MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 1 Claire DUTEY G.I.E. AXA Viviane LEFLAIVE Commission de Contrôle des Assurances I. INTRODUCTION La présente étude a pour objectif l'analyse et l estimation des risques inhérents à la poursuite de l'activité d une société d'assurance dommages spécialisée dans les Grands Risques. L activité d assurance est caractérisée par l inversion du cycle d'exploitation : les compagnies d assurance perçoivent des primes, c est-à-dire la rémunération du service d'assurance rendu, avant qu elles ne paient des prestations en cas de sinistre. Pour investir les sommes ainsi collectées, les compagnies d assurance prennent alors des risques : risque de taux d intérêt en cas d évolution défavorable des taux en termes de valorisation des actifs et des passifs et risque de change si certains éléments d actif ou de passif sont libellés en devises étrangères. A ces risques, habituels dans les problèmes de gestion actifpassif, s ajoutent ici des risques spécifiques à l assurance : le risque technique en cas de mauvaise évaluation des éléments de passif ou de mauvaise tarification et le risque de liquidité en cas d impossibilité de céder un actif au prix auquel il est valorisé. Ce risque est très différent du risque d insuffisance de liquidité ou de trésorerie encouru par les entreprises industrielles puisque ces dernières ne bénéficient pas de l inversion du cycle de production. La gestion actif-passif se définit comme la démarche structurée qui permet aux entreprises d appréhender et de contrôler les risques d actif et de passif de manière coordonnée. En France, elle est déjà largement appliquée par les banques, un peu moins par les sociétés d'assurance. En effet, la nécessité d une gestion globale du bilan n a jusqu à présent été ressentie qu imparfaitement par ces dernières en raison de la dichotomie classique de leur activité, reflétée par la différenciation marquée entre l'actif et le passif de leur bilan : d un côté, à l actif, les investissements financiers (instruments de marché) ; de l autre, au passif, les opérations d assurance (engagements envers la clientèle). Les sociétés d'assurance ont cependant cherché à développer la gestion actif-passif, à l instar des banques françaises et des sociétés d assurance nord-américaines. Elles ont aussi été incitées à développer la gestion de leurs risques par la réglementation dite «prudentielle», qui vise à assurer la sécurité du système d assurance et ainsi à améliorer la confiance du public dans cette industrie et à protéger le consommateur. Elle impose aux assurances de fortes contraintes, 1 Cet article fait suite au mémoire d Actuariat (Dutey C. et Leflaive V., 2000) soutenu devant le Jury de l Institut des Actuaires Français en octobre 2000. Il a remporté le premier prix de l Association française des gestionnaires d Actif-Passif (AFGAP) et la mention spéciale du jury du Club des jeunes financiers en 2001. Nous tenons à remercier Nathalie Pistre, Professeur de Finance à l Ensae, pour ses conseils, les données qu elle nous a permis d obtenir, son assistance technique et sa très grande disponibilité. BULLETIN FRANÇAIS D ACTUARIAT, Vol. 4, N 8, 2000, pp. 99-128
100 C. DUTEY & V. LEFLAIVE tant quantitatives qu en termes de mise en place de dispositifs de suivi et de contrôle des risques. La tendance actuelle, qui réside dans la nécessité et la volonté d une gestion plus active des risques, a conduit à un pilotage des risques et, en particulier, à l élaboration de modèles internes dans les compagnies d assurance. Il s agit de mettre en place une gestion «calculée» des risques dans le but de faciliter et d améliorer l efficacité de la prise de risque. Les modèles internes marquent ainsi la volonté des compagnies d assurance de s impliquer dans la gestion de leurs risques et ils s avèrent très utiles pour l élaboration du rapport de solvabilité que les sociétés d assurance doivent fournir selon la loi sur la sécurité financière adoptée en 1999. Cependant, les méthodes de gestion actif-passif et l utilisation de modèles internes restent encore davantage utilisés en assurance vie qu en assurance dommages. En effet, en assurance vie, le taux d intérêt apparaît explicitement tant à l actif (valorisation et revenus des obligations) qu au passif puisque les taux prudentiels sont utilisés pour l escompte des engagements et déterminent les probabilités de rachat de contrat. En assurance dommages au contraire, ce facteur n apparaît explicitement qu à l actif, par exemple lorsque des engagements à long terme sont représentés par des titres de plus court terme. Au passif en revanche, les engagements ne sont pas escomptés et le paiement des prestations n est pas ou peu affecté par les conditions de taux. Le risque de taux est alors dit latent. La nécessité d une gestion coordonnée de l actif et du passif est donc apparue plus tardivement. Précisons que notre étude ne s inscrit dans le cadre de la gestion actif-passif que dans une optique de prévision de risque. En effet, il ne s agit pas d agir sur la composition du bilan pour optimiser le retour sur fonds propres ni de rechercher l allocation optimale des actifs pour un passif donné, mais simplement d estimer le risque d insuffisance de liquidité et de marge, à structure de bilan et stratégie d allocation d actifs données. Notons enfin que cette étude s est consacrée à la modélisation de l ensemble des postes du bilan et du compte de résultat. L ampleur de ce travail n a pas permis de rechercher, pour chaque poste, la modélisation la plus fine et la plus appropriée. Ainsi, des hypothèses fortes ont du êtres faites à différentes étapes de la modélisation. En particulier, nous avons supposé que les Loss-Ratios des trois principales branches retenues suivaient des lois gamma, étaient indépendants entre eux et indépendants des rendements de l actif. Par ailleurs, les provisions à charge des réassureurs sont supposées intégralement nanties et le risque de défaut du réassureur est négligé. A l actif, la corrélation entre les produits de taux et les actions est également négligée. Enfin, les effets de l inflation ne sont pas pris en compte. Nous avons mené cette étude au sein d une entreprise d assurance dommages Grands Risques ci-après «la Compagnie». Cette société est la filiale d un grand groupe d assurance - «le Groupe» - spécialisée dans l assurance des Grands Risques (risques industriels, risques transport et maritime, assurance de flotte automobile, assurance construction ). L assurance des Grands Risques est caractérisée par le fait que le coût d un seul sinistre peut représenter une part importante de la charge sinistre annuelle. Ceci explique une variabilité des paiements de sinistres beaucoup plus forte qu en assurance de risques de masse et un rôle beaucoup plus important de la réassurance. Les marchés des Grands Risques et des Risques Internationaux sont des marchés où les valeurs assurées sont très importantes et où la nature très différente des risques ne permet pas une mutualisation large, comme c est le cas pour les risques de masse (Auto de Particuliers, Multi-Risques Habitation,.). Ceci engendre une vulnérabilité et une grande
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 101 volatilité des résultats. Une autre spécificité importante des marchés des Grands Risques est leur cyclicité. En effet, les taux de primes évoluent de façon cyclique au cours du temps, en raison en particulier des contraintes de capacité. Ainsi, pour un portefeuille de Grands Risques, on ne peut utiliser les techniques actuarielles classiques des risques de masse, et ce en raison de l absence de deux critères tout à fait nécessaires : - mutualité : un portefeuille de Grands Risques ne constitue pas une mutualité sur plusieurs années. - homogénéité : les polices Grands Risques sont toutes différentes les unes des autres et constituent donc une population totalement hétérogène. Pour effectuer l'étude des risques d un portefeuille de Grands Risques, il est alors nécessaire d appliquer des modèles stochastiques permettant de simuler la sinistralité sur une large période de temps. Notre étude revêt un caractère novateur en raison de ces deux particularités : gestion globale du bilan d une compagnie d assurance dommages et modélisation de la sinistralité d un portefeuille Grands Risques (cyclicité, grande volatilité). En premier lieu, nous définissons les risques que nous allons estimer. Puis, nous modélisons l ensemble des postes du bilan et du compte de résultat, et définissons une stratégie de réallocation des actifs à la fin de chaque exercice. Cette modélisation nous permet ensuite de simuler un grand nombre de trajectoires du bilan sur une période de dix ans et d estimer, par la méthode de Monte-Carlo, la probabilité que la Compagnie soit en situation d insuffisance de liquidité ou de marge au cours des dix ans. La dernière étape consiste à mesurer la sensibilité des résultats précédemment obtenus aux différents paramètres utilisés dans la modélisation. II. DEFINITIONS DES DIFFERENTS INDICATEURS DU RISQUE D INSUFFISANCE Nous nous sommes intéressés à deux types de risque : le risque d'illiquidité à chaque date et le risque d'insuffisance de marge au terme de dix années. Il existe de nombreuses définitions de l insuffisance de marge actif-passif, empruntées à la comptabilité, à l analyse financière ou encore à la réglementation spécifique du secteur des assurances. Il nous a semblé intéressant de retenir chacun de ces concepts de manière à pouvoir en analyser les points communs et les divergences. On dira d une trajectoire qu elle a rencontré un problème d insuffisance de liquidité si l on constate au cours de la simulation, que la vente de l ensemble du portefeuille d obligations et d actions (hors titres du Groupe) ne suffit pas à couvrir l ensemble des dépenses de l exercice. Dans notre approche du risque d'illiquidité, nous avons considéré que les placements en actions (hors titres Groupe) et en obligations étaient liquides, tandis que les placements en immobilier et en titres Groupe sont considérés comme illiquides. Le risque d'illiquidité tel que nous l'avons défini est un cas extrême puisque les engagements envers les assurés ne sont alors plus couverts que par des placements considérés comme illiquides.
