Optique Géométrique. J. Roussel

Optique Géométrique J. Roussel Promotion Chem.I.St-1. Année 2007-2008

Table des matières 1 Lois de l optique géométrique 3 1.1 Notion de rayon lumineux................................... 3 1.1.1 Nature de la lumière................................. 3 1.1.2 Approximation de l optique géométrique...................... 3 1.1.3 Indice de réfraction.................................. 4 1.2 Lois de Snell-Descartes................................... 5 1.2.1 Réflexion....................................... 5 1.2.2 Réfraction...................................... 6 1.2.3 Principe de ermat.................................. 7 1.2.4 Résumé des phénomènes.............................. 8 2 Miroirs 9 2.1 Miroirs plans......................................... 9 2.1.1 Propriétés....................................... 9 2.1.2 Applications..................................... 10 2.2 Miroirs sphériques dans l approximation de Gauss...................... 11 2.2.1 Description...................................... 11 2.2.2 Notion de foyers................................... 13 2.2.3 Constructions des rayons lumineux......................... 13 2.2.4 ormule de conjugaison............................... 16 3 Lentilles minces dans l approximation de Gauss 17 3.1 Généralités.......................................... 17 3.1.1 Description...................................... 17 3.1.2 Notion de foyers................................... 18 3.2 ormation des images.................................... 19 3.2.1 Construction des rayons lumineux.......................... 19 3.2.2 ormules de conjugaison............................... 21 3.2.3 Lentilles accollées.................................. 21 1

Table des matières 2 3.3 Applications.......................................... 22 3.3.1 La loupe....................................... 22 3.3.2 La lunette astronomique............................... 24

Chapitre 1 Lois de l optique géométrique 1.1 Notion de rayon lumineux. 1.1.1 Nature de la lumière la lumière a vu sa description évoluer au cours des siècles : Avant la fin du XVII ème siècle sa description était géométrique : la lumière se compose de rayons lumineux se déplaçant à des vitesses différentes dans les milieux transparents. Les instruments se développent alors que la nature de la lumière est mal comprise (NEWTON n avait pas compris la nature ondulatoire de la lumière). Grands Noms : DESCARTES, GALILÉE, NEWTON, SNELL. XVIII-XIX ème siècle : sa nature ondulatoire commence à convaincre certains scientifiques : la lumière est une onde électromagnétique qui se propage dans le vide à une vitesse constante c = 1 µ0ɛ 0 3.10 8 m.s 1. Grands noms : HUYGENS, POISSON, RESNEL, ARAGO, OUCAULT, IZEAU, MAXWELL, MICHEL- SON et MORLEY. Au XXème siècle émerge la description quantique : l aspect corpusculaire est mis en évidence par l effet photoélectrique (expliqué par A. EINSTEIN dans un de ces célèbres articles de l année 1905) : la lumière se compose de grains d énergie (des quanta d énergie = photons) ɛ = hν où h = 6, 626.10 34 J.s est la constante de PLANCK et ν est la fréquence de l onde. Il existe à l heure actuelle la théorie électrodynamique quantique qui concilie l aspect ondulatoire et quantique de la lumière. Grands noms : EINSTEIN, PLANCK, EYNMAN. 1.1.2 Approximation de l optique géométrique La lumière (l énergie lumineuse) est décrite par un ensemble de rayons lumineux indépendants. Ces rayons lumineux se propagent en ligne droite dans tout milieu homogène à une vitesse qui dépend du milieu. La couleur de la lumière est avant tout une question de perception par l œil et d interprétation par le cerveau. Du point de vue de la physique, la couleur est associée à la longueur d onde ou à la fréquence de l onde produite par une source lumineuse ou réfléchie par un objet. Ce que l on appelle lumière visible est la portion du spectre électromagnétique qui est perçue par un œil humain normal. Elle s étend du rouge (longueur d onde de 750 nm) au violet (longueur d onde de 400 nm) en passant par toutes les couleurs de l arc-en-ciel (communément divisé en rouge, oranger, jaune, vert, bleu, indigo et violet). 3

