Le nombre d or et Fibonacci

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1 Août 2004, Bordeaux

2 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Le pentagramme magique se retrouve partout dans la nature et hors de la nature est le symbole d une très ancienne secte sous sa forme usuelle ou sous sa forme étoilée

9 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Le pentagramme magique se retrouve partout dans la nature et hors de la nature est le symbole d une très ancienne secte sous sa forme usuelle ou sous sa forme étoilée Les pythagoriciens!

12 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Un nombre naturel... Pour les pythagoriciens, le rapport des mesures sur le pentagone est si naturel qu il ne peut être que rationnel! Trouver p q Q tel que φ = D C = p q? C = p(d/q) D = q(d/q) Trouver un petit segment telle que le côté et la diagonale soient tous deux des multiples entiers de ce segment?

13 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Un nombre naturel... Pour les pythagoriciens, le rapport des mesures sur le pentagone est si naturel qu il ne peut être que rationnel! Trouver p q Q tel que φ = D C = p q? C = p(d/q) D = q(d/q) Trouver un petit segment telle que le côté et la diagonale soient tous deux des multiples entiers de ce segment?

14 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Irrationnalité Théorème Le rapport φ de la diagonale par le côté d un pentagone est un nombre irrationnel appelé nombre d or. (et probablement le plus ancien connu) Le pentagone contient un plus petit pentagone On introduit les mesures c et d des petits côtés Symétries dans le pentagone C = c + d Non rationnel D = c + 2d

22 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Irrationnalité Théorème Le rapport φ de la diagonale par le côté d un pentagone est un nombre irrationnel appelé nombre d or. (et probablement le plus ancien connu) Le pentagone contient un plus petit pentagone On introduit les mesures c et d des petits côtés Symétries dans le pentagone C = c + d Non rationnel D = c + 2d d = D C c = 2C D Une mesure commune à C et D est commune à c et d et donc nulle

23 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Irrationnalité Théorème Le rapport φ de la diagonale par le côté d un pentagone est un nombre irrationnel appelé nombre d or. (et probablement le plus ancien connu) Le pentagone contient un plus petit pentagone On introduit les mesures c et d des petits côtés Symétries dans le pentagone C = c + d Non rationnel D = c + 2d φ = D C = d c = p q (c + d)p (c + 2d)q = 0 cp dq = 0 dp cq dq = 0 d c = q p q = p q q 2 = p(p q) p divise q

25 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Série géométrique Prop n=0 1 φ n = φ 2 Pentagone de côté C 0 et de diagonale D 0 Nouveau pentagone de diagonale D 1 = C 0. On itère la construction Passage à la limite C 1 = D 0 C 0 = D 1 φ = C 0 φ C n = C 0 φ n n=0 C 0 φ n = D 1 = φc 1 = φd 0 = φ 2 C 0

31 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice (Autre) série géométrique Prop 1 n=0 = 1 φ 2n+1

32 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Equation algébrique Théorème Le nombre d or φ, rapport de la diagonale au côté du pentagone régulier, est l unique racine positive du polynome X 2 X 1. φ 2 = φ + 1 Valeur exacte φ = , Développement en racines Développement en fractions continues

33 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Equation algébrique Théorème Le nombre d or φ, rapport de la diagonale au côté du pentagone régulier, est l unique racine positive du polynome X 2 X 1. φ 2 = φ + 1 Valeur exacte φ = , Développement en racines Développement en fractions continues

34 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Equation algébrique Théorème Le nombre d or φ, rapport de la diagonale au côté du pentagone régulier, est l unique racine positive du polynome X 2 X 1. φ 2 = φ + 1 Valeur exacte φ = , Développement en racines Développement en fractions continues Prop φ = u 0 = 1 R u n+1 = 1 + u n x 1 + x contractante sur R + lim u n = φ

35 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Equation algébrique Théorème Le nombre d or φ, rapport de la diagonale au côté du pentagone régulier, est l unique racine positive du polynome X 2 X 1. φ 2 = φ + 1 Valeur exacte φ = , Développement en racines Développement en fractions continues Prop φ =

36 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Diverses remarques Le pentagone apparaît dans diverses autres figures géométriques Les puissances de φ sont des combinaisons de 1 et φ.

