Examen d'optique physique

ESO Optique Physique - - mercredi novembre 0 Examen d'optique physique durée h documents et calculatrices autorisés Couches pour cellules solaires Des couches de quelques dizaines de microns d épaisseur destinées à l usage en cellule solaire sont testées après leur dépôt sur un substrat épais en verre. Pour les besoins de la mesure, une couche épaisse de matériau de même indice que le verre, indice noté ici =,5, est rajoutée de sorte que la couche à étudier est prise dans un sandwich symétrique schématisé ci-dessous. n= (air) n' (verre) n b n' (verre) air (n=) θ θ A=9 B=7 C=3 D= 9 = 76 =Gd total Noté sur 65 au final L indice de la couche utile d épaisseur est supposé valoir =,00. On note θ l angle dans l air d un rayon incident avec la normale du système et λ sa longueur d onde. On rappelle la formule de Fresnel au voisinage de l incidence normale, pour l amplitude des réflexions : =( )/( + ). Du fait de l absorption de la couche dans le visible, les tests doivent être faits à λ=900 nm, longueur d onde pour laquelle les matériaux sont tous transparents. Dans la partie A on étudie les interférences liées à la couche utile. Dans la partie B, on étudie celles liées aux dioptres (air)/( =,5), qui peuvent parasiter les précédentes. Dans la partie C, on étudie en source plus ou moins étendue la capacité de déterminer l indice de la couche par des mesures angulaires. Dans la courte partie D, on cherche à voir l effet d un amincissement sous forme de frange d égale épaisseur. A Etude de la couche à incidence normale On note l angle du faisceau dans la couche d indice. ) Justifier que la loi de Descartes s applique entre l air et notre couche, soit sin( )=sin( ), quel que soit l indice (refaire un schéma). sin( )= sin( )=sin ( ) ) Calculer pour l un et l autre des deux dioptres autour de la couche d indice ; justifier très brièvement que l on ne considère que les interférences des deux premières ondes réfléchies. = =, = =0,48, ~0,0 et = =, =, donc les réflexions suivantes sont négligeables

ESO Optique Physique - - mercredi novembre 0 3).Que vaut alors approximativement le contraste cohérent en réflexion (pour ces deux dioptres)? Le contraste cohérent est alors ~ : ( sqrt(ia*ib)/(ia+ib) se réécrit ( rr )/( r ²+ r ²) 4) On précise que = 45 µm. On discutera plus tard des raisons d ignorer les interfaces avec l air. Calculer l ordre d interférence (0 ) d abord pour le cas =0. On précisera comment on a tenu compte du signe relatif des deux réflexions. Faire l A.N. 5) Cohérence temporelle : Comment doit être choisie la finesse de la source pour que la modulation du contraste des franges de la couche reste supérieure à M~80%? Faire l A.N et préciser si une largeur spectrale de = nm suffit ou non. 3 3+ 6) Si la couche est légèrement non uniforme, on peut en observer les franges d égale épaisseur. Où sont alors localisées ces franges? A quelle différence d épaisseur Δ correspond le passage d une frange? Localisé dans la lame + 7) La source a maintenant une étendue angulaire allant de = 0 à l angle. Comment choisir cet angle pour que la modulation du contraste des franges d égale épaisseur reste aussi supérieure à ~80% (la finesse spectrale étant supposé ici infinie)? Faire l A.N en milliradians. On a ( ) + ², etc. + sur l AN B Interférences parasites On note l épaisseur des deux milieux d indice =,5 de part et d autre de la couche. Par simplicité, on traite des propriétés d une seule lame d épaisseur en ignorant les dioptres au-delà du deuxième. Cela revient à s intéresser à la situation ci-dessous. n= (air) θ (verre) ) a) Quel est l ordre (à incidence normale) associé à une telle lame? b) Quel est le contraste cohérent pour les deux réflexions considérées? (a) On a = / et (b) le contraste cohérent est donné par les deux réflexions :

ESO Optique Physique - 3 - mercredi novembre 0 Ici = =. = 0. et. = =. = 0.43 déjà calculée. Le contraste. cohérent vaut = 0,945 + ) La source a une largeur spectrale décrite par une finesse. Quelle est la variation d ordre induite, en fonction de et de cette finesse? 3) Que dire de la perte de contraste des franges si l on a 0 (on s appuiera sur le cas du spectre carré et on effectuera une majoration de la modulation de contraste)? On a = ( )= ( ). Cette grandeur devient inférieure à ( ) donc à 0,03. La perte de contraste est d au moins un facteur 30. 4 4) Donner (en mm) la valeur de correspondante au cas =0 compte tenu d une largeur spectrale = nm. 5) On s intéresse maintenant à l aspect angulaire. Suivant votre approche, vous introduirez explicitement ou pas l angle dans le verre. a) Pour une valeur de un peu différente, = 4 mm, et en reprenant l angle dans l air trouvé au A ci-dessus, de combien variera l ordre pour ces franges parasites du fait de la largeur angulaire (dans le cas idéal monochromatique où = ) en s appuyant toujours sur le cas d un spectre carré? b) En terme de modulation de contraste de ces franges parasites, et en n oubliant pas que, comme tout parasite, on veut s en affranchir, sera-t-il nécessaire de limiter la finesse de la source? (a) =( )=9,63 3 (b) de ce fait, on obtient / ~0,0, donc on n a plus besoin de limiter la finesse si il y a déjà cette perte de contraste angulaire 3 C Détermination de l indice à l aide des anneaux d égale inclinaison On s intéresse maintenant à une zone assez petite pour que l épaisseur y reste bien uniforme, exactement à la valeur =45. On éclaire avec une source étendue de façon à pouvoir observer à volonté les franges d égale inclinaison. ) Où sont situées ces franges? Comment les observer en pratique? Elles sont à l infini, on les observe au plan focal d une lentille. ) Expliciter littéralement le rayon angulaire du -ième anneau de même état d interférence que = 0. On justifiera brièvement la validité du développement limité aux petits m si on ne l a pas déjà fait au A-7.