1.1. Notion de rayon lumineux. 4 IG. 1.1 La lumière peut être polychromatique, elle est alors constituée de plusieurs couleurs, ou monochromatique, elle est alors constituée d une seule couleur. De façon plus restrictive, on considère la lumière comme étant monochromatique lorsqu elle comporte une longueur d onde (ou, de manière équivalente, une fréquence) unique. Les sources monochromatiques au sens strict du terme n existent pas, mais certains lasers produisent une lumière dont le spectre est très étroit. On les considère donc généralement comme des sources monochromatiques. Ainsi, la très grande majorité, sinon la totalité, des phénomènes lumineux qu on observe impliquent une lumière polychromatique. Cadre : les lois de l optique géomètrique permettent de traiter la lumière dans un cadre approximatif dans lequel les aspects ondulatoires et quantiques peuvent être négligés : Tant que les propriétés des milieux varient peu à l échelle de la longueur d onde λ = ct = c ν, l approximation de l optique géométrique est valide. Par exemple il est impossible d isoler un rayon lumineux (pinceau infiniment fin) en faisant passer un faisceau au travers d un trou de 1 µm de diamètre (λ 0, 5 µm dans le visible) : on sort du cadre de l optique géomètrique; il apparait un phénomène de diffraction. En optique géométrique les instruments ont des tailles caractéristiques de l ordre du cm donc très au delà de la longueur d onde des ondes lumineuses du domaine visible. IG. 1.2 ranges de diffraction apparaissant autour de l ombre géométrique d une lame de rasoir éclairée en lumière cohérente. La présence de ces franges ne peut pas être expliquée par l optique géométrique. 1.1.3 Indice de réfraction. La vitesse de déplacement de la lumière dépend du milieu dans lequel elle se propage : Dans le vide la lumière se propage à la vitesse c = 299792458 m.s 1 (constante universelle du Système Internationale).

1.2. Lois de Snell-Descartes 5 Dans un milieu matériel transparent homogène et isotrope, la vitesse est inférieure à c et vaut où n est l indice de réfraction (sans dimension). v = c n milieu air eau verre diamant indice 1,0003 1,33 1,5-1,8 2,42 TAB. 1.1 Quelques indices optiques L indice dépend de la longueur d onde de la lumière. On dit qu il y a dispersion. Dans la plupart des milieux transparents, dans le domaine visible (λ [400 nm, 750 nm] ), l indice suit la loi de CAUCHY : n(λ) = A + B λ 2 la lumière rouge est plus rapide que la lumière bleue (λ rouge > λ bleu ). NB : dans un milieu matériel il y a aussi de l absorption : l intensité lumineuse diminue (en général exponentiellement) avec la distance parcourue : l énergie lumineuse est convertie en chaleur. 1.2 Lois de Snell-Descartes 1.2.1 Réflexion Lorsqu un rayon arrive à l interface entre deux milieux isotropes et homogènes différents, il donne naissance à un rayon réfléchi et à un rayon transmis (réfracté). On distingue deux types de réflexion : La réflexion diffuse est produite par une surface irrégulière. Elle ne produit pas d image discernable. C est cependant cette sorte de réflexion qui nous permet de voir le monde qui nous entoure. La réflexion spéculaire est produite par une surface très lisse (ex. : miroir ou surface d eau très calme). Elle produit une image discernable d un objet. On définit le plan d incidence comme le plan contenant le rayon incident et la normale à l interface (cf. figure 1.3). Rayon incident Plan d incidence i 1 i 1 Normale Rayon réfléchi Surface réfléchissante IG. 1.3 Réflexion d un rayon sur une interface.

1.2. Lois de Snell-Descartes 6 Lois de la réflexion : 1. Le rayon réfléchi est dans le plan d incidence. 2. Le rayon réfléchi est symétrique du rayon incident par rapport à la normale : i 1 = i 1 Pouvoir Réflecteur : le pouvoir réflecteur d une interface (énergie réfléchie sur l énergie incidente) vaut, ( ) en incidence normale, R = n1 n 2. 2 n 1+n 2 Pour une interface verre-air cela vaut 4%. En déposant une couche mince métallique sur l interface on ramène le pouvoir réflecteur très proche de 100% : on parle alors de miroir. On peut aussi déposer une couche mince de Mg 2 pour réduire le pouvoir réflecteur (anti reflet). Voir cours optique ondulatoire - 2ème année. 1.2.2 Réfraction La réfraction est la déviation de la lumière lorsqu elle traverse l interface entre deux milieux transparents d indices optiques différents (voir figure 1.4). Rayon incident Plan d incidence Normale Rayon réfracté i 1 i 2 IG. 1.4 Réfraction d un rayon lumineux. Lois de la réfraction : 1. Le rayon réfracté est dans le plan d incidence. 2. Le rayon réfracté est tel que : n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2 conséquences : Principe du retour inverse de la lumière : tout trajet suivi par la lumière dans un sens peut l être en sens opposé.

