Une Voiture à roues carrées

OLYMPIADES DE PHYSIQUE France Année 2013-2014 XXI e édition Une Voiture à roues carrées Elèves participants : Gareni Thomas Cabirol Eva Ressuge Hugues Mermoud Dylan Toniazzi Pauline Avec LACLAVERIE Jean-Michel Professeur encadrant Lycée Bernard Palissy- AGEN Académie de Bordeaux

Résumé Table des matières Mots clefs Partenaires Introduction A- Des véhicules à roues carrées 1- La forme de la piste et la forme des roues 2- Equation différentielle reliant routes et roues B- Etude mécanique 1- Mouvement d une roue carrée 1.1- Sur route horizontale 1.2 - Sur route de cylindres 2- Association de deux essieux 3- Le véhicule C- Etude électrique D- D autres formes de roue pour une piste cylindrique E- La roue carrée plus efficace que la roue ronde F- Un prototype à plus grande échelle Conclusion Annexes Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 1

Résumé : Les voitures, les vélos ou les camions roulent tous avec des roues rondes sur des routes planes. Nous nous sommes demandé s il était possible de faire rouler des roues qui n étaient pas rondes sur des routes qui n étaient pas planes. Nous avons choisi d étudier le mouvement d un 4x4 modèle réduit sur une route constituée de cylindres. Nous avons testé différentes formes de roue sur des routes de cylindres horizontales ou inclinées. Nous avons cherché s il était possible qu une roue carrée soit plus efficace qu une roue ronde. Puis nous avons réalisé un modèle à plus grande échelle roulant sur une route de buse ronde de 30 cm de diamètre. Mots clefs : Puissance et Energie (mécanique et électrique)- Trajectoire Partenaires : Les ouvriers de notre lycée qui nous ont aidé dans la réalisation de nos prototypes de roues et de véhicules Introduction Peut-on adapter la forme d une route, pour qu une roue de forme donnée, en roulant, garde son moyeu à hauteur constante? Voilà notre problématique. L émission diffusée sur France 5 en mars 2013 posait la question de manière plus accrocheuse : «Peut-on faire rouler une voiture à roues carrées?». C est le point de départ de notre projet. Nous avons-nous aussi voulu répondre à cette étonnante question. Nous avons donc commencé par faire des recherches sur les véhicules à roues carrées dans le cadre de notre cours de sciences physiques de Première S. Pourquoi? Parce que l énergie potentielle et cinétique, la puissance électrique et l énergie consommées, toutes ces notions que nous avons utilisées sont au programme de Première S. Après avoir compilé nos recherches, nous avons fabriqué plusieurs prototypes à roues carrées ou pentagonales, et nous les avons fait rouler sur des pistes faîtes avec des cylindres. Nous avons choisi d étudier l aspect mécanique du mouvement de nos véhicules, puis l aspect électrique car notre modèle principal utilise un moteur électrique. Des nouvelles questions se sont alors imposées : «Existe-t-il un intérêt pratique pour les véhicules à roues carrées?» Peuvent-ils dans certains cas être plus performants que les véhicules à roues rondes?» Puis nous avons cherché à fabriquer un modèle de taille plus importante, pouvant transporter un élève. Nous vous présenterons le résultat de nos recherches documentaires, puis une étude mécanique du mouvement d un système à roues carrées. Dans une troisième partie, nous aborderons la consommation électrique de notre système. Ensuite nous chercherons dans quelles conditions il peut être plus efficace qu une roue ronde. Enfin, nous terminerons avec notre tentative de fabriquer un modèle pouvant transporter un élève. A- Des véhicules à roues carrées Il y a peu de documentation sur le sujet sur Internet, et nos sources principales ont été un article de Pour la Science (Ian Stewart, professeur de mathématiques à l université de Warwick, juin 1993, N 188, p 102-105), et la vidéo de l émission «On n est pas que des cobayes.»(diffusée le dimanche 24 mars 2013). 1- La forme de la piste et la forme des roues Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 2

