de van der Pol) a été développé. Tous ses paramètres sont fixés en considérant la réponse forcée du sillage et son efficacité est prouvée par comparaison avec des expériences de laboratoire et des simulations numériques d écoulement par résolution des équations de Navier-Stokes. Le modèle est particulièrement adapté à aborder l étude des VIV de structures très élancées et un critère de sélection des caractéristiques des ondes de VIV est établi. Ce modèle permet également de prendre en compte des effets tri-dimensionnels propres à l écoulement, tels que le détachement tourbillonnaire oblique [Facchinetti, 23] et le détachement tourbillonnaire par cellules en écoulement cisaillé [Facchinetti et al., 22c]. Références R.D. Blevins. Flow-induced vibrations. van Nostrand Reinhold, 199. M.L. Facchinetti. Un modèle phénoménologique des vibrations induites par détachement tourbillonnaire. thèse de doctorat, Ecole Polytechnique - Palaiseau, 23. M.L. Facchinetti, E. de Langre, and F. Biolley. On wake oscillator models for 2-D vortexinduced vibrations. Soumis pour publication dans Journal of Fluids and Structures, juillet 22. M.L. Facchinetti, E. de Langre, and F. Biolley. Vortex-induced waves along cables. In symposium on Fluid-Structure Interactions, Aeroelasticity, Flow-Induced Vibrations and Noise, volume 3. ASME, novembre 22. M.L. Facchinetti, E. de Langre, and F. Biolley. Vortex shedding modeling using diffusive van der Pol oscillators. Comptes Rendus Mécanique, 33 :451 456, 22. D.J. Newman and G.E. Karniadakis. A direct numerical simulation study of flow past a freely vibrating cable. Journal of Fluid Mechanics, 344 :95 136, 1997.