2008/03. La concentration des portefeuilles : perspective générale et illustration

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1 2008/03 La concentration des portefeuilles : perspective générale et illustration Olivier Le Courtois Professeur de finance et d assurance UPR Economie, Finance et Gestion EMLYON Christian Walter Actuaire agrégé et directeur de programme à la Fondation Maison des Sciences de l Homme Août 2008

2 NUMÉRO 2008/03 La concentration des portefeuilles : perspective générale et illustration Olivier Le Courtois Professeur de finance et d assurance UPR Economie, Finance et Gestion EMLYON Christian Walter Actuaire agrégé et directeur de programme à la Fondation Maison des Sciences de l Homme Août 2008 ISSN : X

3 La concentration des portefeuilles : perspective générale et illustration Olivier Le Courtois * Christian Walter ** * Professeur de finance et d assurance à l Ecole de Management de Lyon et directeur du centre d analyse des risques financiers ** Actuaire agrégé et directeur de programme à la Fondation Maison des Sciences de l Homme 1

4 1 INTRODUCTION : L IDÉE DE CONCENTRATION 1 Introduction : l idée de concentration Dans un texte de 1942, à propos des règles de conduite à adopter lorsqu on se trouve dans la situation de choisir une politique d investissement d un portefeuille, J. M. Keynes a ce commentaire radical : Je suis partisan de l achat d autant de titres d une seule société que les conditions du marché le permettent. Supposer que faire passer la sécurité en premier consiste à détenir de petites quantités de nombreuses sociétés que je ne peux juger précisément faute d informations, plutôt qu une grosse part d une seule entreprise sur laquelle je possède des informations précises, me semble être une parodie d investissement. Une parodie de politique d investissement : ainsi Keynes qualifie ce qui est appelé aujourd hui la diversification d un portefeuille. Pour Keynes, gérer un portefeuille de manière efficace revient donc à concentrer ses fonds et non à les diversifier. D une certaine manière, c est également ce qu affirment des investisseurs professionnels aussi reconnus que Warren Buffet ou Benjamin Graham : gérer de manière optimale, c est concentrer un portefeuille sur très peu de bonnes sociétés. C est exactement le contraire de ce que propose la théorie dite moderne du portefeuille, introduite en 1952 par Markowitz, soit dix ans après l assertion de Keynes. On connaît la fortune postérieure de cette théorie passée massivement dans les pratiques professionnelles : si l on peut céder à la facilité d un jeu de mots, on pourrait dire qu elle a aussi fait la fortune (bien réelle) des gestionnaires qui l ont promue et vendue, à défaut d enrichir réellement ceux qui en ont acheté les produits. La pénétration de cette théorie dans les pratiques professionnelles a été renforcée par l instauration de règlementations contraignantes pour les gérants de portefeuille et par la mise en place d un cadre intellectuel conformant les pratiques réelles à la théorie : ce qu on appelle en sociologie des sciences la performation des théories. Pourtant, dès son introduction, cette théorie fut contestée et aujourd hui, l idée selon laquelle il suffirait de détenir un petit nombre de titres (de lignes) au lieu d un grand nombre semble redevenir d actualité malgré la prédominance de la conception diversifiante. Par exemple, on assiste depuis 2000 à l émergence d un nombre de plus en plus important de gestions de portefeuille concentrées avec la création de petites sociétés de gestion indépendantes. Mais il faut également observer que, nonobstant l ambiance intellectuelle qui donnait à la diversification et à l indexation une place prédominante, un certain nombre d institutionnels n ont en pratique jamais suivi les principes de la théorie de la diversification, dans la mesure où leurs stratégies de placement se construisait explicitement sur des approches opposées. Ce phénomène est très intéressant car il illustre la résistance effective des professionnels de la gestion devant l application aveugle d une théorie perçue comme inadéquate ; ceci malgré la 2

5 1 INTRODUCTION : L IDÉE DE CONCENTRATION pression intellectuelle des cabinets de conseil en politique d investissement ou qui ont été des vecteurs majeurs de la diffusion de la théorie de la diversification, en raison du pouvoir qu ils détenaient sur les gérants professionnels de par leur situation de sélectionneurs de gérants (par exemple lors des appels d offre) ou de conseillers des conseils d administration des institutions de gestion de l épargne longue (compagnie d assurance, caisses de retraites). Parallèlement à ce mouvement de réticence professionnelle devant la diversification systématique, la question théorique a été récemment réexaminée dans la recherche universitaire : plusieurs travaux (par exemple Kelly [1995], Odean [1999], Polkovnichenko [2005], Goetzmann et Kumar [2004]) ont été entrepris sur ce qui a été qualifié en langue anglaise de sous- diversification, ou diversification sous-optimale (underdiversification), c est-à-dire en pratique la concentration du portefeuille sur un nombre de titres plus réduit que le nombre théorique optimal résultant d une construction classique selon les critères espérance volatilité. On remarquera le choix de la terminologie anglo-saxonne : la concentration n est pas envisagée comme telle pour ses caractéristiques propres, mais seulement en référence à la diversification ; et est finalement présentée comme une sous-diversification, c est-à-dire comme un défaut de diversification. Dernière forme de l impact sur les mentalités du paradigme de la diversification. Donnons un exemple de ce phénomène que nous venons de décrire chez les professionnels de la gestion. En France, la compagnie d assurance SMA BTP (Société mutuelle d assurance du bâtiment et des travaux publics) a ainsi, et depuis de longues années, construit un processus d investissement volontairement et explicitement sans référence à la diversification et à l indexation au sens de la théorie du portefeuille. Cette politique de placement est clairement exprimée dans ses documents dont on cite quelques extraits ci-après afin de faire apparaître à quel point une théorie consensuellement acceptée peut être perçue comme inadéquate pour une politique de placement. Dans les Principes de gestion 1, l introduction précise que La SMA BTP est un assureur dommages et de responsabilité civile dont les engagements vis-à-vis de ses assurés sont très longs. Ils peuvent s étendre sur 10 à 30 ans. Ils sont gérés dans le cadre de la capitalisation des primes payés par les assurés. La gestion financière doit contribuer aux équilibres risques / tarifs. (...) La quasi parfaite indépendance entre la sinistralité objet d assurance et le comportement des marchés financiers explique que l objectif de la gestion financière est la recherche à long terme d un rendement absolu le plus élevé possible (nos italiques). 1 Les citations ci-après renvoient aux références SMA BTP [2004a, 2004b]. 3

6 1 INTRODUCTION : L IDÉE DE CONCENTRATION On voit que, dès l introduction, est précisée l idée d une recherche de performance absolue et non pas relative à un indice de marché. Puis les principes du processus de gestion développent cette conception en insistant sur certaines caractéristiques spécifiques de cette démarche : Par rapport aux démarches habituellement pratiquées, on remarquera l absence du découpage classique (...) entre allocation stratégique et allocation tactique (nos italiques). En effet, la première étape n a de sens que si une partie du travail de l investissement consiste à prendre en compte le comportement moyen des classes d actifs parfaitement représenté par un benchmark. Le document intitulé Éléments de réflexion sur la stratégie financière précise cette idée en donnant les raisons pour lesquelles la SMA BTP s écarte de cette conception : Si ce type de démarche a indéniablement fait progresser la clarification des processus de décision, il n en demeure pas moins que les hypothèses fondamentales sur lesquelles elles reposent se sont avérées souvent trop simplificatrices pour appréhender le réel de façon robuste dans la durée pour un investisseur à long terme (nos italiques), et souvent inadaptées à la gestion au jour le jour des positions à long terme. (...) Ainsi, elles se sont révélées inaptes à protéger les portefeuilles de prises de risques excessives, lourdes de conséquences en cas de bulles et de krachs boursiers. Le document insiste ensuite sur une conséquence importante de ces conceptions : leur performation dans le monde de la gestion professionnelle : [ces conceptions] ont favorisé également une façon simplificatrice de raisonner uniquement à partir des représentations (indices de références) (nos italiques) détachant la décision financière de la réalité concrète. (...) [elles seront aussi] à la base de la justification d organisations, de raisonnements et de processus de décision principalement fondés sur le comportement global des classes d actifs. Aussi, lorsque l on veut gérer des portefeuilles sur le long terme dans un but de préservation patrimoniale, l idée fondamentale est de limiter le poids des représentations globalisantes (nos italiques) des modèles intellectuels dans la décision d investissement. La suite du document Principes de gestion insiste sur les avantages que présente le refus de l application aveugle de la théorie de la diversification. 4

7 1 INTRODUCTION : L IDÉE DE CONCENTRATION De ces caractéristiques découlent des composantes inhabituelles et qui sont apparues comme des avantages déterminants. (...) L allocation se fait au niveau microéconomique de façon fluide. (...) La décision d achat ou de vente se fait systématiquement par arbitrage face à de la trésorerie qui est de l actif sans risque dans le cadre de la règlementation. (...) Le niveau de concentration du portefeuille est fixé en fonction des objectifs de gestion notamment du niveau de risque qui peut être supporté. En pratique, les portefeuilles les plus concentrés sont composés d une trentaine de titres (nos italiques), les moins concentrés contiennent soixante dix titres. Et, pour être certain que ce processus ne soit pas confondu avec d autres formes de gestion par choix de titres, le document sur les principes de gestion ajoute : Une vision rapide des portefeuilles pourrait faire analyser la gestion comme une gestion value. Si l estimation de la valeur est commune ainsi que la recherche de décote, celle-ci n est pas le seul critère. [De même], une vision de la composition des portefeuilles et des valeurs détenues pourrait tenter de la classer (...) en mid cap ou small cap. Ceci serait erroné (nos italiques). Autrement dit, la caractéristique déterminante qui qualifie le processus de gestion de la SMA BTP est la concentration. Cet exemple fait apparaître que, bien que prédominante dans les cadres conceptuels des régulateurs et des acteurs de la gestion professionnelle, la théorie de la diversification et de l indexation systématique n a pas été acceptée par tous les professionnels. Il semble donc intéressant aujourd hui de rouvrir le dossier de la concentration. C est l objet de la présente étude, réalisée avec la collaboration active des équipes de gestion et d actuariat de la SMA BTP 2. Le plan de cette étude est le suivant. Dans une première partie, nous rappelons la logique à l œuvre dans la théorie de la diversification, telle qu on la trouve dans tous les textes (articles et manuels) de finance usuels, dans le but de faire apparaître qu elle repose sur une réduction du risque au seul moment d ordre 2 et à l application corrélative de la théorie des erreurs du XVIII e siècle. On rappelle alors la controverse ouverte par E. Fama en 1965 sur cette théorie des erreurs, pour faire apparaître qu un changement dans le type d aléa peut conduire à concentrer et non à diversifier. Puis nous présentons les voies actuelles explorées par la recherche pour prendre en compte et expliquer le phénomène de concentration des portefeuilles. La seconde partie présente deux approches de justification de la concentration : par l incertitude sur les 2 Nous remercions tout particulièrement Hubert Rodarie, directeur général délégué de la SMA BTP et Philippe Desurmont, directeur général de SMA Gestion, pour leur engagement actif et leur soutien réel dans ce projet de recherche, sans lesquels le présent travail n aurait pas pu voir le jour. 5