Le mouvement d une roue est un mouvement périodique. Elle tourne sur elle-même et reproduit ce mouvement pendant tout le déplacement. Si la vitesse du véhicule est constante, la fréquence de rotation de la roue l est aussi. Avec une roue ronde, la distance entre l axe de rotation et une route rectiligne horizontale est constante. Les moyeux et la voiture avancent horizontalement sans à- coups. Cependant, si la roue devient carrée, le moyeu ne reste plus à la même distance de la route, puisque le demi-côté du carré a est plus court que sa demi-diagonale b. La trajectoire devient plus compliquée. Elle est constituée d une suite d arc de chaînettes. Cette courbe correspond à la forme que prend une chaînette sous l effet de son poids. C est aussi le graphe du cosinus hyperbolique cosh. Elle a pour équation cartésienne y = a cosh (x/a), cosh désignant le cosinus hyperbolique. ( cosh (X) = ( exp (X) + exp (-X) ) / 2 ) a b Une route en arc de chaînette peut permettre de faire rouler des roues polygonales : Source : site «Drôles de roues pour drôles de routes» http://aesculier.fr/fichiersmaple/rouesdroles/triangle.gif On remarque que plus la roue polygonale a de côté, plus l arc de chainette est plat, et se rapproche de la ligne droite. La limite d une roue ayant une infinité de côté est la roue circulaire et sa route devient un plan. On peut aussi imaginer des routes en dents de scie pour roues en arcs de spirales, des roues circulaires décentrées pour routes en arcs de cercles, des engrenages La longueur d une arcade est égale à celle du côté de la roue. On Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 3

construit le profil de la route comme une succession d arcades identiques. Comme la roue roule sans glisser, la longueur d une arcade doit être égale à celle des côtés de la roue. A la jonction entre deux arcades, il faut, pour que le contact entre la route et la roue soit maintenu, que les tangentes aux arcades forment un angle égal à celui que font deux côtés consécutifs de la roue 1. Bien entendu, il faut aussi que le moyeu de la roue se déplace selon une droite. 2- Equation différentielle reliant routes et roues Cette étude s inspire de l article de Pour la science précédemment cité. Il est commode de représenter la route en coordonnées cartésiennes et la roue en coordonnées polaires, avec le pôle sur l axe, car la roue roule, mais pas la route. Supposons que le centre de la roue décrive l axe des x. Il s agit d un problème dynamique. La variable t symbolise le temps. L expérience commence pour t = 0. L équation polaire de la roue est de la forme r = r(θ). La fonction θ(t) décrit le mouvement de rotation. Il faut que l arc de la route de 0 à t ait même longueur que l arc de la roue de θ(0) à θ(t). C est la condition de roulement sans glissement. L équation s écrit dθ/dx = -1/f(x) avec f(x) la courbe périodique décrivant la route. Nous désignerons par a la moitié de la longueur du côté de la roue et par b la distance du moyeu au côté. Alors la longueur l d un arc de chaînette doit être telle que : Le point de contact du côté de la roue avec la route est noté P. On mesure l abscisse curviligne s de P à partir du point de jonction P0 de l arcade avec l arcade précédente. Deux courbes pour la route et pour la roue forment un couple roue-route si l'on peut faire rouler sans glisser l une sur l autre de sorte que le moyeu de la roue ait une trajectoire rectiligne dans le plan fixe. Les courbes peuvent aussi être considérées comme deux profils conjugués d'engrenages. 2 B- Etude mécanique Avant de se lancer dans l expérimentation, il faut commencer par faire des choix. Une route constituée d arc de chainette n est pas simple à réaliser. Et tester plusieurs types de route pour 1 Le vélo à roues carrées, Pierre Lecomte et site http://perso.wanadoo.fr/nvogel/ et http://mathworld.wolfram.com/roulette.html 2 http://www.mathcurve.com/courbes2d/engrenage/engrenage2.shtml Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 4

