GELE5222 Chapitre 1 : Propagation d ondes

GELE5222 Chapitre 1 : Propagation d ondes Gabriel Cormier, Ph.D., ing. Université de Moncton Hiver 2012 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 1 / 81

Introduction Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 2 / 81 Contenu Contenu Révision des concepts de base : ligne de transmission Coefficient de réflexion Abaque de Smith Désadaptation à la source

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 3 / 81 Ligne de transmission Lignes de transmission Structure pour guider des ondes électromagnétiques Exemples : Câble coaxial Fil de cuivre Ligne microruban Une onde ÉM préfère se propager sur des centaines de km plutôt que traverser quelques mm d isolant.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 4 / 81 Câble coaxial Lignes de transmission Câble coaxial Le type le plus commun. conducteur diélectrique

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 5 / 81 Deux fils Lignes de transmission Deux fils De moins en moins utilisé. conducteurs

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 6 / 81 Plaques parallèles Lignes de transmission Plaques parallèles Peu utilisé, mais utile dans certains cas. conducteurs

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 7 / 81 Microruban Lignes de transmission Microruban Le type le plus commun pour les circuits intégrés.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 8 / 81 Coplanaire Lignes de transmission Coplanaire Le deuxième type le plus commun pour les circuits intégrés.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 9 / 81 Lignes de transmission Modélisation Modélisation d une ligne de transmission i(z, t) + v(z, t) z z On analyse une petite section z de la ligne. On utilise des éléments idéaux pour modéliser la ligne. R z L z + + v(z, t) G z C z v(z + z, t) z

Lignes de transmission Modélisation Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 10 / 81 Modélisation Dans le modèle précédent, R = résistance en série [Ω/m]. Représente les pertes du conducteur. L = inductance en série [H/m]. G = conductance parallèle [S/m]. Représente les pertes du diélectrique. C = capacitance parallèle [F/m]. Dans une ligne sans pertes, R = G = 0.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 11 / 81 Modélisation Lignes de transmission Modélisation On relie la tension et le courant à z et z + z, et dans la limite où z 0, on obtient : dv (z) dz di(z) dz = (R + jωl)i(z) = (G + jωc)v (z)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 12 / 81 Modélisation Lignes de transmission Modélisation On solutionne : d 2 V (z) γ 2 V (z) = 0 dz 2 V (z) = V 0 + e γz + V d 2 I(z) I(z) = I γ 2 0 + I(z) = 0 e γz + I0 eγz dz 2 où V + V γ = α + jβ = (R + jωl)(g + jωc) 0 : onde qui se propage vers la charge 0 : onde qui se propage vers la source 0 eγz

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 13 / 81 Lignes de transmission Impédance caractéristique Modélisation Lien entre la tension et le courant : Z 0 = V 0 + I 0 + = R + jωl γ = R + jωl G + jωc L impédance caractéristique Z 0 représente le rapport entre la tension et le courant sur la ligne.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 14 / 81 Longueur d onde Lignes de transmission Modélisation Représente la distance parcourue par une sinusoïde pendant 1 période. λ = 2π β La longueur d onde est réduite dans un diélectrique. λ g = λ 0 ɛr où λ 0 = c f

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 15 / 81 Vitesse de phase Lignes de transmission Modélisation Représente la vitesse à laquelle se déplace un point de phase constante. v p = ω β = λ gf La vitesse de phase est réduite dans un diélectrique. v p = c ɛr

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 16 / 81 Ligne sans pertes Lignes de transmission Modélisation Sans pertes : R = G = 0 Les équation se simplifient : L Z 0 = (Z 0 est réel) C γ = jβ = jω LC On obtient aussi : β = ω LC λ = 2π ω LC v p = 1 LC

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 17 / 81 Lignes de transmission Modélisation Paramètres des lignes de transmission L C R G Ligne coaxiale ( ) 2 fils ( ) Plaques parallèles Unité µ b 2π ln µ D µd a π cosh 1 H/m 2a w 2πɛ πɛ ɛ w ln(b/a) cosh 1 F/m ( (D/2a) d R s 1 2π a + 1 ) R s 2R s Ω/m b πa w 2πωɛ πωɛ ωɛ w ln(b/a) cosh 1 S/m (D/2a) d