102 C. DUTEY & V. LEFLAIVE Nous n étudierons pas ici les problèmes ponctuels de trésorerie liés à la conjonction d une sinistralité forte et d un faible rendement des actifs sur une courte période. On dira d une trajectoire qu elle a rencontré un problème d insuffisance de marge économique si la valeur de marché des actifs, y compris les actifs de roulement, est inférieure à la valeur actualisée de l ensemble des éléments de passif à la fin de la simulation. Cet indicateur reprend la notion de marge actif-passif (asset-liability gap) couramment utilisée en analyse financière pour la valorisation des entreprises. Nous avons utilisé deux indicateurs réglementaires : l un correspondant au concept de couverture des engagements réglementés et l autre au concept de marge de solvabilité. Dans le premier cas, cela consiste à vérifier que la valeur au bilan des placements de marché est bien supérieure à la somme des provisions techniques non actualisées et brutes de réassurance. Cette définition réglementaire est donc très exigeante puisqu elle ne prend en compte ni les plus-values ni l intervention de la réassurance, pourtant essentielle dans l assurance des Grands Risques. Notons cependant que l indicateur de risque que nous avons effectivement utilisé dans notre simulation informatique prend en compte la réassurance car nous avons supposé que les provisions à la charge des réassureurs étaient entièrement nanties et donc pouvaient servir à couvrir la part des provisions techniques brutes correspondante. Dans le second cas, on vérifie que les fonds propres et quasi-fonds propres, augmentés des éventuelles plus-values latentes couvrent le minimum de marge réglementaire, soit environ 16 % du chiffre d affaires net de réassurance. En général, cette norme n est vraiment contraignante pour une société d assurance dommages que lors d une forte expansion de l activité. Enfin, les deux derniers indicateurs retenus concernent les risques d insuffisance de fonds propres. Le premier indicateur, désigné sous le nom de marge actionnaire, comptabilise les cas où le montant final des fonds propres est inférieur à la somme des apports en capital des actionnaires i.e. au montant initial des fonds propres augmenté des éventuelles augmentations de capital. Le second indicateur, désigné sous le nom d augmentation de capital, comptabilise les cas où l affectation d un résultat négatif aux fonds propres n est pas possible sans un nouvel apport des actionnaires. III. MODELISATION Dans cette partie, nous présentons la modélisation adoptée pour décrire l évolution des postes du bilan et des flux du compte de résultat. Les modèles mathématiques et économétriques retenus pour l estimation et la simulation des différents postes sont volontairement assez simples. Notre étude s attache en effet avant tout à modéliser le bilan et le compte de résultat dans leur ensemble, afin de déterminer des facteurs de risque. 1. Modélisation de l actif L actif de la Compagnie s élevait à environ 27,3 milliards de francs au 31 décembre 1998 (cf. bilan en Annexe 1.1). Il est pour l essentiel constitué de placements (environ 16,1 milliards), sur lesquels on compte une plus-value latente de l ordre de 4 milliards de francs. Notons néanmoins que la plus grande partie de cette plus-value latente (2,7 milliards) est liée à des titres Groupe et donc non réalisable librement par la
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 103 Compagnie. Par ailleurs, l actif d une société d assurance Grands Risques se distingue de celui d une autre société d assurance par la part importante des provisions à la charge des réassureurs : chez la Compagnie, elles représentent plus de 6,3 milliards de francs. Ces provisions ne sont admissibles dans la couverture des engagements réglementés que sous certaines conditions de garantie, par exemple si la cédante a reçu du réassureur des valeurs en nantissement de cette créance. La couverture des engagements réglementés est donc par nature difficile à réaliser dans une société d assurance Grands Risques. Le besoin en fonds de roulement (BFR) était d environ 1,9 milliards de francs au 31 décembre 1998. Toutes choses égales par ailleurs, le BFR est une fonction croissante du chiffre d affaires. Pour des raisons de simplicité, nous supposons dans notre modélisation que cette fonction est linéaire, c est-à-dire que le BFR représente un pourcentage constant du chiffre d affaires. Chez la Compagnie, ce pourcentage est d environ 35 % du chiffre d affaires brut de réassurance. En ce qui concerne les placements, nous distinguons : - la trésorerie d un montant d environ 800 millions de francs. Cette réserve de liquidités est destinée à faire face aux règlements de sinistres les plus pressants. Il paraît donc logique de la faire évoluer proportionnellement à la charge des sinistres à régler, c est-à-dire au montant des provisions pour sinistres à payer. En 1999, le montant de trésorerie souhaité était ainsi fixé par la Compagnie à environ 2,25 % des provisions techniques 2. - l immobilier d un montant d environ 1,3 milliard de francs. L évolution du marché de l immobilier est modélisé par une équation de diffusion à paramètres constants : dp Immo, t /P immo, t = µ Immo.dt + σ Immo.dZ Immo, t. Pour l estimation des paramètres, nous ne pouvons pas utiliser les données historiques de la Compagnie car le périmètre du bilan n a cessé de varier depuis la création de la filiale. Nous avons donc utilisé un agrégat boursier du secteur immobilier en France en faisant l hypothèse qu il reflétait l évolution du marché sous-jacent. Par ailleurs, les placements immobiliers engendrent des revenus : les loyers nets de charges. Les loyers sont supposés suivre la même évolution que le marché de l immobilier et donc représenter une part constante de la valeur de marché du stock. En septembre 1999, les revenus immobiliers avant impôt de la Compagnie s élevaient à 47 millions de francs pour un stock de 1.779 millions de francs soit un rendement d environ 2,6 %. Nous supposerons donc que : loyer t = 2,6 % Immo t où Immo t est la valeur de marché du stock immobilier pour l'année t. Enfin, la valeur de marché et la valeur inscrite au bilan (valeur d acquisition) sont utilisées pour calculer les éventuelles plus-values. 2 Si on applique ce coefficient au montant des provisions nettes au 31 décembre 1998, on trouve un montant de trésorerie de (19,6 6,3) milliards 2,25 % soit environ 300 millions de francs. Ce décalage avec le montant de 800 millions de francs de trésorerie réelle s explique par la décision de la compagnie de diminuer ses placements de trésorerie au cours de l année 1999.
104 C. DUTEY & V. LEFLAIVE - les actifs Groupe et les titres stratégiques désignent des titres d autres filiales du Groupe ou des titres d autres groupes sur lesquels le Groupe souhaite avoir une politique cohérente (par exemple de grands groupes dans lesquels le Groupe détient une participation importante). Ces actifs, d un montant d environ 5,3 milliards de francs, sont directement gérés par la direction des investissements du Groupe. Ils sont donc illiquides du point de vue de la Compagnie. La valeur de marché des titres stratégiques est supposée suivre l indice CAC 40 puisqu il s agit essentiellement d actions françaises. Les titres Groupe quant à eux sont essentiellement des titres de filiales du Groupe. Nous supposerons donc que leur valeur suit le cours de l action du Groupe. Enfin, nous supposons que le taux de dividendes versés par ces titres est de 3 %. - les placements de marché d un montant d environ 8,7 milliards. La gestion de ces placements est confiée à la filiale de gestion d actifs du Groupe selon un contrat qui fixe les contraintes suivantes : les placements doivent être effectués en respectant l article R.332.2 du Code des Assurances, qui définit les actifs admissibles en représentation le rendement minimum est fixé à 4 % les placements sont répartis entre produits de taux et actions avec des proportions respectives de 70 % et 30 % la poche actions doit respecter l allocation géographique suivante : 60 % en zone euro et 40 % hors zone euro la duration souhaitée des instruments de taux est de 6,5 ans avec une plage allant de 5,5 à 7,5 ans Pour des raisons de simplicité, nous supposons que le portefeuille d actions de marché de la Compagnie a une composition stable : 60 % de titres du CAC 40, 30 % de titres du Dow- Jones et 10 % de titres de l indice Nikkei. Les trois indices sont modélisés à l aide de modèles de diffusion à paramètres constants, comme pour l immobilier. Pour calculer les dividendes, nous supposons que les entreprises versent à leurs actionnaires une rémunération constante. L observation des dividendes versés par les principales sociétés composant l indice EURO 120 montre que le rapport moyen entre coupon global (y compris l avoir fiscal) et valeur de marché de l action se situait fin 1999 aux alentours de 2,1 % 3. Enfin, pour chaque type d actions, la valeur de marché et la valeur inscrite au bilan (valeur d acquisition) permettent de calculer les éventuelles plus-values. Les évolutions des indices boursiers, des prix des titres et des placements immobiliers sur le marché ne sont pas indépendantes. La modélisation des postes de l actif nécessite la prise en compte des corrélations entre ces différents placements. Celles-ci sont prises en compte par une corrélation entre les mouvements browniens dans un modèle empilé. 3 Cette valeur est confirmée par les données de la Compagnie.
