Concours B ENSA B 008MP MATHÉMATIQUES PHYSIQUE Durée : heures L usage d une calculatrice est interdit pour cette épreuve. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. La partie Mathématiques est notée sur 1 points, la partie Physique est notée sur 8 points. Exercice I Algèbre MATHÉMATIQUES On donne une matrice A qui dépend du paramètre réel a : a + 1 A =. a a 1 1.a) Que vaut son déterminant? 1.b) Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle inversible? 1 1.c) Calculer dans ce dernier cas l inverse A de A.. On prend a = 1. Quelles sont les valeurs propres de A? Donner deux vecteurs propres associés à ces valeurs propres.. Même question avec a =. 4. Pour a = 1, la matrice A a-t-elle encore des vecteurs propres (réels)? Exercice II Probabilités Les cyprinidés du bassin du Liechtenstein se composent de 1000 poissons rouges, qui, au cours d une année, peuvent muter spontanément, indépendamment les uns des autres. La probabilité de mutation d un poisson au cours de l année est notée p, avec p < 10. Pour simplifier, on suppose les poissons immortels. 1.) On note X le nombre total de poissons de ce bassin qui mutent lors d une année. Quelle est la loi de X?.a) On estime l espérance de X à 5. En admettant cette valeur, justifier l utilisation d une loi de Poisson..b) Quel est son paramètre?.c) En déduire la valeur de la probabilité p..) Quelle est la probabilité pour qu il y ait un seul mutant cette année? 4.) Probabilité d avoir au moins deux mutants? 1/4 T.S.V.P.
PHYSIQUE Ce problème est constitué de trois parties toutes indépendantes entre elles. La première s intéresse au décollage d une fusée. Les deux suivantes traitent du problème de la géothermie. On s intéresse dans un premier temps à l origine du phénomène de géothermie lié à la radioactivité puis dans un second temps au profil de température à l intérieur du sol. A Étude unidimensionnelle du décollage d une fusée. On étudie une fusée de masse M considérée comme un objet ponctuel de masse constante (on néglige la diminution de masse liée à l éjection des gaz). On se place dans une étude unidimensionnelle le long de l axe Oz orienté vers le haut (cf graphe). On supposera l accélération de la pesanteur g constante avec l altitude. On suppose que la fusée est soumise à l action de son poids, d une force de poussée F = F ez qu on supposera constante et d une force de frottement de type frottement fluide f = α v où α est un coefficient de frottement et v = v e la vitesse de la fusée. A.1 Quelle est l unité de α? A. Faire un bilan des forces qui s exercent sur la fusée. À l instant initial, la fusée est au repos sur le sol en z = 0. À quelle condition la fusée peut-elle effectivement décoller? On supposera désormais cette condition vérifiée. z A. En écrivant le principe fondamental de la dynamique, quelle est l équation différentielle vérifiée par la vitesse? La mettre sous la forme : dv τ + v = v dt Exprimer τ et v. Quelle est l unité de τ? A.4 Quelle est la solution de l équation différentielle trouvée précédemment? Comment se comporte la vitesse à l infini? A.5 Rappeler la définition d une force conservative. Préciser la nature conservative ou non des forces en présence et exprimer s il y a lieu l énergie potentielle qui leur est associée. A.6 Rappeler la définition de la puissance d une force ainsi que le théorème de l énergie mécanique. Exprimer l énergie mécanique de la fusée. A.7 En appliquant le théorème de l énergie mécanique, retrouver l équation différentielle vérifiée par v( t ). /4
Étude unidimensionnelle de la géothermie du sol. Plus l'on fore profond dans la croûte terrestre, plus la température augmente. La plus grande partie de la chaleur de la Terre est produite par la radioactivité naturelle des roches qui constituent la croûte terrestre : c'est l'énergie nucléaire produite par la désintégration de l'uranium, du thorium et du potassium. B Étude de la radioactivité géothermique. On prendra ici l exemple de l uranium. La radioactivité pour cet élément est due à l uranium 5. Très peu présent à l état naturel, il contribue néanmoins au réchauffement de la croûte terrestre et, à ce titre, nous intéresse. A B.1 On rappelle que la matière est constituée d atomes caractérisés par leur noyau noté X. Z Pour l uranium, on a Z = 9 et l uranium possède deux isotopes, l uranium 5 5 U et 9 l uranium 