Séquence 9 Fractions décimales et nombres décimaux Programme Comprendre et utiliser la notion de nombre décimal. - Spécificités des nombres décimaux. Associer diverses désignations d'un nombre décimal (fractions décimales, écritures à virgule et décompositions). - Règles et fonctionnement des systèmes de numération dans le champ des nombres décimaux, relations entre unités de numération (point de vue décimal), valeurs des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture à virgule d'un nombre décimal (point de vue positionnel). Situations nécessitant : - d'utiliser des nombres décimaux pour rendre compte de partage de grandeurs ou de mesure de grandeurs dans des cas simples ; - d'utiliser différentes représentations : mesures de longueurs et aires, une unité étant choisie ; - de faire le lien entre les unités de numération et les unités de mesure (dixième/dm/dg/dl, centième/cm/cg/cl/centimes d'euros, etc.). La demi-droite numérique graduée est l'occasion de mettre en évidence des agrandissements successifs de la graduation du 1/10 au 1/1000. Repérer et placer des décimaux sur une demi-droite graduée adaptée. Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres décimaux. - Ordre sur les nombres décimaux. Repères de progressivité Les fractions sont à la fois objet d'étude et support pour l'introduction et l'apprentissage des nombres décimaux. Pour cette raison, on commence dès le CM1 l'étude des fractions simples et des fractions décimales. Du CM1 à la 6e, on aborde différentes conceptions possibles de la fraction, du partage de grandeurs jusqu'au quotient de deux nombres entiers, qui sera étudié en 6e. Pour les nombres décimaux, les activités peuvent se limiter aux centièmes en début de cycle pour s'étendre aux dix-millièmes en 6e. p. 1
Objectifs Après avoir révisé les fractions, on met en évidence des fractions particulières : les fractions décimales. On constate que toute fractions décimales est décomposable en un entier et la somme de fractions en dixième, centièmes, millièmes Cette dernière décomposition nous mène ainsi aux décimaux. Déroulé de la séquence 1. Activités d'approches Activité 1 (30 minutes) : Introduction aux fractions décimales. Dans un premier temps, on place quelques points sur la demi-droite graduée ci-dessous. A( 1 ); 10 B( 5 ); C(10); D(14); E(26 ) 10 10 10 10 Puis on agrandit l'intervalle [0;1] et on place des centièmes X( 1 10 87 ); Y( ); Z( 100 100 100 ) Activité 2 (1 heure) Jeu de cartes : Faire 6 groupes de 4. S'il y a des absents, faire des groupes de 5. Distribution des jeux de cartes. Description du jeu, mise en commun des remarques. Explication des règles. Je circule entre les îlots pour répondre aux demandes d'arbitrage. Par exemple, s'il y a des problèmes avec les pourcentages, passer à la fraction décimale. S'il y a un problème entre fractions, est-ce intéressant de les décomposer? Peut-on "réduire au même dénominateur" S'il y a le temps, faire une seconde partie. p. 2
2. La leçon Page 9 du cahier de leçon Chapitre 3 Les fractions décimales et les nombres décimaux I- Les fractions décimales Définition 1 Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1, 10, 100, 1000 56 100 ou 6251 1000 Remarque Le numérateur d'une fraction décimale est un entier car c'est une fraction Propriété 1 Une fraction décimale peut se décomposée en une somme d'un entier et de fractions décimales inférieures à 1 s 56 = 100 0 + 5 + 6 10 100 6251 = 1000 6 + 2 + 5 + 1 10 100 1000 Distribution d'une feuille d'exercices (Génération 5 page 46. Exercices