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 105 Le modèle empilé est le suivant : dpcac, t = µ CAC. dt + σ CAC. dzcac, t pour l'indice CA C 40 PCAC, t dp DJ, t = µ DJ. dt + σ DJ. dzdj, t pour l'indice D ow Jones PDJ, t dpn, t = µ N. dt + σ N. dz N, t pour l'indice N ikkei PN, t dp G, t = µ G. dt + σ G. dzg, t pour les actifs Groupe PG, t dpi, t = µ I. dt + σ I. dz I, t pour l'im m obilier PI, t avec dz l,t.dz k, t = σ lk dt pour tout l,k. En écrivant le système sous forme matricielle, en discrétisant le modèle et en appliquant le théorème de Zellner, nous pouvons estimer les paramètres de ce modèle par les moindres carrés ordinaires (cf. estimation en Annexe 2.1). Les données utilisées sont les valeurs journalières des indices et des cours boursiers considérés, du 15 juin 1989 au 15 juin 2000, extraites du logiciel de données Jacques Chahine Finance. Nous obtenons alors les valeurs suivantes pour µ et σ : Cac 40 DJ Nikkei Groupe Immo µ 0,062% 0,064% 0,008% 0,080% 0,020% σ kj Cac 40 DJ Nikkei Groupe Immo Cac 40 0,021% 0,009% 0,009% 0,022% 0,009% DJ 0,015% 0,005% 0,009% 0,004% Nikkei 0,034% 0,010% 0,006% Groupe 0,042% 0,009% Immo 0,012% Cette modélisation nous permet de simuler l évolution de la valeur de marché des actions et des placements immobiliers de la Compagnie (cf. simulation en Annexe 2.2). Les produits de taux ne peuvent être valorisés de la même manière que les actions, du fait en particulier de leur caractère non aléatoire à l échéance. Aussi avons nous choisi de travailler avec un modèle de taux en temps continu. Le modèle retenu est un modèle d arbitrage, qui a l avantage d être plus opérationnel que les modèles d équilibre général (ces derniers reposent sur des hypothèses difficilement vérifiables, comme la forme de la fonction d utilité par exemple). Parmi les modèles d arbitrage en temps continu, nous avons retenu le modèle de Vasicek (1977). Le modèle de Vasicek repose sur une structure factorielle linéaire avec une volatilité constante. Les courbes de taux obtenues par ce modèle ressemblent à de nombreuses courbes de taux observées sur le marché. Toutefois, certaines d entre elles, notamment les courbes descendantes, où le taux court est plus haut que le taux long ne peuvent être atteintes par ce modèle.
106 C. DUTEY & V. LEFLAIVE La construction de ce modèle de structure par terme des taux repose sur deux hypothèses: - toutes les déformations de la structure des taux d'intérêt sont expliquées par le mouvement d'une seule variable d'état : le taux "spot". - ce taux suit, sous la probabilité risque neutre Q, une diffusion de type Ornstein- Uhlenbeck dr t = a (b- r t ) dt + σ dz t où a est l intensité de la force de rappel sur la tendance, b la tendance autour de laquelle oscille le taux spot r t, σ la volatilité instantanée supposée constante et dz t un Q-mouvement brownien. On utilise alors la relation entre taux zéro-coupon et prix zéro-coupon B(t,T) = exp[-(t-t) R(t,T)] et on détermine ainsi la forme fonctionnelle du taux zéro-coupon R(t,T), de maturité T-t suivante (cf. Annexe 2.1) : R(t,T)=R - S t G 1 (T-t) + γ G 2 (T-t) Une fois le modèle posé, un calage implicite permet d obtenir les paramètres qui décrivent le mieux le prix des obligations observées aujourd hui (nous choisissons des OAT françaises), en minimisant l'écart quadratique moyen entre le prix théorique de l'actif calculé par le modèle en fonction des paramètres et le prix de marché (cf. Annexe 2.1). Nous trouvons alors comme solution : R = 0,0583 ; S 0 = 0,0360 et γ = 0,0001. Une fois les paramètres estimés, on peut simuler l évolution des taux et valoriser les obligations. Pour chaque maturité, la somme des nominaux des obligations s y rapportant est gardée en mémoire, ainsi que le taux de coupon moyen pondéré (par la part du nominal respectif). La courbe des taux précédemment obtenue permet alors de valoriser le stock d obligations de la société à chaque période. Nous supposons par ailleurs que la trésorerie est rémunérée au taux comptant d échéance 1 an. N.B. : La modélisation retenue pour les placements présente une hypothèse simplificatrice. En effet, en choisissant d estimer séparément un modèle de diffusions empilées pour les actions et l immobilier d une part et un modèle de diffusion pour les produits de taux d autre part, on émet l hypothèse implicite que les évolutions de ces différents placements ne sont pas corrélées. 2. Modélisation du passif Pour modéliser le passif du bilan de la Compagnie, nous avons pris en considération les postes suivants : le capital social, la dette subordonnée, les provisions pour sinistres à payer nettes de réassurance et les autres provisions techniques 4. Au sens strict, les fonds propres de la Compagnie sont d un montant faible : 1,4 milliards de francs pour un bilan total de 27 milliards (cf. bilan en Annexe 1.1). Cette faiblesse est en partie compensée par un important recours aux emprunts subordonnés (3 milliards de francs) ; il s agit pour l essentiel d une dette interne, trouvant sa contrepartie dans les actifs Groupe possédés par la Compagnie. La comptabilisation des emprunts subordonnés en tant que quasi-fonds propres s explique par le fait qu ils partagent les deux principales caractéristiques des fonds propres, à savoir d être pour l entreprise une ressource de long 4 les dettes de roulement sont déjà prises en compte dans le besoin en fonds de roulement
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 107 terme et de ne disposer d aucun privilège en cas de liquidation de la société. Pour ces raisons, les emprunts subordonnés sont admis dans la constitution de la marge de solvabilité 5. Pour modéliser les provisions pour sinistres à payer, un taux de sinistres à primes (ou Loss-Ratio) est tiré aléatoirement à chaque date et pour chaque activité d assurance. Pour des raisons de simplicité, nous n avons retenu pour la modélisation que trois grandes branches : une branche à liquidation courte, à laquelle nous appliquons la cadence estimée empiriquement à partir des sinistres de la branche dommage de la Compagnie une branche transport à laquelle nous appliquons la cadence empirique de la branche «risques maritimes» une branche à liquidation longue, à laquelle nous appliquons la cadence empirique de la branche responsabilité civile des entreprises Pour chacune de ces branches, nous avons choisi de modéliser le Loss-Ratio par une loi gamma (cf. Annexe 2.3). Le fait que la modélisation par cette famille de lois puisse être discutée a une incidence limitée dans la mesure où c est essentiellement par la forme de la queue de distribution que les différentes modélisations habituellement utilisées pour la sinistralité diffèrent. Or, dans notre modélisation, les sinistres correspondants, les plus graves, sont entièrement pris en charge par la réassurance. Les paramètres sont calibrés de manière à ce que dans chacune des trois branches, le Loss- Ratio moyen soit de 95 % et le 95 ème percentile respectivement de 250 % pour la branche dommages, 150 % pour la branche transport et 200 % pour la branche responsabilité civile, conformément à ce qui est observé sur les données historiques de la Compagnie. Nous supposons que les sinistralités des différentes branches sont indépendantes entre elles et indépendantes des rendements de l actif. Il s agit d une hypothèse forte qui a toutes les chances de ne pas être satisfaite dans le cas d un marché aussi cyclique que celui des grands risques, dans lequel les tarifs évoluent parfois violemment en fonction des rendements financiers et du prix de la réassurance. Une fois le Loss-Ratio tiré aléatoirement, nous en déduisons la charge de sinistres pour la période de survenance considérée et nous la répartissons par exercice de règlement, selon la cadence de liquidation propre à chaque branche (cf. Annexe 3.1). Ceci nous permet de constituer, à chaque date, la provision pour sinistres à payer. Lorsque cela s avère nécessaire, sont également constituées d autres provisions techniques définies dans le Code des Assurances : la provision pour risque d exigibilité des engagements techniques et la provision pour risques en cours. Le chiffre d affaires pris en compte est le chiffres d affaires net de réassurance proportionnelle et de «fronting». Il ne reste donc à considérer que la réassurance non proportionnelle. Nous supposerons qu il s agit de traités en excédent de sinistre mais que le seuil d écrêtement est fixé non pas sinistre par sinistre mais branche par branche. Pour la branche dommages et pour la branche RC, ce seuil est fixé par La Compagnie à 150 % des primes brutes de la branche. En revanche, la rétention est plus faible dans la branche transport : le seuil retenu n est que de 120 % des primes brutes. Pour calculer la prime de 5 articles R-322-77 et suivants du Code des Assurances
