7. Les milieux magnétiques

7. Les milieux magnétiques 7.1. Introduction 7.1.1. Rappel sur le magnétisme Les pierres magnétiques sont connues depuis l antiquité. Elles ont été utilisées très tôt par les marins comme boussole. Avant 1600, Gilbert effectue des recherches sur le magnétisme terrestre et émet l hypothèse que la terre est un aimant géant. 1819 : Oersted observe que des fils conducteurs parcourus par un courant électrique créent un champ magnétique. 1820 : Biot et Savart puis Ampère établissent des relations expérimentales sur le champ magnétique et sa production par des courants électriques. 7.1.2. Distribution de courant localisée De manière générale, le champ magnétique créé par une distribution de courant est donnée par la loi de Biot et Savart : B ( r) = µ 0 4π j ( r ) r r r r 3 d3 r. (7.1) Lorsque la distribution de courant est localisée, le champ qu elle produit à grande distance, de même que les actions mécaniques qu elle subit peuvent être décrits par une quantité vectorielle : le moment magnétique m : m = 1 r j ( r ) d 3 r. (7.2) 2 Champ magnétique créé Le potentiel vecteur créé par une distribution de courant dont le moment magnétique est m est : A ( r) = µ 0 m r 4π r 3. (7.3) On en déduit le champ magnétique : où n est le vecteur unitaire dans la direction r. B ( r) = rot A = µ 0 3 n ( n m) m 4π r 3 (7.4) 67

68 7. Les milieux magnétiques Actions mécaniques Dans un champ inhomogène, une distribution de courant correspondant à un moment magnétique m subit une force F = ( grad m B ). (7.5) Attention cette expression est valable à moment magnétique m constant. Ce même moment magnétique subit un couple N N = m B. (7.6) Moment magnétique d une boucle de courant Si un courant électrique I circule sur une boucle filiforme le moment magnétique est m = I r d 2 l = I S (7.7) où S est le vecteur surface du circuit. Lien avec le moment cinétique Le moment magnétique d une distribution de charges ponctuelles q i, situées aux points r i et animées d une vitesse v i est Le moment cinétique de la charge i est le moment magnétique est donc m = 1 q i r i v i. (7.8) 2 i li = m i r i v i (7.9) m = i q i 2m i li. (7.10) Pour un électron dans un atome, le moment magnétique orbital est m = e l. (7.11) 2m e De manière générale le moment magnétique d un atome est proportionnel à son moment cinétique ( m = g e ) σ = γ σ (7.12) 2m e le coefficient de proportionalité g est nommé facteur de Landé (c est un nombre sans dimension). Le coefficient γ est appelé rapport gyromagnétique. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

7.2. Aimantation macroscopique 69 7.1.3. Origine microscopique de l aimantation Moment magnétique orbital Le mouvement des électrons dans l atome crée des boucles de courant. Le moment magnétique associé à ces mouvements orbitaux entre pour une part dans le moment magnétique d un atome mais il ne suffit pas à rendre compte de toute l aimantation. Moment magnétique intrinsèque de l électron et des nucléons Chaque particule élémentaire possède un moment magnétique associé à son moment cinétique intrinsèque (le spin). Le moment magnétique de l électron est quasiment égal au magnéton de Bohr µ B µ B = e h 2m e (7.13) Le moment magnétique des nucléons est mille fois plus faible que celui des électrons. Dans un atome ou une molécule, les propriétés magnétiques sont donc essentiellement dues aux électrons. 7.2. Aimantation macroscopique 7.2.1. Aimantation d un milieu Le moment magnétique total par unité de volume et M = d M dτ (7.14) Un moment magnétique s exprime en Ampère metre carré, l aimantation est donc en Ampère par mètre. 7.2.2. Courants d aimantation De la même manière que des charges liées non homogènes sont à l origine de distrinution de charges liées, une distribution de magnétisation non homogène est équivalente à une distribution de courants liés. En volume j M = rot M (7.15) En surface L excitation magnétique H i M = M n (7.16) B H = M µ (7.17) 0 rot H = j libre (7.18) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

70 7. Les milieux magnétiques Ainsi c est H qui directement relié aux courants électriques créés par exemple par les électroaimants. 7.2.3. Etude expérimentale des propriétés magnétiques En plaçant un matériau ferromagnétique dans un solénoide torique, il est possible de mesurer simultanément H et B. On a donc un accés direct à l aimantation M. Un enroulement de N spires de surface S également réparties sur un tore de circonférence l est parcouru d un courant électrique d intensité I.Le théorème d Ampère appliqué sur un cercle situé à l intérieur du solenoide.permet de relier H au courant électrique qui circule dans la bobine H d l = Hl = I libre = NI (7.19) H = NI l (7.20) C est donc directement H que l on mesure lorsque l on mesure l intensité d un courant électrique. Mesurons la différence de potentiel qui apparait aux bormes du circuit lorsque l on change I. Si la résistance du solenoide est négligeable, on mesure la force électromotrice V 1 V 2 = e 12 = ( dφ ) = NS db (7.21) en intégrant sur le temps, on en déduit B. Connaissant H et B on en déduit facilement M. 7.3. Diamagnétisme et paramagnétisme Ces milieux ne sont pas aimantés en l absence de champ. En présence d un champ ils acquièrent une faible aimantation. M = χ m B µ 0 (7.22) χ m est appelé suceptibilité magnétique. Pour un très grand nombre de substances, χ m est négatif et extrèmement faible en valeur absolue (10 5 pour les solides et les liquides, 10 9 pour les gaz) Ces substance sont appelées diamagnétiques. Pour certaines substances (O 2, Na, Al, FeCl 3 ) χ m est positif. Ces corps sont nommés paramagnétiques. Leur susceptibilité reste faible devant 1. Pour tous ces corps B H = µ B M (7.23) 0 µ 0 J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

