DM n 8 : Moteurs Thermiques

Optimal Sup-Spé Le n 1 en Sup-Spé DM n 8 : Moteurs Thermiques Préparation ITPE Interne - Concours 2018 Correction Exercice - Moteur Théorique peu Performant On utilise un cycle contenant quatre transformations (voir figure 11) : Depuis l état initial décrit initialement, on place une masse m sur le piston et on chauffe très doucement le gaz par un moyen approprié, non représenté sur le schéma, jusqu à ce que le piston décolle juste de la cale A Le gaz est dans l état 1 : pp 1, V A, T 1 q Puis, on maintient le chauffage jusqu à ce que le piston arrive juste en (gaz dans l état 2 : P 2, V, T 2 ), le chauffage est alors arrêté On ôte m et on laisse refroidir l ensemble jusqu à ce que le piston décolle juste de (gaz dans l état 3 : P 3, V, T 3 ) On laisse toujours refroidir jusqu à la température T 0, alors, le piston revient en A (gaz dans l état 0), le cycle est terminé On laisse toujours refroidir jusqu à la température T 0, alors, le piston revient en A (gaz dans l état 0), le cycle est terminé 1) On utilise simultanément la définition de la constante γc v C p et la loi de Mayer pour n moles de gaz nr C p C v En injectant la première dans la seconde, on obtient les relations suivantes : C v nr γ 1 et : C p nr γ 1 On peut de plus, puisque le gaz est supposé parfait, utiliser l équation d état du gaz pour exprimer n On utilise la loi des gaz parfaits dans l état initial : Dont on déduit les expressions attendues : nr P 0V A T 0 Optimal Sup/Spé - 11, rue Geoffroy l Angevin 75004 Paris - tel : 0140267878 - wwwoptimalsupspefr

- Concours 2018 2 P 0, T 0 P 0, T 0 m 10 kg P 0, T 0 m 10 kg A pp 0, V A, T 0 q A pp 1, V A, T 1 q A pp 2, V, T 2 q A pp 3, V, T 3 q État 0 État 1 État 2 État 3 Figure 11 Représentation schématique du cycle moteur utilisé C v 1 P 0 V A et : C p γ P 0 V A γ 1 T 0 γ 1 T 0 2) Le chauffage est dit être «très doux», on en déduit qu à chaque instant, l équilibre thermique du gaz avec l extérieur est atteint Nous sommes donc face à une transformation quasistatique De plus, le piston quitte à peine la cale, si bien que le volume de change pas, la transformation est isochore La transformation de 0 à 1 est quasistatique et isochore 3) Dans l état 1, le piston est au repos, maintenu juste au dessus de la cale par les forces de pressions On peut remonter à le pression P 1 en appliquant le principe fondamentale de la dynamique au piston : Rappel de cours La force de pression s exerçant sur une surface S, est la variation de quantité de mouvement résultante des chocs des particules de gaz sur cette surface par unité de surface Cette force de pression Ñ F P a été très tôt observée et cractérisée On s est aperçu que sa norme était proportionnelle à la surface et à la pression : F P P S, où P est la pression du gaz proche de la surface S Cette force pousse sur la paroi si bien qu elle est dirigée selon la normale sortante à la surface P 1 S P 0 S ` mg De cette équation, on déduit la pression P 1, que l on peut utiliser pour calculer la température T 1 En effet, la transition est isochore, ce qui nous permet d affirmer, par la loi des gaz parfaits : En combinant ces équations, on obtient : P 1 nr P 0 T 1 V A T 0 P 1 P 0 ` mg S» 11 bar et : T 1 T 0 1 ` mg SP 0» 330 K 4) On commence par calculer la variation d énergie interne du gaz et le travail des forces pressantes lors de la transformation 0 Ñ 1 en vu d appliquer le premier principe de la thermodynamique : La première loi de Joule, applicable pour un gaz parfait, affirme que la variation d énergie interne du gaz est 01 U C v pt 1 T 0 q