37 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Diverses remarques Le pentagone apparaît dans diverses autres figures géométriques Les puissances de φ sont des combinaisons de 1 et φ. φ 2 = 1 + φ φ 3 = φ 2 + φ = 1 + 2φ

38 Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Diverses remarques Le pentagone apparaît dans diverses autres figures géométriques Les puissances de φ sont des combinaisons de 1 et φ. Exercice Trouver les coefficients a n et b n tels que φ n = a n + b n φ.

39 Leonardo de Pise Suite de Fibonacci Définition Biologie Propriétés algébriques Calcul explicite Leonardo de Pise fils de Guglielmo Bonacci: filius Bonacci ou Fibonacci né en 1270 ; meurt en 1340 voyage en Algérie et autour de la méditerranée apprend les techniques de l ouzbek Al-Khwarizmi publie son livre de l abaque Le contenu de ses livres correspondait à un DEA de math financières ; ces techniques sont maintenant enseignées en CM2!

45 Leonardo de Pise Suite de Fibonacci Définition Biologie Propriétés algébriques Calcul explicite Croissance démographique an 0: un couple de lapins nait an 1: le couple est déposé sur une île an 2: le couple engendre un couple an 3: le premier couple engendre encore un couple ; le second grandit an 4: les deux couples engendrent chacun un nouveau couple ; le couple de l an 3 grandit les lapins sont immortels

51 Leonardo de Pise Suite de Fibonacci Définition Biologie Propriétés algébriques Calcul explicite Suite de Fibonacci Définition On appelle suite de Fibonacci la suite (F n ) n N définie par F 0 = 0, F 1 = 1 et, si n 0, F n+2 = F n + F n+1. F n est le nombre de couples de lapins présent sur l île dans l année n après les naissances. L année n + 2, il y a tous les lapins de l année précédente (Fn+1 ) ; les bébés engendrés par les adultes, qui sont vieux d au moins deux ans (F n ) ; F n+2 = F n+1 + F n

54 Leonardo de Pise Suite de Fibonacci Définition Biologie Propriétés algébriques Calcul explicite Fibonacci dans la nature Les végétaux composés présentent des spirales qui sont organisées suivant les nombres de Fibonacci fleurs (ou pommes de pin) les marguerites non abimées ont toujours 21 pétales les paquerettes en ont 8 ou spirales dans un sens et 55 dans l autre arbres et ananas

63 Leonardo de Pise Suite de Fibonacci Définition Biologie Propriétés algébriques Calcul explicite Premières propriétés Lien avec le nombre d or Nombreuses formules Nombres premiers entre eux φ n = F n φ + F n 1 récurrence F n F n+2 F 2 n+1 = ( 1)n

66 Leonardo de Pise Suite de Fibonacci Définition Biologie Propriétés algébriques Calcul explicite Croissance Les nombres de Fibonacci ont une croissance proportionnelle au nombre d or Prop lim n F n+1 F n = φ r n = F n+1 F n = r n 1 x x préserve [1, 2] et est contractante sur cet intervalle r n converge vers un point fixe de x x. Les r n sont les meilleures approximations rationnelles de φ

71 Leonardo de Pise Suite de Fibonacci Définition Biologie Propriétés algébriques Calcul explicite Calcul Explicite Théorème F n = φn 5 φn 5 avec φ = 1 φ. Suites du type de Fibonacci : u n+2 = u n + u n+1 Déterminée par ses deux premières valeurs La somme de deux suites du type de Fibonacci est encore une telle suite Deux suites g n et h n non proportionnelles les engendrent toutes (u 0 = Ag 0 + Bh 0, u 1 = Ag 1 + Bh 1 = u n = Ag n + Bh n ) Pour que g n = r n, il faut r 2 = 1 + r r = φ ou r = φ = = 1 φ

78 Formalisation Algèbre Linéaire Comportement asymptotique Formalisation Prestidigitation? Que se passerait-il pour un+2 = 2u n u n+1 Principe de superposition La somme de deux solutions est encore une solution Calcul du terme suivant? Dépend des deux précédents Considérer deux termes à la fois!

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