1.2. Lois de Snell-Descartes 7 Réflexion totale : lorsque le milieu 2 est moins réfringent que le milieu 1 (c est-à-dire n 2 < n 1 ), le rayon réfracté s éloigne de la normale. Il existe alors un angle limite d incidence i l tel que sin i l = n2 n 1 et tel que lorsque i > i l le rayon réfracté disparait ; seul le rayon réfléchi existe : on parle alors de réflexion totale car toute l énergie se retrouve dans le rayon réfléchi. RÉRACTION RÉRACTION LIMITE RÉLEXION TOTALE angle limite angle limite angle limite Applications : les fibres optiques à saut d indice. les systèmes catadioptriques. IG. 1.5 Phénomène de réflexion totale. 1.2.3 Principe de ermat Pierre de ERMAT proposa que les rayons lumineux répondaient à un principe très général auquel on donna son nom. Le principe de ermat est un principe variationnel car il fait appel à une grandeur que l on cherche à optimiser. Il existe d autres principes variationnels en physique ; par exemple le principe de moindre action en mécanique ou le principe de l entropie maximum en physique statistique. Principe de ermat : Le chemin emprunté par la lumière pour se rendre d un point donné à un autre est celui pour lequel le temps de parcours est extremum, c est-à-dire, minimum, maximum ou stationnaire. Ce seul énoncé permet de retrouver les lois de Snell-Descartes (voir exercice).

1.2. Lois de Snell-Descartes 8 1.2.4 Résumé des phénomènes Phénomène réflexion réfraction dispersion diffraction absorption Description Un milieu réfléchissant renvoit une partie de la lumière. La réfraction est la courbure des rayons lumineux lorsqu ils passent d un milieu à un autre. la dépendance de l angle de réfraction avec la longueur d onde implique la dispersion de la lumière Phénomène de déviation des ondes (lumineuses, acoustiques...) lorsqu elles passent au voisinage d un obstacle. l absorption de la lumière se traduit par la diminution de l intensité lumineuse au fur et à mesure du trajet de la lumière dans un milieu matériel absorbant

Chapitre 2 Miroirs 2.1 Miroirs plans 2.1.1 Propriétés Le miroir plan est une surface réfléchissante plane. S source ponctuelle réelle objet étendu B A Miroir Miroir A image virtuelle S image virtuelle B IG. 2.1 ormation des images avec un miroir plan. L image est inversée (gauche/droite) mais pas renversée (haut/bas). Les propriétés du miroir plan sont : 1. Le miroir plan est stigmatique : L image d un point lumineux est un point lumineux. Cette image est virtuelle si le point source est réel. En effet, l image S ne peut pas être capturée sur une plaque photosensible car la lumière n atteint pas S. Par contre, cette image est observable par tout système optique qui fait converger les rayons divergents : l œil, l apareil photo, la caméra en sont quelques exemples. 9

2.1. Miroirs plans 10 2. La relation qui lie la position de l objet S à celle de l image associée S (relation de conjugaison) s écrit : SH = HS où H est le projeté orthogonal de S sur le miroir : L image de S est le symétrique orthogonal de S. 3. Le miroir plan présente un aplanétisme exact : l image d un objet étendu plan vertical est verticale et plane. 2.1.2 Applications IG. 2.2 Quelques applications du miroir plan.

