3 Variables aléatoires discrètes

Leçon n o 3 Variables aléatoires discrètes 9 Niveau Terminale S Prérequis probabilités Références [9], [10] 3.1 Loi de probabilités. Fonction de répartition Exemple 3.1 On tire au hasard une boule dans une urne. Cette urne contient une boule rouge R, une verte V, une bleue B. On remet la boule dans l urne et on effectue un deuxième tirage. On suppose qu il y a équiprobabilité dans les deux tirages. Soit Ω = {(R, R), (R, V ), (R, B), (V, R), (V, V ), (V, B), (B, B), (B, R), (B, V )}. Il y a neuf événements élémentaires. Il y a équiprobabilité, donc la probabilité de chaque événement élémentaire est p = 1 9. La probabilité de tirer au moins une boule verte est : q = 5 9. On fixe la règle suivante : «Si on tire une boule rouge, on gagne 6 euros, verte, on gagne 1 euro, bleue, on perd 4 euros.» On définit ainsi une application de Ω dans R, cette application est appelée variable aléatoire. Voici les gains et perte du jeu : Tirage 1 Tirage 2 Ω Gain (en euros) R R (R, R) 12 R V (R, V ) 7 R B (R, B) 2 V R (V, R) 7 V V (V, V ) 2 V B (V, B) -3 B R (B, R) 2 B V (B, V ) -3 B B (B, B) -8 Définition 3.2 Lorsque qu à chaque événement élémentaire ω d un univers Ω, on associe un nombre réel, on dit que l on définit une variable aléatoire (réelle). Une variable est donc une application X : Ω R. Elle est dite discrète si Ω N. Exemple 3.3 On lance trois fois une pièce non truqué et on compte le nombre de fois où on obtient «Face». On définit ainsi une variable aléatoire X : Ω R avec : Ω = {P P P, P P F, P F P, F P P, P F F, F P F, F F P, F F F }

10 Leçon n o 3 Variables aléatoires discrètes et X(P P P ) = 0, X(P P F ) = 1, X(P F P ) = 1, X(F P P ) = 1 X(F F P ) = 2, X(F P F ) = 2, X(P F F ) = 2, X(F F F ) = 3. Définition 3.4 Loi de probabilité. Soit P une probabilité sur un univers Ω. Soit X une variable aléatoire définie sur Ω telle que X(Ω) soit fini de cardinal n. Lorsqu à chaque valeur x i (1 i n) de X on associe les probabilités p i de l événement «X = x i», on dit que l on définit une loi de probabilité P X de la variable aléatoire X. Exemple 3.5 Dans l exemple précédent, on a équiprobabilité de Ω (la probabilité d obtenir un des événements élémentaires étant de 1 8 ). La probabilité d obtenir 2 fois le côté face de la pièce est de : P X (2) = P (X = 2) = 3 8. Définition 3.6 Fonction de répartition. La fonction de répartition de la variable aléatoire X est la fonction F telle que : F : R [0, 1] x F (x) = P (X x). Propriété 3.7 La fonction de répartition est toujours une fonction croissante et bornée par 0 et 1. Exemple 3.8 Avec l exemple précédent, on a : Pour x ], 0[, on a : F (x) = 0 Pour x ]0, 1], on a : F (x) = 1 8 Pour x ]1, 2], on a : F (x) = 1 8 + 3 8 = 1 2 Pour x ]2, 3], on a : F (x) = 1 8 + 3 8 + 3 8 = 7 8 Pour x ]3, 4], on a : F (x) = 1 8 + 3 8 + 3 8 + 1 8 = 1. Voici la représentation graphique :

3.2 Espérance mathématique 11 0, 75 y [ 0, 5 [ [ 3 2 1 1 2 3 [ x 3.2 Espérance mathématique Définition 3.9 Espérance mathématique. Soient Ω l univers correspondant à une expérience aléatoire, P une probabilité sur Ω et X une variable aléatoire sur Ω telle que X(Ω) soit fini a. On note {x 1,..., x n } l ensemble X(Ω) (c est-à-dire l ensemble des valeurs prises par X. L espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombré, noté E(X), défini par : où p i = P (X = x i ). E(X) = p i x i = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n a. Si X(Ω) est infini dénombrable, l espérance existe encore sous réserve de la convergence (absolue) de la série de terme général x np n. R 3.10 L espérance est la moyenne des valeurs x i pondérées par les probabilités p i. Exemple 3.11 On reprend l exemple de la pièce de monnaie. On a : E(X) = 1 8 0 + 3 8 1 + 3 8 2 + 1 8 3 = 3 2. R 3.12 On pourrait aussi calculer l espérance E(X) en revenant aux événements élémentaires de l univers Ω au lieu d utiliser les valeurs x i de la variable aléatoire X : E(X) = ω Ω P (ω)x(ω). Exemple 3.13 Suite à la remarque 3.2. Sur l exemple précédent, comme P (ω) = 1 8, cela donne-

