78 Variables aléatoires Variables aléatoires (résumé) 79 La somme et le produit de variables aléatoires 80 Formules concernant l espérance mathématique 8 E(X+Y) = E(X) + E(Y) (vérification pour un cas simple)8 Somme à double indice 83 Présentation de la variable aléatoire X + Y84 Preuve de E(X+Y)=E(X) + E(Y) 85 Espérance mathématique de la variable aléatoire ax + b 86 La variance de la variable aléatoire ax + b 87 La multiplication des variables aléatoires 88 La covariance et le coefficient de corrélation 89 La corrélation et l indépendance90 La variance d une somme de variables aléatoires indépendantes9
79 Variables aléatoires (résumé) Addition des variables aléatoires X et Y sur (Ω,T,P) ( X + Y = zk ) = U ( X = xi ) ( Y = y j) xi + y zk Multiplication des variables aléatoires X et Y sur (Ω,T,P) xi y zk ( X = ) ( Y = ) T X Y = tk = U xi y j donc est une variable aléatoire E (X + Y) = E(X) + E(Y) E (ax + b) = ae(x) + b Vérification de ces formules, utilisation de : m n n m ) ai j = ai j ) ai j = ai j i, j Preuve de la propriété : V (ax + b) = a V(X) La covariance de X et Y Cov(X,Y) = E( (X E(X)) (Y E(Y)) ) Cov (X,Y) = E(X Y) E(X) E(Y) Définition du coefficient de corrélation de X et Y cov(x,y) σ (X,Y) = σ(x) σ(y) Définition de l indépendance de X et Y Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes lorsque pour tout choix de i et j : P ((X = ) (Y = )) = P (X = ) P (Y = ) xi Si les variables aléatoires y j xi y j X et Y sont indépendantes alors : E (XY) = E(X) E(Y) et V(X + Y) = V(X) + V(Y) Cov (X,Y) = 0
80 La somme et le produit de variables aléatoires Les variables aléatoires sont définies sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Rappel Z : Ω R Pour que Z dont les valeurs possibles sont z;z;,; zn soit une variable aléatoire il faut et il suffit que { ω/ ω Ω et Z( ω) = xi} T pour tout i X et Y sont des variables aléatoires sur (Ω,T,P) Valeurs possibles Les valeurs possibles de X sont x,x,,xm, de Y sont y, y,, yn Addition Z = X + Y définie par Z( ω) = X( ω) + Y( ω) si ω Ω est une nouvelle variable aléatoire sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Preuve Les valeurs possibles de Z = X + Y sont z,z,,zs telles que pour k il existe ( i, j) tel que : tout { ;;s} ( X = xi ) ( Y = y j) vide et zk = xi + y j Il peut exister plusieurs couples ( i, j) tels que X = xi Y = y j vide et zk = xi + y Exemple xi =, y j = et Remarque ( ) zk ( ) ( ) j ( X = ) ( Y = ) = = 0 et ( X = ) ( Y = 0) vide vide;xi' y j' ( Z = zk ) = U ( X = xi ) ( Y = y j) xi + y zk xi y j tels que z k = xi + y j qu ils soient vides ou non (puisque A vide= A) Pour tout k,( Z = zk ) est une union finie d événements de T donc ( Z = zk ) T et X est une variable aléatoire d après la propriété rappelée Multiplication X Y défini par ( X Y)( ω) = X( ω) Y( ω) si ω Ω est une nouvelle variable aléatoire sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Preuve Les valeurs possibles sont t,t w telles que pour tout k { ;;s} il existe ( i, j) tel que : ( X = xi ) ( Y = y j) vide et tk = xi y j Z = est l union de tous les sous ensembles ( X = ) ( Y = ) ( X Y = ) = ( X = ) ( Y = ) T tk U xi y j donc est une variable aléatoire xi y zk Micro exercice Justifier que ( X Y = 0) = (X = 0) (Y = 0)