plusieurs types de roue peut devenir rapidement difficile et long à réaliser. Il n a pas toujours était facile de trouver du temps pour se réunir et expérimenter et nous n avons pas voulu perdre de longues heures de bricolage à fabriquer des profils en bois différents. Nous avons choisi de bâtir une route constituée de cylindre de PVC de 50 mm de diamètre. Pourquoi? Parce que ces cylindres sont légers, facile à découper et à transporter, et qu ils ne sont pas fragiles. Par ailleurs leur diamètre est proche de celle des roues du 4x4 modèle réduit que nous utilisons au laboratoire. Les cylindres de 15 cm de long sont posés et alignés sur une planche. Pas de colle, ils sont simplement maintenus en place grâce à des liteaux cloués aux extrémités de la route. Notre route est donc constituée d arc de cercles associés les uns aux autres. Il ne s agit plus strictement d arc de chainette. Cependant, si l on compare le sommet d une courbe parabolique, d un arc de cercle ou d un arc de chainette, on obtient des profils très proches au niveau du sommet de la courbe. Nous avons également pensé à la réalisation d une route à plus grande échelle. Là aussi les cylindres se sont imposés comme une solution possible, en utilisant des buses de chantier pour faire rouler un jouet 4x4 électrique pouvant transporter un enfant. Nos modèles de route de laboratoire et de «jardin» sont donc comparables. La réalisation des roues carrées ou pentagonales demande du temps et la maîtrise des outils de découpe. Nous avons donc choisi d étudier au préalable le mouvement d une roue unique ayant un clou pour essieu, et entraînée à la main. Par la suite, grâce à la collaboration des ouvriers du lycée, nous avons fabriqué et tester un système constitué de 4 roues sur deux essieux placés à distance réglable. En effet une inquiétude est née pendant nos premières heures d expérience. La distance entre les essieux peut-elle être quelconque? Nous voulons utiliser un 4x4 dont les dimensions nous imposent la taille des roues : Le châssis du véhicule ne doit jamais toucher la route, et les roues ne doivent pas heurter la carrosserie en tournant. De plus la distance entre les essieux n est pas réglable. Toutes ces contraintes peuvent-elles être compatibles? C est après avoir répondu positivement à cette question que nous avons expérimenté sur nos 4x4. Notre modèle de laboratoire est à moteur électrique. Nous avons démonté son système électronique d alimentation pour pouvoir l alimenter directement par une batterie 12V et une résistance réglable. Ainsi nous avons pu étudier l énergie électrique consommée lors du mouvement, après avoir fait brûler quelques résistances, car l intensité nécessaire par un tel moteur est de plusieurs ampères. Ces précisions étant faites, nous allons étudier le mouvement d une planche carrée avec un clou placé en son centre, puis celui d un essieu et d une voiture, grâce au logiciel Latispro. 1- Mouvement d une roue carrée 1.1 Sur route horizontale Le système d'étude est une planche de bois carrée de 6,5 cm de côté, fabriquée par nous même et un peu irrégulière... Un clou planté en son centre permet de la faire tourner à la main. L'étude se fait grâce à un fichier vidéo étudié à l'aide du logiciel Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 5