8 8 U. 9 B.1.a Rappeler le nom des nombres Z et A. Quelle est la définition d un isotope? Citer un autre élément de votre connaissance possédant deux isotopes (que l on précisera). B.1.b Préciser la structure du noyau de chacun des isotopes de l uranium. B.1.c Les masses atomiques molaires de 5 8 9U et 9U sont respectivement : 5,049 g.mol-1 et 8,0508 g.mol -1. Sachant que la masse atomique molaire de l uranium naturel vaut 8,089 g.mol -1, déterminer la proportion x d uranium 5 dans l uranium si on suppose que seuls ces deux isotopes sont présents à l état naturel. B. Ces deux noyaux sont instables et se désintègrent par radioactivité α en thorium,? 90 Th B..a B..b Rappeler la définition de la radioactivité alpha. Écrire la réaction de désintégration pour chacun des isotopes de l uranium. B. La désintégration α est un processus d ordre 1 de constante de vitesse λ. Soit n 0 le nombre de noyaux d un radio-isotope à t = 0 et n( t) le nombre de noyaux de cet isotope restant à l instant t. B..a Rappeler la définition d un processus d ordre 1 et en déduire l équation différentielle vérifiée par n( t ). En déduire la loi d évolution n( t ). B..b Rappeler la définition de la demi-vie T1/ d un élément. Quel est le lien entre λ et T 1/? B..c En notant α 0 la proportion d uranium 5 dans l ensemble de l uranium (en supposant que ne sont présents à l état naturel que les isotopes que 5 8 9U et 9U ) lors de la formation de la terre, exprimer la proportion actuelle d uranium 5, notée α ( t) en fonction du temps passé depuis la formation de la Terre (noté t ) et de la demi-vie de 5 8 9U et U qu on 9 notera respectivement 5 T 1/ et 8 T 1/. /4 T.S.V.P.
C Évolution de la température avec la profondeur dans la croûte terrestre. On va maintenant chercher à déterminer la température dans la croûte terrestre en utilisant les hypothèses suivantes : - la croûte terrestre est considérée comme homogène. - on utilise un modèle unidimensionnel en régime permanent (appelé parfois régime stationnaire). La température T du soussol ne dépend donc que de la variable z. - de l'énergie est libérée au sein de la croûte avec une puissance 6 volumique τ = 5 10 W.m -. - on notera j = j( z) e z le vecteur courant thermique (encore appelé vecteur densité de flux de chaleur). - la surface libre du sol est le plan horizontal z = 0 et la croûte terrestre correspond à des valeurs de z négatives. - la capacité thermique volumique du sous-sol notée c est supposée constante et on donne 6 c =,5 10 J.m -.K -1. C.1 Rappeler la définition du vecteur courant thermique j ainsi que son unité. C. On rappelle qu'on suppose ici que le régime est permanent. Par un bilan détaillé (où l on précisera l origine de chacun des termes de variation considéré) appliqué à une tranche de surface S comprise entre z et z + dz, montrer que : dj = τ dz C. On donne la conductivité thermique du sous-sol λ =,6 S.I. Rappeler la loi de Fourier ainsi que l'unité de λ. C.4 En déduire l'équation vérifiée par la température. C.5 Déterminer la température T(z) en fonction de z, des données du problème, de la température à la surface : T (0) = T0 = 85K et de la densité de courant d énergie (encore appelée densité de flux de chaleur) qui se dégage du sol : j(0) = j0 = 0,1S.I. Exprimer (sans chercher à l évaluer numériquement) la profondeur à laquelle il faut forer pour avoir une température de 00 C. FIN DE L ÉPREUVE 4/4
Concours B ENSA B 009MP MATHÉMATIQUES PHYSIQUE Durée : heures L usage d une calculatrice est interdit pour cette épreuve. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. La partie Mathématiques est notée sur 1 points, la partie Physique est notée sur 8 points. MATHÉMATIQUES Exercice I Analyse Soit f la fonction définie sur positives. 1. Calculer l intégrale : t 0; par : f t ke a 0 où k et sont des constantes I a f t dt (1) puis calculer sa limite quand a tend vers. Donner la valeur de k pour que cette limite soit égale à 1. On conserve cette valeur de k dans toute la suite du problème.. Calculer l intégrale : puis calculer sa limite quand a tend vers.. Calculer l intégrale : a 0 J a tf t dt () a K a t f t dt puis calculer sa limite quand a tend vers. 4. Soit C la courbe représentative de la fonction t f t Donner l équation de sa tangente T au point d abscisse t Pour tracer C et T 5 () 0 dans un repère orthogonal.. 1/7 T.S.V.P.
