COMPTE RENDU DE LA SEANCE 1 DU MODULE GEOMETRIE AU CYCLE 2 Mme Michèle DEPREZ Professeur de mathématiques à l ESPE de Paris Date : mercredi 15 Janvier 2014 Les programmes 2008 : au cycle 2 les programmes ciblent des connaissances spatiales + des connaissances géométriques. Les objets de référence sont les solides et en particulier le cube. 1Les connaissances spatiales au cycle 2 Situation de départ de la formation : l appel en classe (l enseignant transforme une démarche administrative en une situation de repérage dans l espace). Objectif : mettre en place le vocabulaire de position. Il s agit d une situation d entraînement ritualisée pour donner de l aisance aux élèves. Situation N 1 Les élèves sont assis en classe à leur place. L enseignant s adresse à un élève. «Bonjour Maxime, qui est derrière toi? A ta gauche, droite? A côté de toi? Entre. Et?» Variante : faire l appel dans une autre situation. Exemple les élèves sont en rang, deux par deux et ils doivent répondre aux questions : «Enfant devant X, comment t appellestu? Et toi l enfant derrière Y quel est ton nom? Etc. Situation N 2 : Allons à présent dans la cour, repositionnez vous exactement comme tout à l heure. Les procédures les plus fréquentes : se souvenir de ses voisins (repères proches), de la place de l enseignant (repère fixe).. Reprendre cette situation en modifiant le repère fixe. Aujourd hui vous allez vous repositionner mais la porte du préau remplacera la place de l enseignant, cet arbre remplace la fenêtre, le tableau etc. Le départ est corporel : les élèves se déplacent, se repositionnent dans l espace qui les entoure. Ils construisent, entretiennent des connaissances spatiales. Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 1
2) les connaissances géométriques au cycle 2 Objectif : apprendre ce que sont les objets géométriques de l espace. + Le vocabulaire associé Au cycle 2 ce sont les solides et en particulier le cube. A LES SOLIDES Situation destinée aux enseignants suivant la formation : Des cubes sont distribués. Il s agit de chercher comment construire un assemblage de cubes. On conviendra qu un assemblage de cubes = les faces sont positionnées les unes sur les autres, arêtes contre arêtes les 2 faces doivent coïncider. Situation 1 avec 2 cubes Il n y a qu une seule façon d assembler 2 cubes : Il faut faire abstraction de certaines réalités perceptives (la couleur ou la dimension par exemple) pour admettre que quelle que soit la position, la couleur, c est toujours le même assemblage. Situation 2 : 3 cubes sont remis. Chercher toutes les façons d assembler les 3 cubes. (TRICUBES) Il y a deux réponses possibles. Situation 3 avec 4 cubes (les TETRACUBES) Combien existe-t-il de façons d assembler les 4 cubes? C est bien un problème : Personne ne connaît d emblée la réponse. Il est un peu difficile mais on peut y réfléchir et le résoudre à plusieurs. Les réponses et les procédures sont différentes suivant les groupes. Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 2
Les aides : sans donner la réponse, on peut aider à réfléchir en proposant par exemple de les dessiner. Il faut toutefois tenir compte des habiletés différentes des uns et des autres. Autre possibilité : dessiner avec du papier quadrillé une perspective cavalière. Mais attention au risque d oublier certains cubes. Autre suggestion : donner les cubes réels et les assembler Les réponses : après un temps de recherche, rassembler toutes les réponses et les comparer. Certains assemblages sont identiques, les retrouver et ne garder qu un seul exemplaire de chaque solution. Il reste donc : 8 assemblages possibles Les nommer (leur attribuer dans un 1 er temps un nom pour les reconnaître : ex «les pavés») Les pavés ou Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 3
Les assemblages qui ne sont pas des pavés Le «T» Le «L «Le Z Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 4
Le «V «Et 2 autres combinaisons symétriques par rapport au plan. Elles sont «cousines» mais pas identiques. Bilan «Il y a 8 façons d assembler 4 cubes». Ce sont des Tétracubes qui contiennent des pavés et des «non pavés» ainsi que 2 tétracubes particuliers. Question : A-t-on trouvé toutes les solutions? Une organisation pour vérifier : Partir d un tétracube et ajouter le 4 ème cube Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 5
B Exploitation en classe : comment transférer cette situation en classe? Avant toute chose, il faut se mettre en situation. C est bien en faisant des mathématiques qu on apprend les mathématiques. Préférer la démarche de résolution de problème. Apprendre en géométrie c est résoudre des problèmes géométriques. Les pré-requis : savoir ce qu est un assemblage. Le rôle de l enseignant : il rassure, encourage, prévoit du matériel, dit qu il y a encore des solutions mais ne donne pas la réponse. La démarche : partir de la perception puis passer à l évocation et poursuivre par des allers- retours entre les deux La perception : l apprentissage commence par de nombreuses rencontres avec les objets réels. Ne pas entrer dans l apprentissage avec les manuels qui ne montrent que des représentations des objets. Travailler sur la géométrie dans l espace avec des élèves de cycle 2 signifie qu il faut débuter avec de vrais objets à manipuler dans l espace. Il est recommandé de commencer par rencontrer l objet corporellement dans toutes ses perceptions, avec ses sens. La représentation des objets est à travailler aussi mais elle viendra dans un 2 ème temps, une fois les enfants habitués à la perception de ces objets dans l espace. Proposer ensuite des allers retours entre les objets réels et leurs représentations. L évocation du nom des objets (cf. le vocabulaire géométrique) suffira ensuite à se les représenter, à relier les deux. Attention : si la rencontre sensorielle est première, il faudra progressivement s en détacher pour entrer dans l espace abstrait des mathématiques. Il s agira alors d évoquer les objets sans les avoir vraiment. Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 6