8 2 DE LA DIVERSIFICATION À LA CONCENTRATION paramètres, et par une dynamique non brownienne sur les rentabilités. La troisième partie présente la manière dont on peut produire une concentration par inclusion dans le programme d optimisation de la dissymétrie entre les gains et les pertes. Nous présentons pour cela le modèle de Mitton et Vorkink [2007] puis nous proposons ensuite une autre approche dans l esprit de ce modèle, modifiée par rapport aux hypothèses de Mitton et Vorkink. Nous terminons par une application du modèle que nous proposons au marché américain, qui fait apparaître la grande différence de performance obtenue par un portefeuille classiquement diversifié, concentré selon les modèles existants, et concentré selon le modèle que nous proposons. 2 De la diversification à la concentration 2.1 La rationalité limitée de la diversification Nous commençons par rappeler 3 comment la réduction du risque à la seule dimension du moment d ordre 2 a conduit à concevoir l idée classique de diversification comme une transposition à la gestion des portefeuilles de la théorie des erreurs du XVIIIème siècle. Puis nous faisons apparaître sur un contre-exemple célèbre comment une modification de la loi des erreurs conduit à inverser la conclusion et à concentrer ses actifs pour réduire le risque du portefeuille Le raisonnement de la théorie des erreurs On note w i le poids du titre i dans le portefeuille et R le taux de rentabilité du portefeuille sur la période examinée : R = n j=i w ir i. La décomposition de la variance du portefeuille est immédiate : var(r) = i w 2 i var(r i ) + i j w i w j cov(r i,r j ) (1) Pour n actifs, il y a n termes de variance et n 2 n = n(n 1) termes de covariance. On peut calculer la variance moyenne des n actions, qui est var = 1 n var(r i ) n et de la même manière la covariance moyenne entre les n actions : 2 cov = cov(r i,r j ) n(n 1) 3 Voir Walter [2004]. i=1 i,j 6

9 2 DE LA DIVERSIFICATION À LA CONCENTRATION On va exprimer la variance du portefeuille en fonction de la variance moyenne et de la covariance moyenne des titres dans le cas d un portefeuille équipondéré, soit w i = 1/n pour tout i. Partant de l équation (1), il vient que var(r) = 1 n 2 ( i var(r i ) + 2 i j ) ( cov(r i,r j ) = 1n2 n var + 2 n(n 1) 2 ) cov soit var(r) = 1 n var + n 1 cov (2) n On voit que cette relation (2) définit une partition du risque (assimilé à la variance) d un portefeuille entre la moyenne des causes propres aux titres (le risque spécifique des titres), et la cause moyenne commune à tous les titres (le risque lié aux facteurs communs de variations à tous les titres), et donc que la covariance moyenne apparaîtrait comme la cause commune des variations. On voit donc que, lorsque la notion de risque est réduite à la seule dimension de la variance, il apparaît naturellement une incitation à supprimer les causes dites spécifiques pour ne conserver que la seule cause commune, la covariance moyenne. Plus précisément, lorsque le nombre d actions devient grand, on a lim var(r) = cov (3) n qui montre que la variance totale du portefeuille converge vers la covariance moyenne entre les titres qui le composent qui représente, dans le référentiel conceptuel du risque comme variance, un plancher de risque : il s agit là d un risque non réductible même après augmentation du nombre de titres dans le portefeuille. En fait, si les titres étaient parfaitement indépendants, la variance totale du portefeuille serait nulle. Cette idée de plancher de risque a été ensuite développée et simplifiée avec le modèle de marché de Sharpe (1963). Dans ce modèle, la relation postulée par Sharpe est R i = a i + b i R M + ε i i = 1,,d (4) où R M est la rentabilité du marché M, où a i et b i sont des coefficients qui dépendent de l action i. Le terme aléatoire ε i spécifique à l action i est tel que cov(ε i,ε j ) = 0 pour tout i j, IE(ε i ) = 0, et cov(ε i,r M ) = 0. Avec ce modèle, la covariance entre deux actions i et j devient simplement cov(r i,r j ) = b i b j var(r M ) 7

10 2 DE LA DIVERSIFICATION À LA CONCENTRATION et la variance de toute action i se décompose comme var(r i ) = b 2 i var(r M ) + var(ε i ) (5) c est-à-dire deux termes qui correspondent à la variance produite par la cause commune des variations boursières et la variance propre à chaque titre i. Cette décomposition de la variance par Sharpe rejoint et précise la partition du risque de Markowitz entre cause propre au titre, et cause commune à tous les titres, décomposition dénommée risque spécifique et risque systématique : risque lié aux titres, et risque lié au facteur commun de variation à tous les titres. Comme précédemment, si w i = 1/n, la variance du portefeuille devient soit var(r) = ( 1 n ) 2 ( n 1 b i var(r M ) + var n i=1 var(r) = b 2 var(r M ) + ) n ε i i=1 ( ) 2 n 1 var(ε i ) (6) n i=1 où b = 1 n n j=1 b i. Si l on suppose de plus que var(ε) 0, alors quand le nombre d actions devient grand (n ), on obtient lim var(r) = b 2 var(r M ) (7) n et l on retrouve le résultat (3) de Markowitz. Dans la réalité, il existe toujours une forme de dépendance, même faible. L on peut alors supposer qu une gestion efficace et non passive des titres conduise à choisir précisément des titres le plus faiblement corrélés possible. Cela pourrait d ailleurs définir un savoir-faire de la gestion : puisque la variance totale du portefeuille décroît en fonction du niveau d indépendance des titres, plus la sélection des titres aura été appropriée (aura bien détectée cette indépendance), et plus la gestion active aura permis de se rapprocher d une variance nulle. On pourrait donc imaginer que, dans une gestion active à l intérieur du cadre conceptuel de la théorie des erreurs, il y aurait deux opérations distinctes à effectuer : 1. Augmenter le nombre de titres, ce qui permet de diminuer le risque jusqu àu niveau plancher de la cause commune, et pas en-deçà. 2. Réduire l effet de la cause commune par sélection de titres non corrélés. 8

11 2 DE LA DIVERSIFICATION À LA CONCENTRATION Une théorie des erreurs sans diversification Il est connu que la théorie des erreurs a été contestée par Paul Lévy en 1924 en utilisant ce qu il dénommait les lois exceptionnelles et que l on appelle aujourd hui les distributions α-stables (sans moments d ordre supérieur à α). Ce contre-exemple célèbre a ensuite été appliquée à la finance dans le cas d un portefeuille par Fama [1965] puis Samuelson [1965] : dans le cas des distributions α-stables, la théorie des erreurs se modifie dans ses conclusions. Ces premières études ont fait apparaître que, dans le cas de ces lois, la réduction du risque spécifique ne fonctionnait pas de manière simple, et que l on pouvait donc avoir intérêt à concentrer ses lignes. L article de 1965 de Fama concluait que [les résultats obtenus] ne doivent pas laisser supposer que la diversification est toujours un concept pertinent. Nous allons voir à présent que cette notion n a un sens que pour une étroite bande de valeurs de l exposant caractéristique α. On présente ci-après le fonctionnement de la contre-argumentation de Lévy - Fama - Samuelson : les modifications résultants de l usage de lois sans moments sur la notion de diversification. Avec des lois α-stables, le risque n est plus mesuré par la variance mais par un paramètre d échelle des fluctuations qui a la même fonction et que l on notera par analogie var α. Chaque titre i de rentabilité R i reste caractérisé par un couple rentabilité-risque mais le risque est mesuré par l échelle var α (R i ). Dans ce cas, la décomposition du risque (au sens de l échelle des fluctuations) généralise la décomposition classique (6) de la manière suivante : var α (R) = b α var α (R M ) + ( ) α n 1 var α (ε i ) (8) n i=1 qui conduit pour un nombre n de titres augmentant de plus en plus à la relation lim var α(r) = b α 1 var α (R M ) + lim n n n α n var α (ε i ) Trois cas se présentent selon la valeur de l exposant caractéristique α. 1. Cas α > 1 Dans ce cas, lim n 1 n α i=1 n var α (ε i ) = 0 i=1 9

12 2 DE LA DIVERSIFICATION À LA CONCENTRATION d où lim var α(r) = b α var α (R M ) n et le principe de diversification fonctionne, quoique la convergence vers zéro est ralentie : l échelle des fluctuations propres à chaque titre a tendance à perdurer plus longtemps : l effet individuel de chaque titre (son échelle propre d amplitude) reste davantage présent dans le portefeuille. Il est donc nécessaire d utiliser un plus grand nombre de titres pour parvenir à l annulation des amplitudes spécifiques de chaque titre. 2. Cas α = 1 Dans ce cas, 1 lim n n n var α (ε i ) = γ ε i=1 d où lim var α(r) = bγ M + γ ε n L échelle des fluctuations du portefeuille ne décroît plus en fonction du nombre de titres. Le principe de diversification ne fonctionne plus, dans la mesure où l adjonction d un titre supplémentaire ne réduit pas pour autant l échelle des fluctuations de la valeur du portefeuille. 3. Cas α < 1 Dans ce cas, lim n 1 n α n var α (ε i ) = i=1 d où lim var α(r) = n et le principe de diversification est inversé. L amplitude des fluctuations du portefeuille augmente au fur et à mesure que le nombre de titres augmente. Dans cette situation, le risque provient de l adjonction de chaque nouveau titre entré en portefeuille. Plus on ajoute de titres, et plus on court le risque de subir des fluctuations globales de grande amplitude. La sommation des échelles spécifiques conduit à une échelle globale plus grande que ce que l on attend. Pour ces valeurs de l exposant α, on est donc conduit à concentrer son portefeuille sur peu de lignes, d autant moins que α est petit. On voit sur ce contre-exemple que le raisonnement par la théorie des erreurs ne peut pas être utilisé systématiquement pour justifier la diversification : dans certains cas, ce même raisonnement conduit tout au contraire à concentrer ses fonds sur très peu de titres. 10

13 2 DE LA DIVERSIFICATION À LA CONCENTRATION 2.2 Les voies de recherche explorées La diversification classique repose donc ultimement sur la prise en compte de la réduction du moment d ordre 2 dans les programmes d optimisation de type rentabilité risque. Il apparaît à la lecture des principaux travaux de la recherche théorique en finance que l on peut parvenir à expliquer le phénomène de la concentration en mobilisant deux grands types d arguments : 1. L inclusion de moments d ordres supérieurs à 2 dans la définition du risque et des préférences. 2. L introduction de la notion d incertitude sur le seul moment d ordre 2. Il s agit de deux voies assez nettement distinctes dans leurs méthodologies, leurs techniques, et la vision du monde qu elles impliquent : 1. Dans le cas de moments d ordres supérieurs à 2, les investisseurs peuvent connaitre la distribution de probabilité des rentabilités des actifs du marché. Il leur suffit alors de calculer les valeurs appropriées pour leur portefeuille. C est un univers intellectuel complexe mais rassurant. 2. Dans le cas de l incertitude, cette distribution n est pas connue, et il importe peu de s interroger sur les valeurs des moments d ordre supérieur. La seule imprécision du moment d ordre 2 représente déjà en elle-même un facteur qui vient troubler les décisions d investissement et ce trouble, cette equivocité sur les valeurs possibles du paramètre de risque, créent un sentiment d incertitude gênant. C est un univers intellectuel éventuellement inquiétant. On peut les résumer de la manière suivante : 1. L introduction de moments d ordres supérieurs à 2 dans un contexte de non incertitude sur leur valeur : cadre non gaussien sans incertitude. 2. L introduction d un facteur d incertitude sur le moment d ordre 2 : cadre gaussien avec incertitude. De plus, les modélisations effectuées dans la recherche se partagent entre deux situations de gestion de portefeuille : 1. Cadre statique, ou mise en place d un portefeuille sur une seule période. 2. Cadre dynamique, ou gestion d un portefeuille au cours du temps. Considérons par exemple la première approche. Plusieurs études (Arditti [1967], Scott et Horvath [1980], Simkowitz et Beedles [1978], Coninie et Tamarkin [1981]) ont montré que la prise en compte du moment d ordre 3 conduisait à moins diversifier que ce que la théorie classique préconise. C est donc la préférence pour l asymétrie des distributions des rentabilités (ou, en termes plus intuitifs, pour les gains...) qui 11