2.2. Miroirs sphériques dans l approximation de Gauss 11 2.2 Miroirs sphériques dans l approximation de Gauss 2.2.1 Description Un miroir sphérique est une calotte sphérique de centre C et de sommet S rendue réfléchissante. L axe de symétrie est l axe optique du miroir. Cet axe est habituellement orienté de la gauche vers la droite car la lumière arrive de la gauche (par convention). On distingue les miroirs concaves des miroirs convexes : Miroir convexe Miroir concave + + S C C S IG. 2.3 Miroirs sphériques et leur foyer image respectif. miroir concave : SC < 0 miroir convexe : SC > 0 simulations : une simulation des rayons provenant d un point A objet à l infini sur l axe montre que les rayons réfléchis ne se coupent pas en un seul point : il n y a pas stigmatisme rigoureux! Une simulation montre que si l on se limite aux rayons de faibles inclinaison par rapport à l axe optique, les rayons se coupent en un point image : il y a stigmatisme approché. On montre que si l on se limite aux rayons de faible inclinaison par rapport à l axe optique, il y a également aplanétisme approché. Approximation de Gauss : si les rayons sont peu inclinés de l axe optique et peu écartés, on se trouve alors dans le cadre des conditions de Gauss. Dans ces conditions, on admettra, au vu des simulations précédentes, que le miroir sphérique est aplanétique et stigmatique : L image d un objet vertical est verticale. Remarques : il n existe pas de surface courbe rigoureusement stigmatique. Par contre, certaines surfaces sont rigoureusement stigmatiques pour un couple de points objet-image. Par exemple, l ellipse est stigmatique pour le couple - : l image d un point situé au foyer de l ellipse est l autre foyer de l ellipse, ceci quelque soit le rayon considéré. De même, la surface parabolique est rigoureusement stigmatique pour le couple : l image d un point à l infini sur l axe est le foyer de la parabole. Enfin, le miroir sphérique est rigoureusement stigmatique pour le couple C-C : l image du centre est rigoureusement le centre de courbure.

2.2. Miroirs sphériques dans l approximation de Gauss 12 Miroir sphérique Miroir sphérique IG. 2.4 Conditions de stigmatisme approché : L image d un point est un point (ici un point à l infini sur l axe) si les rayons font des angles faibles et sont proches de l axe optique (conditions de Gauss). Miroir sphérique Miroir parabolique Miroir elliptique IG. 2.5 Exemples de conjugaison parfaite.

2.2. Miroirs sphériques dans l approximation de Gauss 13 2.2.2 Notion de foyers oyer image : l image d un point à l infini sur l axe est le foyer image. oyer objet : un point à l infini sur l axe est l image du foyer objet. Le principe du retour inverse de la lumière implique : =, dans le cas des miroirs sphériques. On montre, à l aide des relations de Descartes, que dans les conditions de Gauss on a : S = S = SC 2 = f = f 2.2.3 Constructions des rayons lumineux Pour construire les images d un objet étendu on obeira à ces quelques principes : On se placera dans l approximation de Gauss : il y a donc stigmatisme approché et aplanétisme approché. Pour trouver l image d un point il suffit de considérer deux rayons issus de ce point ; tous les autres issus du même point passeront par le point image. De plus, l image d un point sur l axe optique étant sur l axe optique, pour trouver l image d un objet droit vertical AB (A est sur l axe optique et B est l extrémité de l objet) il suffit de trouver B l image de B ; on sait alors que l image est A B où A est sur l axe optique et en dessous de B. Avant toute chose il faut placer l objet. Si l objet AB est réel, il est forcément à gauche du miroir (là où la lumière peut se propager) et les rayons sont issus de chaque point de l objet. Si l objet est virtuel, il se situe à droite du miroir et les rayons objets se dirigent vers l objet mais sont réfléchis avant d atteindre l objet. Pour trouver l image d un point il faut choisir des rayons dont on connait le comportement. un rayon horizontal arrivant sur un miroir sphérique convergera en s il est concave et divergera en semblant provenir de si le miroir est convexe. un rayon passant par C (cas concave) ou dont le prolongement passe par C (cas convexe) rebrousse chemin. un rayon arrivant en S est réfléchi de façon symétrique par rapport à l axe optique. Une fois les rayons tracés on détermine si l image est réelle ou virtuelle. Si les rayons issus de B se coupent effectivement en B, alors B est une image réelle. On pourra la capturer sur un écran. Si les rayons issus de B divergent après réflexion en semblant provenir de B, alors B sera une image virtuelle visible à l œil nu mais que l on ne pourra pas capturer sur un écran. Les figures 2.6 et 2.7 montrent des exemples de constructions pour le miroir concave et convexe.

2.2. Miroirs sphériques dans l approximation de Gauss 14 Objet Image construction réel réelle rétrécie renversée C réel réelle agrandie renversée C réel virtuelle agrandie droite virtuel réelle rétrécie droite C IG. 2.6 Construction des images pour un miroir concave.

2.2. Miroirs sphériques dans l approximation de Gauss 15 Objet Image construction réel virtuelle rétrécie droite C virtuelle virtuelle renversée C virtuelle réelle agrandie droite IG. 2.7 Construction des images pour un miroir concave.

