FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE I) A quoi sert la fonction carrée? a) Exemples : 1. Son abscisse est égale à mètres et il s éloigne en accélérant de 5m.s -1 par seconde! Comment varie son abscisse en fonction du nombre t de secondes? f(t) = 2,5t². 2. Il a lâché la pierre du haut du pont! A quelle distance du point de départ la pierre sera t-elle dans t secondes? f(t) = 5t². 3. Il s est entraîné 1 minute aujourd hui et s entraîne chaque jour 1 minute de plus que le précédent! Combien se sera t-il entraîné au total dans x jours? : f(x) =,5x² + 1,5x + 1. 4. Un carré a un coté de x mètres! Que vaut son aire en fonction de x? : f(x) = x². 5. Si le prix est de 1 euros, il en vend et chaque fois qu il baisse le prix de 1 euro, il en vend 1 de plus! Quelle somme gagne t-il s il baisse le prix de x euros? R(x) = x(1 x) = 1x x². b) Remarques : Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de ces évolutions. Les évolutions que l on constate dans la réalité ne sont pas toutes de même nature ( la vitesse de croissance d un arbre, la position d une pierre en chute libre, ), à une certaine «façon» d évoluer correspond un certain type de fonction, de la même façon que les fonctions affines permettent de décrire une «sorte» d évolution, certains phénomène peuvent-être décrits grâce à la fonction carrée, fonction dont il faut connaître les propriétés principales! II) Qu est ce que la fonction carrée? Définition 1 : ( fonction carrée ) La fonction carrée associe à tous nombre réel x IR le carré de ce nombre : x² ( x² = x x ) On note : f : IR IR x x² ou encore : f(x) = x² pour x IR. Exemples :.Le carré de 3 est : 3² = 9..Le carré de -3 est : (-3)² = 9..Le carré de 2 est : ( 2)² = 2.
III) Propriétés de la fonction carrée La fonction carrée a des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels qu elle permet de décrire. Définition 2 : GRAPHIQUE DE LA FONCTION CARREE. La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole d équation y = x². Voici un tableau de valeurs de la fonction carrée : Valeurs de x 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1,5 Valeur de x² 25 2,25 16 12,25 9 6,25 4 2,25 1,25 Valeurs de x,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Valeur de x²,25 1 2,25 4 3,25 9 12,25 16 2,25 25 On place dans un repère les points de coordonnées (x ; y = f(x) ) et on obtient le graphique partiel de la fonction carrée ci dessous. ( on joint les points par une courbe intuitive ). y VALEURS de f(x) = x² «La courbe est une parabole qui passe par l origine» 2 15 1 5 VALEURS de x -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 x Propriété 1 : PARITE DE LA FONCTION CARREE La fonction carrée est telle que pour tout nombre réel x IR on a x² = (-x)² ( le carré d un nombre est égal au carré de l opposé de ce nombre ) On dit alors que la fonction carrée est «paire». Une conséquence est que la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à (oy). Preuve (-x)² = (-1 x)² = (-1)² x² = 1 x² = x² C.Q.F.D. Exemples : 1 (-1) ² = 1² = 1 2 (-1) ² = 1² = 1 3 (- 2) ² = 2² = 2
Propriété 2 : SENS DE VARIATION DE LA FONCTION CAREE. Pour la fonction carrée, on a le tableau de variations suivant : Valeurs de x - + Variations de x x² La fonction carrée est décroissante sur ]- ; ]. ( plus un nombre négatif est grand et plus son carré est petit ) La fonction carrée est croissante sur [ ; + [. ( plus un nombre positif est grand et plus son carré est grand ) Preuve : Démontrons que : si a < b < alors a² > b² ( ce qui montrera la décroissance sur ]- ; ] ) Supposons que a < b < l inégalité a² > b² est équivalente à a² b² > mais aussi à (a b)(a +b) > ( en factorisant ) or ( a b) est négatif car a < b et ( a + b) est négatif car a et b sont négatifs, donc par produit, (a b)(a +b) est positif donc (a b)(a +b) > donc a² > b² finalement : si a < b < alors a² > b². On démontre la croissance sur [ ; + [ de la même façon : Supposons que a > b > Donc (a b) est positif et (a + b) est positif donc (a b)(a +b) > donc a² > b² finalement : si a > b > alors a² > b². C.Q.F.D Propriété 3 : INEGALITE ET FONCTION CAREE. la propriété suivante sert à démontrer que certaines fonctions en rapport avec la fonction carrée sont croissantes ou décroissantes elle est démontrée ci dessus. Quels que soient les nombres réels a et b : Pour a et b négatifs : Si a < b alors a² > b² Si on élève au carré les membres d une inégalité entre des nombres négatifs alors on obtient une inégalité de sens inverse. Pour a et b positifs : si a < b alors a² < b² Si on élève au carré les membres d une inégalité entre des nombres positifs alors on obtient une inégalité du même sens que la première. Exemples : 1-3 < -1 donc (-3)² > (-1)² donc 9 > 1. 3 Si x < -4 alors x² > 16 2 2 < 5 donc 2² < 5² donc 4 < 25. 4 Si x > 3 alors x² > 9 Propriété 4 : SIGNE DE LA FONCTION CARREE. Valeurs de x - + Variations de x x² Signe de x² + + Exemple : (-2)² = 4 est positif Quel que soit le nombre réel x IR, le carré x² de ce nombre est positif ou nul Preuve : si x est négatif alors x x = x² est positif et si x > alors x x = x² >.
Propriété 5 : MINIMUM DE LA FONCTION CARREE. Le minimum de la fonction carrée vaut et est atteint pour x =. Preuve : Résulte immédiatement des variations de la fonction carrée. Application : ( x 4)² + 1 est minimum pour x 4 = soit x = 4 et le minimum vaut 1. Propriété 6 : EQUATION ET FONCTION CARREE. Soit l équation x² = a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché. On distingue trois cas selon les valeurs de «a». Pour a positif strict : Si x² = a alors x = a ou x = - a Pour a nul: Si x² = alors x = Pour a négatif strict : x² = a est une inégalité fausse y = a a> Preuve :.Si a = : x² = x x = x = ou x = x = - a a.si a < : x² = a x² est négatif strict, ce qui est impossible car le carré d un réel est positif. Donc x² = a n a pas de solution réelle..si a > : x² = a x² = ( a)² x² ( a)² = (x a)(x + a) = x a = ou x + a = x = - a ou x = - a. C.Q.F.D. Application : 1 x² = 7 n a aucune solution dans IR et S =. 2 x² = 7 a deux solutions x = 7 ou x = - 7 donc S = {- 7, 7 }. Propriété 7 : INEQUATION ET FONCTION CARREE. (admis ) Soient les inéquations x² > a, x² < a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché. On distingue 3 cas selon les valeurs de «a». Pour a positif strict: Si x² > a alors x < a ou x > a c est à dire x ]-,- a [ ] a, + [. Si x² < a alors - a < x < a c est à dire x ]- a, a[. ( voir la courbe de la propriété 6 ci dessus pour une illustration ) Pour a = : Si x² > alors x IR- {} x² < est une inégalité fausse pour toute valeur de x IR Pour a négatif strict : Si x² > a alors x IR x² < a est une inégalité fausse pour tout x IR y = a a < Applications : 1 x² < 7 n a aucune solution dans IR donc S =. 2 x² > 7 S = IR. 3 x² < 7 S = ]- 7 ; 7 [. 4 x² > 7 S = ]- ; - 7 [ ] 7 ; + [.