14 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION représenterait une raison non négligeable pour laquelle les investisseurs (particuliers ou institutionnels) construisent des portefeuilles concentrés. Les portefeuilles qui sont optimaux selon le critère moyenne volatilité ne le sont plus selon le critère moyenne volatilité asymétrie, et réciproquement. La diversification retire certes de la volatilité non souhaitée, mais également toute asymétrie dans les structures de rentabilités, y compris ce que l on pourrait appeler l asymétrie recherchée. Réciproquement, la concentration peut augmenter la volatilité, mais permet aussi d espérer des rentabilités bien plus élevées, donc une asymétrie dans les profils gains / pertes. En fait, la concentration d un portefeuille sur quelques lignes dégrade le rapport espérance volatilité pour pouvoir capter des rentabilités plus importantes. Ou, en d autres termes, la rémunération de la prise de volatilité (par exemple la rentabilité par unité de volatilité, comme mesuré des ratios de type Sharpe) diminue lorsqu on inclue une préférence pour des structures de gains / pertes dissymétriques. On voit par cette introduction comment le calcul des investisseurs, pour autant qu on introduise le moment d ordre 3 et que l on soit dans une démarche de calculabilité, permet de rendre compte de la concentration. 3 Deux justifications de la concentration 3.1 L incertitude sur les paramètres On présente maintenant la deuxième voie possible qui conduit à moins diversifier un portefeuille : l idée d une incertitude sur les rentabilités et les volatilités. Cette approche est celle du modèle de Van Nieuwerburgh et Veldkamp [2007] Le modèle de Van Nieuwerburgh et Veldkamp (2007) Cadre conceptuel du modèle On considère un ensemble de titres produisant un (vecteur) de flux F de revenus (par exemple un flux annuel). On suppose que ce flux de revenu peut être caractérisé par un couple espérance variance, d espérance µ (en vectoriel) et de matrice de variance covariance Γ, soit F N(µ, Γ). Les quantités µ et Γ représentent donc les valeurs ex ante ou a priori des espérances et variances covariances. Puis, une fois le temps passé (une fois l histoire faite), on aura obtenu effectivement des estimations ex post) des mêmes quantités, notées classiquement ˆµ et ˆΓ. La question est donc, au moment de se déterminer dans ses choix de portefeuille, de savoir comment combiner les valeurs a priori avec la connaissance que l on a des sociétés ou, plus précisément, à déterminer du mieux possible ˆµ et ˆΓ en fonction 12

15 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION de µ et Γ et de l information dont on dispose. Si l on parvient à avoir une bonne information sur les sociétés, à bien lire dans le présent un signe du futur de leurs résultats, alors il s agira d intégrer ce signe avec les quantités µ et Γ. Notons s ce signe du futur dans le présent (ou signal informationnel ) et µ(s) l espérance des flux résultants. Ce signe du futur est lui-même incertain ( on n est jamais sur de rien ), et on peut considérer que l on probabilise l incertitude sur s par sa matrice de variance notée Γ(s). La question est alors de combiner les estimations a priori et l information s pour obtenir des valeurs µ et Γ. Van Nieuwerburgh et Veldkamp [2007] font l hypothèse que ˆµ = Γ 1 µ + Γ(s) 1 µ(s) Γ 1 + Γ(s) 1 et ˆΓ = ( Γ 1 + Γ(s) 1) 1 La variance ex-post vérifie la relation 1 ˆΓ = 1 Γ + 1 Γ(s) qui fait apparaître que cette variance est la moyenne harmonique des deux variances a priori et informationnelle. Cette expression est commode pour interpréter ˆΓ : si par exemple le signal informationnel apparaît très sur (peu de doutes sur l information), alors Γ(s) sera très faible, et donc Γ(s) 1 sera très grand (tendra vers l infini). Dans ce cas, il vient de l expression précédente que ˆΓ sera très faible (tendra vers zéro). Autrement dit, si le signal obtenu par l investisseur présente une matrice de variance-covariance Γ(s) faible, alors la variance des titres telle qu elle apparaît expost à l investisseur est diminuée. D où l intérêt de la réduction au maximum de l incertitude ˆΓ. La contribution de Van Nieuwerburgh et Veldkamp [2007] porte sur la caractérisation des portefeuilles pour lesquels l utilité est optimisée et pour lesquels on a pu réussir à réduire ˆΓ au maximum. En revanche, rien n est dit sur la nature de l information et la façon de l obtenir. Le cadre d incertitude étudié ici repose sur deux contraintes. 1. Tout d abord, la matrice de variance-covariance des actifs doit être définie positive. Il s agit d une contrainte standard. 2. Plus innovante est la seconde contrainte : l investisseur est supposé avoir initialement une certaine capacité à obtenir de l information, mais pas au-delà ( on ne peut pas tout savoir sur tout ). Cette capacité, exprimée par le nombre réel 13

16 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION K, induit une réduction maximale de la variance ex-post des actifs, selon la relation Γ ˆΓ e2k (9) Autrement dit, plus la capacité de l investisseur à obtenir de l information sera grande (c est-à-dire plus K sera grand), et plus il sera possible de réduire ˆΓ. De manière équivalente, on ne peut pas réduire ˆΓ au-delà d un facteur fonction de K : la relation (9) borne la capacité à s informer sur les sociétés. Ou, dit autrement, il reste toujours une part d incertitude incompressible : le démon de Maxwell ne peut exister dans le monde de Van Nieuwerburgh et Veldkamp! Pour la résolution du programme d optimisation, on considère successivement le cas d actifs indépendants et d actifs non indépendants. Cas d actifs indépendants C est un cas simplifié de n actifs indépendants. Dans ce cas, les matrices Γ et ˆΓ sont diagonales, et le programme d optimisation est ( n Γ i ( ) ) max 1 + SR 2 i ˆΓ ˆΓ i i=1 où SR i = µ i P i r Γ 1/2 i est le ratio de Sharpe (Sharpe Ratio : SR) de l actif i avec P i le prix de l actif i. La résolution de ce programme aboutit au résultat suivant : il est optimal d affecter toute sa capacité de recherche d informations dans l actif disposant du plus grand ratio de Sharpe. Autrement dit, on va chercher à minimiser le ˆΓ i de l actif i ayant le plus grand SR i. Ce choix maximise l utilité qui est ici du type moyenne-variance. On aboutit à ˆΓ i = e 2K Γ i pour l actif i de plus grand ratio de Sharpe et à ˆΓ j = Γ j pour tous les autres actifs. On voit que la quantité investie dans l actif i (notée θ i ), égale à 1 θ i = τ ˆΓ i (µ i P i r) où τ est le coefficient de tolérance au risque, croît à mesure que l on réduit ˆΓ i. 14

17 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION Dans le cas d actifs indépendants, on aboutit donc à une concentration très forte sur l actif de ratio de Sharpe le plus élevé. D autre part, cet actif représentera une part d autant plus importante du portefeuille que l on aura une capacité d information K élevée. Cas d actifs non indépendants Dans le cas d actifs corrélés, tout apprentissage relatif aux caractéristiques risquées d un actif renseigne aussi sur le niveau de risque des autres. On peut dégager des facteurs de risque au moyen d une analyse en composantes principales (ACP), qui a pour effet de décomposer la matrice de variance covariance initiale (les estimations a priori) de la manière suivante : ˆΓ = Φ ˆΛΦ où Φ est la matrice contenant les vecteurs propres de l ACP, et ˆΛ est celle qui en contient les valeurs propres : les variances de chaque facteur de risque (on retrouve le cadre de la théorie de l APT de Ross). Dans ce cadre plus général, on peut définir des indicateurs du type ratio de Sharpe pour chaque composante principale : SR i devient alors SR i = (µ i P i r) Φ i Λ 1/2 i où la notation désigne la transposée du vecteur correspondant. Van Nieuwerburgh et Veldkamp montrent alors qu un investisseur rationnel allouera toute sa capacité de recherche d information pour diminuer la variance de la composante propre possédant le ratio de Sharpe le plus élevé. On aboutit dans ce cas à ˆΛ i = e 2K Λ i pour la composante i de plus grand ratio de Sharpe et à ˆΛ j = Λ j pour toutes les autres composantes. La concentration du portefeuille sur quelques actifs (lorsqu ils sont corrélés) va apparaître de la manière suivante : à partir d un portefeuille maximalement diversifié, les investisseurs vont dans un premier temps augmenter leur capacité à s informer sur la composante principale (combinaison linéaire d actifs) possédant le ratio de Sharpe généralisé le plus élevé. Ils investiront ensuite massivement dans cette composante et ce d autant plus qu ils auront dépensé en capacité à s informer, puisque les quantités investies sont inversement proportionnelles à ˆΛ i qui est d autant plus réduit que l on aura investi pour avoir une capacité K élevée. Limitation informationnelle intrinsèque 15

18 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION Van Nieuwerburgh et Veldkamp considèrent ensuite le cas où on ne peut pas réduire ˆΓ i en-deçà d un certain niveau pour chaque actif i. Il y a ainsi un seuil d information au-delà duquel la variance n est plus réductible. Cette variance minimale est appelée non-learnable risk : une sorte de volatilité intrinsèque sur laquelle on ne peut rien savoir, une fluctuation naturelle non accessible par un apprentissage informationnel classique, et que seule la diversification peut éliminer. En présence d un tel type de risque, la constitution du portefeuille se modifie comme suit. Dans un premier temps l investisseur alloue toute sa capacité d information pour l actif (ou la composante si les actifs sont corrélés) possédant le ratio de Sharpe le plus élevé. A partir d un certain niveau de capacité, il n y a plus aucun gain en termes de réduction de variance. Des moyens supplémentaires sont alors alloués pour l actif possédant le second ratio de Sharpe le plus élevé. Et ainsi de suite. On aboutit alors au phénomène suivant : dans un premier temps, l augmentation des moyens (de la capacité à s informer) conduit à un accroissement de la concentration. Puis, à partir d un certain niveau, la concentration diminue à nouveau et le portefeuille se rediversifie. Cela correspond au fait qu une capacité informationnelle théoriquement illimitée amènerait à pouvoir obtenir des informations pertinentes sur l ensemble des actifs de la cote, et l on retomberait alors dans un cas de diversification parfaite Le modèle d Uppal et Wang (2003) A l instar de son équivalent en statique, ce modèle cherche à montrer comment l incertitude peut justifier la concentration : on choisira de s investir sur les titres sur lesquels l incertitude est la moins forte. On présente ci-après l approche d Uppal et Wang [2003] qui est une variante de l approche de Maenhout [2004], elle-même étant une variante de l approche de Anderson, Hansen et Sargent [2000]. Dans cette manière de justifier la concentration, il s agit d obtenir des équations d Hamilton-Jacobi-Bellman en présence d une incertitude sur les paramètres. Rappelons que, en économie générale en temps discret, le point de départ est l équation de Bellman J(t) = s u 1 (c t ) + e ρs IE[J(t + s)] que l on étend en temps continu en équation de Hamilton-Jacobi-Bellman 0 = u(c t ) ρj(t) + AJ(t) où A est le générateur différentiel total, c est-à-dire incluant la dérivée temporelle AJ(t) = LJ(t) + J t(t) 16

19 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION Le point de départ de la démarche d Uppal et Wang est une équation de Bellman en temps discret et généralisée, que l on présente ci-dessous sous une forme plus précise que dans leur texte : J(t) = s u 1 (c t ) + e ρs inf ξ { ψ ( IE Q ξ [J t+s ] ) n i=1 [ φ i IE Q ξ i ln dq ] } ξ i + IE Q ξ [J t+s ] dp i dans laquelle les variables ont la signification suivante : P est le mesure de probabilité dite historique, qui correspond aux actifs dans le monde réel. Mais il existe une incertitude sur P : on n est pas tout à fait certain de ses valeurs pour la juste description des dynamiques des actifs. Q ξ est une autre mesure de probabilité, dont on cherche à examiner la pertinence. Elle correspond aux comportements des actifs dans un monde dual. De manière classique en changement de probabilité, on passe de P à Q ξ au moyen de la densité ξ, qui représente, d une certaine manière, la densité de l incertitude : ξ = dq ξ dp Cette densité ξ se décompose à son tour en plusieurs sous-densités notées ξ i, où chaque densité est relative à un actif donné. Q ξ correspond donc à un ensemble de mesures de probabilités Q ξi, chacune décrivant l actif i dans le nouvel univers. Pour simplifier les calculs, nous n avons pas supposé l existence de sous-ensemble de {J i } comme dans l article d Uppal et Wang, ce qui permet d accentuer la démonstration faite sans perdre en contenu explicatif. La nouvelle forme d équation de Bellman, introduite par Uppal et Wang, s interprète alors ainsi : L on cherche à minimiser l incertitude, il s agit donc de minimiser ξ. D où l infimum sur ξ. Les termes notés L i et définis comme [ L i = IE Q ξ i ln dq ] ξ i dp i (10) sont des expressions appelées entropiques de l incertitude sur chaque actif i. En effet, il vient de la définition de l espérance mathématique que L i = ln dq ξ dqξi i dq ξi = ln dq ξ i dp i dp i dp i dp i soit L i = ξ i ln ξ i dp i 17

