Fractions irréductibles Objectifs : Reconnaître les multiples et diviseurs d un nombre. Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers. Reconnaître une fraction irréductible. Réduire une fraction pour la rendre irréductible. 1
I Multiples et diviseurs I.1 Définition Activité 1 : Myriam reçoit 3 amis et à préparé 24 petits gâteaux. Combien de gâteaux pourra manger chacune des personnes présente en sachant que Myriam souhaite que chacune en ait autant? Il y en tout... personnes qui mangent. Chaque personne a droit à... gâteaux. 4... = 24 On dira que 24 est un multiple de 4 Activité 2 : Enzo a besoin de 7 baguettes de bois de même longueur pour construire une maquette. Peut-il couper ces 7 baguettes dans un liteau (grand morceau de bois) de 175 cm? 175 7 =... On peut donc exactement couper 7 baguettes de... cm de longueurs. On dira que 7 est un diviseur de 175. Vocabulaire : 161 = 7 23 On dit que 161 est un multiple de 7 ou que 7 est un diviseur de 161. Les multiples de 7 sont tous les nombres qui s écrivent 7 k ou k est un entier naturel. Exercice : Citer 4 multiples de 5. Citer 4 multiples de 6. 9 est-il un diviseur de 54? 3 est-il un diviseur de 37? 12 est-il un diviseur de 48? 5 est-il un diviseur de 61? 2
I.2 Critères de divisibilité Un nombre est divisible par : 2 si son dernier chiffre est pair. 14 ; 158 ; 562 ; 2 570 sont divisibles par 2. 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. 156 est divisible par 3. En effet, 1 + 5 + 6 = 12 or 12 est bien un multiple de 3 (3 4 = 12). 5 son le dernier chiffre est 0 ou 5. 3 465 est divisible par 5. 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. 891 est divisible par 9. En effet, 8 + 9 + 1 = 18 or 18 est bien un multiple de 9 (9 2 = 18). 10 si son dernier chiffre est 0. 560 est divisible par 10. Exercice : Trouver les diviseurs de : a) 25 b) 15 c) 32 d) 48 e) 80 f) 92 g) 96 h) 180 i) 72 3
II Nombres premiers II.1 Définition On désire former un rectangle régulier avec 12 billes. On y arrive, ce qui signifie que 12 est un produit de 2 nombres. 12 = 3 (lignes) 4(colonnes). On dit que 12 est un nombre composé. Essayons maintenant avec 7 : Ici on n y arrive pas, 7 ne peut pas se décomposer en produit de deux nombres. On dit que 7 est un nombre premier. Définition : Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui même Nous allons maintenant essayer de trouver tous les nombres premiers entre 2 et 90. Pour ceci nous allons utiliser le tableau ci dessous : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 4
II.2 Décomposition en produit de facteurs premiers. Méthode : On va décomposer 84 en produit de facteurs premiers. Exercice : Décomposer les nombres suivant en un produit de facteurs premiers : a) 12 b) 18 c) 28 d) 50 e) 45 5
III Rendre une fraction irréductible Définition : Une fraction a est irréductible si les nombres entiers a et b n ont pas de b diviseur commun autre que 1. Exemple : 3 7 est irréductible mais 30 70 non car on peut diviser 30 et 70 par 10. Méthode : Rendre une fraction irréductible. Pour rendre une fraction irréductible, on décompose son numérateurs et son dénominateurs en un produit de facteurs premiers puis on simplifie cette fraction par tous les facteurs commun. Exemple : Rendons irréductible la fraction : 204 72 Exercice : Rendre irréductible les fractions suivantes : 1. 30 45 2. 42 77 3. 52 28 6
Exercices Exercice 1 : 1. Trouver tous les diviseurs de 9 et de 169. 2. La fraction 9 est-elle irréductible? Si ce n est pas le cas, rendez la irréductible. 169 Exercice 2 : 1. Expliquer pourquoi la fraction 225 117 2. Trouver tous les diviseurs de 117 et 225. 3. Rendre irréductible la fraction 225 117 n est pas irréductible. Exercice 3 : Un chocolatier vient de fabriquer 2 622 oeufs de Pâques et 2 530 poissons en chocolat. Il souhaite vendre ses assortiments d oeufs et de poissons de façon à ce que : tous les paquets aient la même composition. après la mise en paquet il ne reste ni oeufs ni poissons. 1. Le chocolatier peut il faire 19 paquets? 2. Quel est le plus grand nombre de paquets qu il peut réaliser? Dans ce cas quelles sera la composition de chaque paquet? Pour aller plus loin : Dans un parc, une attraction constituée de quatre wagons permet d embarquer 30 personnes par wagon pour 3 min 20 s de sensations fortes sur des montagnes russes. Il faut 20 secondes pour faire embarquer et débarquer les passagers. Julia et Marc arrivent et prennent place dans la file d attente. Un compteur indique qu il y a 1 523 personnes devant eux. En supposant que tous les wagons sont remplis à chaque tour, combien de temps faudra-t-il avant que Julia et Marc puissent profiter de l attraction. 7