108 C. DUTEY & V. LEFLAIVE réassurance, nous appliquons le principe de la prime pure (espérance du pourcentage de sinistres cédés). Le taux de prime de réassurance est alors de 19,3 % pour la branche dommages, 19 % pour la branche transport et 15 % pour la branche RC. En pratique, lors du règlement d un sinistre, l assureur doit avancer les paiements à la charge des réassureurs. Cependant, nous négligeons le délai de recouvrement de ces sommes et supposons en outre que les réassureurs ne font jamais défaut. 3. Modélisation du compte de résultat Dans cette partie, nous décrivons la structure du compte de résultat de la Compagnie (cf. Annexe 1.2), ainsi que les hypothèses retenues pour la simulation. Pour calculer les flux du compte de résultat, il est nécessaire de modéliser l évolution du chiffre d affaires, qui déterminera les primes acquises et les primes émises non acquises, et de modéliser la réallocation des actifs dont dépendront les produits financiers. Pour ce qui est de la charge sinistre, la modélisation de la sinistralité par exercice de survenance a déjà été faite pour construire le bilan. Par ailleurs, plusieurs hypothèses sont faites pour simuler les différents frais de la Compagnie. L évolution du résultat technique dépend beaucoup de l hypothèse faite sur le renouvellement du chiffre d affaires. La duration du stock des provisions, évaluée par La Compagnie à 3,2 ans dans l hypothèse de run-off, passe à 5 ans si le taux de reconduction du chiffre d affaires est de 50 % et à 6,7 ans quand le taux de reconduction est de 80 %. Par défaut, nous considérons un taux de reconduction de 100 %. Une réallocation des actifs est nécessaire pour faire face aux dépenses courantes et conserver un niveau de trésorerie confortable. Le niveau de trésorerie souhaité par La Compagnie représente 2,25 % de la provision pour sinistres. Pour atteindre ce niveau, les éléments d actifs font l objet d une réallocation de la manière suivante : Les proportions d actions (hors titres Groupe) et d obligations, en valeur de marché, restent respectivement de 30 % et 70 %. La répartition géographique du portefeuille d actions en valeur de marché reste constante (60 % en zone euro, 40 % hors zone euro). En cas de vente d obligations, on répartit le montant à vendre entre chacune des différentes échéances proportionnellement à leur poids dans la valeur de marché totale des obligations. En cas d achat d obligations, on répartit le montant à allouer uniformément sur les dix années suivantes. Les obligations sont achetées à l émission et l émission est faite au pair. Si, pour un scénario donné, la vente de l ensemble du portefeuille d actions (hors titres Groupe) et d obligations ne suffit pas à couvrir l ensemble des dépenses de l exercice, la simulation de cette trajectoire est arrêtée et comptée comme un scénario défaillant pour insuffisance de liquidité. Pour calculer les différents postes du compte de résultat, nous émettons en outre les hypothèses suivantes : la provision pour primes non acquises représente environ 10 % des primes émises (la majorité des contrats entreprises ont pour date d effet le 1 er janvier) la charge sinistre de chaque exercice est parfaitement évaluée : il n y a ni mali ni boni de liquidation
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 109 les ressources considérées sont les primes, les loyers, les dividendes versés par les actions, les coupons versés par les obligations, les intérêts versés sur la trésorerie ainsi que la réalisation potentielle de plus ou moins-values sur actions les frais généraux représentent 10 % du montant de primes de la période (les frais de gestion de sinistres sont déjà pris en compte dans la provision pour sinistres à payer) la dette subordonnée est reconduite d année en année, le taux d intérêts moyen est de 5,8 % la variation de la provision pour risque d exigibilité et celle de la provision pour risques en cours constituent une charge de l exercice nous déterminons alors un résultat avant impôt à partir duquel nous calculons l impôt sur les bénéfices Le résultat de l exercice est réparti de la façon suivante : si le résultat est positif, le capital social est rémunéré au taux de 15 %. Le montant restant vient alors abonder les fonds propres ; si le résultat est négatif, les fonds nécessaires sont prélevés, lorsque cela est possible, sur les réserves. Si les fonds propres ne s avèrent pas suffisants, il est alors nécessaire de demander aux actionnaires un nouvel apport de capital, de sorte que le montant des fonds propres ne descende pas au-dessous d un seuil fixé par défaut à 500 millions de francs. La modélisation des postes du bilan et des flux du compte de résultat nous permet ensuite de simuler des scénarios d évolution de l ensemble des grandeurs intervenant dans le calcul des risques étudiés. Pour estimer les risques considérés, nous avons suivi la méthode de Monte-Carlo, qui permet d obtenir des estimateurs sans biais. 4. Estimation du risque d illiquidité et de marge : méthode de Monte-Carlo L objectif de notre simulation est d étudier un grand nombre de scénarios pour les variables d état et, par agrégation, pour l évolution du niveau de liquidité et pour celle des différentes marges étudiées. La méthode de Monte-Carlo (cf. par exemple Lapeyre et al., 1977) consiste à simuler un grand nombre de trajectoires pour le niveau de liquidité et pour les marges, et calculer ensuite une quantité du type : ( ( ), 0) E Ψ X t t Dans le cas du risque d illiquidité : t est la date à laquelle le niveau de trésorerie est calculé, X(t) est le montant d actifs qu il est nécessaire de céder à la date t pour faire face aux dépenses courantes et atteindre le niveau de trésorerie souhaité en t, Ψ(X(t)) est la fonction indicatrice qui vaut 1 si X(t) est supérieur à la valeur du stock d actifs liquides disponible à la date t, et 0 sinon. Pour mettre en œuvre une méthode de Monte-Carlo à partir de cette représentation, il faut alors simuler les trajectoires de chaque processus intervenant dans le calcul du niveau de trésorerie et dans le calcul des marges. La loi des grands nombres permet alors d avoir un estimateur sans biais de la quantité E Ψ( X ( t), t 0) : la moyenne de la fonction indicatrice sur l ensemble des trajectoires.
110 C. DUTEY & V. LEFLAIVE Ainsi, l estimation des risques d illiquidité et de marge se fait en plusieurs étapes : premièrement, simulation des trajectoires des niveaux de trésorerie et de marges (après avoir simulé toutes les trajectoires des grandeurs sous-jacentes) ; puis, calcul pour chaque trajectoire, de la valeur de la fonction indicatrice ; et enfin, calcul de la moyenne des fonctions indicatrices sur l ensemble des trajectoires. IV. RESULTATS DES SIMULATIONS Dans cette partie, nous présentons les résultats issus des simulations. Les résultats obtenus pour la situation de référence sont liés aux valeurs des paramètres fixées par défaut (cf. Annexe 3.2 à 3.4). L objectif de l étude de sensibilité des résultats aux valeurs des paramètres est de mettre en évidence les paramètres auxquels les résultats sont les plus sensibles. 1. Risques d insuffisance de liquidité et de marge actif-passif pour la situation de référence A la fin de chaque trajectoire, nous stockons en mémoire les valeurs des principales grandeurs définissant le bilan et le compte de résultat ainsi que les fonctions indicatrices des risques de liquidité et de marge définis en début d article. Nous simulons 100.000 trajectoires et estimons ainsi les probabilités d insuffisance de liquidité et de marge. Nous obtenons les résultats suivants en pourcentage des scénarios simulés : Insuffisance de liquidité Insuffisance de marge économique Insuffisance de marge réglementaire Insuffisance de couverture des engagements réglementés Insuffisance de marge actionnaires Augmentation capital 0,1% 1,8% 0,1% 10,9% 33,0% 31,3%. Risque d insuffisance de marge économique : 0,1 % La probabilité d insuffisance de liquidité est très faible. Rappelons toutefois que nous avons défini l insuffisance de liquidité comme le cas où la cession de l ensemble des actifs liquides ne suffit pas à couvrir la totalité des dépenses de l exercice courant. Il s agit donc d un scénario particulièrement préoccupant puisque les titres Groupe et les placements immobiliers doivent dès lors faire face à l ensemble des engagements qu il reste au passif, lesquels sont potentiellement très élevés.. Risque d insuffisance de marge économique : 1,8 % Le calcul de la marge économique prenant en compte les plus-values latentes sur l ensemble des placements, le montant de l actif économique est en espérance assez élevé puisque les paramètres de l évolution des différents indices boursiers assurent, en moyenne, de confortables plus-values. L examen séparé des trajectoires pour lesquelles il y a eu ou il n y a pas eu de problème de marge confirme que la marge est en moyenne largement suffisante et que les insuffisances de marge sont essentiellement dues à des problèmes d actif (baisse de valeur des placements) puisque le montant moyen du passif est sensiblement le même pour chacun des deux types de trajectoires.