8 Formules concernant l espérance mathématique X et Y sont des variables aléatoires sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Addition Z = X + Y définie par Z( ω) = X( ω) + Y( ω) si ω Ω est une variable aléatoire sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Espérance mathématique de la somme de variables aléatoires E (X + Y) = E(X) + E(Y) Multiplication par un nombre Si a est un nombre réel ax définie par ( ax)( ω) = a X( ω) si ω Ω est une nouvelle variable aléatoire sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Espérance mathématique du produit ax E (ax) = ae(x) Variable aléatoire constante Si b est un nombre réel on peut l identifier à la variable aléatoire constante C b définie par Cb( ω ) = b pour tout ω Ω Espérance mathématique d une variable aléatoire constante E (Cb ) = Remarque Normalement on ne qualifie pas une constante comme aléatoire Espérance mathématique de la variable aléatoire ax + b La variable aléatoire ax + b est définie par ( ax + b)( ω) = ax( ω) + b si ω Ω b E (ax + b) = ae(x) + b Exercice Les valeurs possibles de X sont et 3 avec P (X = ) = 4 Les valeurs possibles de Y sont 4 et 5 avec P (Y = 4) = 5 ) Donner les valeurs possibles de X + Y ) Calculer E (X + Y), E(3X + 4Y), E(3X + 4) Réponse 7,55 ; 7,45 ;,5
E(X+Y) = E(X) + E(Y) (vérification pour un cas simple) Valeurs possibles de X:, 3 Valeurs possibles de Y : 0, 0 (X = ) (Y = 0) vide,(x = 3) (Y = 0) vide Valeurs possibles de Z = X + Y Z = + 0 = : P(Z = ) = P( Z = + 0 ) = P( (X = ) (Y = 0) ) Z = + 0 = : P(Z = ) = P Z = + 0 = P (X = ) (Y = 0) Z = 3 + 0 = : P(Z = 3) = P( Z = 3 + 0 ) = P( (X = 3) (Y = 0) ) Z = 3 + 0 = : P( Z = 3 ) = P( (X = 3) (Y = 0) ) E(Z) = ( + 0)P 8 (X = ) (Y = 0) vide,(x = 3) (Y = 0) vide ( ) ( ) ((X = ) (Y = 0) ) + ( + 0)P( (X = ) (Y = 0) ) ((X = 3) (Y = 0) ) + (3 + 0)P( (X = 3) (Y = 0) ) (3 + 0)P () (mise de et 3 en facteur) E(Z) = P (X = ) (Y = 0) + P (X = ) (Y = 0) + 0P ( ( ) ( )) ((X = ) (Y = 0) ) + 0P( (X = ) (Y = 0) ) () P (X = i) (Y = 0) + P (X = i) (Y = 0) = P(X = i))si i =, : Puisque ( ( ) ( )) 3 E (Z) = P(X = ) + 3 P(X + 3) + 0 P (X = ) (Y = 0) + 0 P (X = ) (Y = 0) + 0 P (X = 3) (Y = 0) + 0P (X = 3) (Y = 0) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) (mise de 0 et 0 en facteur) E (Z) = P(X = ) + 3 P(X + 3) + 0 P( (X = ) (Y = 0) ) + P( (X = 3) (Y = 0) ) + 0 P (X = ) (Y = 0) + P (X = 3) (Y = 0) ( ) ( ( ) ( )) (4) P (X = ) (Y = j) + P (X = 3) (Y = j) = P(Y = j))si j = 0,0 Puisque ( ( ) ( )) : E (Z) = P(X = ) + 3 P(X + 3) + 0 P(Y = 0) + 0 P(Y = 0) Donc E (Z) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) Micro exercice Dans l exemple : P (X = ) = 0,0 P(Y = 0) = 0,30 Calculer E (X + Y) Réponse 5,9 +
