TES Devoir n o durée 60mn-0 points Exercice ( points ) Le temps d attente X à une station de taxi, exprimé en minutes, suit une loi uniforme sur l intervalle [; ].. Donner la fonction f de densité de probabilité de X. f est définie sur [; ] par f(x) = = 0 = 0, f(x) = 0, sur [; ] : F définie par F (x) = x est une primitive de f sur [; ]. 0 On a alors f(x)dx = F () F () = 0 0 =. Déterminer la probabilité que le temps d attente soit compris entre 3 et mn. On veut 3 X. p(3 X ) = 3 = 0, La probabilité que le temps d attente soit compris entre 3mn et mn est 0,. Avec les notations de la remarque de la question : p(3 X ) = 3 f(x)dx = F () F (3) = 0 3 0 = 0 3. Calculer l espérance de X et en donner une interprétation. E(x) = + = 6 E(X) = 6 Le temps moyen d attente est donc de 6mn. Si on pose g(x) = xf(x) = x x, G(x) = est une primitive de g sur [; ]. 0 0 E(X) = xf(x)dx = G() G() = 0 0 = 0 0 = 6
Exercice ( points ) Un site de vente en ligne propose deux options de livraison à ses clients. La livraison express et la livraison classique.. On a enregistré 600 commandes en une journée et on note X la variable aléatoire donnant le nombre de commandes avec l option livraison express parmi les 600 commandes enregistrées. Quelle est la loi de probabilité de X? On considère l épreuve de Bernouilli consistant à prendre un client au hasard parmi les clients de la journée ayant les issues possibles S : le client a choisi la livraison express et E : le client a choisi la livraison classique. On répète successivement 600 fois et de manière indépendante (chaque client est indépendant des autres) cette épreuve de Bernouilli. La variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant choisi la livraison express parmi les 600 suit donc une loi binomiale de paramètres n = 600 et p = p(s). On admet que la loi de probabilité de X peut-être approchée par la loi normale d espérance µ = 40 et d écart type. Déterminer, arrondi à l unité, pour que la probabilité que le nombre de commandes soit compris entre 30 et 0 soit égale à 0,9. On pourra poser Y = X 40. Si on pose Y = X 40, Y suit la loi normale centrée réduite N (0; ). On veut 30 X 0. 30 X 0 0 X 40 0 0 X 40 0 0 Y 0 On cherche donc k tel que p( k Y k) = 0, 9 Menu STAT puis DIST puis Norm puis InvN
On obtient donc k, 96 et 0 0 = k = k donc en arrondissant à l unité. On peut aussi utiliser le résultat du cours donnant p(µ X µ + ) 0, 9 donc ici on veut µ + = 40 + = 0 0 40 soit = Si on veut un intervalle plus précis, on peut faire le calcul : Exercice 3 ( 0 points ). Compléter l algorithme ci-dessous afin qu il affiche l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 99%. Rappel : I F = [ p, 96 ] p( p) p( p) ; p +, 96 n n donc il faut compléter avec la valeur, 96.. Que va afficher cet algorithme si l utilisateur saisi les valeurs n = 40 et p = 0, 898? (justifier la réponse) si on saisit n = 40 et p = 0, 898, on a alors q = 0, 898 = 0, 0 La première condition est n 30 est vérifiée. 3
La seconde condition est np or ici np = 40 0, 898 = 3, 9 donc np est vérifiée. La troisième condition est n( p) or ici n( p) = 40 0, 0 = 4, 08 donc np n est pas vérifiée. On ne rentre donc pas dans l instruction alors. On a rentre alors dans sinon : on ne peut donner l intervalle de fluctuation Il s affiche : on ne peut donner l intervalle de fluctuation. 3. Une usine fabrique des ampoules et on teste la durée de vie de ces ampoules. Dans le commerce, on a habituellement une proportion d ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures égale à 0,83. Pour vérifier ceci, on prélève un échantillon de n ampoules dans la production de cette entreprise. a) Quel doit être la taille minimale de l échantillon pour que l on puisse utiliser l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 9%? Il faut donc n 30, np et n( p) avec p = 0, 0 n 0, 0 n 0, 0 49, 0 et n est un entier donc il faut n 0. 0, 0 On a bien n 30 et np 0 0, 898 soit np. Il faut au minimum un échantillon de taille n = 0. b) Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 9% pour un échantillon de 000 ampoules en arrondissant les bornes à 0 4. On a ici n = 000 et p = 0, 898. p( p) 0, 898 0, 0 p, 96 = 0, 898, 96 0, 879 n 000 et p +, 96 p( p) 0, 898 0, 0 = 0, 898 +, 96 0, 968 n 000 I F = [0, 879; 0, 968] en arrondissant les bornes à 0 4 c) Dans la production de cette entreprise, on a relevé 870 ampoules en état de marche après 900 heures sur les 000 ampoules testées. Le fabricant affirme que sa production est dans la norme habituelle constatée dans le commerce. A-t-il raison? On a f = 870 000 f / I F = 0, 870 4
Si on pose l hypothèse : La proportion de la production dont la durée de vie est supérieure à 900 heures est 0,898, on ne peut donc accepter cette hypothèse avec un risque d erreur maximum de %. Le fabricant a donc tort au seuil de risque de %. 4. Cette entreprise modernise sa chaîne de production et sur un lot de 0 000 ampoules, on a 8 900 ampoules avec une durée de vie supérieure à 900 heures. Le fabricant peut-il, au seuil de confiance de 9%, faire une publicité affirmant que la proportion d ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures est supérieure à la moyenne constatée dans le commerce? On a ici n = 0000 et f = 89000 = 0, 89 0000 On va chercher à faire une estimation de la proportion (estimation de p) d ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures dans toute production. f = 0, 89 0, 88 n 0000 et f + = 0, 89 + 0, 90 n 0000 la proportion d ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900h est donc comprise dans l intervalle I E = [0, 88; 0, 90] or 0, 898 / I E Le fabricant ne pourra pas faire sa publicité au seuil de confiance de 9%