Exercice II Probabilités Soit X la durée de vie d une ampoule au krypton. On suppose que X admet pour densité la t fonction définie sur 0; par : f t e où est une constante positive. 1. Reconnaître la loi de X.. Donner l espérance E X et la variance V choix, donner le résultat ou utiliser les calculs de la première partie. X de la variable aléatoire X. On pourra, au. Calculer le réel positif m tel que : P X m 1 Comparer m et E X. Peut-on conclure que la moitié des ampoules ont une durée de vie supérieure à E X? 4. Calculer P X E X Exercice III Algèbre linéaire.. Commenter ce résultat. Soit a et b, deux réels. On donne les matrices G, A, X, X, définies par : 6 0 0 G 0 5 a 0 1 0 1 1 1 X 1 1 0 b 0 1 0 1 1 1 A 1 1 0 0 b 0 b 1 1 0 X ' 0 1 b 1 1 1 0 1. Calculer X ' X, que l on comparera à G. Pour quelles valeurs de a et b ces deux matrices sont-elles égales?. Pour quelles valeurs de a la matrice G est-elle inversible?. Calculer le rang de la matrice X. En déduire celui de la matrice A. 4. Pour a 10, effectuer une diagonalisation de G. On donnera les valeurs propres de G ainsi que les sous espaces propres associés. /7
PHYSIQUE Problèmes d isolation d une maison. On s intéresse dans ce problème à la modélisation du chauffage d un logement et son interaction avec une atmosphère extérieure. Dans une première partie, on va s intéresser aux pertes par conduction thermique et à la notion de résistance thermique. Dans une seconde partie, on discutera plus particulièrement l intérêt du double vitrage par rapport au simple vitrage. Dans une troisième partie, indépendante des deux précédentes, on s intéressera enfin au problème de l isolation d une pièce chauffée. Dans tout ce qui suit, on adopte une description unidimensionnelle suivant l axe des x. On considère un matériau de conductivité thermique de surface S et d épaisseur e. On note la masse volumique du matériau et c sa capacité calorifique massique. Ce matériau sépare deux régions où on suppose la température constante, T 1 pour x 0 et T pour x e (figure 1). On appelle T(x) la température qui règne au point d abscisse x dans le matériau et on note j j( x) e x le vecteur courant thermique. Toute l étude sera menée en régime stationnaire et on supposera par ailleurs qu il n existe aucun terme source volumique. Figure 1 : Géométrie unidimensionnelle. I. Équation de la chaleur en régime stationnaire. Résistance thermique. I.1. Quelle est la signification physique de j et quelle est son unité? I.. Par un bilan thermodynamique appliqué à la tranche de matériau de surface S comprise entre x et x dx, établir l équation de conservation de la chaleur portant sur j(x). I.. Rappeler la loi de Fourier et l appliquer dans le cas du problème unidimensionnel. Quelle est l unité de la conductivité thermique? I.4. Quelle est alors l équation vérifiée par la température T ( x ). Résoudre cette équation et en déduire la forme de T ( x ) en fonction T 1, T, e et x. I.5. En déduire l expression de j( x ). On suppose T1 T, quel est le signe de j? Commenter (en quelques lignes maximum) ce signe. I.6. On note le flux thermique ou puissance thermique qui passe au travers du matériau. Quelle est l expression de qu on cherchera à mettre sous la forme : 1 ( T ) 1 T. R La quantité R th est appelée résistance thermique, quelle est son unité? Quelle est sa signification physique? th /7 T.S.V.P.