83 Somme à double indice M est une matrice à m lignes et n colonnes dont les termes sont notés a i j est sur la ligne i et la colonne j La somme des termes de la matrice Mm, n est désignée par : i, j Propriété m n n m ) ai j = ai j ) ai j = ai j i, j Preuve n ) a i j est la somme des termes de la ligne no i ; m n ai j est la somme des sommes de toutes les lignes de M : la somme des termes de M m ) a i j est la somme des termes de la colonne no j ; n m ai j est la somme des sommes de toutes les colonnes de M: la somme des termes de M m Notation Si A est un sous- ensemble de l ensemble des couples ( i, j) tels que i m j n alors A tels que ( i, j) A ai j désigne la somme des termes de la matrice M n m (n + ) (m + ) Micro exercice Si a i j = i j vérifier que a i j = 4 i, j Exemple m = 3,n = 4 3 4 + + 3 + 4 = 0 + + 3 + 4 = 0 M = 4 6 8 3 6 9 3 + 3 + 3 3 + 3 4 = 30 : 0 + 0 + 30 = 60 6 8 4 : 6 + + 8+ 4= 60 a i j
84 Présentation de la variable aléatoire X + Y X et Y sont des variables aléatoires sur (Ω,T,P) Valeurs possibles Les valeurs possibles de X sont x,x,,xm, de Y sont y, y,, yn Les valeurs possibles de X + Y sont z,z,,zs, Rappel Remarque X xi Y = y j ( Z = zk ) = U ( X = xi ) ( Y = y j) xi + y zk Si ( = ) ( ) et ( X ) ( Y = y j' ) = xi' sont distincts alors : Donc : ( ( X = xi) (Y = ) ) ( (X = ) (Y = )) = vide P y j xi ' y j ' ( Z = z k ) = P( X = x i ) ( Y = y j ) xi + y zk z k P(Z = z k ) = (x i + y j ) P (X xi + y zk ( = x i ) (Y = y j )) Si ( X xi) (Y = y j) = vide = alors P ((X xi) (Y = y j) ) = 0 = n intervient pas dans la somme Remarque M est la matrice à m lignes et n colonnes dont les termes sont a i j ai j = ai j tel que A = { ai j / ai j M et xi + y j = zk } xi + y zk A Micro exercice Les valeurs de X et Y sont dans les deux cas,, 3, 4, 5, 6 Pour tout i =,,3,4,5,6 et j =,,3,4,5,6 P( ( X = i) ( Y = j) ) = 36 Calculer P ( X + Y = ), P( X + Y = ),P( X + Y = 7) Réponses,, 36 8 6
Preuve de E(X+Y)=E(X) + E(Y) Valeurs de X : x,,xm, de Y : y,, yn, de Z = X + Y : z,z,,zs La matrice M est la matrice à m lignes et n colonnes dont les termes sont ai 85 ( X = ) ( Y = ) avec i m j n j = (xi + y j) P xi y j L espérance mathématique de Z E (Z) = zp(z = z) + + zsp(z = zs) En utilisant les résultats présentés on se rend compte que E(Z) = a i j i, j PREUVE N M N M M a i j = xip( X = xi Y = y j ) + y jp( X = xi ) ( Y = y j ) N M M a i j = xi P( X = xi Y = y j ) + y jp( X = xi ) ( Y = y j ) N M a i j = xip X = xi + y jp( X = xi Y = y j ) N N ( ) = = + M a i j xip X xi y jp X = xi Y = y j J= N M ( ) = = + N a i j xip X xi y jp X = xi Y = y j N M ( ) = = + N a i j xip X xi y j P X = xi Y = y j N M 8) a i j = x i P( X = x i ) + y j P( Y = y j ) 9) a i j = E (X) + E(Y ) i, j ) a i j = (xi + y j)p( X = xi ) ( Y = y j ) ) ( ) ( ) 3) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) ( ) 5) ( ) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) ( ) 7) ( ) ( ) ( ) Micro exercice Justifier le passage de 3) à 4) et de 7) à 8)