2.2. Miroirs sphériques dans l approximation de Gauss 16 2.2.4 ormule de conjugaison La formule de conjugaison est la relation qui relie la position objet A avec la position de l image A. On les obtient rigoureusement à l aide des lois de Descartes, mais on peut les obtenir en utilisant les constructions géométriques (les notions de foyers objet et image étant admises). Pour cela nous allons calculer le grandissement de deux manières différentes. B A C A S B IG. 2.8 Par définition le grandissement transversal est le rapport de la taille de l image sur la taille de l objet en valeur algébrique : γ = A B AB Si γ > 1, l image est droite et agrandie, si 0 < γ < 1, l image est droite et rétrécie, si 1 < γ < 0, l image est renversée et rétrécie, enfin, si γ < 1, l image est renversée et agrandie. La figure 2.8 permet d écrire, à l aide des lois de Thales γ = A B AB = SA SA = S A = A S On pose f = S et f = S. Bien sûr ici, f = f. Les formules du grandissement permettent d obtenir deux relations : Relation avec origine aux foyers (relation de Newton) : A. A = f.f La relation avec origine au sommet : 1 + 1 = 2 = 1 SA SA SC f = 1 f

Chapitre 3 Lentilles minces dans l approximation de Gauss 3.1 Généralités 3.1.1 Description Lentille mince : une lentille mince est formée par l association de deux interfaces sphériques de grand rayon de courbure par rapport à l épaisseur de la lentille. Plus précisément on a e S 1 C 1, e S 2 C 2 et e C 1 C 2. On considèrera les lentilles infiniment minces et on notera O, l intersection de la lentille avec l axe optique. Ce point sera appelé centre optique. On distingue deux types de lentilles : lentilles à bords minces : elles sont convergentes lentilles à bords épais : elles sont divergentes Lentilles convergentes symboles Lentilles divergentes Aberrrations : les lentilles présentent deux types de défauts : des défauts (ou aberrations) chromatiques et géométriques. Les aberrations géométriques sont mis en évidence sur la figure 3.1. L image d un point n est donc pas rigoureusement un point. Les aberrations chromatiques sont la conséquence de la dispersion. L indice variant avec la longueur d onde, la lumière rouge n aura pas le même comportement que la lumière bleue. Ainsi, en lumière polychromatique, l image sera irisée 1. Approximation de Gauss : si les rayons sont peu inclinés de l axe optique et peu écartés, les lentilles peuvent être considérées stigmatiques et aplanétiques. 1 Définition : Qui a les couleurs de l arc-en-ciel. 17

3.1. Généralités 18 Lentille convergente IG. 3.1 Aberrations géométriques d une lentille (demi-boule). 3.1.2 Notion de foyers Dans le cadre de l approximation de Gauss, l image d un point est un point. Deux points jouent un rôle particulier dans les lentilles : il s agit des foyers objet et image. Lentilles convergentes Lentilles divergentes IG. 3.2 oyers objet et image. oyer image : l image d un point à l infini sur l axe est le foyer image. oyer objet : un point à l infini sur l axe est l image du foyer objet. Dans le cas des lentilles minces où les milieux extrêmes sont identiques on a f = O = O = f cette relation est évidente pour les lentilles symétriques (principe du retour inverse de la lumière) ; dans ce cas O est le centre de symétrie de la lentille. Elle est valable pour les lentilles asymétriques parce que l on se place dans l approximation des lentilles infiniment minces. Pour une lentille convergente, f > 0 ; pour une lentille divergente f < 0. On définit la vergence V = 1 f qui s exprime en dioptrie (δ). Plus V est grand plus la lentille est convergente. Remarque : On montre que V = k(n 1), où n est l indice du matériaux dans lequel est taillée la lentille et k un facteur géométrique qui dépend des courbures des dioptres formant la lentille. On comprend ainsi, l origine des aberrations chromatiques : le foyer rouge n est pas au même endroit que le foyer bleu à cause de la dispersion.