20 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION qui est la définition de l entropie. Chacun de ces termes est pondéré par une constante φ i qui dépend de l actif i. L ensemble étant renormalisé par un terme ψ IE Q ξ [J t+s ]. En temps continu, l équation (10) devient 0 = inf ν { u(c t ) ρj + AJ(t) + ν t J S + ψ(j) 2 } ν t Φ ν Et l on observe alors un point important : l incertitude passe de ξ au vecteur ν. Cela revient en pratique à passer d une approche par changement de mesure avec ξ, à une approche par changement de dérive, ou incertitude sur la rentabilité d un titre avec ν. Le changement de mesure permet en effet de passer de la dynamique des actifs à la nouvelle dynamique ds t = µ(s t,t) dt + σ(s t,t) dw P t ds t = (µ(s t,t) + ν) dt + σ(s t,t) dw Q ξ t L interprétation de Φ dans l équation (11) est la suivante. En faisant l hypothèse que les actifs ne sont pas corrélés et que leur rentabilité est affectée par un degré d incertitude spécifique mesuré par φ i, alors Φ est la matrice diagonale formée des termes Φ i,i = φ i σ 2 i où σ i est la volatilité de l actif i. Résolution selon le degré d incertitude On considère l équation (11) dans un cadre de portefeuille, c est-à-dire qu on cherche un choix optimal de poids et de consommation. Cela revient à en prendre un supremum : 0 = sup inf w,c ν { u(c t ) ρj + AJ + ν t J X + ψ(j) 2 } ν t Φν On fait l hypothèse que la dynamique boursière des rentabilités des actifs est lognormale. On obtient alors dv = (V (r + w t (µ r)) c)dt + wσv dw (11) (12) 18

21 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION En faisant l hypothèse que la fonction d utilité est de type CRRA soit u(c t ) = c1 a t, 1 a on obtient comme équation avec : 0 = sup inf w,c ν { c 1 a t 1 a ρj + AJ + νt J V + ψ(j) ν t Φν 2 AJ = J t + J V (V (r + w t (µ r)) c) J V V w t σ 2 V 2 w où l on rappelle que σ est diagonale et avec ν t J V = ν t V J V = w t ν S V J V et ψ(j) ν t Φν = ψ(j) ν t 2 2 Sw t Φwν S La résolution de cette équation nécessite deux étapes préliminaires. Tout d abord, la minimisation en fonction de ν S qui conduit à une valeur νs optimale : ν S = 1 ψ(j) Φ 1 J V V w Cette valeur est alors introduite dans l équation (13). On peut ensuite procéder à la maximisation en fonction de w et c. On obtient : et : soit : ( w = 1 J V 2 ψ(j)j c = J V 1 a V V w = 1 1 J V 2 ψ(j) J V V ) 1 1 (σ 1 ) 2 Φ 1 µ r a σ 2 1 φ i 1 a µ r σ 2 où [.] est une matrice diagonale de terme indiqué entre les crochets. Si l on prend comme hypothèses supplémentaires } (13) alors on observe que ψ(j) = 1 a 1 a V J et J(V ) = a 1 a J V 2 ψ(j) J V V = 1 19

22 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION d où il vient aisément : w = [ φi 1 + φ i ] 1 µ r (14) γ σ 2 qui est la formule simple donnée en fin de leur article par Uppal et Wang. Nous présentons en illustration un exemple en dimension d = 1 : actif sans risque et actif risqué. La figure 1 représente la proportion à investir en actif risqué en fonction du degré de confiance que l on a sur les prévisions de la rentabilité de cet actif. On voit que plus le degré de confiance est élevé, et plus la proportion investie en actif risqué augmente : si cela semble intuitivement logique, on voit que c est bien vérifié dans cette modélisation Weight Confidence Level Fig. 1 Proportion d actif risqué selon le degré de confiance sur les prévisions de rentabilité Ensuite, deux éléments paraissent intéressants à relever : 1. Le poids en actif risqué est toujours positif. On ne se trouve donc jamais dans une situation où l on devrait envisager de prendre des positions de vente à découvert, comme ce qui apparaît avec d autres types de modélisations ou en présence de sauts. 2. La progression de la part investie en actif risqué est non linéaire de manière très marquée : elle croît très fortement, puis se stabilise pour rester à un niveau qui ne varie quasiment plus, ici 16%. Autrement dit, soit on considère que l on y voit suffisamment clair sur l actif risqué, et on l achète à hauteur de 16% de son portefeuille, soit on estime que la situation 20

23 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION n est pas assez claire, et on ne le prend pas. C est en quelque sorte une logique de type binaire : oui ou non, sans graduation. La conclusion opérationnelle de ceci est très importante. On accepte l investissement pour un poids bien précis (ici 16%) qui n augmente quasiment pas avec le degré confiance sur les prévisions, une fois celui-ci raisonnable. Réciproquement, on exclut certains actifs sur lesquels on estime que les prévisions ne sont pas suffisamment fiables. On peut donc, par cette modélisation, bien rendre compte de la décision de conserver un nombre restreint de titres : ceux pour lesquels on a une confiance suffisante dans les prévisions réalisées. A ce stade de la présentation, on peut en conclure que la démarche d Uppal et Wang permet bien de bien rendre compte d un point de vue théorique d une faible diversification. D autre part, il apparaît également qu une piste d exploration empirique serait la construction d indicateurs de confiance (comme par exemple des indicateurs statistiques de type p-value... ) dans les prévisions de rentabilité des actions. On pourrait également envisager d étendre cette construction empirique aux autres moments de la distribution. 3.2 Une dynamique non brownienne sur les rentabilités Le modèle de Aït-Sahalia et al. (2006) La modélisation de la dynamique boursière proposée par Aït-Sahalia [2006] est celle d un processus à sauts dans lequel on fait l hypothèse que chaque titre va réagir de manière propre à un saut global commun pour toute la cote. Chaque titre pourra amplifier ou réduire cette secousse commune en fonction d un coefficient de sensibilité noté C i et qui lui est propre. La secousse commune est modélisée par une variable aléatoire indéfiniment divisible à valeurs dans l intervalle [0, 1], notée Z t. Le facteur d échelle propre à chaque titre, qui va dilater ou contracter le mouvement global, est noté C i. Autrement dit, si ϕ i k représente l amplitude du saut survenant à un moment t k pour un actif i, on aura ϕ i k = C i Z tk. Dans le cas d un marché de dimension d, la dynamique boursière s écrit ds i (t) S i (t ) = µ i dt + d j=1 σ i,j dw j t + C i Z t dn t N est un processus de Poisson standard. Une structure de corrélation implicite fait dépendre chaque actif de l ensemble des autres (en pratique, de l ensemble des mouvements browniens modélisant les parties diffusives des variations des actifs). La dynamique du portefeuille de valeur V pour une consommation c t en date t est alors dv t = (rv t + w t πv t c t )dt + V t w t σdw t + V t w t CZ t dn t 21

24 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION En notant comme précédemment J la satisfaction indirecte associée à un niveau de patrimoine, et où par défintion AJ = J t + J V (rv + w t πv c) J V V V 2 w t Γw l équation de Hamilton-Jacobi-Bellman généralisée à la présence de sauts s écrit 0 = sup w,c e ρt u(c t ) + AJ(t) +λ } {{ } HJB classique 1 J(V (1 + w t C x)) J(V ) ν(dx) 0 } {{ } } {{ } après le saut avant le saut } {{ } adjonction des sauts où λ est l intensité du processus de Poisson. Il est intéressant d observer la forme du terme qui caractérise les sauts de taille x : λ 1 0 [ J(V (1 + w t C x)) J(V ) ] ν(dx) On voit que ce terme comprend deux parties, représentant la satisfaction associée à la détention du portefeuille avant et après le passage du saut pour un saut de taille x, ceci sur l ensemble de toutes les tailles x possibles des sauts (l intégration), et selon la probabilité d occurrence du saut, donnée par la mesure ν qui représente la loi des sauts. La résolution de cette équation est complexe dans le cas général. Sa résolution numérique est compliquée par le fait que l adjonction de sauts fait passer d une une équation aux dérivées partielles à une équation intégro-différentielle. Nous présentons ci-dessous un cas simple de résolution qui présente l avantage de bien faire apparaître l effet des sauts sur la diversification d un portefeuille. La simplification du modèle de Aït-Sahalia. On spécifie distinctement trois éléments fondamentaux pour la résolution du problème d optimisation : (15) 1. La fonction d utilité. On choisit une fonction d utilité de type CRRA avec a = 2. L extension à a différent de 2, non traitée par ces auteurs, ne semble pas compliquée, alors que le fait de prendre une fonction d utilité plus générale que la CARA ne semble plus permettre d obtenir une solution analytique. 2. La mesure de Lévy. On choisit une mesure de Lévy de type ν(dx) = dx x 22

25 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION c est-à-dire que l on est dans une situation où la probabilité d avoir des grands sauts (qu ils soient positifs ou négatifs) décroît très rapidement avec la taille des sauts. 3. On considère également une situation extrêmement simplifiée dans laquelle tous les actifs sont caractérisés par des sauts de même taille, donc de facteur d échelle commun noté C, et une prime de risque commune notée π. Dans ce cas, la matrice de variance-covariance est : 1 ρ ρ Γ = σ 2 ρ ρ ρ ρ 1 où σ 2 est la variance commune des rentabilités et ρ le coefficient de corrélation commun. on note λ l intensité, c est-à-dire le taux d arrivée des sauts. On définit κ = σ 2 + (d 1)σ 2 ρ soit κ d = 1 d σ2 + d 1 σ 2 ρ d que l on peut rapprocher de l expression (2) que l on rappelle var(r) = 1 n var + n 1 n qui est la variance du portefeuille. Avec ces hypothèses, on obtient les poids optimaux pour un portefeuille de dimension d. Ce sont les poids où w = w d d cov w d = 2κ/d + C π + (2κ/d C π) C( π + Cλ)κ/d 4 Cκ/d Si l on fait l hypothèse d une absence de corrélation entre les actifs (soit ρ = 0 donc κ = v 2 ), et en choisissant a = 2, on peut montrer par un développement limité sur C à l ordre 2, que : w = π ( ) 2σ + C λ 2 2σ + π2 2 8σ 4 23