pour mardi : exercices 8, 9 et 10 de la feuille ; pour vendredi : exercices 11, 12 et 13 et pour lundi : exercices 15, 17 et 18. Minute culturelle : Simon Stevin Bruges 1548- La Haye 1620. Il devient comptable et pense qu'il faut une façon plus simple d'écrire les nombres. Il propose 3(0)9(1)2(2)5(3) pour 3.925. Cette méthode est décrite dans son ouvrage "la Disme" paru en 1585. La virgule a été introduite par Bartholomäus Pitiscus en 1612. Ou par Nepper (1550-1617) ou par Snellius (1581-1626). II- Les nombres décimaux p. 3
Définition 2 Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale. 6251 1000 = 6 + 2 10 + 5 100 + 1 1000 = 6,251 Remarque La virgule sépare la partie entière de la partie décimale, c'est-à-dire qu'elle se situe entre le nombre entier et les fractions décimales inférieures à 1 Propriété 2 L'écriture décimale d'un nombre est son écriture avec une virgule. La partie à gauche de la virgule est la partie entière et celle à droite est la partie décimale. 2 561, 568 est un nombre décimal dont la partie entière est 2 561 et la partie décimale est 568. Il peut s'écrire 2561 + 568 100. Remarque La position d'un chiffre détermine sa signification 1345,824 : 1 est le chiffre milliers et 4 est le chiffre des millièmes p. 4
Méthode 1 Comparer deux nombres décimaux c'est comparer : 1. Les parties entières 2. Les dixièmes 3. Les centièmes 4. Les millièmes 2,25 < 3,25 car 2<3. 2,12 <2,9 car 2=2 et 1<9 2,25<2,256 car 2=2, 2=2, 5=5 et 0<6 2,25=2,250 Propriété 3 Les zéros à gauche du nombre sont inutiles 025,96 = 25,96 Les zéros après la virgule sont inutiles s'il n'y a pas de chiffre non nul après 6,905 = 6,905 6,9600 = 6,96 Méthode 2 Pour faire la somme de deux nombres décimaux, il faut additionner les millièmes avec les millièmes, les centièmes avec les centièmes Pour faire la différence entre deux nombres décimaux, il faut soustraire les millièmes avec les millièmes, les centièmes avec les centièmes Dans "Triangle" Exercices 45 et 48 page 25 Exercices 75 page 27 et 76 page 28 p. 5
Exercices Pour mardi 31 janvier Pour vendredi 3 février Pour lundi 6 février p. 6
Correction des exercices Exercice 8 : 60 ; 1 + 6 ; 2 + 3 ; 1 + 7 + 8 100 10 10 100 10 100 Exercice 9 : 1 = 1000 ; 1 = 10 ; 1000 10 100 Exercice 10 : 46 dixièmes ; 1 unité et 23 centièmes ; 12037 millièmes ; 1 unité et 5 dixièmes. Exercice 11 : 158 ; 47543 ; 6017 ; 836 ; 91107 ; 108 100 1000 1000 100 1000 100 Exercice 12 : 4 + 78 100 ; 7 + 752 Exercice 13 : 886 100 ; 4 + 2 1000 10 1417 ; 7938 ; 6307 ; 405 100 1000 1000 1000 ; 89 + 47 100 ; 0 + 752 1000 ; 99 + 9 10 Exercice 15 : a. A( 5 10 ) ; B(11 10 ) ; C(13 10 ) b. A( 1 10 ) ; B( 4 10 ) ; C(15 10 ) c. A( 6 10 ) ; B( 9 10 ) ; C(16 10 ) Exercice 17 : 5,4 ; 15,384 ; 2,59 ; 0,15 ; 1,08 ; 2,4789 ; 0,3 ; 0,082 Exercice 18 : 2,8 ; 47,89 ; 0,075 ; 0,05 ; 0,9 ; 0, 956 p. 7
Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux Mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l'oral et à l'écrit. Vérifier la vraisemblance d'un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. - Addition, soustraction, multiplication, division. - Propriétés des opérations : 2+9 = 9+2 3 5 2 = 3 10 5 12 = 5 10 + 5 2 - Faits et procédures numériques additifs et multiplicatifs. - Multiples et diviseurs des nombres d'usage courant. - Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10). Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur. Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples. - Règles d'usage des parenthèses. Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l'addition, la soustraction, la multiplication, la division. s de faits et procédures numériques : - multiplier ou diviser par 10, par 100, par 1000 un nombre décimal, - rechercher le complément à l'unité, à la dizaine, à la centaine supérieure, - encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs, - trouver un quotient, un reste, - multiplier par 5, par 25, par 50, par 100, par 0,1, par 0,5... Utiliser différentes présentations pour communiquer les calculs (formulations orales, calcul posé, en ligne, en colonne, etc.). En lien avec la calculatrice, introduire et travailler la priorité de la multiplication sur l'addition et la soustraction ainsi que l'usage des parenthèses. - Techniques opératoires de calcul (dans le cas de la division, on se limite à diviser par un entier). Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat. - Fonctions de base d'une calculatrice. p. 8
Chapitre 4 Opérations sur les nombres décimaux I- Ordre de grandeur Définition 1 L'ordre de grandeur d'un nombre est une valeur approchée simple du nombre L'ordre de grandeur de 426.89 est 400 : on enlève la virgule et on prend les dizaines, les centaines, les milliers, les plus proche. L'ordre de grandeur de 58.9 est 60. Méthode 1 On peut calculer l'ordre de grandeur du résultat d'une opération en effectuant l'opération avec les ordres de grandeur de ses nombres. Ordre de grandeur de 51.36 x 9.2 est 50 x 10 = 500 (le vrai résultat est 472.512). Exercice d'application 3 page 36 II- Addition et soustraction Méthode 2 Pour additionner ou soustraire deux nombres décimaux, on pose l'opération en colonne en alignant les virgules. Si l'un des nombres est entier, on ajoute une virgule à droite. Si les deux nombres n'ont pas autant de chiffres après la virgule, on ajoute autant de zéros que nécessaire. 23.85 + 12.6 = 36,45 68.36 16 = 52,36 + 2 3, 8 5 1 2, 6 0-6 8, 3 6 1 6, 0 0 3 6, 4 5 5 2, 3 6 p. 9
III- Multiplication et division par 10 Méthode 3 Pour multiplier par 10, on décale les chiffres d'un rang à gauche (les unités deviennent des dizaines ; les dixièmes deviennent des unités ). Pour multiplier par 100 on décale les chiffres de 2 rangs à gauche, etc. 6,37 x 10 = 63,7 ; 27 x 100 = 2700 ; 357,5 x 1000 = 357500 Méthode 4 Pour diviser un nombre par 10, on décale les chiffres d'un rang à droite (les unités deviennent des dixièmes ; les dizaines deviennent des unités ). Pour diviser par 100, on décale les chiffres de 2 rangs à droite, etc. 6.37 10 = 0,637 ; 27 100 = 0,27 ; 3582,3 1000 = 3,5823 Remarque Diviser par 10, c'est aussi multiplier par 0,1. Diviser par 100, c'est aussi multiplier par 0,01 IV- Multiplication Méthode 5 Pour effectuer une multiplication entre deux nombres décimaux, on effectue d'abord la multiplication sans tenir compte des virgules. Puis on compte le nombre de chiffres à droite de la virgule des deux facteurs et on place la virgule dans le résultat pour avoir autant de chiffres dans la partie décimale qu'on en a compté sur les facteurs. x 2 3, 8 5 1, 2 4 7 7 0 2 3 8 5. 2 8,6 2 0 p. 10
V- Division Méthode 6 Pour diviser un nombre décimal par un entier, on effectue la division habituelle mais, lorsqu'on abaisse le nombre des dixièmes, on place une virgule dans le résultat 2 3, 8 5 4 3 8 5, 9 6 2 5 2 5 1 0 2 0 0 VI- Calcul en ligne et priorités Règle Les calculs entre parenthèses sont prioritaires sur tous les autres calculs. La multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction. 3,8 + 2,7 x 2,1 = 3,8 + 5,67 = 9,47 (3,8 +2,7) x 2,1 = 6,5 x 2,1 = 13,65 p. 11