Exercice 1 3,5 points Le tableau suivant donne la répartition des internautes par continent pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004 en millions d individus. Il est incomplet. Pour le remplir il faut utiliser les réponses aux différentes questions. zone 2001 2002 2003 2004 Taux moyen annuel Estimation 2005 Amérique du Nord 166,7 182,6 196 243 13,4% 275 Amérique latine 24,8 33,3 40,6 47,3 24 % 58,6 Afrique/Moyen orient 8,4 11,4 21,3 31,2 54,9 % 48,3 Asie du Pacifique 125,9 187,2 298 375,5 44 % 540,7 Europe 143,3 190,9 221,1 252,5 21 % 305,5 1. Le taux d évolution en Asie du Pacifique entre 2003 et 2004 vaut 26 %. Calculer le nombre d internautes en millions, à 10 1 près, en Asie du ( Pacifique en 2004. Soit AP 2004 le nombre d internautes en Asie du Pacifique en 2004. AP 2004 = 298 1+ 26 ) 375,5 il y a donc 375,5 100 millions d internautes en Asie du Pacifique en 2004. 2. Le nombre d internautes en Europe a augmenté de 33,2% de 2001 à 2002. Calculer le nombre d internautes, à 10 1 près, en Europe en 2001. Soit x le nombre d internautes en Europe en 2001 ; on a donc x 1,332=190,0 donc x = 190,9 143,3. Il y a donc 143,3 millions d internautes. 1,332 3. Suposons que dans une région donnée, on applique toujours le même taux t pour passer du nombre d internautes en 2001 au nombre d internautes en 2004, ce taux est le taux annuel moyen. Choisir, en justifiant, deux des taux suivants pour compléter la colonne Taux moyen annuel : 13, 4% 19, 075% 5, 7% 0, 549 Amérique du Nord On cherche t tel que ( 166,7 1+ t ) 3 =243 100 En remplaçant t par les différentes valeurs proposées on trouve que le taux annuel moyen est 13,4 %. Afrique / Moyen Orient On cherche t tel que ( 8,4 1+ t ) 3 =31,2 100 En remplaçant t par les différentes valeurs proposées on trouve que le taux annuel moyen est 54,9%=0,549. 4. Un organisme utilise le taux moyen annuel pour estimer le nombre d internautes dans les cinq zones en 2005. Calculer les prévisions manquantes. Exercice 2 8,5 points Monsieur Durand dirige une entreprise familiale qui fabrique des montres de luxe depuis cinquante ans. Il part à la retraite et confie l entreprise à son fils Vincent. Dès la première semaine, Vincent demande à un collaborateur un compte rendu de l activité journalière de l usine ; celui-ci lui remet le document 1 ci-après. Partie 1 : En lisant graphiquement les deux courbes du document n o 1, répondre aux questions suivantes Session : fevrier 2012 Durée : 2 h Section : 1 STG page : 1/6
1. Quel est le nombre maximum de montres produites en une journée? Au maximum l entreprise produit 10 montres par jour 2. Quel est le coût de production de 8 montres? 8 montres correspondent à un coup de 6 250. 3. Combien faut-il vendre de montres pour obtenir une recette de 6 000 euros? 6 montres permettent d obtenir une recette de 6 000. 4. Combien de montres faut-il vendre par jour pour que l usine fasse un bénéfice? (ce bénéfice doit être strictement positif.) Pour faire un bénéfice il faut que les recettes soient supérieures au coût de production. Il faut donc vendre au moins 7 montres. La semaine suivante, Vincent se demande s il peut produire plus de montres à condition que l usine reste bénéficiaire. Il convoque son collaborateur qui lui remet le document ci-après, dressé à l aide d un tableur : Partie 2 : En utilisant le tableau ci-contre, répondre aux questions suivantes : 1. Quel est le coût de production pour 5 montres? pour 14 montres? Le coût de production pour 5 montres est de 5 655 ; pour 14 montres il est de 10 740. 2. Quelle est le bénéfice pour 12 montres? pour 12 montres, le bénéfice est de 12 10,74=1,26 soit 1 260. 3. Combien fabrique-t-on de montres avec 6 215 euros? Avec 6 215 on fabrique 7 montres. 4. Combien peut-on fabriquer de montres en sachant que l entreprise doit être bénéficiaire? (donner la réponse sous forme d un intervalle) pour être bénéficiaire l entreprise doit fabriquer entre 7 et 13 montres bornes incluses 5. On a entré dans la cellule B2 la formule : = 0.01*A2ˆ3-0.135*A2ˆ2+0.7*A2 +4.5 que l on a recopiée jusqu à la cellule B19. Quelle valeur sera dans la cellule B18? À quoi correspond-t-elle? On va trouver 22,1 qui correspond au coût de production en milliers d euros de 16 montres. Quelle valeur sera dans la cellule B19? À quoi correspond-t-elle? On va trouver 26,515 qui correspond au coût de production en milliers d euros de 17 montres. Session : fevrier 2012 Durée : 2 h Section : 1 STG page : 2/6