26 3 DEUX JUSTIFICATIONS DE LA CONCENTRATION On observe que le poids est fonction d un terme proportionnel à C. Or C < 0 : il apparaît donc un effet de diminution sur le poids, qui dépend de la proportion de l arrivée des sauts λ. Ainsi, plus il y a de sauts dans la dynamique d un actif, moins l on investira dans cet actif Statique comparative Examinons du point de vue statique les effets des différents paramètres sur la composition du portefeuille. Plaçons-nous en dimension d = 1 et notons w la proportion du portefeuille à investir en actif risqué. Cette proportion est fonction de quatre éléments : la prime de risque π, la volatilité σ, l intensité λ, et la sensibilité au saut c : w = w (π,σ,λ,c) On analyse par simulation l influence de ces quatre éléments sur la proportion w. 1. Impact des sauts. (a) La sensibilité aux sauts. On commence par étudier la sensibilité de la proportion à investir en actif risqué en fonction de la sensibilité des actifs à la taille d un saut global de toute la cote. Le graphique 2 fait apparaître que cette proportion est d autant plus faible que les actifs sont sensibles à un saut global, c est-à-dire que F est proche de 1 soit grand en valeur absolue : ceci indique qu il n est pas nécessairement intéressant d acheter des actifs dont le comportement suit celui du marché (comme le disent les opérateurs : qui décrochent quand le marché décroche ). (b) L intensité (le taux d arrivée des sauts). Le graphique 2 représente la sensibilité de la proportion à investir en actif risqué en fonction de l intensité, c est-à-dire du taux d arrivée de sauts. On voit clairement qu un taux d arrivée élevé aura pour conséquence un investissement moindre en actif risqué. A terme, quand l intensité est trop élevée, on investit négativement dans l actif risqué, c est-à-dire que l on vend de l actif risqué pour acheter de l actif sans risque. Si les investisseurs (par exemple une compagnie d assurance) ne prennent pas de positions de vente à découvert sur les actifs risqués, alors cela conduit à l existence de seuils au-delà desquels certains actifs (ceux pour lesquels le taux d arrivée de sauts est trop élevé) ne sont pas pris en portefeuille. Ce qui est une autre façon de dire que l on concentre son portefeuille en éliminant les actifs qui ont un trop grand risque de sauts (analogue à un risque de kurtosis). 24

27 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE 2. Impact de la diffusion. (a) La volatilité. On trace ensuite la sensibilité des poids à la volatilité (en guise de confirmation du cas gaussien) sur le graphique 2. On voit que l appréhension au risque de volatilité se traduit bien par une baisse du poids du titre, toute choses égales par ailleurs, quand le niveau de volatilité augmente. (b) La prime de risque. Enfin, le graphique 2 confirme que la proportion à investir en actif risqué augmente avec la prime de risque. On remarque par ailleurs le fait intéressant suivant : pour une prime de risque modérée (typiquement inférieure à 2%), il n est pas intéressant d investir dans les actifs considérés. On peut donc éliminer tous les actifs pour lesquels on prévoit une rentabilité moyenne trop peu différente du taux sans risque. En résumé, la proportion en actif risqué augmente (+) ou diminue ( ) selon l augmentation des quatre éléments de la manière suivante : ( ) w = w + π, σ, λ, c 4 La concentration justifiée par l asymétrie Nous abordons à présent une justification particulière de la concentration d un portefeuille sur quelques lignes, qui pourrait illustrer une intuition apparemment triviale : préférer les gains aux pertes. Autrement dit la prise en compte de la dissymétrie entre les gains et les pertes, dans le sens d une asymétrie (skewness) positive des distributions de rentabilité. Après une revue de la littérature sur ce sujet, nous présentons un modèle permettant de construire des portefeuilles concentrés et présentant une asymétrie positive, puis nous décrivons de manière détaillée les implications pratiques de ce modèle. Enfin, nous proposons une extension de ce modèle et développons une illustration concrète sur le marché français. 4.1 Préférences des agents et asymétrie gains/pertes Les premiers travaux sur la question des relations entre l asymétrie gains/pertes, les préférences des investisseurs et la gestion de portefeuille datent du début des années L idée de base est la suivante. Une fonction d utilité quadratique permet de formaliser et donc de construire un critère moyenne-variance (moments d ordres 1 et 2). Mais il s agit d un critère symétrique qui ne différencie pas les gains des pertes. Pour les différencier, il s agit d introduire une asymétrie, généralement mesurée par 25

28 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE Poids Actif Risqué Sensibilité (F) Poids Actif Risqué Intensité (λ) Poids Actif Risqué Poids Actif Risqué Volatilité (v) Excès de Rendement (R) Fig. 2 Proportion d actif risqué en fonction de l activité et de la sensibilité aux sauts, de la prime de risque et de la volatilité. le moment d ordre 3. D où une fonction d utilité cubique (nous verrons plus loin que les fonctions d utilité cubiques ne sont pas le seul moyen de rendre compte de l asymétrie). H. Levy [1969] étudie ces fonctions d utilité cubiques dans toute leur généralité et montre que ce type de fonction implique nécessairement un seuil de patrimoine à partir duquel tout individu devient risk-taker. Or ce comportement n est pas nécessairement souhaitable (voire réaliste). C est la raison pour laquelle, ensuite, Hanoch et Levy [1970] ont examiné les conditions d efficacité des critères quadratique et cubique. Une autre contribution fondamentale a été celle de Whitmore [1970]. Dans un très court mais très utile article, Whitmore a montré que pour un agent dont la tolérance au risque augmente avec le niveau de patrimoine (ce qui est aujourd hui une hypothèse standard) et qui possède donc une dérivée tierce de 26

29 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE l utilité positive (c est-à-dire une préférence pour une asymétrie positive), un critère de dominance stochastique du troisième ordre doit être vérifié. Jean [1971, 1973] a été l un des premiers à proposer un modèle d évaluation des actifs financiers intégrant l asymétrie. Un aspect très important, sur lequel ont insisté Arditti et Levy [1972], est l importance de ne pas construire des critères qui ne prendraient en considération que les seules moyenne et asymétrie. En effet, il faut aussi inclure la variance comme terme modérateur, et un traitement approprié de l impact de l asymétrie ne peut faire l impasse sur ce terme de variance. Ce sont les articles de Rubinstein [1973] et de Kraus et Litzenberger [1976] qui, les premiers, sont crédités de la construction d un CAPM à trois dimensions, c est-à-dire avec prise en compte de l asymétrie. Quelques années plus tard, Barone-Adesi [1985], à partir du dernier de ces modèles, propose une analyse empirique de l équilibre du marché en présence d asymétrie. D autres tests ont été menés ultérieurement par Harvey et Siddique [2000]. Plus récemment encore, de Athayde et Flôres [2004] ont montré comment résoudre un programme d optimisation sous contrainte de rentabilité et d asymétrie dans un cadre multidimensionnel. Dans une contribution très intéressante, Scott et Horvath [1980] montrent que tout agent dont la satisfaction procurée par le gain ou l accroissement de richesse serait sans limite (c est-à-dire dont la dérivée première de l utilité est toujours positive), non indifférent à la prise de risque (c est-à-dire dont la dérivée seconde de l utilité est toujours négative), et qui aurait enfin une attitude cohérente vis-à-vis du risque (c est-à-dire dont les dérivées n-ièmes de la fonction d utilité admettent des signes indépendants du niveau de la richesse) possède une fonction d utilité dont les signes des dérivées n-ièmes alternent. Ce qui signifie que les dérivées impaires (première, troisième...) de la fonction d utilité de cet agent seront positives (traduisant la satisfaction donnée par les gains, ou asymétrie positive...), et que les dérivées paires (seconde, quatrième...) de sa fonction d utilité seront négatives (traduisant la préférence pour des fluctuations faibles et une régularité grande de leurs performances, autrement dit une faible variance et un coefficient d aplatissement pas trop élevé). On remarquera que ces hypothèses tout à fait réalistes sont assez peu contraignantes. Ce résultat est donc d une portée assez générale. Une autre contribution fondamentale est celle de Hassett, Sears et Trennepohl [1985]. Cette étude montre qu il faut être particulièrement prudent lorsque l on arrête le développement limité d une fonction d utilité espérée à l ordre 3 : le fait de négliger les termes d ordre 4 et ultérieur aboutit à des résultats qui sont très approximatifs, si ce n est erronés. Un des premiers articles qui aborde explicitement la relation entre asymétrie et diversification est celui de Simkowitz et Beedles [1978]. A partir d un modèle économétrique simple (erreurs à asymétrie positive), ses auteurs montrent que la 27

30 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE diversification détruit l asymétrie positive. La conclusion logique qui en résulte pour un investisseur qui chercherait à construire un portefeuille à asymétrie positive est de moins diversifier que ce qu il aurait été conduit à faire en suivant le cadre classique. Ensuite, Conine et Tamarkin [1981] ont obtenu une formule générique donnant le nombre optimum de titres en portefeuille en fonction des dérivées seconde et troisième de la fonction d utilité et des valeurs prises par les moments et co-moments d ordre deux et trois. Ce résultat, qui justifie la concentration des portefeuilles par l asymétrie, est cependant soumis aux limitations mentionnées plus haut et mises en évidence par Hassett, Sears et Trennepohl [1985]. Enfin la contribution de Mitton et Vorkink [2007], qui est le point de départ de notre analyse, est décrite plus loin. 4.2 Gestion de portefeuille avec asymétrie Nous commençons par rappeler brièvement le cadre classique, puis nous discutons de l introduction de l asymétrie dans un tel cadre. La résolution en dimension 1 est explicitée. Nous concluons par une illustration dans le cadre d un portefeuille à trois actifs Le modèle de Mitton et Vorkink (2007) Mitton et Vorkink [2007] ont proposé un modèle de choix de portefeuille dans lequel les préférences des investisseurs en fonction du critère moyenne variance restent formalisées de manière usuelle, mais auxquelles a été ajoutée une préférence pour l asymétrie, qui dépend de chaque investisseur. Cette prise en compte d une recherche d asymétrie différente selon chaque investisseur est ce qui distingue le modèle de Mitton et Vorkink de celui de Conine et Tamarkin [1981] dans lequel elle était identique pour tous. L équilibre du marché incorpore donc une hétérogénéité des agents, autrement dit on est dans une situations sans agent représentatif, ce qui s inscrit dans un courant de recherche où l absence d agent représentatif a été explicitement modélisée pour rendre compte des prix observés sur le marché (voir par exemple Telmer [1993], Heaton et Lucas [1995] ou Constantidines et Duffie [1996]). Dans ce contexte, Mitton et Vorkink montrent qu une forte recherche d asymétrie peut produire une forte réduction de la diversification. Même si le portefeuille n est pas optimal selon le critère moyenne variance, le gain résultant de l asymétrie compense la moindre optimalité : il apparaît une compensation entre le ratio de Sharpe et le niveau du coefficient d asymétrie. Enfin, il semblerait que les portefeuilles les moins diversifiés soient ceux qui contiennent les titres au profil de rentabilité le plus asymétrique (voir Goetzmann et Kumar [2004] pour une mise en évidence identique). Entre les portefeuilles les plus diversifiés et les moins diversifiés, l écart de valeur 28

31 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE du coefficient d asymétrie est tel que cela semble indiquer un choix délibéré (ou une recherche délibérée) de titres à profil de rentabilité asymétrique, dans le but d obtenir un portefeuille dont le profil de rentabilité soit également asymétrique. Que ce choix résulte d une trop grande confiance par les investisseurs dans leur capacité à capter les hausses de marché ou d un manque de réflexion sur les profils de risque optimaux (voir Odean [1999] ou Grindblatt et Keloharju [2001]), ou encore de tout autre chose, n est pas un élément déterminant. On observe que ce choix a bien lieu : il s agit d en rendre compte et de mettre en évidence ses effets. Rappel du cadre classique Plaçons-nous en dimension 1 et cherchons à répartir les fonds entre marché monétaire et fonds indiciel (actif dit risqué ) de rentabilité notée R. Soit x la proportion de la richesse investie en fonds indiciel. Si la valeur initiale à investir est égale à V 0, décomposée en (V 0 xv 0 ) + xv 0, la valeur du portefeuille en date t 1 sera V 1 = (V 0 xv 0 )(1 + r) + xv 0 (1 + R) = V 0 (1 + r) + xv 0 (R r) On définit la rentabilité du portefeuille comme : R p = V 1 V 0 V 0 = V 0r + xv 0 (R r) V 0 = r + x(r r) Les moments de la rentabilité R p vérifient : IE [R p ] = r + x(ie[r] r) var (R p ) = x 2 var(r) m 3 (R p ) = x 3 m 3 (R) Considérons le programme d optimisation classique max {x} (IE [R p] 0, 5λvar (R p )) qui se réexprime, en dimension 1, selon : { r + x(ie[r] r) 0, 5λx 2 var(r) } max {x} ce qui revient à la condition du premier ordre : IE [u (R p )] x = IE[R] r λx var(r) = 0 29