I.7. II. Rappeler la loi d Ohm locale. En comparant cette loi à la loi de Fourier, on cherche une analogie entre les problèmes électrique et thermique. Quelles sont les grandeurs analogues du courant électrique I et de la tension électrique U? Comparaison simple vitrage/double vitrage. On considère pour commencer une vitre de surface S 1m et d épaisseur e =10 mm. On donne la conductivité thermique du verre verre =1 SI. Cette vitre sépare une pièce à la température T 1 =0 C de l extérieur à la température T =15 C (figure ). II.1. Calculer la résistance thermique R 1 associée au simple vitrage. Quelle est la puissance 1 qui sort de la pièce au travers de la vitre? Figure : Simple Vitrage Figure : Double Vitrage II.. Cas du double vitrage. On considère maintenant un double vitrage de surface S 1m formé par deux lames de verres d épaisseur e ' =4 mm séparées par une couche d air d épaisseur e '' = mm. Ainsi, l épaisseur totale du système est toujours égale à e e' e''. On donne la conductivité thermique de l air =0,01 SI (figure ). air On note T ' la température qui règne à la sortie de la première lame de verre et 1 T ' celle qui règne à l entrée de la deuxième lame de verre (figure ). II..a. Exprimer et calculer la résistance thermique R d une seule des lames de verre. De même, exprimer et calculer la résistance thermique R ' de l air. On note ' 1 la puissance thermique qui traverse successivement la première lame de verre, la lame d air et la seconde lame de verre. II..b. Exprimer les différences de température T 1 T ' 1, T ' 1 T ' et T ' T en fonction de ' 1 et des différentes données du problème. II..c. En déduire la différence de température totale T1 T et l expression de la résistance thermique totale R ' 1 associée au double vitrage. À quel type d association ce résultat vous fait-il penser? II..d. Calculer la résistance R ' associée au double vitrage ainsi que la puissance 1 ' 1 qui sort de la pièce au travers du double vitrage. Que vaut le rapport 1 / ' 1? Commenter (quelques lignes maximum). 4/7
II.. Prise en compte des effets convectifs. Figure 4 En réalité, le calcul précédent néglige un effet physique très important. En effet, les échanges thermiques entre les vitres et l air de la pièce ou l air extérieur se font grâce au mouvement de l air au voisinage de la surface de la vitre. On parle d échange convectif (figure 4). On modélise ces échanges convectifs par une loi dite loi de Newton : c hs (T air T verre ) où c est la puissance thermique échangée, Tair est la température de l air (de la pièce ou à l extérieur), T verre est la température dans la vitre au voisinage de l interface avec l air, h est appelé coefficient de transfert thermique et S est la surface d échange. II..a. Montrer que la loi de Newton peut se traduire par l introduction d une nouvelle résistance thermique qu on notera R c. On revient pour le moment à l étude du simple vitrage mais en prenant en compte les échanges convectifs sur les deux faces de la vitre. On note la puissance qui traverse la vitre. Du fait des échanges convectifs, la température sur les deux faces de la vitre est différente de la température de l air avec lequel elle est en contact (figure 5). On donne pour l interface verre-air h 10 W K -1 m - II..b. En vous inspirant du raisonnement de la question II..b., exprimez la résistance thermique R du simple vitrage (avec effet convectif) en fonction de R 1 et R c. Calculer cette résistance et en déduire la puissance thermique qui traverse le simple vitrage. Figure 5 : Simple Vitrage avec convection Figure 6 : Double Vitrage avec convection On s intéresse maintenant à nouveau au double vitrage en prenant en compte les échanges convectifs. Attention, seules les faces au contact de l air de la pièce et de l air extérieur sont le siège d une convection, la lame d air centrale étant de faible épaisseur et au repos n est pas le siège d un phénomène convectif (figure 6). II..c. De même que précédemment, exprimer la résistance thermique R ' du double vitrage (avec effet convectif) en fonction de R ' et 1 R c. Calculer cette résistance R ' et en déduire la puissance thermique ' qui traverse le double vitrage. 5/7 T.S.V.P.
II..d. Que vaut le rapport / '? Conclure quant à l intérêt d un double vitrage. III. Isolation d une pièce chauffée On considère une pièce carrée de côté a =4m et de hauteur H =m. L air de cette pièce est considéré comme un gaz parfait diatomique de coefficient c p 1,4. Par ailleurs, les objets c v présents dans la pièce possèdent également une capacité calorifique C p,obj 10 6 J.K -1. III.1.a. III.1.b. III.1.c. Exprimer le nombre de moles d air présentes dans la pièce. Rappeler l expression de la capacité calorifique molaire de l air c p. Exprimer et calculer alors la capacité calorifique à pression constante C p,air de l air de la pièce 5 (qu on supposera à la pression atmosphérique patm 10 Pa ). En déduire, la capacité calorifique totale C du système air+objets présents dans la pièce. III.. Évolution temporelle de la température de la pièce. On note T la température de la pièce qui est supposée être homogène et T ext la température de l air à l extérieur. Du fait de la conduction de la chaleur au travers des vitres et des murs de la pièce, une puissance thermique sort de la pièce et la température de la pièce peut donc dépendre du temps. On admettra par ailleurs qu on peut écrire la loi T T ext R tot thermique totale des vitres et des murs. où R tot désigne la résistance III..a. Par un bilan d énergie entre les instants t et t dt, montrer que l équation d évolution de la température peut se mettre sous la forme : A dt dt T T ext où on exprimera la constante A en fonction de Rtot et C. Préciser l unité de A. III..b. Résoudre cette équation en considérant qu à l instant initial, on a T (0) T0. On précisera clairement le procédé utilisé pour résoudre cette équation différentielle. 6/7
III..c. Un expérimentateur a enregistré l évolution de la température en fonction du temps dans la pièce (figure 7). Déduire de ce graphe les valeurs de T 0, T ext et A. En déduire la valeur expérimentale de R tot. Figure 7 On suppose maintenant qu un radiateur permet de chauffer la pièce en fournissant à la pièce la puissance P 0. III..d. Par un nouveau bilan d énergie, déduire la nouvelle équation d évolution de la dt température et la mettre sous la forme : A T T où on exprimera T en fonction dt des données du problèmes. FIN DE L ÉPREUVE 7/7 T.S.V.P.