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 18 / 81 Lignes de transmission Modélisation Paramètres des lignes de transmission La constante diélectrique d un milieu peut être complexe : ɛ = ɛ jɛ = ɛ (1 j tan δ) où tan δ est le facteur de pertes diélectriques, ɛ = ɛ r ɛ 0 ɛ = ɛ tan δ

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 19 / 81 Résistance de surface Lignes de transmission Modélisation R s est la résistance du conducteur en supposant que tout le courant circule à une profondeur égale à la profondeur de pénétration δ s. R s = 1 ωµ = σδ s 2σ

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 20 / 81 Effet de peau Lignes de transmission Modélisation Plus la fréquence augmente, plus le courant circule près de la surface d un conducteur. La densité de courant diminue en se rapprochant du centre du conducteur. La profondeur à laquelle la densité atteint 37% (1/e) de sa valeur à la surface est : δ s = 1 α = 1 πfµσ

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 21 / 81 Transport de puissance Lignes de transmission Modélisation Ligne sans pertes : puissance transportée par les champs électriques et magnétiques aucune puissance transportée dans les conducteurs. Ligne avec pertes : une partie de la puissance entre dans le conducteur dissipation sous forme de chaleur.

Théorie des lignes de transmission Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 22 / 81 Théorie des lignes de transmission Comment intégrer une ligne de transmission dans un circuit? Quel est l impact sur les composantes? L effet principal est la réflexion d onde.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 23 / 81 Théorie des lignes de transmission Ligne sans pertes terminée par une charge On applique une onde V + 0 e jβz à la ligne, à z < 0. V (z), I(z) Z 0, β + V L Z L I L z l 0 La charge peut être n importe quoi : transistor, antenne, etc.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 23 / 81 Théorie des lignes de transmission Ligne sans pertes terminée par une charge On applique une onde V + 0 e jβz à la ligne, à z < 0. V + 0 e jβz V (z), I(z) Z 0, β + V L Z L I L z l 0 La charge peut être n importe quoi : transistor, antenne, etc.

Théorie des lignes de transmission Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 24 / 81 Ligne sans pertes terminée par une charge Le rapport tension-courant sur la ligne est égal à Z 0. À la charge, si Z L Z 0, il faut que le rapport tension-courant soit égal à Z L. Que se passe-t il? Une partie de l onde est réfléchie sur la ligne pour que le rapport tension-courant à la charge soit Z L.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 25 / 81 Tension sur la ligne Théorie des lignes de transmission L onde réfléchie est : V 0 ejβz L onde totale sur la ligne : V (z) = V + 0 e jβz + V 0 ejβz V + V 0 se propage vers la charge (onde incidente), 0 se propage vers la source (onde réfléchie)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 26 / 81 Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion Coefficient de réflexion Le coefficient de réflexion est le rapport entre l onde réfléchie et l onde incidente : Γ = V 0 V 0 + = Z L Z 0 Z L + Z 0 et donc : 1 Γ 1. Coefficient de réflexion Γ = Z L Z 0 Z L + Z 0

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 27 / 81 Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion Coefficient de réflexion La tension sur la ligne est : V (z) = V + 0 (e jβz + Γe jβz) Tension max sur la ligne : V max = V 0 + (1 + Γ ) Tension min sur la ligne : V min = V 0 + (1 Γ )

Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 28 / 81 Rapport d onde stationnaire C est le rapport entre V max et V min. SW R = V max = 1 + Γ V min 1 Γ 1 SW R SWR = Standing Wave Ratio

Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 29 / 81 Puissance Puissance moyenne sur la ligne : P avg = 1 2 V + 0 2 Z 0 ( 1 Γ 2 ) La puissance moyenne est constante et indépendante de z. Si Z L Z 0, la puissance de la source ne se rend pas toute à la charge. Ce sont les pertes par réflexion : RL = Return Loss RL = Γ 2 = 20 log Γ [db]

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 30 / 81 Théorie des lignes de transmission Pertes de désadaptation Coefficient de réflexion Représente combien de gain de plus on aurait si la charge était adaptée (Z L = Z 0 ) : ML = 10 log ( 1 Γ 2) [db] ML = Mismatch Loss

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 31 / 81 Exemple Théorie des lignes de transmission Exemple Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 31 / 81 Exemple Théorie des lignes de transmission Exemple Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML. Γ = SW R 1 SW R + 1 = 0.2

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 31 / 81 Exemple Théorie des lignes de transmission Exemple Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML. Γ = SW R 1 SW R + 1 = 0.2 RL = Γ 2 = 20 log Γ = 0.04 = 14 db