86 Espérance mathématique de la variable aléatoire ax + b X une variable aléatoire finie définie sur l espace de probabilités (Ω,T,P) a et b sont des nombres réels Z= ax + b est définie par Z( ω) = ax( ω) + b si ω Ω Propriété Z est une variable aléatoire et E (Z) = ae(x) + b : E (ax + b) = ae(x) + b Preuve Soient x,,x m les valeurs de X ) Z est une variable aléatoire Z = ax + b admet les valeurs z = ax + b,,zm = axm + b Les valeurs de Z sont en nombre fini et de plus { ω / ω Ω et Z( ω) = zi} T ( puisque { ω / ω Ω et Z( ω) = zi} = { ω/ ω Ω et X( ω) = xi} T) Donc Z est une variable aléatoire d après la propriété : Z : Ω R Pour que Z dont les valeurs possibles sont z;z;,; zn soit une variable aléatoire il faut et il suffit que { ω/ ω Ω et Z( ω) = xi} T pour tout i (Variables aléatoires page 7) ) E (Z) = ae(x) + b E (Z) = zp( Z = z) + zp( Z = z ) + + zmp( Z = zm ) { ω / ω Ω et Z( ω) = zi} = { ω/ ω Ω et X( ω) = xi} : ( Z = zi ) = ( X = xi ) et zi = axi + b donc : E (Z) = (ax + b)p X = x + (ax + b)p X = x + + (axi + b)p X = xm ) ( ) ( ) ( ) ) E (Z) = a( xp ( X = x) + xp( X = x) + + xmp( X = xm )) + b ( P( X = x) + P( X = x) + + P( X = xm )) 3) E (Z) = ae(x) + b puisque P( X = x) + P( X = x ) + + P( X = xm ) = et x ( X = ) + xp( X = ) + + xmp( X = ) = E(X) P x x xm Micro exercice Donner dans tout les cas E(Z) si Z = X E(X) Réponse 0
La variance de la variable aléatoire ax + b X une variable aléatoire finie définie sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Soient x,,x m les valeurs de X Rappel (la variance de X) Propriété V (X) = m 87 ( ) xi E(X) P ( X = xi ) V ( X) est la variance de X V (ax + b) = Preuve m V(aX + b) = axi m = ax i m = a xi = a V(X) Application à l écart type L écart type de la variable aléatoire a V(X) a et b sont des nombres réels ( + b ( ae(x) + b) ) P( X = ) ( ae(x) ) P( X = ) x i ( E(X) ) P( X = ) xi ax + b est σ ( ax + b) = V(aX + b) Donc : σ( ax + b) = a V(X) = a σ(x) puisque a = a exemple ( ) = 4 = = Formule xi σ ( ax + b) = a σ(x) Micro exercice Vérifier que pour toute variable aléatoire X : X E(X) X E(X) E = 0 et σ = σ(x) σ(x)
88 La multiplication des variables aléatoires X et Y sont des variables aléatoires finies sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Les valeurs de X sont x,,xm, les valeurs de Y sont : y,, yn Rappel Z = X Y définie par Z( ω) = X( ω) Y( ω) si ω Ω est une nouvelle variable aléatoire sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Z = X Y ( X Y se note aussi XY ) Les valeurs possibles de Z = X Y sont z,z,,zs telles que pour tout k { ;;s} il existe ( i, j) tel que : Les valeurs possibles XY sont t,t w telles que pour tout k { ;;s} il existe ( i, j) tel que : ( X = xi ) ( Y = y j) vide et tk = xi y j ( X Y = ) = ( X = ) ( Y = ) T tk U xi y j donc est une variable aléatoire xi y tk L espérance mathématique E (XY) = x i y j P( X = x i ) ( Y = y j ) i, j (Avec les mêmes notations que pour l espérance mathématique d une somme) Micro exercice Les valeurs de X sont 0 et et de Y sont et P( ( X = i) Y = j) ) = pour 4 3 tout couple ( i, j) Donner E (XY) Réponse 4