Concours B ENSA B 011MP MATHÉMATIQUES PHYSIQUE Durée : heures L usage d une calculatrice est interdit pour cette épreuve. Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d épreuve : pagination et impression de chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d épreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tôt le chef de centre qui contrôlera et éventuellement remplacera son sujet. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. La partie Mathématiques est notée sur 1 points, la partie Physique est notée sur 8 points. MATHÉMATIQUES Les trois parties sont indépendantes et le candidat peut les traiter dans l ordre de son choix. Analyse Les trois premières questions sont indépendantes. 1) Donner un développement limité à l ordre trois, au voisinage de zéro de la fonction de la variable réelle u u e. 1 ) On considère la fonction f de la variable réelle définie par x f ( x) x² x. Étudier f et donner l allure de sa courbe représentative Cf dans un repère orthonormé d unité cm. ) On considère la fonction g de la variable réelle définie pour x strictement positif 1/ x par x g( x) x² e. Faire un tableau des variations de g, chercher ses limites en zéro et à l infini. 4) Donner l allure de la courbe représentative Cg de g dans le même repère orthonormé que Cf : on donnera les positions respectives des deux courbes pour x strictement positif. x 1 NB : On admettra que pour tout x >0, e x ² x 1 Algèbre linéaire 1) Soit a un nombre réel, et u, v, w, les vecteurs de u ( 1,,0), v ( 1, a,0), w (0,0,1 ) Pour quelle valeurs de a ces vecteurs sont-ils linéairement indépendants? ) Soit f l application linéaire de R dans R, définie dans la base canonique B de f ( 1,0,0) u, f ( 0,1,0) v, f ( 0,0,1) w -a) Donner la matrice (que l on notera F) de f dans la base canonique B de R R. R par 1/4 T.S.V.P.
-b) Suivant les valeurs de a trouvées à la question précédente donner son rang, définir son espace image Im(f), et donner une base de son noyau Ker(f) dans la base canonique B. ) On suppose dans cette question que a vaut -. Soit g l application linéaire de R dans R, définie par g ( u) (1,0,1 ), g ( v) (1,1, ), g ( w) (,1, ) Donner la matrice, que l on notera G, de g dans la base canonique, ainsi que son rang. Probabilités NB : Les résultats seront laissés sous forme d une expression formelle contenant des puissances, des fractions, des factorielles, des logarithmes ou des exponentielles. Dans un jeu de loto, l organisateur du jeu tire au hasard 5 nombres pris entre 1 et 75. On supposera tous les nombres équiprobables. 1) Combien y a t il de combinaisons possibles pour ces 5 nombres? ) On s intéresse au nombre X de fois où le nombre 1 est apparu sur 10 tirages du loto (chaque tirage donnant une liste de 5 nombres, et les tirages étant indépendants). Donner la loi de X en justifiant votre réponse, son espérance et sa variance. Quelle est la probabilité d avoir eu le 1 au moins une fois? ) Avant le tirage du loto, les joueurs choisissent chacun une carte comprenant 15 nombres entre 1 et 75. Combien existe-t-il de cartes différentes? 4) Le tirage a lieu et chaque joueur coche parmi les 5 nombres qui ont été tirés par l organisateur, ceux qui figurent sur sa carte. Le joueur a gagné si sa carte est complète : tous ses nombres ont été tirés. Quelle est la probabilité p de cet événement? 5) Le joueur décide de garder la même carte jusqu à ce qu il gagne. Quelle est, en fonction de p, la probabilité qu il gagne en tirages au plus? Quel est, en fonction de p, le nombre n de tirages à partir duquel cette probabilité dépasse 1/? PHYSIQUE pages suivantes /4
PHYSIQUE Cuisson de pâtes Pour certaines questions, on demande d exprimer le résultat sous forme littérale et numérique en fonction des données de l énoncé. Dans ce cas, on posera le calcul en utilisant les unités fondamentales (m,s ) ou dérivées (N,Pa,J ) du système international (même si les données de l énoncé sont exprimées dans d autres unités) mais sans effectuer le calcul. Ainsi à la question exprimer sous forme littérale et numérique le temps nécessaire pour qu un véhicule roulant à v=50 km/h parcoure une distance de L=100 km, il faudrait répondre : 100.10 m t = L/v = (50.10 / 600) m/s Le degré de cuisson des pâtes est lié essentiellement à la gélatinisation de l amidon qui peut être assimilée de façon très simplifiée à une réaction d ordre 1. Amidon natif Amidon gélatinisé que l on notera A n A g On néglige la chaleur de réaction (ni chaleur dégagée, ni chaleur absorbée). La constante de vitesse de réaction est donnée par l expression suivante : E a k k 0 exp k 0 = 5 10 11 s -1, E a =100 kj.mol -1, R=8,14 J mol -1 K -1, T en