3 - Concours 2018 La transformation est isochore, si bien que le travail élémentaire des forces de pression est nul δw 1 0 P ext dv 0 ; on en déduit W 1 0 0 On applique le premier principe de la thermodynamique aux n moles de gaz parfait (système fermé) : 01 U W 1 0 ` Q 1 0 ñ C v pt 1 T 0 q Q 1 0 En utilisant de plus l expression de C v trouvée en question 1q : Q 1 0 C v pt 1 T 0 q P 0V A γ 1 T1 T 0 T 0» 825 J 5) Durant la transformation 1 à 2, on continue de chauffer le gaz pour augmenter son volume Le chauffage étant toujours le même, la transformation reste quasistatique Puisque le volume croît, cette transformation est appelée détente De plus, la pression extérieure s exerçant sur le piston est constante durant toute la transformation P ext P 0 ` mg Puisque cette transformation est quasistatique, à chaque instant l équilibre mécanique est atteint, S P P ext La transformation est isobare Remarque L équilibre mécanique est plus rapide à établir que l équilibre thermique en général Pour un chauffage brusque (combustion par exemple), on peut souvent considérer que la transformation reste isobare Ici, en réalité, une transformation monobare suffit à trouver les résultats demandés La transformation 1 à 2 est une détente isobare quasistatique 6) La loi des gaz parfait et le fait que la pression soit constante nous permet d écrire : T 2 T 1 V V A» 1000 K 7) La transformation est isobare, il est donc plus natural d utiliser l enthalpie libre H que l énergie interne U La variation de H au cours de la transformation 1 Ñ 2 est donnée par la seconde loi de Joule (applicable pour un gaz parfait) : 12 H C p pt 2 T 1 q Le premier principe avec H pour une transformation isobare s énonce : 12 H Q 2 1 ñ Q 2 1 C p pt 2 T 1 q En utilisant l expression de C p trouvée à la question 1q, on peut écrire : Q 2 γ 1 C p pt 2 T 1 q P 0 V A γ 1 T2 T 1 T 0» 260 J 8) Le volume du gaz ne change pas lors de la transformation 2 à 3, et les échanges thermiques se font lentement car on les laisse se produire sans interférer La transformation 2 à 3 est isochore Durant la phase de compression, la pression extérieure reste la même P ext P 0 La transformation 3 à 0 est monobare

- Concours 2018 4 9) Durant les transformations isochores (01 et 23), il n y a pas de travail des forces pressantes Pour les transformations isobares (ou monobares, cf remarque), la pression extérieure est constante et le travail des forces de pression est facilement calculable : δw P ext dv ñ W P ext pv f V i q On en déduit que le travail reçu par le gaz lors d un cycle s écrit : W preçuq On en déduit finalement P 0 ` mg S pv V A q P 0 pv A V q mg S pv V A q ă 0 Travail reçu par le gaz : W r mg S pv V A q Travail fournit par le moteur, dit «utile» : W u mg S pv V A q» 67 J 10) Le rendement η est défini comme le rapport du travail utile sur la chaleur fournie Q tot Q 1 0 ` Q 2 1» 270 J ; η W u Q tot» 2, 5% ce qui est très faible! 11) Le diagramme de Clapeyron de ce cycle se compose de deux isochores et deux isobares, c est donc un rectangle dans le diagramme pp, V q De plus, le travail utile W ş P ext dv peut se lire comme l aire de ce rectangle (c est la définition de l intégrale) P P 0 ` mg S 1 2 W u ş P ext dv P 0 0 3 V V A V Les transformations sont quasistatiques, et P ext P, on lit le travail utile sur le diagramme de Clapeyron : W u Aire(0123) mg S pv V A q comme attendu 12) Le rendement de Carnot, η c pour un moteur fonctionnant entre la source chaude T 2 1000 K et la source froide à T 0 300 K est : η c 1 T0 T 2 70% Ce rendement est le rendement maximal que l on peut obtenir avec un moteur, on voit que le cycle moteur étudié est bien loin de ces performance C est un modèle théorique qui en pratique n est absolument pas fonctionnel