89 La covariance et le coefficient de corrélation X et Y sont des variables aléatoires finies sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Définition de la covariance de X et Y La covariance des variables aléatoires X et Y est le nombre : Cov(X,Y) = E ( (X E(X)) (Y E(Y)) ) La covariance de X et Y Remarque Si X = Y la covariance de X et Y devient la variance V (X) = E (X E(X)) Rappel Formule de la covariance V(X) = E X (E(X)) Formule de la variance Cov (X,Y) = E(X Y) E(X) E(Y) Formule de la covariance Preuve de la Formule de la covariance E (X E(X)) (Y E(Y)) = E XY XE(Y) E(X)Y + E(X)E(Y) [ ] [ ] = E(XY) E(X)E(Y) E(X)E(Y) + E(X)E(Y) = E(XY) E(X)E(Y) Définition du coefficient de corrélation de X et Y Le coefficient de corrélation de X et Y est le nombre : cov(x,y) σ (X,Y) = σ(x) σ(y) Coefficient de corrélation Rappel σ( X) = V(X) est l écart type de X Exercice rapide T est centrée si E (T) = 0 T est réduite si σ ( T) = Justifier que si X et Y sont centrées réduites alors σ ( X,Y) = E(X Y)
90 La corrélation et l indépendance X et Y sont des variables aléatoires finies sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Les valeurs de X sont : x,,xm, les valeurs de Y sont : y,, yn Définition de l indépendance de X et Y Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes lorsque pour tout choix de ( i, j) avec i =,,m et j =,,n : ((X = ) (Y = )) = P (X = ) P (Y ) P xi y j xi = y j Propriété Si les variables aléatoires X et Y sont indépendan tes alors : E XY = E X E Y ( ) ( ) ( ) Si les variables aléatoires X et Y sont indépendan tes alors : Cov(X, Y) = 0 Le coefficient de corrélation de deux variables aléatoires indépendantes est nul Exercice Les valeurs des variables aléatoires X et Y sont et et : P( (X =) (Y = ) ) = 0,0 P( (X = ) (Y = ) ) = 0,0 ((X =) (Y = ) ) = 0,0 P( (X = ) (Y = ) ) = 0, 60 P ) Vérifier que X et Y sont identiques P (X = i) = P(Y = i) pour i = et ) Calculer Cov(X,Y) et le coefficient de corrélation de X et Y Réponses ) E(XY) = 0,0 + 0,0 + 0,0 + 4 0,60 = 3 E(X)E(Y) = E(X) = (0,30 + 0,70) =,89: Cov(X, Y) = 3,89 = 0, 0, 0, ) V(X) = 0, = V(Y) σ(x,y) = = 0,5 0, 0, 0, X et Y sont identiques mais ne sont pas indépendantes Travail à faire Vérifier que si les variables aléatoires finies X et Y sont indépendantes alors E (XY) = E(X) E(Y) (S inspirer de la preuve de la propriété E (X + Y) = E(X) + E(Y) )
9 La variance d une somme de variables aléatoires indépendantes X et Y sont des variables aléatoires (finies) sur l espace de probabilités (Ω,T,P) Mise en garde En général V (X + Y) n est pas égal à V (X) + V(Y) Si a est un réel alors : V (ax) = a V(X) Propriété Si X et Y sont indépendan tes alors V (X + Y) = V(X) + V(Y) Suite de variables aléatoires indépendantes deux à deux La suite de variables aléatoires X,X,,Xn, est une suite de variables aléatoires indépendantes à lorsque chaque fois que i j les variables aléatoires Xi et X j sont indépendantes Propriété Si la suite de variables aléatoires X,X,,Xn, est une suite de variables aléatoires indépendantes à alors V ( X + X + + Xn ) = V(X) + V(X) + + V(Xn ) En particulier : X + X + + V Xn n = ( + + + ) V X X n Xn = V(X) + V(X) + n + V(Xn ) Travail à faire Vérifier que si les variables aléatoires finies X et Y sont indépendantes alors : (Utiliser la Formule de la variance) V (X + Y) = V(X) + V(Y)