3.2. ormation des images 19 3.2 ormation des images 3.2.1 Construction des rayons lumineux Objet Image construction réel réelle renversée réel virtuelle agrandie droite virtuel réelle rétrécie droite IG. 3.3 Construction des images pour une lentille convergente. Pour construire les images d un objet étendu on obeira à ces quelques principes : On se placera dans l approximation de Gauss : il y a donc stigmatisme approché et aplanétisme approché. Pour trouver l image d un point il suffit de considérer deux rayons issus de ce point ; tous les autres issus du même point passeront par le point image. De plus, l image d un point sur l axe optique étant sur l axe optique, pour trouver l image d un objet droit vertical AB (A est sur l axe optique et B est l extrémité de l objet) il suffit de trouver B l image de B ; on sait alors que l image est A B où A est sur l axe optique et en dessous de B. Avant toute chose il faut placer l objet. Si l objet AB est réel, il est forcément à gauche de la lentille et les rayons sont issus de chaque point de

3.2. ormation des images 20 l objet. Si l objet est virtuel, il se situe à droite de la lentille et les rayons objets se dirigent vers l objet mais sont réfractés avant d atteindre l objet. Pour trouver l image d un point il faut choisir des rayons dont on connait le comportement. un rayon horizontal arrivant sur une lentille convergera en si elle est convergente et divergera en semblant provenir de si la lentille est divergente. un rayon passant ou se prolongeant en ressortira horizontalement. un rayon passant par O n est pas dévié. Une fois les rayons tracés on détermine si l image est réelle ou virtuelle. Si les rayons issus de B se coupent effectivement en B, alors B est une image réelle. On pourra la capturer sur un écran. Si les rayons issus de B divergent après réflexion en semblant provenir de B, alors B sera une image virtuelle visible à l oeil nu mais que l on ne pourra pas capturer directement sur un écran. Objet Image construction réel virtuelle droite rétrécie virtuel réelle agrandie droite virtuel virtuelle renversée IG. 3.4 Construction des images pour une lentille divergente.

3.2. ormation des images 21 Les figures 3.3 et 3.4 montrent des exemples de constructions pourle miroir concave et convexe. 3.2.2 ormules de conjugaison Les formules de conjugaison sont des relations qui relient la position objet A avec la position de l image A. On les obtient rigoureusement à l aide des lois de Descartes, mais on peut les obtenir en utilisant les constructions géométriques (les notions de foyers objet et image étant admises). Pour cela nous allons calculer le grandissement de deux manières différentes. La figure ci-dessus permet d écrire, à l aide des lois de Thales γ = A B AB = OA OA = O A = A O On pose f = O et f = O. Les formules du grandissement permettent d obtenir deux relations : Relation avec origine aux foyers (relation de Newton) : A. A = f.f = f 2 La relation avec origine au centre optique (relation de Descartes) : 1 1 = 1 OA OA f 3.2.3 Lentilles accollées lentille accollées : Considérons deux lentilles L 1 et L 2, de vergence V 1 et V 2 et montrons qu en les accollant on constitue un système optique qui se comporte comme une lentille mince. Considérons un point lumineux A sur l axe optique. La lentille L 1 en donne une image A 1 qui devient objet pour L 2 laquelle en donne une image finale A. Relions la position de A avec celle de A par rapport au centre optique commun, appelé O. On a : { 1 1 = V OA 1 OA 1 1 1 = V OA OA 2 1 d où l on déduit : 1 OA 1 OA = V 1 + V 2

3.3. Applications 22 Ainsi, deux lentilles minces accollées se comportent comme une lentille mince de centre optique le centre des deux lentilles et de vergence équivalente V eq = V 1 + V 2 achromat : pour corriger les défauts chromatiques d une lentille on accolle en général une lentille très dispersive de faible vergence et de signe opposé pour former un système achromatique (on dit un achromat). En effet, il existe différents types de verre avec des dispersions différentes (cf. 3.5 figure) IG. 3.5 Dispersion de quelques verres. considérons une lentille convergente d indice n 1 et de vergence V 1 et une lentille divergente d indice n 2 (taillée dans un matériau différent) que l on accolle à la lentille convergente. La vergence de l ensemble est V = V 1 + V 2 = k 1 (n 1 1) + k 2 (n 2 1) où k 1 et k 2 sont des facteurs géométriques. Lorsque la longueur d onde varie, la vergence varie (dispersion) de dv = k 1 dn 1 + k 2 dn 2. On cherche par exemple à ce que la vergence soit la même pour deux longueurs d ondes extremes du spectre visibles : l une bleue l autre rouge (en général on prend les longueurs d onde suivantes λ = 656, 3 nm et 486, 1 nm). On doit donc avoir k 1 (n 1B n 1R ) + k 2 (n 2B n 2R ) = 0. Ainsi il faut choisir un matériaux telle que k 2 k 1 = n 1B n 1R n 2B n 2R Ainsi un rayon rouge convergera au même endroit que le rayon bleu. Pour un rayon jaune, le foyer sera peu éloigné. Cette correction modifie la vergence de l ensemble. En effet, on obtient V = k 1 [(n 1 1) n 1B n 1R n 2B n 2R (n 2 1)] Notons au passage que si l on choisit deux matériaux identiques, alors l achromat est forcément afocal (V = 0 si n 2 = n 1 ). En général on veut peu modifier la focale de la lentille que l on corrige, ainsi, on utilisera un matériaux telle que n 2B n 2R n 1B n 1R : le matériaux corecteur sera très dispersif (par exemple du flint 4). 3.3 Applications 3.3.1 La loupe Pour comprendre l intérêt de la loupe, il faut intégrer le fait que l œil humain présente quelques limitations.