ESO Optique Physique - 4 - mercredi novembre 0 Ici un élève m a dit avoir hésité sur «le rayon du n 0» par confusion avec le cours (cas des anneaux brillants dans le poly par exemple) on verra. Le D.L est valide tant que ( cos ) ne diffère pas trop de ²/. Pour 00 mrad, ceci est facilement vérifié, et en fait jusqu à 0-5 (300-400 mrad) dans l air 3 + si seule justif de l exo 3) Expliciter littéralement et numériquement; le comparer notamment à l angle discuté au A-7. On a =( ) qui vaut le double de ++ (=3) Dans ce qui suit, on admettra qu il s agit d un état sombre ( demi-entier), quel que soit le résultat trouvé au A-4. 4) On admet qu une précision de Δ =0.05 mrad est ce qu on peut faire de mieux pour la détermination du rayon angulaire des anneaux. A quelle précision dans un plan focal cela correspond-il si l on a utilisé une lentille de focale = 300 mm pour former les anneaux? On a une variation de position sur le plan focal de 0,050-3 *300 = 5 µm. 5) Pour l anneau sombre ( =), à quelle précision Δ sur l indice cela correspond-il? On a = (= ). On peut différencier log : =, donc = =4,0, = 0 4 6) Extrapoler aux anneaux suivant m > en donnant Δ ( ). On a une version analogue avec m >, seul le diamètre angulaire augmenté joue favorablement : =. Donc =, donc =( )=. 7) Jusqu à quelle valeur entière max de a-t-on 5? Justifier que les calculs ci-dessus sont encore valables dans cette limite. ( ): =4,76, soit 4( max ). 8) Pour avoir une précision Δ <0, quelle valeur de m est nécessaire (cf. 6)? Est-elle dans le domaine de validité < défini dans la question précédente? On a besoin de = car la précision est ; = est bien dans le domaine de validité. On éclaire maintenant volontairement notre système par un faisceau de grande ouverture angulaire allant jusque vers = 45 et un peu au-delà, pour voir des anneaux vers cet angle. 9) Que vaut l angle interne pour la valeur de l angle = 45 dans l air?

ESO Optique Physique - 5 - mercredi novembre 0 On trouve =asin(sin(45 )/ ) = 0,7, et cos =0,9354. 0) En déduire la nouvelle valeur de (45 ) sans approximation. Vers quel numéro d anneau noté = se trouve-t-on alors? On a alors (45 )= cos + = ( ) donc =( )= ( cos )=,9. On se trouve donc vers l anneau de numéro =3 (45 est un peu avant) + ) En utilisant la formulation (très légèrement critiquable) cos = ( ) = ( )/( ), qu on différenciera, et en différenciant aussi l expression non approximée de la loi de Snell- Descartes du A- afin de passer des variations Δ de l angle à celles Δ de l angle, donner une expression littérale de la précision Δ en fonction de m,, tan et cos. On pourrait se baser sur sans faire de grosse erreur. Toutefois on demande ici un calcul plus précis mais littéral. La différenciation de cos = = ( )/( ( ) ) (où il manque le ½ dans (0 )) et où il manque l indice b de e conduit à : Δ sin = = ² ( ) Par ailleurs, la différenciation de Snell-Descartes sin = sin conduit à : Δ cos =Δ cos. Donc : Δ = Δ cos /cos, ce qu on peut combiner pour avoir : Δ = ( ) = ( ) +3 Soit en inversant : = Δ (0 )tan cos /. Cette version omet vers laquelle on vous aiguillait omet toutefois l influence de nb dans cos(theta_b), qui complique et change le résultat.(ça devient hors sujet d épiloguer) ) Faire l A.N pour m 45 ; comparer à la prédiction approximative du 6 ci-dessus extrapolée pour = 45. On calcule donc = ( ) = 5e-5*00*0.378*0.707/3=,06e-4 C est un peu mieux que la prédiction extrapolée = +,77e-4. C est surtout en raison du terme cos(theta) qui est au dénominateur dans la loi de Descartes différenciée. Aux forts angles extérieurs, une faible variation interne donne une plus forte variation externe (mais en général des difficultés expérimentales autres apparaissent! 45!) D- Zone pour les électrodes Une étape de mise en œuvre de la cellule solaire consiste en une procédure d érosion dans les zones des futures électrodes, processus qui doit enlever Δ = 50 de matière du haut de la couche de 45. ) Quelle est l épaisseur associée à une variation d une frange Δ =? (cf. A-6) On a vu que Δ = / =900/4=5 nm. quand même

ESO Optique Physique - 6 - mercredi novembre 0 ) A l aide de schémas simples de l intensité comme par exemple ( ) ou ( ), dites comment cette zone moins épaisse se verra dans en terme de franges d égale épaisseur (le dispositif du A, toujours autour de l incidence normale) dans les cas de figure où la zone de référence, c est-à-dire celle autour des électrodes, est : -a) une zone sombre -b) une zone brillante -c) exactement entre les deux (ces cas peuvent arriver si l épaisseur déposée au départ s écarte un peu de 45 µm). On voit que 50 nm correspond donc à Δ =,7 ; soit franges et quart sensiblement. Donc a) si on part de sombre on arrive vers «gris», entre les deux ( ) b) si on part de brillant, idem. ( ) c) Si on part de gris (ordre de la forme [entier + un quart] ou [entier + trois quarts]), on peut arriver soit vers clair, soit vers sombre. Voir schémas ci-dessous : 4 p