5 - Concours 2018 Problème - Moteur Réel ITPE Interne 2015 I Préliminaires On donne le schéma global d un moteur ditherme (voir figure 12) `Σ est un système thermodynamique fermé ayant une évolution cyclique et recevant algébriquement un travail W de l extérieur, un transfert thermique d une source chaude et Q F d une source froide On notera T F et respectivement les températures de la source froide et de la source chaude (T F ă ) T F Q F Σ W Extérieur Figure 12 Moteur ditherme quelconque, notations et conventions 1) La fonction d un moteur est de fournir du travail à l utilisateur, ici représenté par l extérieur Ainsi, «le moteur qui délivre un travail positif» peut s exprimer comme «le moteur reçoit un travail négatif» W ă 0 2) L énergie interne U du système est une fonction d état, sa variation sur un cycle est donc nulle Prenons en effet un état du système, noté A, puisque la variation de U ne dépend pas du chemin suivi, on peut imaginer un chemin immobile pour lier A à A ` cycle A On traduit cela en équation par : cycle U UpAq UpA ` cycleq UpAq UpAq 0 Finalement, le premier principe de le thermodynamique sur un cycle donne : 0 W ` ` Q F 3) On suppose le moteur réversible, aucune entropie crée n apparait donc dans le système : S c pcycleq 0 De plus, l entropie est elle aussi une fonction d état, et par un raisonnement comme celui tenu à la question précédente, on a : cycle S 0 Ainsi, le second principe de la thermodynamique appliqué au cours d un cycle implique que l énergie échangé au cours d un cycle est nul : S ech 0 Au cours d un cycle, le système est en contact avec deux sources et le terme d échange d entropie peut s écrire comme On en déduit finalement : S ech Q F T F ` QC

- Concours 2018 6 Q F T F ` QC 0 4) Puisque le travail reçu par le système est négatif et que la source chaude fournit une quantité de chaleur positive (fonctionnement moteur), on peut exprimer l efficacité du moteur comme : e c ˇ W W ˇˇˇ En reprenant le premier principe appliqué à un cycle, on a : W 1 ` QF, et en reprenant le second principe appliqué à un cycle : Ainsi, W 1 TF e c 1 TF, on reconnait le rendement de Carnot II Le Moteur à Essence Phase A : admission isotherme et isobare du mélange initial air - carburant considéré comme un gaz parfait de coefficient isentropique γ 1, 40 Phase C : compression, la soupape d admission se ferme et le piston comprime le mélange jusqu à ce que le volume du cylindre soit minimal V C V min Phase CD : une étincelle électrique enflamme le mélange On suppose que cette évolution est isochore Phase DE : détente jusqu au retour du piston tel que le volume du cylindre soit maximal Phase EA : la soupape d échappement s ouvre et libère les gaz de combustion 1) Pour que le système étudié soit fermé, il ne faut pas prendre dans le système `Σ le carburant qui s enflamme et donc disparait dans la phase CD On utilise donc comme système l air admis lors de la première étape sans le carburant : `Σ tair admis en A sans compter le carburantu La source froide ici est l atmosphère avec laquelle la détente EA se déroule lors de l échappement de l air admis en A 2) La transformation A est faite lors de l admission dans le sens A vers, puis lors de l expulsion des gaz, cette même transformation a lieu dans le sens vers A La portion A étant faite dans les deux sens, la somme des travaux et chaleurs lors de ces deux étapes s annulent deux à deux : W AÑ ` W ÑA 0 et : Q AÑ ` Q ÑA 0 On peut donc oublier cette portion lors du calcul du travail utile fournit par le moteur Finalement tout se passe comme si le cycle moteur était celui représenté sur la figure 13 La portion (A) ne présente pas d intérêt pour calculer le travail utile fournit par le moteur

