Comportement d un TASEP sur Æ avec une source complexe

Comportement d un TASEP sur Æ avec une source complexe Nicky Sonigo École Normale Supérieure de Lyon Neuvième Colloque Jeunes Probabilistes et Statisticiens Le Mont-Dore, 7 mai 2010 N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 1 / 29

Plan 1 TASEP sur N Introduction Couplage standard et particules de seconde classe Un théorème ergodique 2 TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle Représentation en un processus multi-classes Loi forte des grands nombres N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 2 / 29

Plan TASEP sur N Introduction 1 TASEP sur N Introduction Couplage standard et particules de seconde classe Un théorème ergodique 2 TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle Représentation en un processus multi-classes Loi forte des grands nombres N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 3 / 29

TASEP sur Æ TASEP sur N Introduction TASEP = Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (η t ) t 0 processus de Markov à temps continu sur X := {0, 1} Æ λ (0, 1] = taux de création de particule au site 0 0 1 2 3 4 5 6 7 N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 4 / 29

TASEP sur Æ TASEP sur N Introduction Transitions possibles du TASEP sur Æ : les particules sautent vers la droite à taux 1 si le site de droite est libre; si le site de droite est occupé, la particule ne peut pas sauter; les particules sont crées en 0 avec un taux λ. 0 1 2 3 4 5 6 7 N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 5 / 29

Plan TASEP sur N 1 TASEP sur N Introduction Couplage standard et particules de seconde classe Un théorème ergodique 2 TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle Représentation en un processus multi-classes Loi forte des grands nombres N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 6 / 29

TASEP sur N Temps t t = 0 N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 7 / 29

TASEP sur N Construction graphique N := (N i, i 1) = famille de processus de Poisson indépendants (ou d horloges exponentielles) sur Ê + ; Si i 0, N i a pour paramètre 1; N 1 a pour paramètre λ; η 0 : configuration initiale (déterministe ou aléatoire); (η t ) construit en fonction de η 0 et N. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 8 / 29

Plan TASEP sur N Couplage standard et particules de seconde classe 1 TASEP sur N Introduction Couplage standard et particules de seconde classe Un théorème ergodique 2 TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle Représentation en un processus multi-classes Loi forte des grands nombres N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 9 / 29

Couplage standard TASEP sur N Couplage standard et particules de seconde classe Couplage standard. On considère deux configurations initiales η et ξ. On construit les TASEP (η t ) et (ξ t ) partant de η et de ξ respectivement, en utilisant les mêmes horloges exponentielles. Monotonie. Le couplage standard est monotone : si η ξ, i.e. η(x) ξ(x) pour tout x N, alors presque sûrement, pour tout t 0, η t ξ t N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 10 / 29

TASEP sur N Particules de seconde classe Couplage standard et particules de seconde classe : particule de première classe : particule de seconde classe (ξ t ) : (η t ) : λ 1 1 1 N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 11 / 29

TASEP sur N Particules de seconde classe Couplage standard et particules de seconde classe Interprétation Les particules de première classe ont priorité sur celles de seconde classe : transtion 12 21 à taux 1; les particules de seconde classe peuvent reculer, voire même sortir du système : on dit que la particule meurt; N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 12 / 29

Plan TASEP sur N Un théorème ergodique 1 TASEP sur N Introduction Couplage standard et particules de seconde classe Un théorème ergodique 2 TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle Représentation en un processus multi-classes Loi forte des grands nombres N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 13 / 29

Mesures invariantes TASEP sur N Un théorème ergodique Mesures invariantes ν λ la mesure produit de Bernoulli de paramètre λ est invariante pour le TASEP sur Æ; pour tout ρ max( 1 2, 1 λ), il existe une mesure invariante µλ ρ qui est asymptotiquement produit de densité ρ. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 14 / 29

Mesures invariantes TASEP sur N Un théorème ergodique Mesures invariantes ν λ la mesure produit de Bernoulli de paramètre λ est invariante pour le TASEP sur Æ; pour tout ρ max( 1 2, 1 λ), il existe une mesure invariante µλ ρ qui est asymptotiquement produit de densité ρ. Soit π une mesure produit sur Æ pour laquelle ρ := lim x η(x) π existe. Soit (η t ) le processus de mesure initiale π. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 14 / 29

Théorème ergodique TASEP sur N Un théorème ergodique Théorème (Liggett 1975) Si λ 1 2 Si λ 1 2 alors lim t πs λ(t) = alors lim t πs λ(t) = { µ λ ρ, si ρ 1 2, µ λ 1, si ρ 1. 2 2 { µ λ ρ, si ρ > 1 λ ν λ, si ρ 1 λ. où S λ (t) est le semi-groupe de Markov du TASEP sur Æ. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 15 / 29

Plan TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle 1 TASEP sur N Introduction Couplage standard et particules de seconde classe Un théorème ergodique 2 TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle Représentation en un processus multi-classes Loi forte des grands nombres N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 16 / 29

TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle TASEP sur Æ avec source complexe Taux de création de particules = λ(η). λ(η) dépend de la configuration actuelle. Dépendance à portée finie (ou d espérance finie) : λ(η) ne dépend que des R 1 premiers sites. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 17 / 29

TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle TASEP sur Æ avec source complexe Taux de création de particules = λ(η). λ(η) dépend de la configuration actuelle. Dépendance à portée finie (ou d espérance finie) : λ(η) ne dépend que des R 1 premiers sites. Un exemple. α 0, α 1 (0, 1]; λ(η) := α 0 (1 η(1)) + α 1 η(1). N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 17 / 29

TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle TASEP sur Æ avec source complexe α 0 α 1 N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 18 / 29

TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle TASEP sur Æ avec source complexe Supposons que α 1 α 0. Le processus est encore monotone au sens où l on peut coupler deux dynamiques issues de configurations ordonées de sorte que cet ordre soit préservé au cours du temps. On pose α 0 = λ et α 1 = λ + ǫ et on suppose que 0 < λ < λ + ǫ < 1 2. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 19 / 29

Plan TASEP avec taux de création complexe Représentation en un processus multi-classes 1 TASEP sur N Introduction Couplage standard et particules de seconde classe Un théorème ergodique 2 TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle Représentation en un processus multi-classes Loi forte des grands nombres N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 20 / 29

TASEP avec taux de création complexe Représentation en un processus multi-classes Représentation en un processus multi-classes 1 λ 2 ǫ 1 ǫ 3 2 ǫ i i 1 N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 21 / 29

TASEP avec taux de création complexe Représentation en un processus multi-classes Représentation en un processus multi-classes On obtient un processus (ξ t ) sur Æ Æ ; le processus η t (x) := 1 ξt(x) 0 est un TASEP avec source complexe; le processus ζ t (x) := 1 ξt(x)=1 est un TASEP classique. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 22 / 29

Plan TASEP avec taux de création complexe Loi forte des grands nombres 1 TASEP sur N Introduction Couplage standard et particules de seconde classe Un théorème ergodique 2 TASEP avec taux de création complexe Présentation du modèle Représentation en un processus multi-classes Loi forte des grands nombres N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 23 / 29

TASEP avec taux de création complexe Loi forte des grands nombres Loi forte des grands nombres Soit N (i) t le nombre de particules de classe i qui ont été crées entre 0 et t et qui sont toujours en vie au temps t. Soit N t le nombre total de particules crées entre 0 et t et qui sont toujours en vie au temps t : N t = i=1 N (i) t. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 24 / 29

TASEP avec taux de création complexe Loi forte des grands nombres Loi forte des grands nombres Théorème (S. 2009) Pour tous λ, ǫ > 0 tels que λ + ǫ < 1 2, N t/t converge presque sûrement vers une constante v(λ, ǫ). De plus : v(λ, ǫ) = λ(1 λ)(1 + q(λ)ε + o(ε)). où q(λ) est la probabilité de survie de la particule de seconde classe pour un TASEP de mesure initiale 21ν λ. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 25 / 29

TASEP avec taux de création complexe Loi forte des grands nombres Loi forte des grands nombres Théorème (S. 2010) Pour tout λ [0, 1], q(λ) = (1 2λ)1 λ 1. 2 En particulier, si λ < 1, on a presque sûrement : 2 N t lim t t = λ(1 λ)(1 + ε(1 2λ) + o(ε)). N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 26 / 29

TASEP avec taux de création complexe Loi forte des grands nombres Loi forte des grands nombres Esquisse de preuve : Lemme On montre d abord un lemme donnant des estimées a priori sur le densité de particules de classe i : lim sup t N (i) t t = O(ǫ i 1 ). Pour calculer la limite à l ordre 1, il suffit donc de ne considérer que les particules de première et de seconde classe. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 27 / 29

TASEP avec taux de création complexe Loi forte des grands nombres Loi forte des grands nombres Le théorème ergodique de Liggett nous donne que N (1) t l ordre de λ(1 λ)t ; est de Le nombre de particules de seconde classe entrées entre 0 et t est de l ordre de λ(1 λ)ǫt ; Si ǫ est suffisamment petit, les particules de seconde classe n interagissent qu une fois qu elles sont loin dans le système donc leur probabilité de survie est approximativement q(λ). N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 28 / 29

TASEP avec taux de création complexe Loi forte des grands nombres T.M. Liggett. Ergodic theorems for the asymmetric simple exclusion process. Transactions of the American Mathematical Society, 213 :237 261, 1975. T.M. Liggett. Interacting Particle Systems. Springer, 1985. N. Sonigo. Semi-infinite TASEP with a Complex Boundary Mechanism. Journal of Statistical Physics, 136(6) :1069 1094, September 2009. N. Sonigo. Survival Probability of a Second-class Particle in a semi-infinite TASEP. en cours, 2010. N. Sonigo (ENS Lyon) TASEP avec source complexe 7 mai 2010 29 / 29