32 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE d où l on tire la valeur de x en fonction du coefficient λ d aversion au risque : x = IE[R] r λ var(r) (16) En dimension d, la richesse s exprime comme : V 1 = V 0 (1 < x,1 >)(1 + r) + V 0 < x, (1 + R) > = V 0 (1 + r) + V 0 < x, (R r1) > et l équivalent en écriture matricielle de (16) devient : x = 1 λ Γ 1 (IE[R] r) (17) qui donne les montants à investir sur chaque actif j et qui établit la correspondance avec la formule (4) de l article de Mitton et Vorkink [2007]). Introduction de l asymétrie Par rapport à la résolution classique, Mitton et Vorkink [2007] utilisent une expression plus générale du montant certain équivalent : V = E[V ] 1 2 λ varv ψ m 3(V ) (18) où m 3 (V ) représente le moment centré d ordre 3 de la distribution de la valeur du portefeuille et ψ est le coefficient de préférence pour l asymétrie. Si l on adapte le programme d optimisation en optimisant sur R p, on doit alors résoudre : max {x} Résolution avec asymétrie ( E [R p ] 1 2 λ var (R p) + 1 ) 6 ψ m 3 (R p ) Résolution en dimension 1 Avant d en venir à la résolution proposée par Mitton et Vorkink en dimension 3, commençons par résoudre le programme (19) en dimension 1, c est-à-dire dans le cas d une répartition entre actif sans risque et actif risqué. Nous allons montrer que l on peut parvenir à une résolution explicite. Nous cherchons donc à résoudre : max {x} { r + x(e[r] r) 1 2 λ x2 var(r) ψ x3 m 3 (R) qui conduit à la condition du premier ordre : } (19) (20) E[R] r λx var(r) + 0, 5ψ x 2 m 3 (R) = 0 (21) 30

33 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE soit, en écrivant de manière simplifiée m k pour m k (R), pour k = 2, 3 : x 2 2 λm 2 ψm 3 x + 2 E[R] r ψm 3 = 0 d où : x = λm 2 ψm 3 ( 1 ± 1 2ψm 3(E[R] r) λ 2 m 2 2 ) que l on peut écrire en vertu de (16) ( x = λm 2 ψm 3 1 ± 1 2 ψm 3 λm 2 x ) (22) où x est le montant (en euros) optimal selon le critère moyenne - variance. Pour simplifier l écriture, posons A = ψm 3 /λm 2. On obtient x = 1 A (1 ± 1 2Ax ) Effectuons un développement limité à l ordre 2 de l expression précédente. On rappelle que x 1 + x x2 8 d où il vient soit, après calculs que l on peut écrire x = 1 A [ )] 1 ± (1 Ax A2 2 x 2 x = x ( 1 + A 2 x ) où k = ψ/λm 2 > 0. On voit alors que trois cas se présentent : (23) x = x (1 + km 3 x ) (24) 1. m 3 = 0 : pas d asymétrie. Alors x = x : on retrouve le cadre classique. 2. m 3 > 0 : queue de distribution étirée à droite. Alors x > x : on augmente le montant investi sur l actif risqué, ce qui représente une concentration sur cet actif. 31

34 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE 3. m 3 < 0 : queue de distribution étirée à gauche. Alors x < x : on diminue le montant investi sur l actif risqué, ce qui représente une concentration sur l autre actif. On observe donc avec (24) de manière directe qu un m 3 positif augmente le poids investi dans l actif risqué, alors qu un m 3 négatif le diminue. Si l on souhaite exprimer le problème en fonction de S et non de m 3, on peut aussi écrire : x = λm 2 ψm 3 ( 1 ± ) 1 2 ψm 3 E[R] r λ 2 σ 3 σ qui fait apparaître le coefficient d asymétrie (ou skewness S) de Pearson-Fisher défini comme : S = m 3 d où : x = λm 2 ψm 3 ( 1 ± σ λ ) ψ λ S E[R] r σ On rappelle que la tolérance au risque s écrit : τ = 1/λ. Posons par ailleurs ν = ψ/λ = ψ τ. Il vient : ( x = 1 ) m 2 1 ± 1 2τνS E[R] r ν m 3 σ Finalement, nous représentons en figure 3 l évolution de la proportion d actif risqué en fonction du coefficient de prudence absolue. Il apparaît clairement que, plus l investisseur est prudent, et moins il investira dans l actif risqué au profit de l actif sans risque, d où le profil décroissant observé. Résolution en dimension 3 Nous développons ici la solution proposée en dimension 3 par Mitton et Vorkink [2007]. Soit un marché limité à trois actifs (d = 3), R = [R 1,R 2,R 3 ] le vecteur des rentabilités de ces trois actifs, µ = [µ 1,µ 2,µ 3 ] le vecteur de leur rentabilité espérée, et Γ = [σ i,j ] j=1,,3 la matrice de variance covariance : Γ = m i 3 = σ 2 1 σ 12 σ 13 σ 21 σ 2 2 σ 23 σ 31 σ 32 σ 2 3 Dans ce cas, il y a trois matrices m i 3 des moments centrés d ordre 3, pour i = 1, 2, 3 : m i,1,1 3 m i,1,2 3 m i,1,3 3 m i,2,1 3 m i,2,2 3 m i,2,3 3 m i,3,1 3 m i,3,2 3 m i,3,3 3 32

35 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE Poids de l actif risqué Coefficient de prudence absolue Fig. 3 Evolution de la proportion d actif risqué en fonction du coefficient ν de prudence absolue. τ = 2, 5, E[R] = 10%, r = 3%, m 2 (R) = 100%, m 3 (R) = 0, 1 Notons m P 1, m P 2, et m P 3 les moments d ordre un, deux et trois du portefeuille. En écriture matricielle, pour obtenir les poids optimaux w dans un marché de dimension d, on résout ainsi le programme d optimisation : max {w} m P λmp ψmp 3 s.c. d i=1 w i = 1 w 0 L équivalent matriciel de (21), qui donne la condition d atteinte du maximum, est : [( d ) ] E[R] r λ Γx + ψ x i m i 3 x = 0 et n a pas de solution analytique simple. L expression du moment centré d ordre 3 d un portefeuille défini par un vecteur x est : d m x 3 = e i xx m i 3 x m i 3 = i=1 Les m i 3 sont les matrices des moments centrés d ordre 3, pour i = 1,,d : m i,1,1 3 m i,1,2 3 m i,1,d 3 i=1 m i,2,1 3 m i,2,2 3 m i,2,d 3... m i,d,1 3 m i,d,2 3 m i,d,d 3 33

36 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE avec m i,j,k 3 = E[(R i µ i )(R j µ j )(R k µ k )]. Chaque m i,j,k 3 est la valeur du coefficient d asymétrie, non normé par l écart type, de l actif i par rapport aux actifs j et k. Ces matrices incluent donc une composante systématique de l asymétrie, ainsi que les valeurs des coefficients de co-asymétrie issus des comoments. Donnons un exemple de résolution numérique de ce programme en choisissant dans la famille générique des fonctions de satisfaction de type HARA u(x) = 1 a a ( b 1 a x + c une fonction de type CRRA, donc avec c = 0, et en fixant b = 1. Soit ) a u(x) = (1 a) 1 a 1 a xa Le réglage de l attitude face au risque s effectue sur le seul paramètre a : plus a est proche de 1, plus l investisseur est psychologiquement prêt à prendre des risques, et réciproquement. Mitton et Vorkink font l hypothèse que seul l un des actifs présente une distribution asymétrique de rentabilité. Les actifs 1 et 3 sont caractérisés par leur couple espérance variance sans asymétrie. On choisit de définir le marché de la manière suivante, avec deux actifs risqués pour un actif monétaire : actif µ σ S actif 1 10 % 44 % 1,12 actif 2 15 % 54 % 1,22 monétaire 3 % 0 % 0 La corrélation est ρ = 0, 60. Les matrices des moments centrés d ordre 3 m i 3 sont : [ m 1,1,1 m 1 3 m 1,1,2 ] [ ] 3 0, = m 1,2,1 3 m 1,2,2 = 3 0 0, 1 et m 2 3 = [ m 2,1,1 3 m 2,1,2 3 m 2,2,1 3 m 2,2,2 3 ] = [ 0, , 2 qui produisent effectivement comme valeurs du coefficient d asymétrie : actif 1 : S = 1, 12 actif 2 : S = 1, 22 ] 34

37 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE L actif 2 est davantage asymétrique que l actif 1. On doit donc a priori trouver une surpondération en actif 2 par rapport à un modèle de diversification classique. On doit aussi vérifier que le modèle de Markowitz est obtenu en prenant ψ = 0 En choisissant comme coefficients psychologiques les valeurs on obtient les poids optimaux cherchés : λ = 0, 4 ψ = 0, 56 actif µ σ S MV-opt. MVS + -opt. actif 1 10 % 44 % 1,12 35 % 32 % actif 2 15 % 54 % 1,22 46 % 68 % monétaire 3 % 0 % 0 19 % 0 On observe que la valeur de m 3 > 0 conduit à surpondérer l actif 2 : on est davantage confiant sur l actif sur lequel on a investi. L introduction d une nouvelle information, ici l asymétrie des distributions, conduit à l obtention d un portefeuille non optimal au sens de Markowitz. Avec ce paramétrage, le choix s effectue dans le sens d un coefficient d asymétrie positif, c est à dire dans le sens d une moindre prise de risque. En prenant les mêmes valeurs absolues, mais cette fois négatives, des moments d ordre 3 nous obtenons : actif µ σ S MV-opt. MVS -opt. actif 1 10 % 44 % 1,12 35 % 21 % actif 2 15 % 54 % 1,22 46 % 33 % monétaire 3 % 0 % 0 19 % 46 % On observe un repli sur l actif sans risque. On voit donc que l asymétrie négative peut s interpréter comme une forme de risque. Il est alors intéressant d examiner le gain certain équivalent ou la prime de risque qui sont modifiés pour intégrer ce nouveau paramètre. On constatera que le marché rétribue les investisseurs qui détiennent un portefeuille dont le coefficient d asymétrie est négatif. Nous rejoignons ici le modèle de Pratt étendu à l ordre 3. On peut ensuite imaginer un ensemble de critères qui conduiraient à la revente d un actif si son poids devenait trop faible, et ainsi aboutir à un phénomène de concentration. 4.3 Autres approches utilisant l asymétrie Asymétrie sans coasymétrie Mitton et Vorink faisaient l hypothèse selon laquelle les investisseurs considéraient non seulement l asymétrie des rentabilités des actifs, mais aussi la coasymétrie entre 35

38 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE ces rentabilités, ce qui compliquait singulièrement la résolution du programme d optimisation. Il est plausible de considérer que les investisseurs ne considèrent que la seule asymétrie sans la coasymétrie. A ce moment, le programme d optimisation précédent en dimension 1 que l on rappelle max {x} { r + x(e[r] r) 1 2 λ x2 var(r) ψ x3 m 3 (R) peut être généralisé à un programme en dimension d. En effet, en supposant que seuls les termes d asymétrie ont un effet sur la construction du portefeuille, l utilité des termes de co-asymétrie est donc nulle ou non pertinente. Cela donne alors { } max {x} V 0 (1 + r) + x.(e[r] r1) 1 2 λx Γx + 1 d 6 ψ x 3 im 3 (R i ) Les fonctions d utilité cubiques Rappelons que Mitton et Vorkink fondent leur approche sur un montant certain équivalent à la valeur aléatoire du portefeuille, de la forme : V = IE[V ] 1 2 λ varv ψ m 3(V ) (25) où m 3 (V ) représente le moment centré d ordre 3 de la distribution de la valeur du portefeuille et ψ est le coefficient de préférence pour l asymétrie. C est ce montant qui est maximisé sous contraintes. Il est important de ne pas confondre ce critère avec celui d une utilité cubique : la formule précédente ne peut pas correspondre à une espérance d utilité cubique. En effet, (25) peut se développer de la façon suivante : IE[V ] 1 2 λ ( IE[V 2 ] IE[V ] 2) ψ ( E[V 3 ] 3IE[V 2 ] IE[V ] + 2IE[V ] 3) (26) et il est clair que l on ne peut pas trouver de fonction f(v ) telle que l expression (26) soit égale à IE[f(V )]. On pourra se reporter à Levy [1969] pour une discussion sur les utilités cubiques. Pour ce type de fonction d utilité, l utilité espérée s exprime comme : U(V ) = α + βv + γv 2 + δv 3 IE[U(V )] = α + βie[v ] + γie[v 2 ] + δie[v 3 ] (27) i=1 } 36