3.3. Applications 23 L œil : l œil est l organe de la vision. Il est constitué par une cavité sphérique contenant un corps transparent, l humeur vitrée. La lumière pénètre dans l œil par un orifice circulaire situé au centre de l iris, la pupille. Le cristallin constitue avec la cornée et l humeur aqueuse une lentille qui projette sur la rétine une image renversée des objets situés devant l œil. La rétine est le capteur des informations visuelles qu elle convertit en message nerveux destiné au cerveau. Le cristallin est plus qu une simple lentille. En effet il se déforme pour faire varier sa vergence et ainsi faire la mise au point sur l objet observé : on dit que l œil accomode. Un œil normal (dit emmétrope) au repos (pas d accommodation) perçoit une image nette d un point éloigné à l infini. Ce point, le plus éloigné pour une vision nette, est appelé punctum remotum. Le point le plus proche qui puisse être vu nettement est le punctum proximum. Pour un jeune adulte, le punctum proximum est situé à une distance d m 20 cm. Ainsi, lorsque l on observe un objet, un maximum de détail sera vu si l objet est placé au punctum proximum. Un détail de dimension h sera vu sous un angle maximum (on considère un petit défaut de telle sorte que θ est petit) θ = h d m IG. 3.6 Vue en coupe d un œil humain La loupe : la loupe est un instrument d optique simple puisqu il s agit d une simple lentille convergente. Son intérêt est double : - il permet de ne pas faire travailler l œil, - chaque détail est vu sous un angle plus grand ; on dit qu il y a grossissement (à ne pas confondre avec le grandissement). La loupe se place de telle sorte que l objet soit dans le plan focal objet de la lentille, ainsi la loupe en donne une image virtuelle à. Cette image virtuelle est donc vue par un œil normal sans accomoder. De plus on définit le grossissement par G = θ θ où θ est l angle sous lequel on voit un détail dans l image virtuelle. On obtient alors G = d m f On aura donc intérêt à choisir une lentille de petite focale si l on veut un fort grossissement

3.3. Applications 24 h θ θ f IG. 3.7 3.3.2 La lunette astronomique La lunette astronomique permet d observer les détails d objets lointains (considérés à l ). Dans son principe, la lunette est constituée de deux parties : un objectif dont le rôle est de ramener l image d un astre sur Terre. L objectif est une lentille de grande focale qui projette l astre dans son plan focal. un oculaire qui joue le rôle d une loupe. l oculaire permet de grossir l image que donne l objectif. objet étendue θ θ à l infini f Objectif de focale f 1 plan focal image de l objectif oculaire de focale f 2 IG. 3.8 Principe de la lunette astronomique Si l on note θ le diamètre apparent de l astre (c est-à-dire l angle sous lequel est vu l astre depuis la Terre) et θ l angle sous lequel est vu l image virtuelle qu en donne l oculaire, le grossissement de la lunette vaut alors G = θ θ = h f 1 f 2 h = f 1 f 2 On aura donc un fort grossissement si f 1 f 2. Par exemple pour la lunette Lunar 70 800 on a f 1 = 800 mm et f 2 = 4 mm ce qui donne un grossissement G = 200. Défauts : la lunette présente quelques défauts. Pour une observation précise, il faut une optique irréprochable (les aberrations géométriques et chromatiques doivent être corrigés). De plus, pour avoir un fort grossissement il faut un objectif de grande focale, d où un encombrement important. Le télescope (instrument d observation des astres construit à partir de miroirs) présente moins d aberrations et moins d encombrement.