latispro pour déterminer la trajectoire du centre d'inertie du système dans le référentiel terrestre, sur une route horizontale. Nous modélisons un arc de la trajectoire avec Latispro, prés du sommet de la courbe : Modélisation d'une portion par une parabole : un coefficient de corrélation=0,97 Modélisation d'une portion par un cosinus : un coefficient de corrélation=0,97 La trajectoire est complexe et est modélisable par des arcs de parabole ou de cosinus avec un coefficient de corrélation correct. La modélisation par un arc de chaînette n est pas possible sur ce logiciel. Conclusion n 1 : La forme de la trajectoire du centre de la roue carrée sur route horizontale est une suite d arcs (de parabole, ou de cosinus ou de chaînette) Pour obtenir un mouvement horizontal de l essieu, il faudra donc que la route ait un profil d arcs de chainette (ou approchant). La longueur de chaque arc est proche de 7 cm, mais nous n avons pas pu éviter certains glissements dans l expérience car la roue est simplement entraînée à la main. Nous ne voulons rien conclure pour l instant sur cette valeur, que nous voulons mesurer plus précisément avec un système à 2 ou 4 roues. 1.2 - Sur route de cylindres Nous avons fait plusieurs essais avec des roues en carton et des routes en rouleaux de papier hygiénique. L idée d une véritable route en arc de chaînette a été abandonnée très rapidement car elle n est pas facile à réaliser. Les modélisations avec la fonction cosinus ou avec une parabole fonctionnant correctement dans le cas précédent, nous allons au plus simple : une route constituée de cylindres associés. Nous voulions tout d abord une roue de longueur égale au demi-périmètre du cylindre. Mais après quelques essais, nous découvrons que cela ne marche pas. Nous avons choisi des cylindres en PVC de 50 mm de diamètre, soit un périmètre de 15,7 cm, et un demi-périmètre de 7,85 cm. Il faut des roues de 6,5 cm pour obtenir un roulement horizontal possible sans à-coups, soit une roue 17,2 % plus petite. En effet lors d un mouvement à quelques centimètres par seconde, la roue n atteint pas le point de la route situé à l horizontale du centre des cylindres. Il est inaccessible. La roue n a pas la place de descendre jusque là. Sa forme carrée lui interdit. Elle bascule d un cylindre à l autre sans atteindre leur point de contact. Zone inaccessible Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 6

Comme précédemment, notre outil d étude est un fichier vidéo. On constate que la trajectoire du centre d'inertie de la roue est maintenant une droite horizontale. L'altitude de son centre d'inertie est constante à 2 mm prés, soit 0,2*100/(6,5/2) = 5,3% de la demi longueur d un côté du carré. Il est donc possible de faire rouler horizontalement une roue carrée sur des supports cylindriques. Conclusion n 2 : La forme de la trajectoire du centre de la roue carrée sur route cylindrique est une droite horizontale, à condition que la longueur de la roue soit plus courte que le demipérimètre du cylindre (17 % dans notre exemple). Cette seconde conclusion valide notre choix de la route cylindrique. Les études théoriques que nous avons consultées ont été faites par des mathématiciens qui pour la plupart n avaient pas fait l expérience. Aucun de ceux que nous avons lu, n a envisagé d approximer une route en arc de chaînette par une route en arc de cylindre. Nous n avons donc pas de point de repère théorique pour comprendre l écart de 17%. Mais nous constatons cependant que notre expérience fonctionne. Le centre de la roue se déplace bien horizontalement. 2- Association de deux essieux Les quatre roues doivent être identiques car il n'y qu'un type de roues carrées possible pour une piste cylindrique donnée. Si l'écart entre les roues est un multiple du diamètre du tuyau alors elles seront en permanence parallèle l'une à l'autre. Si la distance entre les essieux est quelconque le mouvement horizontal reste possible mais les roues ne seront plus parallèles l'une à l'autre. Nous constatons que quelque soit la distance entre les essieux le véhicule avance très facilement. Un agent du lycée a réalisé les deux Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 7