K RT Les propriétés de l eau sont supposées constantes et égales aux valeurs suivantes : - masse volumique : e = 1000 kg.m - - capacité thermique massique : c e = 4180 J kg -1 K -1 - conductivité thermique : e = 0,599 W m -1 K -1 - masse molaire : M e = 18 g.mol -1 - chaleur latente de vaporisation à 100 C : L v =57 kj.kg -1 Les parties A) et B) peuvent être traitées indépendamment A) Cuisson dans l eau bouillante à différentes pressions A.1) Rappeler la définition de la vitesse de réaction et son expression en fonction de k et de la concentration d une des deux espèces d amidon. A.) Exprimer les concentrations d amidon natif et d amidon gélatinisé en fonction du temps t, de k et de la concentration initiale en amidon natif [A n ](0). A.) Le temps de cuisson est supposé égal au temps nécessaire pour gélatiniser =95% de l amidon contenu dans les pâtes. Exprimer sous forme littérale le temps de cuisson t c en fonction de k et puis en fonction de k 0, E a, R, et T. A.4) Exprimer sous forme numérique le temps de cuisson dans l eau bouillante dans une casserole au niveau de la mer où la pression atmosphérique est de p 0 =1,01 10 5 Pa. A.5) Exprimer sous forme littérale et numérique la masse volumique de l air a à la pression p 0 =1,01 10 5 Pa et à la température T 0 =0 C en considérant l air comme un gaz parfait ayant une masse molaire moyenne de M a = 9 g.mol -1.
A.6) Exprimer sous forme littérale et numérique la pression atmosphérique p 1 à une altitude Z=000 m en supposant que l air compris entre le niveau de la mer et cette altitude a une masse volumique constante a = 1,05 kg m - (g=9,81 m s - ) A.7) Tracer l allure du diagramme d état de l eau. La température d ébullition en altitude est-elle plus grande ou plus petite qu au niveau de la mer? Expliquer pourquoi. A.8) Le temps de cuisson des pâtes en altitude est-il plus grand ou plus petit qu au niveau de la mer? Expliquer pourquoi. A.9) La pression dans un autocuiseur peut être significativement plus grande que la pression atmosphérique. Expliquer qualitativement pourquoi la cuisson à l eau de certains aliments peut y être plus rapide que dans une casserole. B) Cuisson de pâtes dans une casserole au niveau de la mer Une casserole cylindrique de diamètre intérieur D=0 cm est remplie d eau initialement à T 0 =0 C sur une hauteur de h=10 cm et posée sur une plaque chauffante délivrant une puissance thermique P th = kw. On suppose que - toute la puissance de la plaque chauffante est directement transmise à l eau - l eau n échange de la chaleur qu avec la plaque chauffante - la masse d eau reste constante jusqu à l ébullition - l eau a une température uniforme B.1) Indiquer au moins trois phénomènes non pris en compte si on adopte les approximations précédentes. B.) Exprimer sous forme littérale et numérique le nombre de moles d eau : n e. Montrer que la masse d eau m e vaut,14 kg. B.) Exprimer sous forme littérale et numérique le temps t 1 nécessaire pour chauffer l eau de T 0 =0 C à T 1 =100 C. B.4) On rajoute dans l eau chaude, qui est à 100 C, une masse m p =500g de pâtes qui sont à la température T 0 =0 C. La capacité thermique massique des pâtes vaut c p = 000 J kg -1 K -1. On suppose que l échange de chaleur entre l eau et les pâtes est si intense que l eau et les pâtes atteignent quasi-instantanément une nouvelle température unique. Exprimer sous forme littérale et numérique cette nouvelle température : T B.5) Montrer que la pression au fond de la casserole est relativement peu différente de la pression atmosphérique p 0 =1.01 10 5 Pa. En déduire que la température d ébullition de l eau T ébul est partout proche de 100 C. B.6) Exprimer sous forme littérale le temps t nécessaire pour chauffer l eau et les pâtes de T à T ébul. B.7) Exprimer sous forme littérale et numérique le temps t qu il faudrait pour vaporiser toute l eau à partir de l ébullition. FIN DE L ÉPREUVE 4/4
Concours B ENSA B 01MP MATHÉMATIQUES PHYSIQUE Durée : heures L usage d une calculatrice est interdit pour cette épreuve. Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d épreuve : pagination et impression de chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d épreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tôt le chef de centre qui contrôlera et éventuellement remplacera son sujet. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. La partie Mathématiques est notée sur 1 points, la partie Physique est notée sur 8 points. MATHÉMATIQUES Les trois parties sont indépendantes et le candidat peut les traiter dans l ordre de son choix. NB : Tous les résultats seront laissés sous forme d une expression formelle contenant des puissances, des fractions, des factorielles, des logarithmes ou des exponentielles. On prendra ln 0,7 et 1/e 1/ 1 Analyse Soit f la fonction définie sur R*+ par f(x) = (1+1/x)ln(x), a) Montrer que f est continue et dérivable sur R*+ et calculer sa dérivée f. b) On considère la fonction h, définie sur R*+ par h(x) = 1+ x ln(x). Faire une étude des variations de h, et en dresser le tableau. En déduire le signe de h(x) pour tout x de R*+. c) Déduire de la question précédente le signe de f (x). Dresser le tableau des variations de f et calculer les limites aux bornes de son ensemble de définition. d) On appelle C la courbe représentative de la fonction f en repère orthonormé d unité cm. Donner l équation de la tangente T au point d abscisse 1. Tracer C et T. e) On note A l aire de la surface située entre la courbe C et l axe des x, pour x compris entre 1 et. Hachurer cette surface. Calculer A. 1 / 5 T.S.V.P.
Probabilités Un test pour le dépistage d une maladie étant en phase de mise au point, on dispose des précisions suivantes : Lorsqu une personne est atteinte de la maladie, le test s avère positif avec une probabilité de 0,95. Lorsqu une personne n est pas malade, le test s avère quand même positif avec une probabilité de 0,0. a) On sait que, dans une région donnée, le pourcentage de malades est de 4%. Sachant qu une personne a un résultat positif au test, calculer la probabilité qu elle ne soit pas malade. b) 100 personnes de cette région (les choix de ces personnes sont supposés indépendants), montent dans un avion. Soit X le nombre de personnes parmi elles, qui sont malades. Donner la loi de X, son espérance, et sa variance. Donner la probabilité qu il y ait au moins une personne malade parmi elles. c) Sachant qu il y a au moins une personne malade parmi elles, quelle est la probabilité qu il y en ait au plus deux? Algèbre linéaire Soit B une matrice (,) à valeurs réelles, et I la matrice identité de taille (,). a) Simplifier les expressions suivantes: ( I -B + B )(I +B) et (I +B)(I -B + B ). 1 0 b) Soit A la matrice définie par: A 0 1 et B = A-I 0 0 1 Calculer B et B. c) En déduire que A est inversible et déterminer son inverse. d) Donner les valeurs propres de A et les sous espaces propres associés. A est-elle diagonalisable? Justifier. PHYSIQUE (pages suivantes) / 5
PHYSIQUE Une cerise dans un arbre Pour certaines questions, on demande d exprimer le résultat sous forme littérale et numérique en fonction des données de l énoncé. Dans ce cas, on posera le calcul en utilisant les unités fondamentales (m,s ) ou dérivées (N,Pa,J ) du système international (même si les données de l énoncé sont exprimées dans d autres unités) mais sans effectuer le calcul. Ainsi à la question exprimer sous forme littérale et numérique le temps nécessaire pour qu un véhicule roulant à v=50 km/h parcoure une distance de L=100 km, il faudrait répondre : 100.10 m t = L/v = (50.10 / 600) m/s Le problème consiste d une façon générale à prédire l évolution de la température et de la position d une cerise (attachée à un arbre) soumise à des conditions (ensoleillement, vitesse et température d air) variables. La cerise est considérée comme une boule homogène de diamètre D=1,5 cm. Elle sera modélisée comme une phase homogène incompressible de capacité thermique constante. Les propriétés de l air (indice a) et de la cerise (indice c) sont supposées constantes et égales aux valeurs suivantes - masse volumique : a = 1,05 kg.m - c = 1050 kg.m - - capacité thermique massique : c p.a = 1006 J.kg -1.K -1 c c = 850 J.kg -1.K -1 (à pression constante pour l air) - conductivité thermique : a = 0,056 W.m -1.K -1 c = 0,550 W.m -1.K -1 - viscosité dynamique : a = 18,5 10-6 Pa.s Au niveau thermique, on suppose que tout le flux solaire incident est transformé en chaleur à la surface de la cerise. Le flux solaire traversant une section perpendiculaire aux rayons lumineux de 1m² est appelé irradiance solaire. En l absence de nuage on considère que l irradiance solaire est q s =00 W.m - (la cerise n est pas dans l ombre d une feuille) et on suppose que le flux solaire est négligeable quand un nuage passe. En l absence de nuage, la cerise intercepte donc un flux d énergie solaire égal à : (D²/4).q S Du fait du métabolisme, la cerise est également le siège d un dégagement de chaleur volumique q v =000 W.m - supposé indépendant de la température. Enfin la cerise échange de la chaleur avec l air, proportionnellement à sa surface et à l écart de température entre la surface de la cerise et l air. Le coefficient de proportionnalité, noté h (en W.m -.K -1 ) est appelé coefficient de transfert de chaleur. q s q v T c h T a / 5 T.S.V.P.