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 111 Problème de marge économique non oui Nombre de trajectoires 98.210 1.790 Actif 63.490,9 10.536,4 Passif 6.387,3 6.373,9. Risque d insuffisance de marge réglementaire : 0,1 % La probabilité d insuffisance de marge réglementaire est très faible. En effet, le montant minimum de marge réglementaire n est que de 530 millions de francs environ et 25 % de ce montant peut être représenté par la dette subordonnée. Les autres éléments constitutifs de la marge réglementaire sont alors largement suffisants.. Risque d insuffisance de couverture des engagements réglementés : 10,9 % La probabilité d insuffisance de couverture des engagements réglementés est élevée. L examen des trajectoires pour lesquelles il y a eu un problème de couverture des engagements montre qu il s agit aussi bien d un problème d actif (baisse de valeur des placements) que de passif (sinistralité élevée) puisque l actif admissible moyen y est inférieur à celui des trajectoires sans problème et le passif réglementé supérieur. Cette valeur de probabilité sous-estime par ailleurs la vraie valeur puisque la totalité des provisions à la charge des réassureurs, soit initialement 6,3 milliards, est supposée nantie ce qui est loin d être vérifié en réalité. Problème de couverture des engagements réglementés non oui Nombre de trajectoires 89.095 10.905 Actif Admissible 11.069,9 8.296,9 Passif réglementaire 8.327,5 9.357,7. Risques d insuffisance de fonds propres : 33 % et 31,3 % La marge actionnaire comptabilise les cas où le montant final des fonds propres est inférieur à la somme des apports en capital. Cet événement se produit si la somme des résultats sur les dix années est négatif. La forte probabilité de cet événement s explique par le fait que le résultat, s il est en moyenne positif pour une année de simulation donnée, a une variance suffisamment grande pour que la probabilité qu il soit assez fortement négatif pour une année de simulation donnée soit élevée. La mesure d augmentation de capital comptabilise les cas où l affectation d un résultat négatif aux fonds propres n est pas possible sans un nouvel appel aux actionnaires. La forte probabilité de cet événement
112 C. DUTEY & V. LEFLAIVE s explique par la forte variance du résultat et par le fait qu il suffit de quelques mauvaises années successives pour consommer l ensemble des fonds propres. Ces deux résultats montrent sans ambiguïté que le niveau de fonds propres de la compagnie (1,4 milliards de francs, pour un chiffre d affaires brut de 4 milliards de francs) est insuffisant pour assurer sa pérennité. 2. Sensibilité des probabilités d insuffisance de liquidité et de marge actif-passif aux différents paramètres L objectif de cette partie est de mesurer la sensibilité de la situation de la Compagnie à certains événements qui viennent modifier les valeurs par défaut prises par les différents paramètres. Pour chaque variation de paramètre, une nouvelle simulation de 10.000 trajectoires est lancée de façon à estimer les probabilités d insuffisance de liquidité et d insuffisance de marge. Ceci permet de comparer les résultats obtenus à ceux de la trajectoire de référence. Toutes les études de sensibilités ci-dessus sont faites à autres paramètres constants, et permettent une appréciation qualitative des résultats. Les chiffres de chaque graphique ou tableau représentent les probabilités estimées de rencontrer un des six problèmes, en fonction des valeurs prises par le paramètre considéré. a. Sensibilité au rendement moyen des actions 16,0% 14,0% 12,0% 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% 5,1% 2,9% 1,8% 0,2% 0,1% 0,1% 1,2% 0,0% 0,3% 0,2% 0,1% 0,1% liquidité marge économique marge réglementaire 14,7% 12,8% 10,9% 9,2% engagements réglementés -25% -10% reference 10%
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 113 Ce graphique montre l'évolution des risques d'insuffisance de marge en fonction de la variation du rendement moyen des actions (coefficient µ de l'équation de diffusion). Par exemple, une diminution de 25 % du rendement moyen des actions par rapport à la situation de référence fait passer le risque de marge économique de 1,8 % à 5,1 %. L augmentation du rendement des actifs diminue de manière significative l ensemble des probabilités d insuffisance. D une part, le résultat moyen augmente passant, grâce à la réalisation de plus-values plus importantes sur les actions, de 153,1 millions de francs pour un rendement diminué de 10 % à 224,1 millions de francs pour un rendement augmenté de 10 %. De là, la diminution du risque d insuffisance de liquidité, de couverture des engagements réglementés et des risques d insuffisance de fonds propres. D autre part, on note une forte augmentation du stock moyen de plus-values sur actions. Cet effet explique la diminution du risque d insuffisance de marge réglementaire. Pour la marge économique, les deux effets se combinent : la valeur de marché moyenne des actions passe de 46.023 millions de francs pour un rendement diminué de 10 % à 65.708 millions de francs pour un rendement augmenté de 10 %. b. Sensibilité au taux de reconduction du chiffre d affaires. Taux de reconduction Insuffisance de liquidité Marge économique Marge réglementaire Engagements réglementés Marge actionnaires Augmentation capital 80% 2,1% 3,6% 0,0% 0,1% 1,7% 3,4% 90% 0,7% 2,6% 0,0% 0,2% 10,1% 9,0% 95% 0,2% 1,9% 0,1% 1,3% 19,7% 17,4% 100% 0,1% 1,8% 0,1% 10,9% 33,0% 31,3% 105% 0,0% 1,7% 0,4% 40,6% 48,1% 50,4% 110% 0,0% 1,8% 0,6% 75,2% 61,7% 68,3% 120% 0,0% 3,9% 0,9% 97,7% 76,1% 88,5% Une augmentation du taux de reconduction du chiffre d affaires diminue fortement la probabilité d insuffisance de liquidité : les primes supplémentaires viennent immédiatement augmenter la trésorerie alors que les sinistres supplémentaires ne sont réglés que progressivement sur les exercices suivants. Le montant moyen de trésorerie disponible à la fin d un exercice passe ainsi de 119,9 millions de francs pour un taux de reconduction de 80 % à 2.941 millions de francs pour un taux de reconduction de 120 %. Le niveau cible de trésorerie augmente également puisqu il est défini comme un pourcentage du montant des provisions pour sinistres à payer. Cependant, il augmente dans des proportions moindres : de 148,3 millions de francs en moyenne pour un taux de 80 % à 551,5 millions de francs pour un taux de 120 %. Les montants moyens des placements et par conséquent des flux d actifs augmentent donc avec le taux de reconduction puisqu on peut réallouer le surcroît de trésorerie. En revanche,
114 C. DUTEY & V. LEFLAIVE le montant du passif économique augmente moins vite puisque les provisions techniques sont actualisées. Ceci explique la baisse du risque d insuffisance de marge économique lorsque le taux de reconduction du chiffre d affaires passe de 80 % à 105 %. Cependant, un deuxième effet vient perturber ce résultat : puisque l on simule la charge sinistre à partir du Loss-Ratio, la variance de la charge sinistres est d autant plus grande que les primes sont élevées. Les trajectoires pour lesquelles la sinistralité est élevée sont donc plus nombreuses et le risque d insuffisance de marge économique augmente. Le minimum de marge réglementaire augmente proportionnellement au chiffre d affaires. Parallèlement, le montant moyen des placements et donc des plus-values augmente en moyenne mais pour quelques trajectoires il peut être plus faible. Or, les autres éléments constitutifs de la marge réglementaire restent stables. Le risque d insuffisance de marge réglementaire augmente donc. La probabilité d insuffisance de couverture augmente fortement avec le taux de reconduction. En effet, le surcroît d actif n intervient que sous la forme d une augmentation de la valeur des placements au bilan (on ne prend pas en compte le surcroît de plus-values) alors que l effet d augmentation du passif joue pleinement puisque les provisions pour sinistres ne sont pas actualisées. Enfin, l augmentation du chiffre d affaires -entraînant une augmentation de la variance de la charge sinistres et donc du résultat alors que le montant des fonds propres reste stable- implique une augmentation du risque d insuffisance de ces derniers. c. Sensibilité à la répartition obligations-actions issue de la règle d allocation des actifs 1200 1000 800 600 400 200 0 50/50 60/40 70/30 80/20 résultat trésorerie actif admissible/10 placements/10 Répartition Obligations/Actions Le graphique ci-dessus représente les valeurs du résultat, du montant moyen de trésorerie en fin d exercice, de l actif admissible en couverture et la valeur de marché des placements au terme des dix ans de simulation, en fonction de la répartition des placements entre obligations et actions. Deux effets jouent en sens inverse : d une part, l augmentation de la part d actions entraîne la réalisation de davantage de plus-values ; d autre part, l augmentation de la part d obligations vient augmenter le montant moyen de revenus de l actif grâce aux coupons. Les risques d insuffisance de fonds propres suivent logiquement
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 115 l évolution inverse du résultat : le risque est minimum (risque de marge actionnaires de 25,8% et risque d augmentation de capital de 22,4%) lorsque le résultat moyen est maximum. En revanche, la valeur de marché des placements diminue fortement avec la part d obligations : ceci explique la détérioration sensible de la marge économique (risque passant de 1,2 % pour une répartition 50/50 à 3,4 % pour une répartition 80/20). Il en va de même de la valeur de l actif admissible qui passe de 11.720 millions de francs pour une répartition 50/50 à 9.505 millions de francs pour une répartition 80/20. Ceci entraîne une forte augmentation du risque d insuffisance des engagements réglementés de 7,7 % pour une répartition 50/50 à 25,3 % pour une répartition 80/20. d. Sensibilité au taux de frais généraux 80,0% 70,0% taux de frais généraux 60,0% 50,0% 0% 5% 40,0% 10% 30,0% 15% 20,0% 20% 10,0% 0,0% engagements réglementés marge actionnaires augmentation capital Avec l augmentation du taux de frais généraux, le résultat moyen et le montant de trésorerie disponible en fin de chaque exercice se détériorent rapidement : l espérance de résultat passe ainsi de 564 millions de francs pour un taux de 0% à 199 millions de francs pour un taux de 20%. Dès lors, les probabilités de l ensemble des risques augmentent sensiblement.