essieux de la photo ci-contre et nous les avons provisoirement associés avec du fil électrique, pour tester différentes distances entre eux. Les roues (morceaux de tables de classe de 18 mm d épaisseur) peuvent librement tourner autour de leur axe et sont fixées par des écrous. Si nous serons les écrous placés sur l axe, les roues peuvent devenir solidaires de l axe d entraînement. Mais comme nous n avons pas motorisé ce prototype, cela a été inutile. Le prototype suivant a été amélioré par un ouvrier du lycée, à partir de tiges métalliques filetées permettant de régler précisément la distance entre les essieux, qui restent ainsi parfaitement parallèles l un à l autre. Conclusion n 3 : La distance entre les essieux peut être quelconque, le mouvement du véhicule reste horizontal, les roues avant n étant en général pas parallèles aux roues arrière. Dans notre prototype suivant de 4x4, les roues avant ne sont pas parallèles aux roues arrière. Nous pensons que c est un avantage qui améliore la traction du véhicule. En effet les roues alternent des phases avec deux points d appui sur deux cylindres différents et des phases avec un seul point d appui. Ces phases sont décalées pour les roues motrices avant et arrière, ce qui améliore la propulsion. N oublions pas que nous travaillons avec des cylindres en PVC lisses et des roues en plastiques ou en bois lisses aussi. Nous allons passer maintenant à l étape suivante de notre étude : motoriser un prototype. Le comportement d un modèle simplement tiré par l utilisateur n est pas le même que celui d un 4x4 propulsé par son moteur. Notre jouet est vraiment un 4x4, avec les 4 roues entraînées par le moteur. C est cette caractéristique qui a guidé notre choix, car le jouet est plus haut qu une voiture à deux roues motrices et nous pensons qu il roulera mieux avec des roues lisses sur une piste lisse. Ce 4x4 est tout d abord équipé de roues carrées en plastique transparent de 3 mm d épaisseur et de 6,5 cm de côté. Les roues de ce jouet sont démontables, ce qui est rares sur ce type de produit. C était un critère essentiel pour pouvoir les changer facilement. 3- Le véhicule Notre véhicule est propulsé par un moteur de tension nominale 7,4V, et alimenté aujourd hui par une batterie 12V de tracteur tondeuse. Une résistance réglable en série permet de régler la vitesse de rotation. Ce type de véhicule est capable d atteindre des vitesses assez importantes, et est fait pour l extérieur. Son moteur est puissant et nécessite une intensité importante pour fonctionner. Il est difficile de le faire avancer lentement sur la piste de cylindre. Il a tendance à déraper et à partir trop vite. Le réglage du rhéostat doit être très fin. C est pour améliorer le déclenchement du mouvement que nous avons choisi de pousser doucement à la main le véhicule jusqu à ce qu il bouge, pour lui permettre de démarrer calmement. Le démarrage nécessite en effet plus d énergie que le reste du mouvement. Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 8

EA1 Ponts diviseur de tension M G EA0 Rhéostat Le suivi du comportement électrique du 4x4 est possible car à la carte d acquisition de LatisPro. Mais après un premier essai, nous constatons que Latispro donne +10V pour chacune des deux tensions. Nous avons commis une erreur, heureusement sans conséquences pour le matériel (une carte coûte plus de 1000 Euros). Latispro avec sa carte d acquisition SysamSP5 est limité à +/- 10V. Pour étudier notre système, nous rajoutons un pont diviseur de tension sur chacune des entrées, avec deux résistances identiques (par exemple 10kΩ). La tension reçue par le boitier d acquisition est la moitié de la tension à étudier. Il suffira de multiplier par 2 dans la feuille de calcul les valeurs mesurées pour retrouver les valeurs que nous voulons étudier. Nous disposons maintenant d un montage opérationnel, motorisé que nous pouvons tester. Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 9