10 8 milliers d euros 6 4 2 0 DOCUMENT 1 0 2 4 6 8 10 nombre de montres coût de productions (milliers d euros) recettes (miliers d euros) A B C 1 Nombre de montres Coût de production (en Recette (en milliers ) milliers ) 2 0 4,5 0 3 1 5,075 1 4 2 5,44 2 5 3 5,655 3 6 4 5,78 4 7 5 5,875 5 8 6 6 6 9 7 6,215 7 10 8 6,58 8 11 9 7,155 9 12 10 8 10 13 11 9,175 11 14 12 10,74 12 15 13 12,755 13 16 14 15,28 14 17 15 18,375 15 18 16 22,1 16 19 17 26,515 17 La troisième semaine, Vincent se préoccupe de savoir combien il faut vendre de montres par jour pour que le bénéfice soit maximum. Cette fois-ci, le collaborateur décide de traiter le problème de façon algébrique. Il propose. de désigner par x, le nombre de montres vendues dans la journée, par C(x) le coût de production de x montres et par R(x) la recette pour x montres vendues. De plus, on a : C(x)=0,01x 3 0,135x 2 +0,7x+4,5 et R(x)=x. Partie 3 : Session : fevrier 2012 Durée : 2 h Section : 1 STG page : 3/6
Devoir commun de Mathématiques 1. On désigne par B(x), le bénéfice réalisé par l entreprise dans une journée. Montrer que B(x)= 0,01x 3 + 0,135x 2 +0,3x 4,5. Le graphique donne une représentation de la fonction B dans l intervalle [ 7; 14] B(x)=R(x) C(x) B(x)=x (0,01x 3 0,135x 2 +0,7x+4,5) B(x)= 0,01x 3 +0,135x 2 +0,3x 4,5 4 2 y 2. A l aide de sa représentation graphique, dresser le tableau de variations de la fonction B sur [0; 14]. x 0 10 14 6 4 2 2 2 4 6 8 10 12 14 x B 4,5 2 1,25 4 3. Déduire de ce qui précède, le nombre de montres qu il faut vendre pour que l entreprise réalise un bénéfice maximum. Pour obtenir un bénéfice maximum,l entreprise doit vendre 10 montres. Exercice 3 4 points On s intéresse à l évolution de la population d une ville V et on veut étudier plusieurs modèles d évolution. En 2005, la population de la ville V est estimée à 10 000 habitants. 1. Première hypothèse de croissance En analysant l évolution récente, on fait d abord comme hypothèse que la population de la ville V va augmenter de 500 habitants par an. On note u 0 =10000 la population en 2005, et u n la population en (2005+n). (a) Quelle est la nature de la suite (u n )? Préciser la raison. L augmentation est constante d un terme à l autre : c est une suite arithmétique de raison 500. (b) Exprimer u n en fonction de n. par définition : u n =u 0 +n r ; donc u n =10000+500n (c) En quelle année la population atteindra-t-elle 20 000 habitants? On cherche n tel que u n =20000 10000+500n=20000 500n=10000 n=20 Ce sera donc en 2005+20=2025 que la population atteindra 20 000 habitants. 2. Deuxième hypothèse de croissance On travaille avec l hypothèse d une augmentation de 4,7% par an. On note v n la population en (2005+n). Nous avons alors v 0 =10000. (a) Quelle sera la population en 2006? En 2007? en 2006 : v 1 =10000 1,047=10470 il y aura 10 470 habitants en 2006. en 2007 : v 2 =10470 1,047=10962 il y aura 10 962 habitants en 2007. Session : fevrier 2012 Durée : 2 h Section : 1 STG page : 4/6
(b) Quelle est la nature de la suite (v n )? Exprimer v n en fonction de n. (v n ) est une suite géométrique de raion 1,047 et de premier terme v 0 =10000 ; donc v n =10000 1,047 n (c) Calculer la population de la ville en 2020. En 2020 = 2005 + 15, donc la population en 2020 corresopond à v 15. v 15 =10000 1,047 1 5=19916 ; il y aura 19 916 habitants en 2020. Exercice 4 4 points Le graphique sera complété et remis avec la copie. Partie A 1. Dans le repère tracer la droite d d équation y =20 2x en expliquant votre démarche La droite passe par les points (0;20) et (10;0) 2. Dans le repère donner une équation de la droiteden expliquant votre démarche C est une droite, son équation est de la forme y = mx+p La droite passe par le points (0;10), donc p = 10. Elle passe aussi par le point (30;0) Le coefficient directeur est donc m= 0 10 30 0 = 1 3 donc son équation est y = 1 3 x+10 Partie B Une commune désire aménager un nouvel espace vert. Une société de vente lui propose des lots A comprenant dix rosiers et un camélia pour un montant de 200 ou des lots B comprenant cinq rosiers et trois camélias pour un montant de 300. Les besoins sont d au moins 100 rosiers, et 30 camélias. On désigne par x le nombre de lots A, et par y le nombre de lots B achetés. 2x+y = 20 1. Montrer que ce problème peut se résoudre à l aide du système suivant : x+3y = 30 x lots A founissent 10x rosiers et y lots B en fournissent 5y donc il faut 10x+5y =100 2x+y =20. x lots A founissent x camélias et y lots B en fournissent 3y. Il faut 30 camélias, donc x+3y =30 2. Résoudre le système précédent. 2x+y = 20 x+3y = 30 y = 20 2x x+3(20 2x) = 30 y = 20 2x 5x = 30 60 y = 20 2 6 x = 6 y = 8 x = 6 3. Quelle est alors la dépense effectuée? La dépense est de 6 200+8 300=3600 euros. Session : fevrier 2012 Durée : 2 h Section : 1 STG page : 5/6
Devoir commun de Mathématiques 20 lots B d 15 10 5 D lots A 5 10 15 20 25 30 Session : fevrier 2012 Durée : 2 h Section : 1 STG page : 6/6