116 C. DUTEY & V. LEFLAIVE e. Sensibilité au montant initial de provisions techniques, Nous supposons que la variation du montant initial de provisions techniques au passif est due à une réévaluation des provisions, se traduisant alors par un bonus ou un malus de liquidation. Une variation des provisions se traduit ici par un impact sur le résultat et donc sur les fonds propres. Montant Insuffisance Marge Marge Engagements Marge Augmentation de provisions de liquidité économique réglementaire réglementés actionnaires capital 12.645 0,0% 1,2% 0,1% 5,3% 24,1% 20,6% 13.300 0,1% 1,8% 0,1% 10,9% 33,0% 31,3% 13.965 0,3% 2,3% 0,1% 19,8% 42,9% 45,7% Le risque de liquidité est accru du seul fait de l augmentation des provisions à payer qui s étalent sur dix ans et qui diminuent la trésorerie. La marge économique est moins respectée puisqu il est nécessaire de vendre des actifs pour pouvoir garder un niveau de trésorerie raisonnable. En effet, l actif est diminué et ne permet pas de faire face à un éventuel remboursement de toutes les dettes. Le risque d insuffisance de couverture des engagements réglementés est largement accru du fait de la diminution du stock d'actifs et aussi de l'augmentation des provisions techniques elles-mêmes. Enfin, les risques liés au niveau de fonds propres augmentent fortement puisque les réévaluations à la hausse des provisions techniques viennent diminuer le résultat et donc les fonds propres. On peut aussi supposer une hausse du montant initial de provisions techniques due à une variation de taille du portefeuille. Dans ce cas, l augmentation des actifs permet d augmenter le résultat par les revenus et les plus-values qu ils procurent. Ainsi, les risques de marge actionnaires et d augmentation de capital évoluent dans des sens opposés à ceux constatés lors d une réévaluation des provisions. On constate également que le risque d insuffisance de couverture des engagements réglementés est plus sensible à des réévaluations plutôt qu'à la taille du portefeuille en ellemême : ceci s'explique simplement par le fait que dans le second cas, le stock d'actifs est dès le départ plus élevé lorsque les provisions techniques sont plus élevées. Pour les autres risques, il n'y a pas de différence significative. f. Sensibilité à la moyenne du Loss-Ratio Nous avons étudié trois cas possibles : un Loss-Ratio moyen de 90 %, 95 % ou 100 %. Rappelons que la loi choisie pour les Loss-Ratios est une loi gamma. Etant donné que la moyenne d une variable distribuée suivant une loi gamma est le produit αβ (cf. Annexe 2.3), nous avons fait varier ces paramètres de manière à obtenir le αβ voulu, et à garder la variance αβ² constante pour avoir une variation toute chose égale par ailleurs. Le fait de faire varier ces paramètres a un impact sur l espérance de dépassement du seuil
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 117 d écrêtement de réassurance et il faut donc recalculer le taux de cession de la branche concernée. Les résultats pour la branche RC, qui représente 41% du chiffre d affaires, sont les suivants : 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% Loss-Ratio moyen 90% 95% 100% 15% 10% 5% 0% insuffisance de liquidité marge économique marge réglementaire engagements réglementés marge actionnaires augmentation capital Le graphique ci-dessus montre que le respect de la règle de couverture des engagements réglementés est très sensible au Loss-Ratio de la branche RC : pour un Loss-Ratio égal à 1 en moyenne, il y a 15,1 % de chance que cette règle ne soit pas respectée contre 10,9 % pour la situation de référence. Par ailleurs, l augmentation de ce Loss-Ratio conduit à des augmentations de capital plus nombreuses dues à un résultat souvent négatif qui oblige à empiéter sur le niveau de fonds propres : le risque d'insuffisance de marge actionnaires passe ainsi de 26,3 % à 40,9 % et le risque d'augmentation de capital de 26 % à 37,5 % lorsque le Loss-Ratio moyen passe de 90% à 100 %. g. Sensibilité à la rémunération des actionnaires (taux de fonds propres) Plus le taux de rémunération des actionnaires (taux de fonds propres) augmente, plus la compagnie doit dépenser une part importante de son niveau de fonds propres en cas de résultat positif. Ceci a alors pour conséquence de fragiliser la compagnie en limitant le gain
118 C. DUTEY & V. LEFLAIVE de fonds propres en cas de résultat positif, qui aurait pourtant permis de faire face aux années pour lesquelles le résultat est négatif. Taux de fonds propres Insuffisance de liquidité Marge économique Marge réglementaire Engagements réglementés Marge actionnaires Augmentation capital 5% 0,1% 1,8% 0,1% 10,9% 33,0% 31,3% 10% 0,2% 2,0% 0,1% 13,6% 38,9% 34,1% 15% 0,1% 2,3% 0,1% 18,4% 44,0% 36,9% h. Sensibilité au niveau de fonds propres Pour étudier la sensibilité au niveau de fonds propres, nous faisons varier le niveau de fonds propres initial de 1.000 à 1.800 millions de francs. Afin que le bilan soit équilibré, il faut alors faire varier l actif, ici le stock immobilier, du même montant. La simulation de 10.000 trajectoires donne les résultats suivants : Niveau de fonds propres Insuffisance de liquidité Marge économique Marge réglementaire Engagements réglementés Marge actionnaires Augmentation capital 1.000 0,1% 1,6% 0,1% 14,1% 31,8% 38,1% 1.400 0,1% 1,8% 0,1% 10,9% 33,0% 31,3% 1.800 0,1% 1,9% 0,1% 8,1% 34,2% 26,1% On constate naturellement qu un niveau de fonds propres plus grand permet de réduire les risques d avoir recours aux actionnaires pour augmentation de capital. Par ailleurs, comme on a augmenté le stock immobilier au bilan, l actif admissible en représentation du passif réglementaire augmente : le risque de non respect de la couverture des engagements réglementés diminue donc. Pour la marge économique, l augmentation du stock immobilier permet d augmenter l actif tandis que le passif économique est augmenté par les fonds propres (dette envers les actionnaires). Ces deux effets s'opposent quant au respect de la marge économique, ce qui explique que le risque associé fluctue dans un sens ou dans l'autre. Ainsi, un niveau de fonds propres initial plus grand, qui serait investi en immobilier, permettrait de réduire le risque de devoir avoir recours à une augmentation de capital et le risque d insuffisance de couverture des engagements réglementés, mais n'aurait pas une incidence nette sur les autres risques étudiés. V. CONCLUSION La modélisation de chaque poste du bilan et du compte de résultat de la compagnie d assurance dommages Grands Risques étudiée nous a permis d estimer les probabilités d'occurrence des risques retenus : risque d illiquidité, risque de non-respect de la marge
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 119 économique, de la marge réglementaire, risque d insuffisance de couverture des engagements réglementés, risque de ne pas pouvoir rembourser les actionnaires au bout de dix ans, risque d avoir recours au moins une fois à une augmentation de capital. Le faible risque d'illiquidité doit être apprécié en fonction du caractère très restrictif de la définition retenue pour ce risque : les cas d'illiquidité revêtent en effet dans notre étude un caractère particulièrement préoccupant puisque les titres Groupe et les placements immobiliers doivent alors seuls faire face à l ensemble des engagements qu il reste au passif, lesquels sont potentiellement très élevés. Le risque d insuffisance de couverture des engagements réglementés est élevé, d'autant que l'hypothèse forte faite sur le nantissement des provisions à la charge des réassureurs conduit à un pourcentage de risque qui sous-estime probablement assez fortement le risque réel. Enfin, la probabilité de devoir avoir recours à une augmentation de capital pour faire face aux résultats négatifs et la probabilité que le niveau de fonds propres soit inférieur à l apport total des actionnaires (marge actionnaires) sont chacune supérieures à 30 %. Ces deux résultats montrent sans ambiguïté que le niveau des seuls fonds propres de la compagnie (1,4 milliards de francs, pour un chiffre d affaires brut de 4 milliards de francs) est insuffisant pour assurer sa pérennité. Cette insuffisance est toutefois en partie compensée par un recours massif à la dette subordonnée. Ces résultats sont évidemment liés aux hypothèses qui ont été faites quant aux modèles de simulation utilisés et aux paramètres fixés. Pour les modèles de simulation, nous les avons choisis relativement fiables et surtout simples d utilisation. La modélisation de l'actif pourrait donc être facilement améliorée par l'utilisation de modèles d arbitrage en temps continu plus fins. Citons par exemple les modèles linéaires à volatilité stochastique, qui peuvent paraître plus appropriés pour décrire la structure des taux : C.I.R (1985), Duffie et Kan (1993), Longstaff et Schwartz (1992). La prise en compte de la corrélation entre le bloc immobilier-actions et les produits de taux permettrait également l'amélioration de la modélisation de l'actif. En ce qui concerne la modélisation du passif, son amélioration passerait essentiellement par une étude approfondie de la loi de la sinistralité de chacune des branches, le choix d'une loi gamma pour le Loss-Ratio étant en partie arbitraire. On disposerait alors d'une modélisation fiable pour la queue de distribution, ce qui permettrait de simuler les provisions techniques brutes de réassurance et la part revenant aux réassureurs. En conséquence, la mesure du risque d'insuffisance de couverture des engagements réglementés serait beaucoup plus pertinente car elle pourrait tenir compte du degré réel de nantissement des provisions à la charge des réassureurs. De plus, le risque de liquidité lié au délai de paiement des réassureurs et le risque lié au défaut de paiement d'un réassureur pourraient ainsi être intégrés dans la modélisation. Dans le premier cas, il suffirait d'augmenter le niveau de trésorerie souhaitée des sommes dues mais non encore réglées par les réassureurs ; le second cas nécessiterait en revanche une hypothèse ou un modèle prédisant la probabilité de défaut d'un réassureur. Enfin, pour compléter notre modélisation du bilan, il serait intéressant de prendre en compte les effets de l inflation. L'impact de l'inflation sur les cours des différents placements pourrait être pris en compte directement dans la modélisation de l'immobilier et