Le mercredi 3 avril 2013, nous avons testé et filmé notre prototype. Sa trajectoire est proche de l horizontale. Cependant nous devons constater des fluctuations de l altitude de +/- 4 mm par rapport à une position moyenne. Puisque le véhicule est porté par des roues de 65 mm de côté, son hauteur par rapport à la route est proche de 65/2 mm à l arrêt, donc une variation d altitude de 4x100/(65/2) = 12% lors du mouvement. Ce n est pas négligeable, et c est plus important que lors de nos essais motorisés La voiture n est pas facile à piloter. En effet, lorsque nous diminuons la résistance du circuit pour lui permettre de démarrer, elle démarre vite. Il n y a pas de vitesse lente possible. On le constate aussi, lorsqu on la pilote dans des conditions normales d utilisation. Elle a tendance à partir en biais par rapport à l axe de la piste lors de ces démarrages brutaux. Et si elle n est plus alignée, les roues ne s encastrent plus correctement entre les cylindres. Beaucoup d engrenages ne fonctionnent correctement que si les deux roues dentées sont dans le même plan. Sur Latispro, nous écrivons la feuille de calcul suivante : vx=deriv(mouvement x) Ec=1/2*0.7*vx*vx Notre véhicule à roues carrées de 65 mm roule correctement sur une route de cylindres. Pour l expérience que nous avons retenue ici, le véhicule atteint une vitesse de 1 m/s au bout de 350 ms. Elle se stabilise ensuite autour de cette valeur. Pour un véhicule de 700g, l énergie cinétique atteinte est proche de 0,3 J. Conclusion n 4 : Le mouvement du véhicule 4x4 motorisé reste proche de l horizontale, mais avec des écarts deux fois plus important (12%) que pour un véhicule tiré ou poussé plus lentement par l expérimentateur. Après avoir revisionné l expérience des «Cobayes» de France 5, nous constatons qu ils rencontrent le même problème avec leur prototype réalisé avec des élèves ingénieurs et leurs professeurs. Ils le mettent en évidence en plaçant un seau d eau sur le véhicule, qui se renverse en partie à cause des mouvements verticaux. Nous voulions renouveler cette expérience à différentes vitesses, mais nos résultats n ont pas été concluants. En effet, nous maîtrisons mal la vitesse de la voiture qui n est pas faite pour rouler lentement. Cependant nous constatons sur l enregistrement précédent que les écarts par rapport à la position moyenne, ne semblent pas plus importants au début où la vitesse est plus lente, qu à la fin, où elle atteint 1m/s. nous n avons pas réussi à stabiliser correctement la voiture à une vitesse plus faible pour pouvoir comparer. C- Etude électrique L alimentation de notre prototype, se fait avec une batterie 12V de tondeuse autoportée. L intensité demandée par le moteur du modèle réduit est très élevée, de l ordre de 6A pour une tension nominale de 7,4V, selon le fabriquant. Nous utilisons un rhéostat en série avec la batterie pour alimenter le moteur. Voici l enregistrement de l expérience sur une durée de 10s. Nous avons tracé les courbes des tensions, de l intensité, des puissances et des énergies. A t= 0s, le circuit est déjà fermé et donc consomme déjà de l énergie, même si le moteur ne tourne pas encore. A t= 7,2s, le circuit est ouvert et la consommation d énergie s arrête. Le moteur tourne entre l instant 1,7s et l instant 2,4s. C est pendant cette durée que la résistance variable vaut 5Ω et que l intensité est calculable. Nous n avions pas au laboratoire de petite résistance d 1Ω de valeur fixe et de puissance suffisante à placer en série pour connaître l intensité à chaque instant. La commande est en cours. L intendance ne permet pas de commander nos composants quand nous le voulons. Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 10

Mouvement Nous diminuons progressivement la valeur de la résistance du circuit, jusqu à ce que la voiture démarre, en étant légèrement poussée. Lorsque la voiture arrive au bout de la piste, nous augmentons brusquement R pour arrêter le mouvement. Nous constatons que la puissance consommée par le moteur n est pas nulle quand il ne tourne pas. Cependant comme R varie avant le début du mouvement, nous ne pouvons pas calculer I, ni P, car R n est pas mesuré. C est une lacune de ce montage : R n est connu que pendant la phase mobile. Pendant le mouvement, R est constant et égal à 5Ω. Par contre la tension d alimentation chute un peu et se stabilise autour de 10,6V. I diminue, Umoteur augmente, et Pmoteur augmente légèrement au cours du déplacement. Pmoteur = 5,5 W à la fin du mouvement. La phase Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 11