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 31 / 81 Exemple Théorie des lignes de transmission Exemple Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML. Γ = SW R 1 SW R + 1 = 0.2 RL = Γ 2 = 20 log Γ = 0.04 = 14 db ML = 1 Γ 2 = 10 log ( 1 Γ 2) = 0.96 = 0.18 db

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 31 / 81 Exemple Théorie des lignes de transmission Exemple Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML. Γ = SW R 1 SW R + 1 = 0.2 RL = Γ 2 = 20 log Γ = 0.04 = 14 db ML = 1 Γ 2 = 10 log ( 1 Γ 2) = 0.96 = 0.18 db Selon les chiffres, 4% de la puissance est réfléchie et 96% est absorbée par la charge. Si la charge était adaptée, on aurait 0.18dB de puissance de plus à la charge.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 32 / 81 Théorie des lignes de transmission Impédance d une ligne Impédance d une ligne de transmission L impédance vue à l entrée de la ligne de transmission : Impédance de la ligne Z in = Z( l) = Z 0 Z L + jz 0 tan(βl) Z 0 + jz L tan(βl) Z 0, β Z L Z in l

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 33 / 81 Théorie des lignes de transmission Impédance d une ligne Impédance d une ligne de transmission Z in = Z 0 Z L + jz 0 tan(βl) Z 0 + jz L tan(βl) Équation très importante : la ligne transforme l impédance de la charge. Plusieurs cas spéciaux : Charge : circuit ouvert, court-circuit Longueur : λ/4, λ/2, infinie

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 34 / 81 Exemple Théorie des lignes de transmission Impédance d une ligne Soit une ligne de transmission de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l impédance d entrée?

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 34 / 81 Exemple Théorie des lignes de transmission Impédance d une ligne Soit une ligne de transmission de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l impédance d entrée? ( ) 2π βl = (0.3λ) = 0.6π λ Z 0, β Z L Z L + jz 0 tan(βl) Z in = Z 0 Z 0 + jz L tan(βl) 75 + j50 tan(0.6π) = 50 50 + j75 tan(0.6π) Z 0.3λ = 35.2 + j8.6 Ω in L impédance de la ligne est réelle, l impédance de la charge est réelle, mais l impédance d entrée est complexe.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 35 / 81 Théorie des lignes de transmission Exemple : Implications Impédance d une ligne Selon l exemple précédent, on peut faire l équivalence suivante : Z s Z s V g Z 0 = 50Ω 75Ω V g Z in 35.2+j8.6Ω source source Du point de vue de la source, rien n a changé. L équivalence est seulement valide à la fréquence calculée.

Théorie des lignes de transmission Impédance d une ligne Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 36 / 81 Exemple : à faible fréquence On reprend l exemple, mais à faible fréquence : f = 1kHz, et l = 5cm (longueur commune sur planchette). Z s λ = c f = 3 108 1 10 3 = 3 105 V g Z 0 = 50Ω 75Ω βl = 2π λ 5 10 2 l = 2π = 1.05 10 6 3 105 source 5cm Z in = 50 75 + j50 tan(1.05 10 6 ) 50 + j75 tan(1.05 10 6 ) = 75 j0.0006 Ω La longueur de la ligne n a pas d importance : Z in = Z L.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 37 / 81 Z L = 0 Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux Avec un court-circuit (Z L = 0), Γ = 1 SWR = L équation de la ligne est : Z in = jz 0 tan(βl) Si 0 l λ/4, l impédance est inductive Si λ/4 l λ/2, l impédance est capacitive

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 38 / 81 Z L = 0 Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux Variation de l impédance pour une ligne court-circuitée 5 X in Z 0 0 5 5 4 λ λ 3 4 λ λ 2 λ 4 z 0

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 39 / 81 Z L = Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux Avec un circuit ouvert(z L = ), Γ = 1 SWR = L équation de la ligne est : Z in = jz 0 cot(βl) Si 0 l λ/4, l impédance est capacitive Si λ/4 l λ/2, l impédance est inductive

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 40 / 81 Z L = Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux Variation de l impédance pour une ligne avec circuit ouvert 5 X in Z 0 0 5 5 4 λ λ 3 4 λ λ 2 λ 4 z 0

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 41 / 81 l = λ/2 Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux Si la ligne est de longueur λ/2, L équation de la ligne est : Z in = Z L Il n y a pas de transformation d impédance

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 42 / 81 l = λ/4 Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux Si la ligne est de longueur λ/4 + nλ/2, L équation de la ligne est : Z in = Z2 0 Z L C est un transformation de quart de longueur d onde (quarter-wave transformer). C est un cas très important.

Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 43 / 81 Transformateur λ/4 Si Z L = 0, Z in = Si Z L =, Z in = 0 Z in = Z2 0 Z L L impédance de la ligne n est pas importante.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 44 / 81 Théorie des lignes de transmission Ligne branchée à une autre ligne Cas spéciaux Z 0 Z 1 Ligne infinie (ou terminée par Z 1 ) 0 z

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 44 / 81 Théorie des lignes de transmission Ligne branchée à une autre ligne Cas spéciaux Z 0 Z 1 Ligne infinie (ou terminée par Z 1 ) 0 z

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 44 / 81 Théorie des lignes de transmission Ligne branchée à une autre ligne Cas spéciaux Z 0 Γ T Z 1 Ligne infinie (ou terminée par Z 1 ) 0 z

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 44 / 81 Théorie des lignes de transmission Ligne branchée à une autre ligne Cas spéciaux Z 0 Γ T Z 1 Ligne infinie (ou terminée par Z 1 ) 0 z Réflexion : Γ = Z 1 Z 0 Z 1 + Z 0 Transmission : T = 1 + Γ = 2Z 1 Z 1 + Z 0 Pertes d insertion : IL = 20 log T

Abaque de Smith Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 45 / 81 Abaque de Smith Outil graphique très utile Permet de visualiser le comportement des lignes de transmission et des circuits micro-ondes. Développé en 1939 par P. Smith C est un graphe polaire de Γ

Abaque de Smith Abaque de Smith Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 46 / 81

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 47 / 81 Abaque de Smith Abaque de Smith Développement de l abaque de Smith : On commence avec l équation de Γ : On normalise z L = Z L /Z 0 : Γ = Z L Z 0 Z L + Z 0 Γ = z L 1 z L + 1

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 48 / 81 Abaque de Smith Abaque de Smith On isole pour z L : z L = 1 + Γ ejθ 1 Γ e jθ puis on sépare en parties réelles et imaginaires (Γ = Γ r + jγ i ). z L = r L + jx L = (1 + Γ r) + jγ i (1 + Γ r ) jγ i

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 49 / 81 Abaque de Smith Abaque de Smith On sépare les composantes réelles et imaginaire en deux équations : ( Γ r r ) 2 ( L 1 + Γ 2 i = 1 + r L 1 + r L ( (Γ r 1) 2 + Γ i 1 ) 2 ( ) 1 2 = x L x L Ce sont deux équations de cercles. Rappel : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 ) 2

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 50 / 81 Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles de résistance 1-1 0 1-1

Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles de résistance 1 Si r L = 0 : Γ 2 r + Γ 2 i = 1 Centre : (0,0), rayon = 1 r = 0-1 0 1-1 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 50 / 81

Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles de résistance 1 Si r L = 0 : Γ 2 r + Γ 2 i = 1 Centre : (0,0), rayon = 1 Si r L = 0.33 : (Γ r 0.25) 2 + Γ 2 i = (0.75)2 Centre : (0.25,0), rayon = 0.75 r = 0 r = 0.33-1 0 1-1 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 50 / 81

Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles de résistance 1 Si r L = 0 : Γ 2 r + Γ 2 i = 1 Centre : (0,0), rayon = 1 r = 0 r = 0.33 r = 1-1 0 1 Si r L = 0.33 : (Γ r 0.25) 2 + Γ 2 i = (0.75)2 Centre : (0.25,0), rayon = 0.75 Si r L = 1 : (Γ r 0.5) 2 + Γ 2 i = (0.5)2 Centre : (0.5,0), rayon = 0.5-1 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 50 / 81

Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles de résistance 1 Si r L = 0 : Γ 2 r + Γ 2 i = 1 Centre : (0,0), rayon = 1 r = 0 r = 0.33 r = 1 r = 3-1 0-1 1 Si r L = 0.33 : (Γ r 0.25) 2 + Γ 2 i = (0.75)2 Centre : (0.25,0), rayon = 0.75 Si r L = 1 : (Γ r 0.5) 2 + Γ 2 i = (0.5)2 Centre : (0.5,0), rayon = 0.5 Si r L = 3 : (Γ r 0.75) 2 + Γ 2 i = (0.25)2 Centre : (0.75,0), rayon = 0.25 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 50 / 81