120 C. DUTEY & V. LEFLAIVE des actions par une variante linéaire du modèle stochastique proposé par Wilkie (1995). L influence de l inflation sur l évolution de la charge sinistres dépend quant à elle des spécificités de la branche considérée (ex : impact prépondérant de la jurisprudence pour la sinistralité de responsabilité civile, caractère international des sinistres pour la branche marine). L'étude de sensibilité menée a permis de révéler certains facteurs de risques. Par exemple, les risques d'insuffisance de marge se sont révélés très sensibles à la moyenne des Loss-Ratios. Ce résultat souligne l'importance de ne pas dissocier dans une entreprise d'assurance le service chargé de la gestion actif-passif et celui responsable de la tarification et de la sélection des risques puisque le niveau des primes est l'un des premiers déterminants de la solvabilité future de la Compagnie. Un autre paramètre s avère particulièrement intéressant : le taux de reconduction des affaires. En effet, pour ce paramètre, le risque d'illiquidité et les risques d'insuffisance de marge évoluent dans des sens contraires (une augmentation du taux de reconduction diminue sensiblement le risque d illiquidité, alors qu il augmente les risques de marge). Ce résultat met donc en lumière la nécessité d'un suivi simultané du risque de liquidité et des risques d'insuffisance de marge, ces deux types de risque n'étant pas réductibles l'un à l'autre. Pour affiner l analyse des résultats, il serait souhaitable de faire une étude préalable de la distribution des paramètres étudiés. Une telle étude permettrait en effet de déterminer si les hypothèses alternatives retenues pour une analyse de la sensibilité des résultats sont ou non probables, en prenant par exemple des intervalles de confiance à 95 % de risque pour chaque paramètre. Dans cette perspective et dans celle du suivi et de la gestion des risques, il conviendrait de distinguer trois grandes catégories de paramètres : - les paramètres disponibles sur les marchés financiers (ex : rendement moyen des actifs, volatilité des actifs, paramètres de taux, taux de rémunération de la dette ), sur lesquels la Compagnie n'a pas de possibilité d'action directe ; la compagnie peut toutefois limiter son exposition à ces risques (en diversifiant ses actifs ou en acquérant une couverture). - les paramètres spécifiques à une branche d'assurance donnée (ex. : cycle d'activité, Loss-Ratio moyen, cadences de liquidation et dans une certaine mesure taux de frais généraux) ; ces paramètres sont largement déterminés par le marché d'assurance concerné, cependant la compagnie possède une marge de manoeuvre ; elle peut par exemple diminuer le Loss-ratio moyen par une politique de sélection des risques stricte, augmenter les cadences de liquidation par un service de gestion des sinistres performants - les paramètres qui dépendent directement de la politique choisie par la Compagnie (ex. : règle de répartition des actifs, règle de réallocation des actifs, niveau de trésorerie souhaitée et dans une certaine mesure niveau de fonds propres) ; la sensibilité des résultats à ces paramètres est particulièrement intéressante à étudier car ce sont les
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 121 premiers paramètres d'ajustement disponibles pour la gestion des risques de la compagnie. BIBLIOGRAPHIE CHENG C.H., FEAST G.M., 1980, «Gamma Variate Generators with Increased Shape Parameter Range», Communications of the ACM, 23, p. 389-394. COX J.C., INGERSOLL J., ROSS S., 1985, «A theory of the term structure of interest rates», Econometrica, 53, p. 385-407. DUFFIE D., 1994, Modèles dynamiques d évaluation, PUF. DUFFIE D., KAN R., 1993 et 1996, «A yield-factor model of interest rates», Mathematical Finance, 6, p. 379-406. DUTEY C., LEFLAIVE V., 2000, Mesure du risque d illiquidité et d insuffisance de marge d une compagnie d assurances dommage, Thèse Ensae-IAF. EL BABSIRI M., DUPRE D., 1997, ALM Techniques pour la gestion Actif /Passif, ESKA. EL KAROUI, CHERIF, DICOUM, SAVIDAN, 1994, «Modélisation de la structure par terme des taux d intérêt : tests et applications», Cahiers de la CAR n 6. LAMBERTON D., LAPEYRE B., 1991, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, ELLIPSES. LAPEYRE B., PRADOUX E., SENTIS R., 1997, Méthodes de Monte-Carlo pour les équations de transport et de diffusion, SPRINGER. LONGSTAFF F., SCHWARTZ E., 1992, «Interest rate volatility and the term structure : a two-factor general equilibrium model», Journal of Finance, 47, p. 1259-1282. PRESS W.H., TEUKOLSKY S.A., VETTERLING W.T., FLANNERY B.P., 1992, Numerical recipes in C, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. VASICEK O., 1977, «An equilibrium characterisation of the term of structure», Journal of Financial Economics, p. 177-188. WILKIE A.D., 1995, «More on stochastic asset model for actuarial use», British Actuarial Journal, 1, p.777-964.
122 C. DUTEY & V. LEFLAIVE ANNEXE 1 : BILAN ET COMPTE DE RESULTAT 1. Bilan simplifié de la Compagnie au 31 décembre 1998 Actif (en milliards de francs) Passif (en milliards de francs) Placements (hors trésorerie) : Immobilier Titres Groupe et stratégiques Placements de marché 15,3 1,3 5,3 8,7 Capitaux propres : Passif subordonné : 1,4 3 Provisions à la charge des réassureurs : Provisions pour primes non acquises Provisions pour sinistres 6,3 0,3 6 Provisions techniques : Provisions pour primes non acquises Provisions pour sinistres Autres provisions 19,6 0,5 18,4 0,7 Actifs de roulement : Créances nées d opérations d assurance directe Créances nées d opérations de réassurance Autres créances Trésorerie 4,7 2,7 1,6 0,4 0,8 Autres dettes (dettes de roulement) : Dettes nées d opérations d assurance directe Dettes nées d opérations de réassurance 0,7 0,9 1,2 Autre dettes Régularisation : 0,2 0,5 Régularisation : TOTAL 27,3 27,3 2,8 2. Compte de résultat simplifié de la Compagnie au 31 décembre 1998 Chiffres nets de réassurance Primes acquises à l exercice : Primes émises - (Primes non acquises) Produits financiers : Produits des placements alloués (compte technique) Produits des placements nets de placements transférés Charge des sinistres : Paiements envers les assurés - (Provisions pour sinistres à payer) Frais d acquisition et d administration : Autres charges : dont charges des placements RESULTAT avant impôt : En milliards de francs 4 3,7 0,3 1.3 0,8 0,5-3,9-3 - 0,9-0,7-0,7-0,4-72,3 millions de francs
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 123 ANNEXE 2 : METHODES D ESTIMATION ET DE SIMULATION 1. Estimation des modèles de diffusion a. Modèle de diffusion empilé actions-immobilier On discrétise chacune des équations du modèle de la façon suivante : Pt+ t Pt = µ t+ σ Pt Zt où Z t est une variable gaussienne centrée de variance t. On prend t = 1 jour. Soit Y le vecteur des variables à explique : YCAC YDJ Y = Y Nikkei (5 T,1) YGroupe Y Immo Yindice,1 où Yindice =... ( T,1) Y indice, T Le modèle s écrit alors : µ µ Y = ( I e T ).µ + ε avec µ = µ (5,1) µ µ CAC DJ Nikkei Groupe Immo et εcac εdj ε = ε Nikkei (5 T,1) εgroupe εimmo où T est le nombre d observations (pour chaque équation) et e T est le vecteur de T V ε =Σ I lignes ne comprenant que des 1. Le vecteur ε vérifie : E(ε) = 0 et ( ) T avec 2 σcac Lσ CAC, Immo = M O M 2 σ Immo, CAC KσImmo
124 C. DUTEY & V. LEFLAIVE où σ 2 CAC est la variance du taux de croissance de l indice CAC 40, et σcac, Immo est la covariance entre le taux de croissance de l indice CAC 40 et celui de l indice immobilier. On remarque que l on se trouve dans le cadre du théorème de Zellner selon lequel, si un modèle peut s écrire : Y 1 X 1 0 0 b1 Y = Yg = 0 Xg 0 bg + Y G 0 0 X G b G u avec V ( u) IT =Σ et loi (X i ) = loi (X j ) i,j, faire les moindres carrés ordinaires équation par équation est équivalent à faire les moindres carrés généralisés. Le vecteur µ est donc facile à estimer : il s agit tout simplement de la moyenne empirique des (P t+1 -P t )/P t observés pour chacun des actifs. Par ailleurs, on montre que la méthode du maximum de vraisemblance conduit au même estimateur que celui énoncé précédemment pour µ et à l estimateur suivant pour les éléments de Σ : T ˆ εkt, ˆ ε jt, ˆ σ t= 1 kj= avec ˆ σ 2 ˆk k T k = σ. Les données utilisées sont les valeurs journalières des indices et des cours boursiers considérés, du 15 juin 1989 au 15 juin 2000, extraites du logiciel de données Jacques Chahine Finance. Le modèle ainsi estimé, la simulation de l évolution mensuelle du marché des actions et de l immobilier ne nécessite plus que le tirage de la variable aléatoire ε de loi N(0,Σ). b. Calage du modèle de taux Dans le modèle de Vasicek, la courbe des taux à l instant t est entièrement définie par la donnée du taux spot r t (El Karoui N. et al., 1996 et JOUINI E., 1998). Or, r t vérifie l équation : r t = r 0 e - at + b (1- e - at ) - σ t e - a (t-s) dz 0 s. On a donc, r t+dt = r t e - adt + b (1- e - adt ) - ε où ε est une variable gaussienne centrée et de variance σ 2 = t + dt e - 2a (t+dt -s) σ 2 ds soit 2 t ( 1 e adt ). 2a
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 125 On détermine ainsi la forme fonctionnelle du taux zéro-coupon R(t,T), de maturité T suivante : R(t,T)=R - (R -r t ) G 1 (T) + γ G 2 (T)
126 C. DUTEY & V. LEFLAIVE avec : G 1 (T) = ( 1 exp( at )) at et G 2 (T) = ( 1 exp( at )) 2 4aT Cette formulation a l avantage de présenter des paramètres que l on peut ainsi interpréter : a est un paramètre d'échelle σ 2 R = b 2a constant correspond au taux long que le modèle de Vasicek suppose S t est le spread entre le taux long R et le taux spot r t, à la date t σ 2 γ = est un paramètre de courbure et permet d'approcher des formes en a 2 "cuvette" de la courbe des taux. Le prix à la date t, d'un actif versant les flux F j aux dates t j, s'exprime alors, par absence d opportunités d arbitrage, comme le prix d une somme d'actifs versant chacun un unique flux de F j aux échéances t j soit P t = Σ B(t,t j ) F j. Pour caler, le modèle de taux, la méthode d estimation implicite des paramètres exige la connaissance des prix de marché de plusieurs obligations. On a choisi pour cela un panier de 10 OAT cotées sur le marché. Nous avons pris les cotations du 25 avril 2000 pour des OAT d échéance un 25 avril. Ceci permet d avoir des années «pleines» et évite ainsi de prendre en compte le coupon couru d une part et d actualiser selon le nombre de jours séparant la date de cotation de la date du prochain coupon d autre part. Le calage du modèle de taux consiste en la minimisation de la somme des carrés des écarts entre la cotation et la valeur théorique, cette dernière étant calculée avec les paramètres du modèle et selon le coupon et la maturité. Plusieurs raisons ont conduit El Karoui, Cherif, Dicoum, Savidan (1994) à fixer préalablement, à l aide de tests empiriques, une valeur pour a. En effet, les procédures numériques de minimisation ne permettent pas d ajuster a de façon fiable. De plus, trois paramètres suffisent pour tracer les formes de la courbe des taux et a, tel qu il est défini dans l expression R(t,T) n est qu un paramètre d échelle. Nous avons ainsi fixé sa valeur à celle la plus couramment utilisée dans les études à ce sujet (El Babsiri et al., 1997), soit 0,9. Ceci permet d'effectuer ensuite une minimisation numérique en fonction de trois paramètres au lieu de quatre.