Situation 1 la séquence commence avec des objets réels et la recherche suivante est identique. La situation 2 : Remise aux élèves d une feuille avec de nombreuses représentations des tétracubes réels. Consigne : «colorie de la même couleur les dessins représentant les mêmes pièces» Cette activité n est possible qu après la phase de manipulation précédente. Si quelques élèves rencontrent des difficultés, revenir aux objets réels mais seulement pour ceux- ci, pas pour tous. Pour aider la lecture, un cube est grisé sur les tétracubes pour avoir une référence. Situation 3 Le cube SOMA : en éliminant les assemblages qui sont des pavés, il reste 6 combinaisons. Ces 6 tétracubes forment le cube SOMA Il s agit d une sorte de notice de montage qui nécessite une lecture d une représentation en perspective. C est une figure plane qui représente un objet de l espace. Les indices de lecture sont des indices de lecture de figures planes. Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 7
La place du manuel : il apporte le contenu mais ne remplace pas la situation mathématique d apprentissage. Il peut évoquer des situations d apprentissage et permettre de le retrouver sur une image (travail d abstraction) Le matériel de l école peut se prêter d une classe à l autre. Dans une démarche spiralaire, on mutualise le matériel pour refaire autrement, avec des apprentissages plus complexes. B LA NOTION d ALIGNEMENT La notion d alignement en géométrie : comprendre ce que sont des points alignés. Premier problème : qu est-ce qu un point? C est une notion très abstraite. Travailler d abord la notion d alignement dans le réel puis peu à peu se détacher du réel pour parvenir aux points alignés. Exemples : repérer des alignements d enfants, d arbres. S entraîner aux alignements avec le jeu de Puissance 4 Les 3 espaces en géométrie ESPACE VECU SENSIBLE Objets matériels, espace expérimental Agir, voir anticiper ESPACE GEOMETRIQUE ABSTRAIT Objets idéalisés, espace de raisonnement Argumentation à partir de règles partagées ESPACE DE REPRESENTATION Se détacher progressivement de la manipulation d objets réels pour commencer à raisonner sur des représentations mentales Des dessins..aux Figures Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 8
PARTIE II : LA GEOMETRIE PLANE au CYCLE 2 Il existe 5 grandes catégories de problèmes géométriques : Construire, représenter, comparer, décrire et reproduire Un exemple de problème : 1 ère consigne : Il s agit de reproduire la figure donnée à gauche à partir des éléments donnés à droite Que faut-il savoir faire? Analyser la figure Reconnaître des objets géométriques à droite qui sont dans la figure complexe de gauche Reconnaître des éléments identiques, des segments isolés à droite dans la figure complexe à gauche Repérer des points, des relations entre ces points. Construire : Tracer, relier : maîtriser les aspects techniques, savoir utiliser la règle On cherche à développer des compétences de raisonnement, ne pas faire répéter, éviter les habitudes et automatismes en géométrie. Attention toutefois, si aucun élève n y parvient c est que la zone proximale de développement est trop éloignée, arrêter la séance. A l école élémentaire on utilise d abord, on nomme ensuite et on définit à la fin. Ainsi, les élèves peuvent agir sur des points sans que le point n ait été défini. La définition de l objet mathématique n est donc pas un préalable à son utilisation. 1. Utiliser 2. Nommer 3. Définir beaucoup plus tard car la définition implique une catégorisation («tous les points sont comme ça») qui est du niveau collège Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 9
Rétroaction : le papier calque est un moyen bien adapté de se rendre compte que son tracé n est pas correct, l élève peut confronter ses tracés aux attendus (cf. tracé précis cf. Géobra) Un logiciel gratuit GEOBRA pour tracer des formes géométriques soignées. 2 ème consigne : reconnaître des carrés dans des positions non usuelles, non prototypiques. Le premier carré est donné. Le second n est pas tracé mais existe par ses sommets. L élève constate qu il a construit un carré à partir de ses sommets. Le dernier nécessite que l on soit certain que ce soit un carré. L élève construit le carré non pas à partir de ses sommets mais par parallélisme. Autre problème le géoplan : combien de carrés peut-on construire dont les sommets sont 4 de ces points? Pour les élèves ne parvenant pas à démarrer, on peut abaisser les contraintes et montrer les carrés de 1 à 9 points Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 10
Aide supplémentaire : la «planche à clous», faire tracer les carrés représentés avec les ficelles ou élastiques En comparant les carrés, on compare leur aire sans le dire (préparation au cycle 3) Conseillère pédagogique Circonscription 15 C Convention Page 11