7 - Concours 2018 P P D D Combustion détente E C Compression P V min V max V Figure 13-3) La source chaude est représenté par la combustion du carburant, faite lors de la transformation CD et qui apporte une quantité de chaleur La source froide est l air extérieur, qui fournit une quantité de chaleur (négative) lors de la détente E, Q F Le cylindre étant calorifugé, les détente C et DE sont adiabatiques Nous sommes dans le cas de la partie «préliminaires», dans laquelle nous avons déjà prouvé que : e 1 ` QF ă 1 car Q F ă 0 et ą 0 4) L air est assimilé à un gaz parfait, pour lesquels la première loi de Joule assure que : CD U C v T C v pt D q On remarque de plus que la transformation est isochore, et que le travail des forces pressantes est nul δw P ext dv ñ W 0 En appliquant le premier principe de thermodynamique, on obtient alors : que l on peut mettre sous la forme CD U W `, C V pt D q Dans la suite, on pourra admettre qu en notant n la quantité de matière de gaz constituant pσq et R la constante des gaz parfaits, on a nrpt D q γ 1 et : Q F nrpt T E q γ 1 5) En utilisant le résultat de la question 3), et les expressions de et Q F données dans l énoncé : Q F T T E T D Finalement, le rendement du moteur peut se mettre sous la forme : e 1 TE T T D

- Concours 2018 8 6) Pour une évolution isentropique d un gaz parfait la loi de Laplace s applique, à savoir : Les produits P V γ, T V γ 1 et T γ P 1 γ demeurent constants au cours de la transformation En utilisant cela pour les isentropiques, on peut conclure que : Transformation C V V C γ 1 T Transformation DE T D VE V D γ 1 TE On remarque que V V E V max, on note a ce rapport Lorsque a 2, on comprime lors de la transformation V C V D V min C d un facteur 2, dans le sens où V max 2V min On donne donc à la constante a le nom de taux de compression, c est a dire le facteur avec lequel on comprime le gaz après l admission Finalement, T a γ 1 et : T D T E a γ 1 avec : a V max V min le facteur de compression 7) En remplaçant dans l expression du rendement les résultats précédents, on obtient : Finalement, e 1 T E T a γ 1 pt E T q e 1 1 a γ 1 On se rend compte qu un grand facteur de compression fait se rapprocher le rendement du moteur de l unité C est pourquoi il faut que le cylindre soit extrêmement solide et étanche III Exemple Concret : Peugeot 208 10 VTI Dans une étude publiée dans le magazine Challenges quelques caractériques du véhicule cité dans le titre nous sont données : taux de compression a 11 consommation à 120 km h 1 : 5, 5 litres de sans-plomb pour 100 km vitesse à 3000 tours par minute : 120 km h 1 8) On admettra pour simplifier que le moteur ne comporte qu un seul cylindre, tout les résultats des parties précédentes sont donc valides La température des gaz lors de l échappement est de T E 330 K La question 6) affirme alors que T D ma température en fin de combustion est T D a γ 1 T E On en déduit alors : T D 860 K 9) Il s agit ici de convertir les données dans les bonnes unités On se place à 120 km h 1, vitesse pour laquelle le moteur accompli N 3000 tours par minutes De plus la consommation nous informe qu en une heure, la voiture parcourt 120 km et consomme 66 l en une heure ; soit 011 litres par minute À chaque cycle, le moteur consomme 011 l litres de carburant, soit, en notant ρ la masse volumique du sansplomb, la voiture consomme à chaque cycle une masse de carburant égale à N : m ρ 011 10 3 m 3 N» 30 µg ce qui permet une bonne autonomie 10) Le rendement de Carnot associé est celui calculé dans les préliminaires, avec T F T 300 K pour la source froide et T D pour la source chaude calcule précédemment :

9 - Concours 2018 η c 1 T T D 65% dont on se rapproche beaucoup avec e 62%!