7.3. Diamagnétisme et paramagnétisme 71 La définition de la susceptibilité peut donc aussi s écrire M = χ m H (7.24) pour des raisons historiques, c est cette relation qui est la définition de χ m. On definit alors la perméabilité relative 7.3.1. Diamagnétisme Approche qualitative µ r = 1 + χ m (7.25) Considérons un électron en mouvement sur une orbite circulaire autour d un atome. On applique progressivement un champ magnétique dans la direction perpendiculaire au plan de l orbite. Pendant la phase d établissement de B apparait un champ électromoteur E E = A (7.26) t Pour un champ magnétique uniforme aligné selon Oz, le potentiel vecteur A est donnés par A = 1 2 B r = 1 2 Br u θ (7.27) où u θ est le vecteur unitaire des coordonnées cylindriques. Durant l établissement du courant, l électron subit, en plus de la force due au champ magnétique, une force tangentielle f = e E = er 2 db u θ (7.28) Tant que le champ magnétique reste faible, la force normale à la trajectoire (q v B ) est négligeable et celle ci reste inchangée. En projetant la relation fondamentale de la dynamique sur u θ on trouve soit m e r dω = er 2 db On en déduit une variation de moment magnétique (7.29) ω 1 = ω 0 + eb 2m e (7.30) δm = e m e r 2 eb = e2 r 2 B (7.31) 2m e 2m e 4m e le moment magnétique créé par le champ magnétique a une direction qui lui est opposée. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

72 7. Les milieux magnétiques Diamagnétisme Une théorie quantique donne comme susceptibilité magnétique M = χ m B µ 0 (7.32) Ze 2 χ m = nµ 0 r 2 (7.33) 6m pour un milieu composé de n atomes (à Z electrons) par unité de volume. Pour un gaz, cette susceptibilité est de l ordre de 10 9. Pour les liquides et les solides, c est plutôt 10 6 (la densité des liquides et des solides est mille fois plus grande que celle des gaz). 7.3.2. Paramagnétisme Approche qualitative Si l on applique un champ magnétique à un corps contenant des moments magnétiques, ceux ci subissent un couple qui a tendance à les aligner dans sa direction. Dans le même temps, l agitation thermique deordonne les dipôles. Un compromis s établit avec une aimantation qui croit avec le champ magnétique et qui décroit avec la température. 7.4. Ferromagnétisme 7.4.1. Quelques effets physiques Si l on introduit un barreau d acier n ayant jamais subi d aimantation à l intérieur d un solénoide, on constate que le barreau reste la source d un champ magnétique important lorsque l on a coupé le courant Un morceau de fer n ayant jamais été aimanté subit d un aimant des forces très importantes en étant attiré vers les régions de champ intense. La force est beaucoup plus intense que celle qui est subie par des milieux paramagnétiques. Au dessus d une certaine température, ces propriétés disparaissent et ces corps ne comportent comme des milieux paramagnétiques. 7.4.2. Origine physique du ferromagnétisme Dans un solide, les interactions magéntiques entre les dipôles magnétiques d atomes voisins sont extrèmement faibles et ne peuvent pas jouer de rôle. Toutefois, par l intermédiaire des processus d échange, l interaction électrostatique entre des électrons d atomes voisins (dans un cristal ou une molécule) conduit à l alignement des mements cinétiques de ces électrons. Cette interaction a tendance à aligner dans une même direction les moments magnétiques d atomes voisins. De proche en proche, cette interaction aligne les moments magnétiques sur des domaines de taille finie, ce qui conduit à une aimantation au niveau macroscopique. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

7.4. Ferromagnétisme 73 M Mr Ms -Hc H 7.4.3. Propriétés physiques des ferromagnétiques Courbe de première aimantation Fig. 7.1.: Courbe de première aimantation (tiretés). Cycle d hystéresis d un ferromagnétique Pour des valeurs de H atteignant 10 5 A m 1 l aimantation tend vers une limite appelée aimantation à saturation. Pour un corps donné, cette valeur M S est fonction de la température. M s varie peu au voisinage de la température ordinaire et chute lorsque l on approche de la températurede Curie. On continue à définir une susceptibilité χ m (H) = M H (7.34) Cycle d hystérésis Faisons croître H de manière à saturer le milieu. Si l on diminue l intensité, l aimantation ne revient pas à zéro. Le matériau garde une aimantation appelée aimantation rémanente. Si l on continue à diminuer H en lui donnant des valeurs négatives, on arrive à une valeur de H pour laquelle M s annule il s agit de l excitation coercitive du matériau. Si l on continue, on va le saturer à nouveau dans l autre sens. Pertes par hysteresis Déterminons la puissance electrique fournie au dispositif expoése précédemment (le solenoide torique) P = I (V 1 V 2 ) = Hl N NS db = lsh db (7.35) On retrouve la valeur H db pour la puissance cédée par les courants libres au milieu par unité de volume. L énergie fournie au matériau pour parcourir le cercle d hysteresis par unité de volume est u = HdB = Hd (µ 0 (H + M)) = µ 0 HdH + µ 0 HdM (7.36) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

74 7. Les milieux magnétiques le premier terme correspond à la variation de l energie magnétique et est nul sur un cycle. Le second terme correspond à l aire de la courbe d hystérésis. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2