PCSI1 Lycée Michelet BATTEMENTS On ne se lasse pas de superposer les ondes. On a bien le droit, puisque l équation qui régit leur propagation est linéaire (mais pour connaître cette équation il faudra attendre la deuxième année). Par ce procédé, on a construit des ondes stationnaires, on a interprété le phénomène d interférences. Dans ces ceux cas on a superposé des ondes de même fréquence. Dans ce chapitre on s intéressera à la superposition d ondes de fréquences différentes, mais proches. I. Constatations expérimentales Si on dispose de deux diapasons identiques dont l un est un peu lesté (et donc vibre à une fréquence légèrement différente du premier) : quand on frappe les deux diapasons on entend des variations d intensité du son dont la période est de l ordre de la seconde. C est ce que l on nomme un phénomène de battements. Pour obtenir un signal plus puissant, on peut utiliser deux haut-parleurs, alimentés par deux GBF de fréquences très proches et d amplitudes comparables. On perçoit alors une variation d intensité du son, dont la période augmente quand on rapproche les deux fréquences. - Avec deux sources ultrasonores (cf TP) Lorsqu on place un récepteur à égale distance de deux émetteurs de fréquences proches et que l on observe le signal reçu sur un oscilloscope, on constate que l amplitude des oscillations varie au cours du temps. Si l on rapproche le récepteur de l un des deux émetteurs, les battements existent toujours mais le mimimum des oscillations n est plus nul. En un point donné l amplitude du signal résultant varie périodiquement au cours du temps. 1
II. Interprétations. Calcul de la fréquence des battements. 1. Analyse du problème Soit f 1 la fréquence de la première onde. Soit f la fréquence de la seconde. On supposera f > f 1. En un point donné, les signaux reçus seront de la forme : avec ω 1 = πf 1 et ω = πf. s 1 (t) = a 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) s (t) = a cos(ω t + ϕ ) Par linéarité, le signal total perçu s(t) s écrira : s(t) = s 1 (t) + s (t) = a 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) + a cos(ω t + ϕ ) On peut définir une fréquence moyenne et une pulsation moyenne : f m = f 1 + f et ω m = πf m = ω 1 + ω On note f = f f 1, l écart en fréquence. On peut vérifier que f 1 = f m f f = f m + f On pourra considérer que les fréquences sont proches si leur écart relatif est inférieur à 10% f < 0, 1. f m. Première interprétation : représentation de Fresnels On note S 1 et S les vecteurs de Fresnel associés respectivement à chacun des deux signaux. Le vecteur de Fresnel associé au signal résultant est S = S 1 + S. Il tourne à une vitesse angulaire comprise entre ω 1 et ω mais son amplitude varie au cours du temps : elle est maximale lorsque S 1 et S sont colinéaires de de même sens. Supposons f > f 1. Le vecteur S tourne plus vite que le vecteur S 1. Sa vitesse angulaire par rapport à la direction de S 1 est ω = ω ω 1. On peut suivre le mouvement relatif des deux vecteurs sur l animation : http://ressources.univ-lemans.fr/acceslibre/um/pedago/physique/0/electri/repfresn. html On peut choisir l origine des temps t = 0 lorsque les deux vecteurs sont colinéaires (dans ce cas ϕ 1 = ϕ ). On peut choisir une origine des angles telle que ϕ 1 = ϕ = 0.
À t = 0, les deux vecteurs sont colinéaires, l amplitude est maximale a max = a 1 + a. S ayant une vitesse de rotation légèrement supérieure à celle de S 1, il va progressivement se décaler jusqu à atteindre une direction opposée à celle de S 1 (l amplitude est alors minimale a min = a a 1 ) puis redevenir colinéaire et de même sens que S 1, ceci au bout d un temps T b correspondant à la période de rotation de S par rapport à la direction de S 1, soit : T b = π ω = π ω ω 1 La fréquence f b des battements vaudra donc : f b = ω π = ω ω 1 = f f 1 π car ω 1 = πf 1 et ω = πf. Ainsi, lorsqu on additionne deux signaux sinusoïdaux de fréquences proches f 1 et f, la fréquence des battements observés est égale à la valeur absolue de la différence des fréquences des deux signaux : f b = 1 T b = f f 1 Conséquence : plus les fréquences f 1 et f sont proches, plus la fréquence des battements est faible et donc plus leur période est grande. Quand les deux signaux ont même amplitude, S est suivant la bissectrice de l angle ( S 1, S ) et donc l angle ( u x, S ) = ω 1 t + (ω ω 1 )t = (ω +ω 1 ) t. S tourne uniformément à la vitesse angulaire (ω +ω 1 ) et on peut l associer à un signal sinusoïdal de pulsation ω m = (ω +ω 1 ) et donc de fréquence f m = f 1+f. Quand les deux signaux sont d amplitudes différentes, l angle ( S 1, S ) ne varie pas linéairement au cours du temps. Cependant, la rotation de S est quasi-uniforme de vitesse angulaire ω m = (ω +ω 1 ). Le signal associé est donc quasi-sinusoïdal de pulsation ω m. 3
Tracé dans le cas où a = a 1 Tracé dans le cas où a1 = a Bilan : La superposition de deux signaux sinusoïdaux de fréquences f1 et f voisines donne un signal quasi-sinusoïsal dont la fréquence est la moyenne fm = f1+f des deux fréquences et dont l amplitude est modulée dans le temps à la fréquence fb est appelée fréquence des battements. fb = f f1 4
5 3. Deuxième interprétation. On utilise les formules de trigonométrie. s(t) = s 1 (t) + s (t) = a 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) + a cos(ω t + ϕ ) pour alléger un peu l écriture on prend ϕ 1 = ϕ = 0. On se place dans le cas où les deux signaux ont même amplitude a 1 = a = a 0, (sinon le calcul n est pas possible). s(t) = s 1 (t) + s (t) = a 0 (cos(ω 1 t) + cos(ω t)) en utilisant la relation bien connue de tous cos p + cos q = cos p+q cos p q ( ) ( ω1 + ω ω1 ω s(t) = a 0 cos t cos en posant ω m = ω 1+ω la pulsation moyenne, et ω = ω ω 1, on obtient, ( ) ω s(t) = a 0 cos(ω m t) cos t ) t on trouve avec, lorsque les fréquences sont proches, ω ω m, ( et donc ω m ω 1 ω ). ( ) ω s(t) = a 0 cos t cos(ω m t) }{{}}{{} variation rapide variation lente la fonction cos(ω m t) est modulée en amplitude par la fonction a 0 cos ( ω t).
La période des battements correspond à une demi-période de la fonction enveloppe a 0 cos ( ω t) T b = 1 π ω d où la fréquence des battements : on retrouve la relation : f b = 1 T b = ω ω 1 π = π ω ω 1 = f f 1 f b = 1 T b = f f 1 Remarque : la méthode des battements est utilisée pour accorder certains instruments de musique. Sur un piano, la même note peut être produite par deux ou trois cordes différentes. Si une des cordes est accordée, on peut accorder la deuxième écoutant les battements produit par la mise en vibration des deux cordes. On modifie la tension de la corde à accorder de manière à augmenter leur période, jusqu à ne plus les entendre (les cordes vibrent alors à l unisson). Pour visualiser et écouter les battements : http://ressources.univ-lemans.fr/acceslibre/um/pedago/physique/0/meca/battement. html 6