39 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE que l on peut comparer à l expression (26) : il est impossible que les deux expressions coïncident. On peut d ailleurs réécrire l expression (27) en fonction de la moyenne et des moments centrés d ordre deux et trois selon : E (U (V )) = α + βm 1 + γ ( ( ) m 2 + m1) 2 + δ m3 + 3m 1 (m 2 + m 2 1) 2m 3 1 (28) où l on voit là encore que l expression (26) n est pas celle d une utilité cubique espérée de la richesse. Finalement, Mitton et Vorkink proposent un critère permettant de choisir un portefeuille en tenant compte d une certaine forme d aversion au risque (perçu comme la variance) et d une certaine préférence pour l asymétrie. Tout en conservant cette intuition, il est possible de trouver d autres formes possédant les mêmes caractéristiques, mais portant sur des quantités différentes. Nous en présentons un exemple ci-dessous Le troisième moment normalisé Sachant que la volatilité est le moment centré d ordre 2 élevé à la puissance 1/2, m 1/2 2 = IE [ (R µ) 2] 1/2 (29) on peut aussi considérer les autres moments centrés d ordre k élevés à la puissance 1/k, ce qui rend ces quantités homogènes à un taux de rentabilité m 1/k k = IE [ (R µ) k] 1/k (30) En particulier, on peut donc inclure l asymétrie dans un modèle de choix de portefeuille, non pas par le coefficient S ou par le troisième moment, mais par le troisième moment élevé à la puissance 1/3. Kraus et Litzenberger [1976] ont par exemple construit un CAPM à trois moments dans lequel l asymétrie est exprimée ainsi. Notons s 3 = m 1/3 3 le troisième moment réduit (rescaled). Dans le cas unidimensionnel (proportion x d actif risqué), on a naturellement : max {x} s 3 (R p ) = xs 3 (R) Nous allons utiliser cette quantité comme un nouveau critère entrant dans les choix de portefeuille. A partir de l expression (20) que l on rappelle ci-dessous { r + x(e[r] r) 1 2 λ x2 var(r) + 1 } 6 ψ x3 m 3 (R) 37

40 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE on remplace le moment m 3 qui était pris en considération, par le moment réduit s 3 : { r + x(e[r] r) 1 2 λ x2 var(r) + 1 } 6 ψ xs 3(R) (31) max {x} pour constituer un nouveau programme d optimisation. La généralisation multidimensionnelle de cette formule n est pas immédiate. Mais si l on fait l hypothèse supplémentaire que l investisseur pondère de manière linéaire la contribution d asymétrie (vue au travers du terme s 3 ) comme la rentabilité des titres et que, d autre part, il est indifférent aux termes de co-asymétrie, alors cette généralisation se simplifie et devient en dimension d quelconque : max {x} { V 0 (1 + r) + x.(e[r] r1) 1 2 λx Γx + 1 } 6 ψ x.µ 3 (R) Remarquons que cette manière d introduire un critère de troisième ordre est différente d un développement limité à l ordre 3 d une fonction d utilité espérée. Mais, comme l ont fait apparaître Hassett, Sears et Trennepohl [1985], le fait de mener un développement limité à l ordre 3 (classique dans la littérature) et de négliger les termes ultérieurs du développement abouti généralement à des résultats faux ou fortement approximatif. Notons ϕ = ψ/6. La résolution du critère défini plus haut en (31) et (32) fournit les poids suivants : 1. En dimension 1 : 2. En dimension d : x = IE[R] r + ϕs 3(R) λ var(r) (32) (33) x = 1 λ Γ 1 (IE[R] r + ϕs 3 (R)) (34) On voit que ce système de poids augmente la prime de risque par un terme proportionnel à l asymétrie définie à travers s 3. Nous présentons ci-après une illustration de l utilisation de ces poids dans le contexte de la gestion d un portefeuille d une compagnie d assurance sur le marché français. 4.4 Une illustration sur le marché américain Pour tester les modèles de portefeuilles présentés et faire apparaître la différence entre des modèles classiques et des modèles incluant la prise en considération de l asymétrie, on a entrepris une étude de longue durée sur le marché américain pour l ensemble des actions qui sont restées dans l indice S&P 500 entre 1987 et

41 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE Le principe de l analyse est le suivant. Chaque année en fin d année, on construit un portefeuille selon l une ou l autre méthode. Puis on calcule la performance de ce portefeuille sur l année suivante en supposant que les poids des titres restent constants pendant l année (pas de rééquilibrage du portefeuille au fil des mois). On recommence l opération pendant toute la durée de l échantillon, jusqu en On examine alors année après année les résultats obtenus, qui sont regroupés dans le tableau 1. On a supposé que le taux sans risque était de 0,01% par jour, et que le coefficient de rejet de la volatilité était 2, et que le coefficient de préférence pour l asymétrie (définie comme le moment d ordre trois non renormalisé) était Année M A A + T.P.S. A + +S ,26 % 12,40 % 14,02 % 13 43,91 % ,56 % 29,25 % 21,91 % 52 35,76 % ,93 % -6,65 % 2,43 % 38-7,91 % ,12 % 40,65 % 32,13 % 68 38,08 % ,76 % 12,42 % 18,48 % 99 25,35 % ,78 % 10,89 % 12,81 % 73 27,00 % ,77 % 0,7 % 0.07 % 52 20,05 % ,86 % 33,57 % 31,69 % 57 40,55 % ,68 % 18,24 % 20,35 % 51 26,18 % ,74 % 24,78 % 29,56 % 58 21,26 % ,93 % 16,96 % 15,60 % 59 28,12 % ,89 % 6,03 % 4,56 % 64 25,48 % ,27 % 18,24 % 11,70 % 128 4,64 % ,64 % 3,85 % 6,10 % 135 3,25 % ,26 % -8,96 % -15,08 % 54-18,56 % ,00 % 29,97 % 24,58 % 97 28,31 % ,27 % 16,97 % 16,81 % 59 16,79 % ,02 % 6,22 % 8,93 % 48 17,53 % ,66 % 14,00 % 11,18 % 49 6,08 % Bilan 14,46 % 14,71 % 13,84 % 20,10 % Tab. 1 Performance de portefeuilles construits à partir du S&P 500 La première colonne (M) du tableau 1 présente les rentabilités annuelles obtenues par des portefeuilles construits avec des poids de Merton (on a conservé les seuls poids positifs). La performance annuelle moyenne de ces portefeuilles sur la durée totale est alors de 14, 46%. Les deuxième et troisième colonnes présentent les rentabilités annuelles obtenues 39

42 4 LA CONCENTRATION JUSTIFIÉE PAR L ASYMÉTRIE par des portefeuilles construits en prenant en compte l asymétrie. Mais l asymétrie n est pas constante au cours du temps. Des titres qui ont eu davantage de hausses que de baisses pendant une année peuvent avoir tendance à baisser davantage l année suivante, et l asymétrie peut s inverser. Si donc on investit sur des titres ayant une asymétrie positive (poids (34)), il est possible que l on choisisse en réalité des titres qui auront une moins bonne performance l année suivante. Cette considération est à l origine du double calcul effectué : avec un signe positif et négatif devant le coefficient ϕ. Un signe négatif indiquant que, précisément, on préfère investir sur des titres qui ont présenté une asymétrie négative pendant la période passée, en espérant que, selon le principe d inversion de l asymétrie, on obtiendra une meilleure performance l année suivante. Il s agirait ici de tester le comportement temporel de l asymétrie, ce qui fera l objet d une étude complémentaire. 1. La troisième colonne (A + ) du tableau 1 présente les rentabilités annuelles obtenues en investissant selon le programme défini en (34), c est-à-dire un critère d asymétrie ex post. On voit que l approche naïve qui consiste à penser que l asymétrie passée est un bon indicateur d asymétrie future, et donc à investir proportionnellement à l asymétrie passée, produit une performance annuelle moyenne (13, 84%) inférieure à celle obtenue avec l approche mertonienne standard. 2. La deuxième colonne (A ) du tableau 1 présente les rentabilités annuelles obtenues par des portefeuilles construits avec les poids qui résultent du programme modifié x = 1 λ Γ 1 (IE[R] r ϕs 3 (R)) (35) qui est le programme (34) modifié, dans lequel le signe devant ϕ est inversé, c est-à-dire un critère d asymétrie ex ante. On voit que la performance annuelle moyenne obtenue est de 14, 71%, soit une légèrement supérieure à celle obtenue en se contentant d une approche mertonienne standard. Ce qui est en revanche problématique est de constater que, dans les deux cas, investir dans un portefeuille diversifié sur le S&P 500 en modifiant les poids en fonction de l asymétrie produit des résultats très proches de l investissement dans un portefeuille diversifié construit selon des critères plus classiques. On pourrait donc imaginer que la prise en compte de l asymétrie n apporte pas d amélioration de la rentabilité du portefeuille. Examinons alors ce que l on obtient en modifiant la règle de placement. Au lieu de diversifier sur l ensemble des titres de l indice avec des poids modifiés comme auparavant, on décide de se limiter aux titres pour lesquels on a observé une asymétrie passée (mesurée toujours par le moment d ordre 3 non renormalisée) supérieure à Ce qui revient à se concentrer sur les actions de plus forte asymétrie. En 40

43 5 CONCLUSION d autres termes, on suppose qu une asymétrie passée élevée peut représenter un bon indicateur d asymétrie future (à l inverse d une asymétrie quelconque). La colonne (A + +S) présente les rentabilités annuelles obtenues avec des portefeuilles construits selon cette méthode (les poids (34) appliqués au sous-ensemble d actions à plus forte asymétrie). On voit que cette approche peut produire des rentabilités excédentaires fortes, et ceci de manière répétée sur de longues périodes. Mais du point de vue des risques pris, la comparaison des colonnes (A + + S) et (M) fait apparaître que le portefeuille (A + + S) ne subit des pertes que deux années sur les dix-neuf (1990 et 2002), alors que le portefeuille standard présente quatre années de rentabilités négatives. Donc le couple rentabilité - risque est nettement à l avantage des portefeuilles concentrés. Enfin, cette politique d investissement produit une performance annuelle moyenne de 20, 10% sur un horizon de dix-neuf ans, soit 5% de plus qu une politique d investissement standard. On observe aussi que les rentabilité annuelles qui résultent de cette politique de placement sont 11 fois sur 19 supérieures à celles d une politique standard (en l occurence décrite par la colonne M ). On peut donc conclure qu il ne s agit pas d un artefact ni d un hasard, d une situation dans laquelle les deux politiques de placement produiraient des résultats aussi bons l une puis l autre, et où une année particulière serait la cause de l excédent de performance observé. 5 Conclusion Après avoir recensé un retour de l idée de concentration (au sens d une moindre diversification) dans la gestion des portefeuilles, à la fois dans les pratiques professionnelles et dans la recherche universitaire, sous la forme d une revue de synthèse des courants théoriques existant pour justifier une politique d investissement non diversifiée, nous avons présenté de manière approfondie quatre modèles théoriques récents de concentration : Van Nieuwerburgh et Veldkamp [2007], Uppal et Wang [2003], Aït-Sahalia et al. [2006], et Mitton et Vorkink [2007], pour situer l état actuel de la question. Puis nous avons proposé une modélisation issue de l approche de Mitton et Vorkink pour faire apparaître une manière de la rendre plus efficace d un point de vue de la gestion réelle de titres. Cette extension a été rendue possible grâce à une investigation empirique approfondie menée avec les équipes de gestion et d actuariat de la compagnie d assurance SMA BTP. Les résultats obtenus ont été significatifs, en particulier : 1. Il a été établi que la constitution de portefeuilles concentrés peut s avérer particulièrement rentable en moyenne sur longue durée ; 2. Il a été vérifié que les risques pris sur des horizons de long termes avec de la 41

