Calcul d un terme de rang donné Suite arithmétique Un petit village de Chine surveille avec inquiétude l avancée d une dune de sable de plusieurs km de long. Elle n est plus aujourd hui en 2011 qu à 200m des premières maisons du village et avance à une vitesse moyenne de 10m/an. Pour n 0, on note d n la distance en séparant le village de la dune. On suppose que la dune continue d avancer à la même allure. Calculer la distance séparant la dune du village dans 12 ans. On a : Premier Terme : d 0 = 200; Terme Général: d n = 200 10n ; Terme Récurrent : d n+1 = d n 10 ; Suite géométrique Une balle élastique est lâchée d une hauteur de 100m au dessus du sol. La hauteur atteinte à chaque rebond est égale à 9 de la hauteur du précédent. Calculer la hauteur, en cm près, du dixième rebond. On a : Premier Terme : U 0 =100 Terme Général : U n+1 = 9 10 U n Terme Récurrent : U n = 100 9 10 10 n Utilisation de la forme explicite Utilisation de la forme explicite Programme nom_du_programme ; VAR U : réel ; N : entier ; DEBUTPROG Afficher("hauteur de départ") ; Saisir(U) ; Afficher("nombre de rebond voulu") ; Saisir(N) ; U <- U*puissance((9/10),N); Afficher("la hauteur au",n,"ième rebond est",u) ; FINPROG
Utilisation de la relation de récurrence Utilisation de la relation de récurrence Programme nom_du_programme ; VAR D : réel ; N : entier ; index : entier ; DEBUTPROG Afficher("distance du village en 2011" ) ; Saisir (D) ; Afficher ("année voulue") ; Saisir (N) ; POUR index <- 0 JUSQU'A N FAIRE D <- D-10 ; FINP Afficher{ "la distance séparant la dune du village dans",n,"ans est",d } ; FINPROG
Exercice suites : Intérêts simples, intérêts composés Une personne souhaite placer durant plusieurs années un capital de 20 000 euros. Elle hésite entre deux types de placements : Un placement à intérêts simples à 2,25 % l an : chaque année, son capital augmente d une somme fixe égal à 2,25 % du capital initial, c est-à-dire de 450 ; Un placement à intérêts composés à 2 % l an : dans ce cas, les intérêts produits sont capitalisés, et rapportent donc eux aussi 2 % l an. On désigne par S n le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérêts sont simples (S 0 = 20 000), et C n le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérêts sont composés (C 0 = 20 000). 1 ) Calculer S 1 et C 1. 2 ) Quelle est la nature de la suite (S n )? De la suite (C n )? Justifier. 3 ) Faire fonctionner l algorithme ci-dessous qui détermine le terme de rang n de chacune des deux suites, et qui donne le placement le plus avantageux suivant la valeur de n. 2 n EST_DU_TYPE NOMBRE 3 i EST_DU_TYPE NOMBRE 4 S EST_DU_TYPE LISTE 5 C EST_DU_TYPE LISTE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 LIRE n 8 S[0] PREND_LA_VALEUR 20000 9 C[0] PREND_LA_VALEUR 20000 10 POUR i ALLANT_DE 0 A n 11 DEBUT_POUR 12 S[i+1] PREND_LA_VALEUR S[i]+450 13 C[i+1] PREND_LA_VALEUR C[i]*1.02 14 FIN_POUR 15 SI (S[n]>C[n]) ALORS 16 DEBUT_SI 17 AFFICHER "le placement 1 est le plus avantageux" 18 FIN_SI 19 SINON 20 DEBUT_SINON 21 AFFICHER "le placement 2 est le plus avantageux" 22 FIN_SINON 23 AFFICHER "S[n] = " 24 AFFICHER S[n] 25 AFFICHER "C[n]=" 26 AFFICHER C[n] 27 FIN_ALGORITHME
Comparaison du comportement de différentes suites Dans une grande ville, 3 opérateurs téléphoniques proposent des abonnements renouvelables chaque trimestre. On suppose que les tendances observées vont se maintenir quelques années. Opérateur 1 Osanguine : 8000 abonnés initialement et 500 nouveaux recrutés chaque trimestre Opérateur 2 Cé pa fèr : 5000 abonnés initialement et croissance de 8% du nombre d abonnés chaque trimestre Opérateur 3 BEUG: 10000 abonnés initialement, un taux de réabonnement trimestriel de 80% et 2500 nouveaux recrutés chaque trimestre. Au bout de 2 ans, quel opérateur a le plus d abonnés? Au bout de 3 ans, quel opérateur a le plus d abonnés? Au bout de 5 ans, quel opérateur a le plus d abonnés? Solution : Opérateur 1 : U 0 = 8000 et U n+1 = U n + 500 Opérateur 2 : V 0 =5000 et V n+1 = 1,08 V n Opérateur 3 : W 0 =10000 et W n+1 = 0,8 W n + 2500 Avec un tableur série 2 série 3 série 4 n Un Vn WN 0 8000 5000 10000 1 8500 5400 10500 2 9000 5832 10900 3 9500 6298,56 11220 4 10000 6802,4448 11476 5 10500 7346,64038 11680,8 6 11000 7934,37161 11844,64 7 11500 8569,12134 11975,712 8 12000 9254,65105 12080,5696 9 12500 9995,02314 12164,4557 10 13000 10794,625 12231,5645 11 13500 11658,195 12285,2516 12 14000 12590,8506 12328,2013 13 14500 13598,1186 12362,561 14 15000 14685,9681 12390,0488 15 15500 15860,8456 12412,0391 16 16000 17129,7132 12429,6313 17 16500 18500,0903 12443,705 18 17000 19980,0975 12454,964 19 17500 21578,5053 12463,9712 20 18000 23304,7857 12471,177 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Série2 Série3 Série4