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 51 / 81 Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles de réactance 1-1 0 1-1

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 51 / 81 Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles de réactance 1 Si x L = 0.33 : (Γ r 1) 2 + (Γ i 3) 2 = (3) 2 Centre : (1,3), rayon = 3 j0.33-1 0 1 j0.33-1

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 51 / 81 Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles de réactance j1 1 Si x L = 0.33 : (Γ r 1) 2 + (Γ i 3) 2 = (3) 2 Centre : (1,3), rayon = 3 j0.33-1 0 1 Si x L = 1 : (Γ r 1) 2 + (Γ i 1) 2 = (1) 2 Centre : (1,1), rayon = 1 j0.33 j1-1

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 51 / 81 Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles de réactance j1 1 Si x L = 0.33 : (Γ r 1) 2 + (Γ i 3) 2 = (3) 2 Centre : (1,3), rayon = 3 j0.33-1 j0.33 0 j3 j3 1 Si x L = 1 : (Γ r 1) 2 + (Γ i 1) 2 = (1) 2 Centre : (1,1), rayon = 1 Si x L = 3 : (Γ r 1) 2 + (Γ i 0.33) 2 = (0.33) 2 Centre : (1,0.33), rayon = 0.33 j1-1

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 52 / 81 Abaque de Smith Abaque de Smith : cercles combinés On combine les cercles de résistance et d admittance. Les cercles de résistance et de réactance sont orthogonaux.

Abaque de Smith Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 52 / 81 Abaque de Smith : cercles combinés j1 1 On combine les cercles de résistance et d admittance. j0.33 j3 Les cercles de résistance et de réactance sont orthogonaux. r = 0-1 r = 0.33 r = 1 r = 3 0 1 r = j0.33 j3 j1-1

Abaque de Smith Ligne de transmission Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 53 / 81 Effet d une ligne de transmission j0.33 j1 1 j3 Équation d une ligne en fonction de Γ : Z in = Z 0 1 + Γe j2βl 1 Γe j2βl qu on normalise : r = 0-1 r = 0.33 r = 1 r = 3 0 1 r = Z in Z 0 = 1 + Γ ej(θ 2βl) 1 Γ e j(θ 2βl) La différence est le facteur e j2βl. j0.33 j3 j1-1

Abaque de Smith Ligne de transmission Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 54 / 81 Effet d une ligne de transmission j1 1 Le facteur e j2βl représente une rotation de 2βl dans le sens horaire autour du centre de l abaque. j0.33 j3 r = 0-1 r = 0.33 r = 1 r = 3 0 1 r = j0.33 j3 j1-1

Abaque de Smith Ligne de transmission Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 55 / 81 Exemple Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l impédance d entrée? j1 1 j0.33 j3 r = 0-1 r = 0.33 r = 1 r = 3 0 1 r = j0.33 j3 j1-1

Abaque de Smith Ligne de transmission Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 55 / 81 Exemple Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l impédance d entrée? j0.33 j1 1 j3 On normalise : z L = Z L = 75 = 1.5 + j0 Z 0 50 r = 0-1 r = 0.33 r = 1 r = 3 0 1 r = j0.33 j3 j1-1

Abaque de Smith Ligne de transmission Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 55 / 81 Exemple Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l impédance d entrée? j0.33 r = 0-1 j1 0 1 r = 0.33 r = 1 r = 3 j3 1 r = On normalise : z L = Z L = 75 = 1.5 + j0 Z 0 50 La rotation est : θ = 0.3 180 = 216 0.25 j0.33 j3 j1-1

Abaque de Smith Ligne de transmission Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 55 / 81 Exemple Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l impédance d entrée? j0.33 r = 0-1 j1 0 1 r = 0.33 r = 1 r = 3 j3 1 r = On normalise : z L = Z L = 75 = 1.5 + j0 Z 0 50 La rotation est : θ = 0.3 180 = 216 0.25 j0.33 j3 Le nouveau point est 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω j1-1

Abaque de Smith Admittances Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 56 / 81 Cercles d admittance j1 1 Pour des admittance y = g + jb, on peut aussi tracer des cercles. j3 j0.33 g = -1 g = 3 g = 1 g = 0.33 0 1 g = 0 j3 j0.33 j1-1