44 5 CONCLUSION concentration ne sont pas plus élevés que des risques pris avec de la diversification. En conclusion, nous pouvons considérer comme légitime d envisager la concentration d un portefeuille comme une conséquence de la présence d asymétries dans la structure des rentabilités des actifs, et de favoriser la concentration dans une politique de gestion pour en améliorer le couple rentabilité - risque. Les développements ultérieurs pourront concerner le degré de concentration des portefeuilles souhaité en fonction de contraintes diverses, des mesures de concentration appropriées ainsi que des mesures de performance des portefeuilles étendant les mesures actuelles au phénomène de concentration. 42

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49 2006/09 Patents Pools and the Dynamic Incentives to R&D Vianney DEQUIEDT Bruno VERSAEVEL Parus en /01 Market Value of Life Insurance : Contracts under Stochastic Interest Rates and Default Risk Carole BERNARD - Olivier Le COURTOIS François QUITTARD-PINON 2005/02 La construction sociale des synergies dans les fusions et acquisitions Philippe MONIN Eero VAARA 2005/03 A Passion for Imperfections: Revisiting Crisis Management Christophe ROUX-DUFORT 2005/04 Building with, or on, the ruins? : institutional change in the French haute cuisine field ( ) as transformations in symbolic systems, organizational routines and artefacts. Philippe MONIN 2005/05 Entre fusions & acquisitions et alliances strategiques : Renault-Nissan et Air France-KLM comme formes organisationnelles hybrides d avant-garde. Philippe MONIN Audrey ROUZIES 2005/06 Effective Communities of Practice: A comparative study Guillaume SOENEN 2005/07 Institutional Change Needs Public Debate: Some Remarks on the French Failure to define New Rules of the Game Freid SEIDEL 2005/08 When IMP-Don Quixote Tilts his Lance against the Kotlerian Windmills: BtoB Marketing deeply changed during the last 25 years, BtoC marketing too. Robert SALLE Bernard COVA 2005/09 Le contrôle dans les organisations hybrides : le cas du management par projet Aurélien EMINET 2005/10 Modèle synthétique des conditions de succès d un projet d innovation Paul MILLIER 2005/11 Capturing Variations in Attitudes and Intentions: A longitudinal Study to Assess the Pedagogical Effectiveness of Entrepreneurship Teaching Programmes Alain FAYOLLE Benoît GAILLY Narjisse LASSAS-CLERC 2005/12 Vers une reformulation du concept de filtre informationnel de l actionnaire salarié Xavier HOLLANDTS

50 2005/13 Le 360 feedback : Historique, typologies d utilisation et contributions Tessa MELKONIAN 2005/14 EVA and the control-congruence trade-off: an empirical investigation François LARMANDE Jean-Pierre PONSSARD 2005/15 L engagement dans un processus de création d entreprise : application du modèle d analyse de Bruyat à une étude de cas Alain FAYOLLE Narjisse LASSAS-CLERC 2005/16 Models of Emergence in the Business Firm Véronique BOUCHARD Ph.D. 2005/17 The factors moderating the effects of identity conflict on resistance to change Johan VAN REKOM Davide RAVASI Lin LERPOLD Guillaume SOENEN Parus en /01 Change Acceptance : the Role of Exemplarity Tessa MELKONIAN 2004/02 Conflits de normes de justice distributive dans les fusions entre égaux : Ingélité, intéquité et divorce chez BioMérieux-Pierre Fabre Philippe MONIN Ouafa BEN FATHALLAH Yasmine BOUGHZALA, Eero VAARA 2004/03 Modèle d'adhésion des cadres intermédiaires dans les alliances stratégiques internationales : le rôle de la communication et de l'identification organisationnelle Audrey ROUZIES 2004/04 La performance, anti-chambre de la crise Christophe ROUX-DUFORT 2004/05 Information ou parole? Anthropologie psychanalytique et fiche qualité Marie-Noëlle ALBERT Eric FAŸ 2004/06 Le catholicisme face au libéralisme : l'affrontement de deux idéologies Bernard LAURENT Parus en /01 Identity jumpshipping in French elite restaurants: The influence of nested and crosscutting identities. Phillipe MONIN Rodolphe DURAND

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53 2001/07 From normalization to improvisation in crisis management : a case study Christophe ROUX-DUFORT Bénédicte VIDAILLET 2001/08 Vers un management délibératif Pour un management ouvert à la parole de l homme dans la société de l information Eric FAŸ 2001/09 The Organization of Obedience Soft Coercion and Strategies of Subordination in Business Firms David COURPASSON Françoise DANY 2001/10 L idéologie marketing et sa critique. Des années 1960 aux années 1990 en France Gilles MARION 2001/11 Production et publication d informations RH : acteurs, sources, méthodes, pertinence Fabienne AUTIER 2001/12 Exploring Corporate Entrepreneurship : a Corporate Strategy Perspective Véronique BOUCHARD 2001/13 Hybrid Controls in Project Organizations David COURPASSON Stewart CLEGG 2001/14 Bureaucracy vs. Adhocracy : a case of overdramatisation? Fabienne AUTIER Parus en /01 Contrats psychologiques, justice organisationnelle et identification sociale dans les équipes dirigeantes des alliances stratégiques internationales Philippe MONIN 2000/02 L enseignement en ligne comme forme de E Business Thierry VOLERY 2000/03 Espace et temps de l objet de mode Gilles MARION 2000/04 How do organizations come into existence? Towards an evolutionary theory of entrepreneurship Pierre-Yves GOMEZ Thierry VOLERY 2000/05 Online Business Development Services for Entrepreneurs: An Exploratory Study Daniel EVANS Thierry VOLERY 2000/06 Ownership Structure and Efficiency in the use of resources. The case of private firms Rodolphe DURAND Vicente VARGAS 2000/07 «J ai rêvé d un autre monde» : la mobilité professionnelle des cadres de l entreprise vers l économie sociale François MAYAUX

54 2000/08 Rôles et rites de la communication luxueuse Gilles MARION 2000/09 Essai d opérationnalisation du concept de relation. Application aux constructeurs et équipementiers de 1 rang et fournisseurs de 2 et 3 rang de la filière automobile française Philippe PORTIER 2000/10 The paradox of high reliability organizations : a Weickian perspective Christophe ROUX-DUFORT 2000/11 Issues in new career management practices : insights from France Françoise DANY 2000/12 Des propositions épistémologiques et méthodologiques pour repositionner les recherches en entrepreneuriat Alain FAYOLLE 2000/13 Innovation strategies and international development Roland CALORI Leif MELIN Tugrul ATAMER Peter GUSTAVSSON Parus en /01 Le conventionnalisme est-il un néo-structuralisme? Eléments pour une réflexion épistémologique Olivier MASCLEF 1999/02 Listening to practitioners, collective knowledge and theory Roland CALORI Tugrul ATAMER Pancho NUNES 1999/03 Eléments de recherche sur la relation des PMI avec leur environnement. Un cadre d'étude : les systèmes productifs locaux Hugues SILVESTRE Marie-Hélène PASTORELLO 1999/04 The strategic management of small and medium-sized manufacturing enterprises. A proposal for a multi-criteria typology Hugues SILVESTRE Régis GOUJET Marie-Hélène PASTORELLO 1999/05 The elaboration of a reconnoitring system. Performance as a space for co-defining a collective strategic representational framework Hugues SILVESTRE Jean-Claude DE CRESCENZO 1999/06 Managing change at Novotel : Back to the future Roland CALORI Charles BADEN-FULLER 1999/07 Links between Investment and Financing in entrepreneurial SMEs: are growth and equity structure the key factors? Some empirical evidence on the French case Loïc MAHÉRAULT Rémy PALIARD

55 1999/08 Developing collective intelligence and organizational learning. Lessons from the Silicon Valley Thierry PICQ 1999/09 Strategic innovators and international development Roland CALORI Leif MELIN Peter GUSTAVSSON 1999/10 Does choosing a section of the stock exchange matter in the IPO of SMEs? Loïc MAHÉRAULT Bernard BELLETANTE 1999/11 Des produits libres à la consommation comme art de vie : l évolution du discours institutionnel de Carrefour ( ) Benoît HEILBRUNN 1999/12 Firm Selection: An integrative perspective Rodolphe DURAND 1999/13 TotalFina+Elf, comment lutter contre l évidence? Gilles MARION Parus en /01 Contribution à l étude des comportements entrepreneuriaux des ingénieurs français Alain FAYOLLE 1998/02 Le G7 du Management à Lyon : un lieu d échanges sur les pratiques managériales. Compte-rendu de la journée du 16 mai 1997 réalisé par Bernard LAURENT 1998/03 Fidélisation de la clientèle dans les services : l apport de l analyse des cartes de fidélité François MAYAUX Parus en /01 Les enjeux des responsables de la communication dans la grande entreprise Gilles MARION 1997/02 Mesurer l adhésion du public aux projets d intérêt général : proposition d une démarche Robert REVAT Virginie MADIGNIER 1997/03 M.C.O et modèles positifs des organisations : une esquisse critique (1) Pierre-Yves GOMEZ 1997/04 Une clarification de l offre d implantation en marketing territorial : produit de ville et offre de territoire Laurence TEXIER

56 1997/05 The influence of the support system on the entrepreneurial process Isabel SERVAIS Alain FAYOLLE 1997/06 La production supranationale en réseau : pour un nouveau concept de l économie internationale Thierry COULET 1997/07 L interrogation philosophique, cœur de l identité européenne Pierre MANENT 1997/08 L enseignement de l entrepreneuriat : réflexions autour d une expérience Alain FAYOLLE Parus en /01 Le contrôle dans les théories économiques des organisations Pascal LANGEVIN 1996/02 La gestion internationale des ressources humaines : Où en sont les pratiques des grandes entreprises françaises? Résultats d'une étude exploratoire Françoise DANY 1996/03 Unité et diversité du marketing Jean - Paul VALLA 1996/04 S'implanter au Japon pour pénétrer le reste de l'asie : Le cas des fabricants français de colles industrielles Christine DI DOMENICO Sami SLIM 1996/05 Management stratégique et psychologie cognitive. Synthèse des emprunts du management stratégique à la psychologie cognitive (Tome 2) Eric VOGLER 1996/06 Consumption values and brand attachment Benoît HEILBRUNN 1996/07 Régulation et gouvernement des organisations. Pour une sociologie de l action managériale David COURPASSON Parus en /01 Une approche cognitive du système concurrentiel : Le cas de l'industrie automobile Roland CALORI Philippe SARNIN 1995/02 Théorie des conventions : une formalisation en statique Pierre-Yves GOMEZ Cahier de Recherche non disponible

57 1995/03 Le gestionnaire de comptes clés dans les entreprises de biens et services industriels Catherine PARDO 1995/04 Produits de ville. Première approche de l'offre en marketing territorial Laurence TEXIER Catherine RAVIX 1995/05 Une nouvelle approche de la diversification interne dans les entreprises de services Eric VOGLER 1995/06 Une problématique sur les stratégies d'internationalisation des entreprises de services Thierry COULET 1995/07 Le concept de produit et l'art de faire croire : La contribution du marketing aux "nouveaux" produits de grande consommation Gilles MARION 1995/08 La politique de dividende des entreprises moyennes cotées. Approche descriptive du cas français Bernard BELLETANTE 1995/09 Histoire européenne et Management Fred SEIDEL 1995/10 Management stratégique et psychologie cognitive. Un aperçu rapide de la psychologie cognitive (Tome 1) Eric VOGLER 1995/11 Les modalités de rationalisation de la décision d'octroi de crédit Lionel HONORE