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment La question A6 peut être traitée à partir des équations de l énoncé de la question A5 A) Transferts thermiques Le coefficient de transfert de chaleur vaut h = 10 W.m -.K -1 La température de la cerise est supposée uniforme (elle est identique entre le cœur et la surface, entre la face éclairée par le soleil et la face opposée), elle est notée T c. La température de l air est constante et vaut T a = 9.15 K (soit 0 C). A.1) Exprimer sous forme littérale et numérique : la surface de la cerise et le volume de la cerise. A.) Montrer qu en l absence de nuage, le bilan thermique de la cerise en régime permanent s écrit : D² 4 q S D 6 q v D²h(T c T ) a A.) En déduire l expression sous forme littérale et numérique de la température de la cerise en l absence et en présence de nuages. A.4) Montrer qu en régime transitoire l évolution de la température de la cerise peut s exprimer sous la forme suivante : dtc mccc P dt où m c est la masse de la cerise et P est le flux net de puissance thermique (reçu du soleil, dégagé par le métabolisme, échangé avec l air) c'est-à-dire la chaleur nette reçue par unité de temps. On pourra pour cela écrire un bilan thermique de la cerise entre l instant t où la température de la cerise est T c (t) et l instant t+dt où la température de la cerise est T c (t+dt)=t c (t)+dt c. A.5) Exprimer m c et P en fonction des données de l énoncé et de T c, en déduire que l équation d évolution de T c peut se mettre sous la forme : dt dt c Tc n en présence de nuages et dt dt c Tc s en présence de soleil et donner l expression et l unité de, n et s. A.6) On passe, à l instant t=0, d une longue période de temps nuageux à une longue période de temps ensoleillé. Exprimer, pour t>0, l évolution de T c en fonction du temps ainsi que de, n et s. A.7) Tracer l allure de la courbe montrant l évolution de T c en fonction du temps. Tracer la tangente à l origine et faire apparaître la grandeur sur le graphique. 4 / 5
Mécanique La cerise, considérée comme une boule de diamètre D=1,5 cm, est attachée à une branche fixe par l intermédiaire d un pédoncule, de longueur L=4 cm, qui se comporte comme un fil infiniment souple. On rappelle que g=9,81 m.s -. L x v a y B) Inclinaison du pédoncule en présence de vent L air a une vitesse v a constante dans la direction x de 5 m.s -1. Il exerce une force f x dans la direction x sur la cerise qui est fonction de la vitesse par l expression suivante : D 1 fx Cx av a 4 av ad Si le nombre de Reynolds Re= est plus grand que 1000, on a C x =0,44. B.1) Ecrire le bilan des forces qui s exercent sur la cerise. B.) Vérifier que le nombre de Reynolds est plus grand que 1000. a B.) Exprimer l équilibre des forces dans les directions x et y (schéma ci-dessus) et en déduire l expression littérale et numérique de l angle d inclinaison du pédoncule avec la verticale. C) Oscillation En l absence de vent et de frottement, si l angle d inclinaison du pédoncule avec la verticale reste petit, le principe fondamental de la dynamique permet d établir que : d g 0 dt L C.1) Exprimer la valeur de en fonction de g et de L telle que = 0 cos(t) soit solution de cette équation différentielle. C.) Exprimer de façon numérique la période d oscillation de la cerise (c est en secouant la branche avec cette période que l on fait tomber le plus facilement les cerises, si elles sont mûres). FIN DE L ÉPREUVE 5 / 5