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 127 La forme de la fonction à minimiser est : 10 2 f ( R, S0, γ ) = OATi OAT i i= 1 Ni où OAT i = Ci * e t R S0G 1 t G 2 t + 100* e N i R S0G 1 t G 2 t t= 1 ( ( () + γ ())) () + γ () 2. Simulation de l évolution des prix des actions et de l immobilier a. Simulation d une loi normale N (0,1) ( ( )) Pour simuler l évolution du prix des actifs du modèle empilé, nous avons besoin de simuler des réalisations d un vecteur gaussien N(0, Σ). Il est alors nécessaire de simuler un vecteur gaussien N(0, Id) et le vecteur ε=au (tq AA =Σ) suivra une loi N(0,Σ). Le préalable est la construction d un générateur de réalisations de la loi uniforme sur [0,1] dont nous dirons simplement que l algorithme repose sur un principe de congruences d un nombre premier très grand. Méthode par la fonction de répartition : Soit F une fonction de répartition d une loi quelconque sur R, supposées strictement croissante et F -1 son inverse. Soit U la variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. F -1 (U) est alors une variable aléatoire de fonction de répartition F 6. Toutefois, on ne dispose pas de formulation explicite de l inverse de la fonction de répartition de la loi normale. Il faut donc l approcher et les résultats obtenus ne sont pas très satisfaisants. Méthode de Box-Müller : Soit U 1 et U 2 deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0,1]. Alors : 2log ( ) cos ( 2 π) et 2log ( ) sin ( 2 π) Y1 = U1 U2 Y2 = U2 U1 sont deux variables aléatoires indépendantes de loi normale N(0,1). 2 En effet, on a le système équivalent suivant : u 1 =exp(-½(y 1 + y 2 2 )) et u 2 = 1/2π arctan(y 2 /y 1 ). La formule du changement de variable fait alors apparaître les densités de la loi normale pour les variables Y 1 et Y 2. De plus, le fait que la densité jointe puisse être scindée de manière à faire apparaître séparément chacune des deux variables montre que ces dernières sont indépendantes. 6 Pour tout x, P(U<F(x))=F(x). En composant par F -1 de chaque côté de l inégalité on a donc : P (F -1 (U)<x)=F(x).
128 C. DUTEY & V. LEFLAIVE b. Simulation d une loi N(0, Σ) : décomposition de Cholewsky Nous savons maintenant générer des réalisations indépendantes de la loi N(0,1). Pour obtenir une réalisation de N(0, Id), il suffit alors d empiler des tirages unidimensionnels dans un vecteur de taille adéquate. Or la loi normale est stable par combinaison linéaire. L objectif est alors de trouver une transformation linéaire qui associe au vecteur tiré de la loi N(0, Id), un vecteur issu de la loi N(0, Σ). Soit la variable aléatoire X de loi N(0, Id). On cherche A tel que Y=AX soit une variable de loi N(0, Σ). Il suffit alors de déterminer A tel que AA = Σ car V(Y) = E(YY ) = A E(XX ) A = Σ 7. Pour cela, on utilise une décomposition d endomorphismes symétriques, dite de Cholesky, peu coûteuse numériquement et qui renvoie une matrice A triangulaire inférieure. 3. Simulation des Loss-Ratios La loi gamma a pour densité : ( ) x 1 f x, αβ, = x α 1 e β 1 [ 0; [ ( x α + ). β Γ α α est un paramètre d aplatissement et β un paramètre d échelle. Si X suit une loi G(α, β),alors on a E(X)= α β et V(X)= α β². Pour avoir une moyenne à 0,95 et un 95 ème percentile à 2,5, on résoud : αβ = 0,95 2.5 1 α 0 β Γ α ( ) x α 1 x e β = 0.95 = P( X 2,5) Ceci se fait aisément sous Excel, et on trouve, pour la branche dommages : α = 1,46 et β =0,65. On fait de même pour les branches transport et RC, avec les 95èmes percentiles égaux à 1,5 et à 2. Pour la branches transport, on trouve α = 9,750 et β =0,097. ( ) Pour la branche RC, on trouve α = 2,950 et β =0,322. Pour générer une variable suivant une loi gamma, on utilise un générateur basé sur l algorithme BGH proposé par R.C.H. Cheng et G.M. Feast (1980). 7 Comme nous travaillons avec des vecteurs centrés, on a bien V(X)=E(XX )=Id.
MESURE DU RISQUE D ILLIQUIDITE ET D INSUFFISANCE DE MARGE D UNE COMPAGNIE D ASSURANCE DOMMAGE 129 ANNEXE 3 : VALEURS PAR DEFAUT DES PRINCIPALES VARIABLES UTILISEES POUR LA SIMULATION 1. Cadence de liquidation Courant N N+1 N+2 N+3 N+4 N+5 N+6 N+7 N+8 N+9 N+10 Dommages 34% 85% 94% 98% 99% 100% Marine 15% 61% 83% 90% 94% 97% 98% 97% 98% 98% 100% RC 11% 29% 44% 55% 65% 73% 78% 84% 89% 92% 100% 2. Initialisation des données de l actif Nom de la variable Descriptif Valeur initiale en millions CAC valeur de marché du stock d actions françaises 2.307,6 DJ valeur de marché du stock d actions du Dow-Jones 1.153,8 Nikkei valeur de marché du stock d actions du Nikkei 384,6 GROUPE valeur de marché des titres Groupe 7.017 stock_immo valeur de marché des placements immobiliers 1.635 actions_bilan valeur au bilan du stock d actions hors titres Groupe 2.998 GROUPE_bilan valeur au bilan du stock d actions Groupe 3.792 immo_bilan valeur au bilan des placements immobiliers 1.461 taux_divid taux de dividende des actions de marché 2,1 % taux_groupe taux de dividende des titres Groupe 3 % taux_loyer taux de loyer 2,6 % val_marche_oblig valeur de marché des placements obligataires 7.100 nominal[i] valeur nominale de la i ème obligation 2.000, 3.000 et 2.100 maturite [i] date d échéance de la i ème obligation 1,4 et 7 taux_coupon[i] taux de coupon moyen de la i ème obligation 5 % taux_spot valeur du taux court 2,23 % BFR valeur du besoin en fonds de roulement 35 % du CA 3. Initialisation des données du passif Nom Descriptif de la variable Valeur initiale en millions montant_fp montant des fonds propres 1.400 taux_fp taux de rémunération des actionnaires 15 % dette montant de la dette subordonnée 3.000 taux_dette taux moyen de la dette subordonnée 5,8% reserve_capi montant de la réserve de capitalisation 55 montant_provisions montant de la provision pour sinistres à payer pour la branche dommages pour la branche transport pour la branche RC 13.300 3.458 4.389 5.453 PRE montant de la provision pour risque d exigibilité 0 PRC montant de la provision pour risques en cours 0 taux_pna provision pour primes non acquises en pourcentage du chiffre d affaires 10 % seuil seuil d écrêtement pour la réassurance (fixé pour chacune des branches) 150%, 120 % et 150 %
130 C. DUTEY & V. LEFLAIVE 4. Données utilisées pour le calcul du résultat Nom de la variable Descriptif Valeur initiale en millions CA[i] primes brutes de la branche i pour la branche dommages pour la branche transport pour la branche RC 4.000 1.040 1.320 1.640 primes_nettes primes nettes de réassurance, calculées en appliquant aux primes de chaque branche le taux moyen de sinistres cédés taux_frais taux de frais généraux en pourcentage du chiffre 10 % d affaires montant_treso montant de trésorerie 800 pourcentage_treso niveau cible de trésorerie en pourcentage des 2 % provisions nettes de réassurance taux_reconduction[i] taux de reconduction du chiffre d affaires 100 % duree_cycle[i] durée du cycle d activité 10 ans amplitude_cycle[i] variation du chiffre d affaires d une année à l autre pendant le cycle 0 %