d accélération dure 400 ms et la phase à vitesse constante dure aussi 400 ms. On peut donc estimer l énergie électrique consommée pendant cette phase à 5,5 x 0,400= 2,2 J. Une fraction de cette énergie est convertie en énergie cinétique, le reste étant perdu en chaleur à cause des frottements et en perte électromagnétique dans le moteur. Il faut donc que le moteur reçoive 2,2 J d énergie électrique pour maintenir l énergie cinétique du véhicule à 0,3 J. L énergie fournie par la batterie est trois fois supérieure à celle consommée par le moteur à cause des pertes par effet Joule dans la résistance variable. Nous avons déterminé que la vitesse augmente lors du mouvement grâce à l étude du fichier vidéo. De même, la puissance fournie moteur augmente, et donc la consommation d énergie électrique (ΔE = PΔt). Plus le prototype va vite, plus la puissance du moteur doit être grande. L énergie cinétique accumulée par le véhicule provient de l énergie électrique consommée par le moteur. Remarque : Les roues du véhicule tournent beaucoup plus vite si elles ne touchent pas le sol, lorsque nous tenons le système dans la main par exemple. Nous décidons donc de modifier le montage précédent en rajoutant une résistance de 1Ω en série dans le circuit. Ainsi, en mesurant la tension à ses bornes, nous accédons à la valeur de l intensité pendant toute la durée de l expérience. Nous avons commandé la résistance qui doit supporter plus de 2 A, et nous vous présenterons cette expérience améliorée lors du concours. Nous avons répété cette expérience avec la même voiture, mais avec ses roues d origine sur un sol plan, et nous avons obtenu pratiquement les mêmes résultats. En répétant les expériences plusieurs fois, nous n avons pas pu déterminer si l une des configurations consommait plus d énergie que l autre. Les résultats étaient proches à chaque fois, tantôt supérieur, tantôt inférieur. De même avec des roues pentagonales sur route en arc de cylindre. Conclusion n 5 : La consommation énergétique d un véhicule à roues carrées sur route en arc de cylindre est comparable à celle du même véhicule avec ses roues d origine sur route plane. La forme des roues et de leurs routes associées ne modifie pas de manière significative la consommation énergétique. Nous avons donc établi, dans le cadre limité de notre modèle de laboratoire, que les roues carrées n étaient ni un avantage, ni un handicap pour la consommation énergétique. D- D autres formes de roue pour une piste cylindrique Nous avons fait fabriquer par les agents du lycée d autres jeux de roues : Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 12

- Roues rondes - Roues triangulaires équilatèrales - Roues pentagonales Les roues triangulaires et pentagonales ont des côtés de longueur 6,5 cm, comme les roues carrées. Elles sont aussi testées sur la piste de cylindre. Ce premier résultat avec roues pentagonales montre sans équivoque que la route cylindrique n est pas adaptée : La variation d altitude de l essieu avant est de 23 mm au cours du mouvement soit 23x100/(65/2) = 70% de la demi-hauteur de la roue carrée. Les roues pentagonales s enfoncent moins loin entre deux cylindres et la voiture subit des à- coups. Zone inaccessible + grande Zone inaccessible - importante Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 13

Avec des roues triangulaires, le mouvement est saccadé, avec des zones de glissement de la roue sur le support. Cependant, comme le montre la photo issu du film du mouvement, les triangles pénètrent mieux entre les cylindres que les autres roues. Avec les roues rondes initiales (7,5 cm de diamètre), il n y a pas de glissement mais des variations d altitude d 1,5 cm. Conclusion n 6 : Les roues les mieux adaptées à notre route cylindrique sont les roues carrées de côté 6,5 cm. D autres formes de roue ou d autres dimensions des carrés entraînent des glissements et des à-coups. E- La roue carrée plus efficace que la roue ronde Notre système est étonnant et fonctionne. La voiture avance correctement avec des roues carrées. Cependant, nous nous demandons si ce système plus contraignant que la roue ronde peut avoir des avantages que la roue ronde n a pas. Pour essayer de répondre à cette question, nous avons décidé de tester les performances de la voiture sur une route inclinée. Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 14