Comparaison_evolution_suites Version algobox 2 O EST_DU_TYPE NOMBRE 3 C EST_DU_TYPE NOMBRE 4 B EST_DU_TYPE NOMBRE 5 i EST_DU_TYPE NOMBRE 6 N EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME 8 AFFICHER "Nombre d'abonnés initialement à Sanguine " 9 LIRE O 10 AFFICHER "Nombre d'abonnés initialement à Cé pa Fèr " 11 LIRE C 12 AFFICHER "Le nombre d'abonnés initialement à BEUG " 13 LIRE B 14 AFFICHER "Nombre de trimestres voulus " 15 LIRE N 16 POUR i ALLANT_DE 1 A N 17 DEBUT_POUR 18 O PREND_LA_VALEUR O+500 19 C PREND_LA_VALEUR 1.08*C 20 B PREND_LA_VALEUR 0.8*B+2500 21 FIN_POUR 22 SI (O>C) ALORS 23 DEBUT_SI 24 SI (B>O) ALORS 25 DEBUT_SI 26 AFFICHER "Beug a le plus d'abonnés en " 27 AFFICHER N 28 AFFICHER "Trimestres. le nombre d'abonnés est " 29 AFFICHER B 30 FIN_SI 31 SINON 32 DEBUT_SINON 33 AFFICHER "Sanguine a le plus d'abonnés en " 34 AFFICHER N 35 AFFICHER "trimestres. le nombre d'abonnés est " 36 AFFICHER O 37 FIN_SINON 38 FIN_SI 39 SINON 40 DEBUT_SINON 41 SI (B>C) ALORS 42 DEBUT_SI 43 AFFICHER "BEUG a le plus d'abonnés en " 44 AFFICHER N 45 AFFICHER "trimestres. Le nombre d'abonnés est " 46 AFFICHER B 47 FIN_SI 48 SINON 49 DEBUT_SINON 50 AFFICHER "Cé Pa Fèr a le plus d'abonnés en " 51 AFFICHER N 52 AFFICHER "trimestres. le nombre d'abonnés est " 53 AFFICHER C 54 FIN_SINON 55 FIN_SINON 56 FIN_ALGORITHME
Calcul d'un terme de rang donné d'une suite définie par récurrence, problème de seuil. Au 1 er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100000 habitants. Un bureau d'étude fait l hypothèse qu'à partir du 1 er janvier 2005: le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès; du fait des mouvements migratoires, 4000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville. 1. Écrire un algorithme permettant de déterminer la population de cette ville au 1 er janvier 2020. 2. Modifier l'algorithme précédent afin de déterminer à partir de quelle année la population de cette ville aura doublée. 1. 2 N EST_DU_TYPE NOMBRE 3 i EST_DU_TYPE NOMBRE 4 pop EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 i PREND_LA_VALEUR 0 7 pop PREND_LA_VALEUR 100000 8 TANT_QUE (i<15) FAIRE 9 DEBUT_TANT_QUE 10 pop PREND_LA_VALEUR 1.05*pop+4000 11 i PREND_LA_VALEUR i+1 12 FIN_TANT_QUE 13 AFFICHER "L'année en laquelle la population aura doublée pour la première fois est: " 14 AFFICHER pop 15 FIN_ALGORITHME 2. 2 N EST_DU_TYPE NOMBRE 3 i EST_DU_TYPE NOMBRE 4 pop EST_DU_TYPE NOMBRE 5 a EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 i PREND_LA_VALEUR 0 8 pop PREND_LA_VALEUR 100000 9 TANT_QUE (pop<200000) FAIRE 10 DEBUT_TANT_QUE 11 pop PREND_LA_VALEUR 1.05*pop+4000 12 i PREND_LA_VALEUR i+1 13 FIN_TANT_QUE 14 a PREND_LA_VALEUR 2005+i 15 AFFICHER "L'année en laquelle la population aura doublée pour la première fois est: " 16 AFFICHER a 17 FIN_ALGORITHME
Résoudre un problème avec un algorithme La probabilité qu un tireur atteigne une cible est 1/3. On suppose les tirs indépendants les uns des autres. Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d atteindre au moins une fois la cible soit supérieure à 0,99? Solution sous ALGOBOX Solution sous forme d organigramme 2 compteur EST_DU_TYPE NOMBRE 3 pn EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 compteur PREND_LA_VALEUR 1 6 pn PREND_LA_VALEUR 1-2/3 7 TANT_QUE (pn < 0.99) FAIRE 8 DEBUT_TANT_QUE 9 compteur PREND_LA_VALEUR compteur+1 10 pn PREND_LA_VALEUR 1 - pow(2/3,compteur) 11 FIN_TANT_QUE 12 AFFICHER "Il faut " 13 AFFICHER compteur 14 AFFICHER "tirs pour que la probabilité qu'il atteigne au moins 1 fois la cible soit supérieure à 0,99" 15 FIN_ALGORITHME