SYSTEMES DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES I- Exemple de problème conduisant à un système: Cedric achète 5 CD coûtant chacun a euros et 3 cassettes vidéo coûtant chacune b euros. Il paie 98,60 euros. Nathalie achète 2 CD coûtant chacun a euros et 1cassette vidéo coûtant b euros. Ella paie 37,70 euros. La dépense de Cedric est, en fonction de a et b: 5a + 3b Celle de Nathalie est: 2a + b. En utilisant les renseignements fournis dans l'énoncé, on obtient 2 équations: Pour Cedric: 5a + 3b = 98,60 Pour Nathalie: 2a + b = 37,70 Ces deux équations forment un système de deux équations à deux inconnues. (L'accolade signifie que a et b doivent vérifier les deux équations) Pour connaître le prix d'un CD et celui d'une cassette, il faudra résoudre ce système, en utilisant l'une ou l'autre des méthodes exposées ci-dessous. II- Résolution par substitution: Exemple 1: Résoudre le système: Première étape: On exprime l'une des inconnues en fonction de l'autre en utilisant l'une des deux équations. Ici, le meilleur choix est d'exprimer a en fonction de b en utilisant la première équation (les autres choix amèneraient à des écritures fractionnaires) a = -1-3b Troisième étape: On résout l'équation à une inconnue ainsi obtenue. - 2-6b - 4b = 18-6b - 4 b = 18 + 2-10b = 20 b = - 2 Conclusion: La solution du système est le couple (5, -2) Attention: Il est impératif de donner d'abord la valeur de a puis la valeur de b. Deuxième étape: On remplace dans l'autre équation 2 (-1-3b) - 4b = 18 (L'expression en bleu montre que l'on a remplacé a par -1-3b) Quatrième étape: On remplace b par cette valeur dans l'expression obtenue à la première étape a = - 1-3(- 2) = - 1 + 6 = 5 Donc a = 5 1
Dire que la solution est le couple (-2, 5) signifierait que c'est a qui vaut -2 et b qui vaut 5, ce qui, évidemment, est faux. Exemple 2: Résoudre le système: Ici b est déjà exprimé en fonction de a. On passe donc directement à la deuxième étape. a - 2(3a) = -15 a - 6a = -15-5a = -15 a = -15/-5 a= 3 La solution du système est le couple (3,9) b = 3 x 3 = 9 III- Résolution par combinaison: 2
IV- Résolution de problèmes à l'aide de systèmes: Exemple 1: Déterminer deux nombres ayant pour somme 93 et pour différence 21 Soient a et b les 2 nombres cherchés. 57 et b = 36 Donc la solution du système est le couple (57,36) Les deux nombres cherchés sont 57 et 36 3
Exemple 2: Calculer la longueur et la largeur d'un rectangle; sachant que ce rectangle a pour périmètre 122 m et que sa longueur mesure 11 m de plus que sa largeur. Soient: a la longueur, en mètres, de ce rectangle b la largeur, en mètres, de ce rectangle 36 et b = 25 Donc la solution du système est le couple (36,25) Ce rectangle a pour longueur 36 m et pour largeur 25 m. Exemple 3: 5 livres de poche et un album de BD coûtent 40,15 euros. 2 livres de poche et 3 albums de BD coûtent 40,50 euros Calculer le prix d'un livre de poche et celui d'un album de BD Soient: a le prix, en euros, d'un livre de poche b le prix, en euros, d'un album de BD 6,15 et b = 9,40 Donc la solution du système est le couple (6,15;9,40) Un livre de poche coûte 6,15 euros, un album de BD coûte 9,40 euros 4
V- Exercices: Exercice 1: Résoudre par substitution le système: Exercice 2: Résoudre par combinaison le système: Exercice3: Déterminer deux nombres ayant pour somme 88 et pour différence 24 Exercice 5: 2 kiwis et 3 avocats coûtent 2,82 euros. 4 kiwis et 5 avocats coûtent 4,90 euros Calculer le prix d'un kiwi et celui d'un avocat. Exercice 4: La mère de Virginie a 27 ans de plus qu'elle. La somme de leurs âges est 59 ans. Déterminer l'âge de Virginie et celui de sa mère. 5
SYSTEMES DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: Résoudre par substitution le système: En utilisant la deuxième équation, on obtient: b = 12-2a La solution du système est le couple (7, -2) En remplaçant b par cette expression dans la première équation, on obtient: -3a + 4(12-2a) = - 29-3a + 48-8a = -29-11a = -29-48 -11a = - 77 a = -77/-11 a = 7 En remplaçant a par cette valeur dans l'expression b = 12-2a, on a: b = 12-2 x 7 = 12-14 = -2 Donc b = -2 Exercice 2: Résoudre par combinaison le système: Calcul de a: En multipliant: - la première égalité par 3 - la deuxième égalité par 5 On obtient le système: Calcul de b: En multipliant: - la première égalité par 7 - la deuxième égalité par - 2 On obtient le système: D'où, en additionnant membre à membre: 41a = -82 a = - 82/41 a = -2 D'où, en additionnant membre à membre: - 41b = - 123 b = -123/-41 b = 3 6
Exercice 3: Soient a et b les 2 nombres cherchés. 56 et b = 32 Donc la solution du système est le couple (56,32) Les deux nombres cherchés sont 56 et 32 Exercice 4: Soient a l'âge de la mère de Virginie et b l'âge de Virginie 43 et b = 16 Donc la solution du système est le couple (43,16) La mère de Virginie a 43 ans et Virginie 16 ans. Exercice 5: Soient a le prix d'un kiwi et b le prix d'un avocat 0,30 et b = 0,74 Donc la solution du système est le couple (0,30;0,74) Un kiwi coûte 0,30 euros. Un avocat coûte 0,74 euros. 7