La roue carrée permet-elle à notre voiture de monter des pentes plus fortes? Nous inclinons la planche portant la route de cylindres et nous constatons que la voiture monte lorsque la planche est inclinée d un angle inférieur ou égal à 45, soit une pente à 71%! Les cylindres en PVC sont très lisses et les roues en plexiglas aussi. 1,4 m 2 m Montée facile Dérapage : Montée impossible Cela ne fonctionne correctement que si nous arrivons à faire démarrer notre prototype lentement. Nous pouvons pas tester d angles plus importants, car les cylindres glissent ou se soulèvent. En effet, ils sont pour l instant justes posés sur la planche, et maintenus entre des tasseaux cloués. Nous voulons lors de la prochaine séance d expériences, fixer les cylindres et comparer avec la voiture à roues. Pour cela, il faut que les surfaces en contact soit comparables. Donc, nous décidons d équiper la voiture de roues rondes en plexiglas et de la faire rouler sur une route lisse en plexiglas également (n ayant pas à notre disposition de route en PVC) La voiture dérape dés que la pente dépasse 10. Donc notre véhicule à roue carré sur route en cylindres monte mieux les pentes que le même véhicule à roue ronde sur route plane. Conclusion n 7 : Notre véhicule à roue carré sur route en cylindres monte mieux les pentes que le même véhicule à roue ronde sur route plane. Nous avons essayé de modifier aussi l adhérence des roues en rajoutant des élastiques autour, mais les expériences n ont pas été concluantes, car les élastiques ont eu du mal à rester en place. Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 15

F- Un prototype à plus grande échelle Nous disposons d un vieux jouet avec des roues de 33 cm de diamètre, et de buses en béton de 24 cm de diamètre, soit 37,7 cm de demi-périmètre. Pour notre petit modèle réduit, les roues de 6,5 cm sont 1,2 fois plus petites que le demi-périmètre. Nous pouvons espérer ici que des roues carrées de 31 cm de côté pourraient convenir. Nous fabriquons ces roues avec des planches de coffrage en bois, de 2 cm d épaisseur. Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 16

L étude sur Latispro du fichier vidéo montre que la trajectoire est proche de l horizontale. La variation d altitude au cours du mouvement ne dépasse pas 50 mm pour des roues de 15,5 cm de demi-côté. Cependant ce premier prototype a des défauts : Les roues n ont que 14 mm d épaisseur et elles s inclinent parfois par rapport à l axe de rotation comme cela est visible sur la photo. La voiture ne peut porter personne dans ces conditions. Il faut améliorer ce système en fabriquant des roues plus larges, pour les empêcher de s incliner, ou en essayant avec un vélo, qui sera peut-être plus facile à fabriquer. A suivre. Conclusion : Ce mode de transport semble complexe et couteux. Il faut des routes pour roues carrées, d autres pour roues en arc de spirales, en triangle, pentagonales Si l on choisit une forme unique pour la route et la hauteur de l axe, on a alors une roue unique qui roule sur cette route et dont l axe décrit une horizontale. Cependant, malgré les contraintes, nous avons montré que la roue carrée sur une route de cylindres permet de monter des pentes plus importantes que la roue ronde sur route horizontale. Il existe des véhicules pour lesquels une route spéciale a été bâtie, comme par exemple les trains. Il n est donc pas inutile d explorer d autres voies pour essayer d améliorer nos moyens de transport. Comme pour les roues traditionnelles, pour un déplacement horizontal, l énergie potentielle du centre d inertie du véhicule ne varie pas. La source d énergie est chimique, dans les batteries. Par le moteur, elle est transformée en énergie cinétique et en chaleur, quelque soit la forme de la roue. Cette étude passionnante pour nous a débuté avec une émission de vulgarisation scientifique sur France 5. Nous espérons avoir réussi à vous intéresser comme cette émission l avait fait pour nous. Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 17

Bibliographie - Pour la Science (Ian Stewart, professeur de mathématiques à l université de Warwick, juin 1993, N 188, p 102-105) - Vidéo de l émission «On n est pas que des cobayes.»(diffusée le dimanche 24 mars 2013). - Site «Drôles de roues pour drôles de routes» http://aesculier.fr/fichiersmaple/rouesdroles/triangle.gif - Le vélo à roues carrées, Pierre Lecomte et site http://perso.wanadoo.fr/nvogel/ et http://mathworld.wolfram.com/roulette.html Lycée Bernard Palissy/ AGEN Page 18