12 Leçon n o 3 Variables aléatoires discrètes rait : E(X) = 1 X(ω) 8 ω Ω = 1 [X(P P P ) + X(P P F ) + X(P F P ) + X(F P P ) 8 + X(P F F ) + X(F P F ) + X(F F P ) + X(F F F )] = 1 8 (0 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3) = 3 2. Théorème 3.14 Linéarité de l espérance. Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même univers Ω de cardinal fini. Soit P une probabilité sur Ω. On a : E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). En particulier, si b est un réel : et pour tout réel k, E(X + b) = E(X) + b E(kX) = ke(x). Dv Preuve Démonstration du théorème 3.14. On a : E(X + Y ) = ω Ω(X + Y )(ω)p (ω) = X(ω)P (ω) + Y (ω)p (ω) = E(X) + E(Y ). ω Ω ω Ω En prenant Y constante égale à b, on obtient : E(X + b) = E(X) + E(b) = E(X) + b. De plus, E(kX) = kp i x i = k p i x i = ke(x). 3.3 Variance et écart-type Définition 3.15 Variance et écart-type. Soient Ω l univers correspondant à une expérience aléatoire, P une probabilité sur Ω et X une variable aléatoire sur Ω telle que X(Ω) soit fini. On note {x 1,..., x n } l ensemble X(Ω) (c est-à-dire l ensemble des valeurs prises par X).

3.3 Variance et écart-type 13 La variance de la variable aléatoire X est le nombre, notée Var(X), défini par : Var(X) = E((X E(X)) 2 ) = p i (x i E(X)) 2 = p 1 (x 1 E(X)) 2 + + p n (x n E(X)) 2. L écart-type de la variable aléatoire X est le nombre, noté σ(x) défini par : σ(x) = Var(X). R 3.16 1. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. 2. La variance est une quantité positive, donc l écart-type est bien défini. Exemple 3.17 Sur le problème du comptage du côté face, on calcule la variance de X : Var(X) = 1 ( 0 3 ) 2 + 3 ( 1 3 ) 2 + 3 ( 2 3 ) 2 + 1 ( 3 3 2 = 8 8 8 2 8 2 8 2) 3 4. D où : σ(x) = 3 3 Var(X) = 4 = 2. Exemple 3.18 Montrer que l espérance E(X) minimise la fonction f définie par R par : mais pas la fonction g définie par : f(x) = g(x) = p i (x i x) 2 p i x i x. Dv Preuve Réponse à l exercice 3.18. La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables et on a, pour tout x R : On en déduit : f (x) = 2 p i (x i x) = 2 p i x i 2x p i = 2(E(X) x). f (x) 0 x E(X). Donc f admet un minimum en E(X) (et ce minimum est f(e(x)) = Var(X). L espérance est donc la quantité qui minimise la moyenne des carrés des écarts. Par contre, elle ne minimise ps la moyenne des écarts. En effet, on considère la variable aléatoire X définie par la loi suivante : x i 0 1000 p i 0,9 0,1

14 Leçon n o 3 Variables aléatoires discrètes On a : Or : E(X) = p 1 x 1 + p 2 x 2 = 1000 g(e(x)) = p 1 x 1 1000 + p 2 x 2 1000 = 90 + 90 = 180. g(0) = E(X) = 100. Donc : g(0) < g(e(x)). Conclusion : E(X) ne minimise pas la fonction g et on peut montrer que la médiane est ce minimum. Théorème 3.19 Formule de Koenig. La variance d une variable aléatoire X peut se calculer avec la relation suivante : Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2. La variance est l écart entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne. Dv Preuve Démonstration de la formule de Koeing. On rappelle que l espérance d une variable aléatoire constante X = b est égale à la constante b. D après la linéarité de l espérance : D où Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2. Var(X) = E((X E(X)) 2 ) = E(X 2 2XE(X) + E(X) 2 ) = E(X 2 ) 2E(X)E(X) + E(X) 2 E(1) Exemple 3.20 On reprend l exemple de la pièce de monnaie lancée trois fois de suite. On rappelle que X est le nombre de «face» obtenu. On a déjà calculé E(X), on calcule E(X 2 ) : E(X 2 ) = 1 8 02 + 3 8 12 + 3 8 22 + 1 8 32 = 3. D où : Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 3 9 4 = 3 4. Corollaire 3.21 Effet d un changement affine sur la variance et l écart-type. Soit X une variable aléatoire. Soient a et b deux réels. On : Var(aX + b) = a 2 Var(X) et σ(ax + b) = a σ(x). En particulier : et Var(aX) = a 2 Var(X) et σ(ax) = a σ(x) Var(X + b) = Var(X) et σ(x + b) = σ(x). Dv