Désadaptation à la source Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 57 / 81 Désadaptation à la source Qu arrive-t-il si la source n est pas adaptée à la ligne (Z 0 Z g )? Z g Γ Γ L I L V g + Z in + V in Z 0 l + V L 0 Z L z Il y a réflexion à l entrée de la ligne.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 58 / 81 Désadaptation à la source Désadaptation à la source V g + Z g Z in Γ + V in La puissance à la charge est : Z 0 l Γ L + V L 0 I L Z L z V in = P = 1 2 Re{V iniin} = 1 { } 1 2 V in 2 Re = 1 Z in 2 V g 2 Z in Z in + Z g Z in Z in + Z g V g 2 { } 1 Re Z in

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 59 / 81 Désadaptation à la source Désadaptation à la source On substitue Z in = R in + jx in et Z g = R G + jx g, R in P = 1 2 V g 2 (R in + R g ) 2 + (X in + X g ) 2 On analyse deux cas. Cependant, Z g est fixe. 1 Charge adaptée (Z L = Z 0 ) 2 Source adaptée (Z in = Z g )

Désadaptation à la source Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 60 / 81 Cas 1 : charge adaptée Z L = Z 0 Γ L = 0 Z in = Z 0, P = 1 2 V g 2 Z 0 (Z 0 + R g ) 2 + X 2 g Pour P max, il faut que Z g soit faible.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 61 / 81 Cas 2 : source adaptée Désadaptation à la source Z in = Z g Γ = 0 R g P = 1 2 V g 2 4(Rg 2 + Xg 2 ) Même si Γ = 0, il peut quand même y avoir des ondes stationnaires sur la ligne. La puissance à la charge n est pas nécessairement plus grande que le cas 1.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 62 / 81 Cas 2 : source adaptée Désadaptation à la source Pour maximiser la puissance : P R in = 0 et P X in = 0 Ce qui donne, pour un transfert maximum de puissance, Z in = Z g La puissance est alors : P = 1 2 V g 2 1 4R g Γ et Γ L ne sont pas nécessairement 0.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 63 / 81 Ligne avec pertes Ligne avec pertes Dans le cas d une ligne avec des faibles pertes, α 0, et donc l équation de la ligne est : Z in = Z 0 Z L + Z 0 tanh(γl) Z 0 + Z L tanh(γl) où γ = α + jβ

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 64 / 81 Ligne avec pertes Ligne avec pertes Le coefficient de réflexion est : Γ(l) = Γ L e 2γl La puissance à l entrée de la ligne (z = l) est : P in = V + 0 2Z 0 ( 1 Γ(l) 2 ) e 2αl La puissance fournie à la charge est : P in = V + 0 2Z 0 ( 1 ΓL 2)

Paramètres S Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 65 / 81 Paramètres S À des fréquences élevées (> 100MHz environ), il est difficile d obtenir des bons circuits ouverts ou court-circuits pour mesurer les caractéristiques d un circuit. Il est aussi difficile de mesurer des tensions et courants à des fréquences élevées. Par contre, il est relativement facile de mesurer des ondes à l aide de coupleurs directionnels. Pour ces raisons, on utilise une matrice de dispersion (scattering matrix) pour caractériser les circuits hyperfréquences. On applique une onde au circuit, et on mesure l onde réfléchie.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 66 / 81 Paramètres S Paramètres S Définition Permet de relier les ondes appliquées aux ondes réfléchies. a 1 a 2 Réseau 2 ports b 1 b 2 Plan de référence [ b1 b 2 ] [ ] [ ] S11 S = 12 a1 S 21 S 22 a 2 Note : les paramètres S sont aussi définis pour plus de 2 ports.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 67 / 81 Paramètres S Paramètres S Définition Pour obtenir les paramètres : S 11 = b 1 a2 a = V 1 1 =0 V + 1 S 21 = b 2 a2 a = V 2 1 =0 V + 1 V + 2 =0 S 12 = b 1 V + 2 =0 S 22 = b 2 a1 a = V 1 2 =0 V + 2 a1 a = V 2 2 =0 V + 2 V + 1 =0 V + 1 =0

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 68 / 81 Paramètres S Paramètres S Définition Définition des paramètres : Onde réfléchie au port 1 S 11 = Onde incidente au port 1 = Γ 1 Onde transmise au port 1 S 12 = = Gain de 2 à 1 Onde incidente au port 2 Onde transmise au port 2 S 21 = = Gain de 1 à 2 Onde incidente au port 1 Onde réfléchie au port 2 S 22 = Onde incidente au port 2 = Γ 2

Paramètres S Définition Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 69 / 81 Paramètres S Les paramètres S peuvent donner de l information quant au réseau : Si [S] = [S] T : le réseau est réciproque. Un réseau réciproque est le même dans les deux sens. Utile surtout pour les antennes. Sans pertes si : S 11 2 + S 21 2 = 1 S 12 2 + S 22 2 = 1

Paramètres S Plan de référence Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 70 / 81 Paramètres S : plan de référence Les paramètres S dépendent du plan de référence : la distance à laquelle ils sont mesurés. Cependant, si on veut déplacer le plan de référence, il suffit de modifier la phase du paramètre S : S ij = S ij e j(θ i+θ j )

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 71 / 81 Paramètres S Paramètres S : plan de référence Plan de référence Exemple : À cause des équipements, on ne peut pas mesurer directement le circuit. Il a fallu rajouter des longueurs. Nouveau 1 1 plan 2 2

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 72 / 81 Paramètres S Paramètres S : plan de référence Plan de référence Exemple : Si les paramètres S mesurés sont donnés ci-bas, quelle est la nouvelle valeur si on déplace le plan de référence de 10 à l entrée et 15 à la sortie? [ ] 0.1 (6 ) 0.9 (67 ) [S] = 0.9 (45 ) 0.12 (6 ) S 11 = 0.1 [6 (10 + 10)] = 0.1 ( 14 ) S 12 = 0.9 [67 (10 + 15)] = 0.9 (42 ) S 21 = 0.9 [45 (15 + 10)] = 0.9 (20 ) S 22 = 0.12 [6 (15 + 15)] = 0.12 ( 24 )

Paramètres S Plan de référence Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 73 / 81 Paramètres S : plan de référence De la même façon qu on déplace le plan de référence, on peut utiliser cette technique pour éliminer l effet des câbles lors des mesures. On appelle ceci du deembedding.

Paramètres S Mesure Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 74 / 81 Paramètres S : mesure V g Z 0 Source Z 0 DUT Z 0 Z 0 Plan de référence Câbles de mesure DUT : Device Under Test

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 75 / 81 Paramètres S : mesure Paramètres S Mesure Pour le cas général, si on connaît les paramètres S et la charge, Z S [S] Z L Γ S Γ 1 Γ 2 Γ L Γ 1 = S 11 + S 12S 21 Γ L 1 S 22 Γ L Γ 2 = S 22 + S 12S 21 Γ S 1 S 11 Γ S

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 76 / 81 Paramètres S : mesure Paramètres S Mesure Analyseur de réseau : Agilent E8361C, 10MHz à 67GHz, 147,000$

Paramètres S Utilité Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 77 / 81 Paramètres S : information Les paramètres S permettent de rapidement déduire le comportement d un circuit en fonction de la fréquence. Avec S 11, on peut voir si le circuit est bien adapté. S 21 permet de voir le gain (ou perte) à chaque fréquence. S 22 permet de voir l adaptation à la sortie.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 78 / 81 Paramètres S : exemple Paramètres S Utilité Soit le circuit suivant. C est un circuit qui alimente deux transistors avec du DC (à partir du port 3). Un signal devrait passer du port 1 au port 2 sans s échapper par le port 3 (à 40GHz). ➀ ➁ ➂

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 79 / 81 Paramètres S : exemple Paramètres S Utilité Certains paramètres S du circuit précédent : 0 10 S 21 S 11 Amplitude (db) 20 30 S 31 40 50 0 10 20 30 40 50 Frequency (GHz)

Conclusion Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 80 / 81 Conclusion Ce chapitre forme la base du cours. Il est essentiel de bien comprendre tous les éléments, en particulier : Ligne de transmission : coefficient de réflexion, puissance. Abaque de Smith : utilisation. Cas spéciaux de ligne de transmission. Paramètres S

Problèmes suggérés Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 1 Hiver 2012 81 / 81 Problèmes suggérés Dans le manuel de Pozar : 2.2, 2.6 à 2.15, 2.17 à 2.25, 2.30 Et aussi les exemples du PDF.