3.4 Exemples de variables aléatoires discrètes 15 Preuve Démonstration du corollaire 3.21. D après la formule de Koeing, on a : et d après la linéarité de l espérance, Var(aX + b) = E(a 2 X 2 + 2abX + b 2 ) [E(aX + b)] 2 Var(aX + b) = a 2 E(X 2 ) + 2abE(X) + b 2 [ae(x) + b] 2 D où, par passage à la racine carrée : = a 2 E(X 2 ) + 2abE(X) + b 2 a 2 [E(X)] 2 2abE(X) b 2 = a 2 Var(X). σ(ax + b) = a σ(x). Pour montrer la particularisation, il faut remplacer dans chaque formule b = 0 et a = 1 (selon le cas que l on veut démonter). 3.4 Exemples de variables aléatoires discrètes 3.4.1 Loi de Bernoulli Définition 3.22 Une expérience de Bernoulli est une expérience qui n a que deux issues possibles, l une appelée «succès»qui a pour probabilité p, l autre appelée «échec»qui a pour probabilité q = 1 p. Définir une loi de Bernoulli de paramètre p, c est associer une loi de probabilité discrète à cette expérience aléatoire en faisant correspondre la valeur 1 à l apparition d un succès et 0 à celle d un échec. x i 1 0 P (X = x i ) p 1 p Exemple 3.23 Si on lance un dé et qu on nomme «succès» l apparition de la face 6, on définit la loi de Bernoulli suivante : x i 1 0 P (X = x i ) 1 6 5 6 Propriété 3.24 Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli B(p), alors : L espérance de X vaut E(X) = p. La variance de X vaut Var(X) = pq. Exemple 3.25 Dans l exemple précédent, on obtient E(X) = 1 6 et Var(X) = 5 36. 3.4.2 Loi binomiale Définition 3.26 Loi binomiale. La loi binomiale de paramètres n et p, notée Bin(n, p) est la loi de probabilité du nombre de succès dans la répartition de n expériences de Bernoulli de paramètres p identiques et indépendantes. Elle est définie par : P (X = k) = ( ) n p k q n k, 0 k n. k

16 Leçon n o 3 Variables aléatoires discrètes Exemple 3.27 On lance 2 fois un dé bien équilibré. On s intéresse à l apparition de la face 6. Chaque lancer est une expérience de Bernoulli de paramètres 1 6. On obtient donc une loi binomiale Bin(2, 1/6). nombre de succès 0 1 2 25 10 probabilité 36 36 Propriété 3.28 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale Bin(n, p) alors : L espérance de X vaut E(X) = np. La variance de X vaut Var(X) = npq. Exemple 3.29 Dans l exemple précédent, on obtient E(X) = 1 3 3.4.3 Loi de Poisson 1 36 et Var(X) = 5 18. La loi de Poisson modélise des situations où l on s intéresse au nombre d occurrences d un événement dans un laps de temps déterminé ou dans une région donnée. Par exemple : nombre d appels téléphoniques qui arrivent à un standard en x minutes, nombre de clients qui attendent à la caisse d un magasin, nombre de défauts de peinture par m 2 sur la carrosserie d un véhicule... Définition 3.30 La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ, notée Pois(λ) avec λ > 0 lorsque sa loi de probabilité vérifie : P (X = k) = e λ λk, k N. k! Exemple 3.31 On considère la variable aléatoire X mesurant le nombre de clients se présentant au guichet 1 d un bureau de poste par intervalle de temps de durée 10 minutes entre 14h30 et 16h30. On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre λ = 5. Dv Pour λ = 5, la table de la loi de Poisson nous donne : k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 P (X = k) 0, 007 0, 034 0, 084 0, 140 0, 176 0, 176 0, 146 0, 104 0, 065 0, 036 0, 018 0, 008 0, 003 0, 001 0, 000 On peut aussi représenter graphiquement la loi Pois(5) : 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 La probabilité qu entre 14h30 et 14h40, 10 personnes exactement se présentent à ce guichet vaut : P (X = 10) = 0, 018.

3.4 Exemples de variables aléatoires discrètes 17 La probabilité qu entre 15h20 et 15h30, au maximum 3 personnes se présentent à ce guichet vaut : P (X 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 265. La probabilité qu entre 16h00 et 16h10, 8 personnes au moins se présentent à ce guichet vaut : P (X 8) = 1 P (X < 8) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + + P (X = 7)] = 1 0, 867 = 0, 133. Propriété 3.32 Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ, alors l espérance et la variance sont égales et valent E(X) = Var(X) = λ. Exemple 3.33 Dans l exemple précédent, on obtient E(X) = Var(X) = 5.

18 Leçon n o 3 Variables aléatoires discrètes

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