Mathématiques e sec : Chapitre Les nombres réels et leurs propriétés Nom : Groupe : Le cube et la racine cubique Le symbole signifie «racine cubique». Extraire la racine cubique consiste à chercher le nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne le nombre qui se trouve sous le radical. Il s agit de l opération inverse d élever au cube. L expression a se lit «racine cubique de a». L expression a se lit «a au cube». Si a = x, alors x = a. Les dix premiers nombres cubiques sont : car :, 8, 7, 6,, 6,,, 79, 000 Exemples : a) =, puisque = b) c) Calculatrice : Pour élever un nombre au cube, il faut utiliser le bouton : Pour extraire la racine cubique, il faut utiliser les boutons :
La notation exponentielle L exponentiation est l opération qui consiste à affecter une base d un exposant afin d obtenir une puissance. Rappels : Notation Base et exposant un Exemple Le résultat est égal à la base. a = a Base et exposant zéro Le résultat est égal à. a 0 = Dans certains cas, il est possible d exprimer une expression écrite sous la forme exponentielle en notation fractionnaire ou à l aide d un radical. Notation Base avec un exposant négatif Exemple. a -n = Base et l exposant = Base et l exposant =
On se pratique!. Détermine la valeur des racines cubiques suivantes. a) = c) = b) 00 d) 6 =. Récris chacune des expressions suivantes de façon à éliminer l exposant. a) 7 = e) = b) 7 = f) = c) 7 = g) = d) 7 =. Récris chacune des expressions suivantes de façon à éliminer les radicaux. a) = c) = b) = d) =. Récris chacune des expressions suivantes de façon à éliminer l exposant négatif. a) = e)!"= b) # 9& = f)! '"( = c) = d) =
Loi des exposants Les lois des exposants permettent d effectuer des opérations qui font intervenir des expressions écrites sous la forme exponentielle. Loi Exemples Produit de puissances de même base Pour a 0 a m x a n = a m + n Quotient de puissances de même base Pour a 0 a m a n = a m n Puissance d un produit Pour a 0 *+, 0 ( m m a b) = a b m Puissance d un quotient Pour a 0 *+, 0 a ( ) b m a = b m m Puissance d une puissance Pour - 0 -./ =- 0
On se pratique!. Exprime chaque résultat par une base affectée d un seul exposant positif. a) - 7 = d) 7 7 = g) = b) 9 = e) ( ) 7 = h) ( ) ( ) 8 = c) - - = f) ( - ) =. Dans chaque égalité suivante, détermine la valeur de «n» qui fait que l égalité est vraie. a) 0 = b) 0 = c) 0 = d) 8 0 8 =8 e) 8 0 8 =8 f) 8 8 0 =8 g) # & 0 = h) # & 0 = i) #! & 0 =
. Calcule la valeur des expressions suivantes. a) = d) ( ) = b) ( ) = = e) ( ) c) ( ) = f) ( ) 7 =. Calcule le résultat des opérations suivantes à l aide des lois des exposants. a) = f) ( ) = b) 7 = c) = 7 d) = e) 7 6 = 6
Notation exponentielle : changements de base Avant d effectuer des multiplications ou des divisions entre nombres en notation exponentielle, il faut s assurer qu ils ont la même base. Pour transformer deux nombres en notation exponentielle sous la même base : ❶ Repérer la plus petite base. ❷ Tenter d exprimer les autres nombres avec cette base affectée d un exposant. ❸ Utiliser la loi #- 0 &. =- 0. et ensuite les autres lois. Exemple : ' ❶ La plus petite base est. ❷ 9= et 7= ❸ ' = # & # & = On se pratique! Réécris chaque expression sous la forme d une puissance de la plus petite base possible. a) = b) : = 7
La notation scientifique La notation scientifique est universelle. Utilisée surtout en sciences, cette notation facilite la lecture, l écriture et la comparaison de très grands et de très petits nombres. Écrire un nombre en notation scientifique, par exemple 00 000, c est le décomposer en deux facteurs. Premier facteur (appelé «la mantisse») Nombre décimal supérieur ou égal à, mais inférieur à 0, formé de chiffres significatifs. Deuxième facteur Puissance de 0 en notation exponentielle, qui indique l ordre de grandeur du nombre.,0 X 0 6 Premier chiffre significatif non nul Autres chiffres significatifs conservés Si le nombre initial est supérieur à, l exposant est positif. Si le nombre initial est compris entre 0 et, l exposant est négatif. Voici quelques exemples : Nombre Calculs Notation scientifique 000 000 Mantisse : Signe de l exposant : Puissance : 0,000 000 0 Mantisse : Signe de l exposant : Puissance : 0,000 00 7 Mantisse : Signe de l exposant : Puissance : Attention : Si le nombre est écrit sous forme de fraction ou de pourcentage : ❶ l écrire en nombre décimal ❷ le transformer en notation scientifique 8
On se pratique!. Exprime les nombres suivants en notation scientifique. a) 00 000 : d)! : b) 0,000 000 000 : e) 0 % : c) 67 9, : f) 0, % :. Exprime les nombres suivants à l aide de la notation décimale. a), 0 6 : d) 0-7 : b) 9, 0 : e),77 7 0-0 : c) 6,9 0 - : 9
Ajustement de la mantisse lorsqu elle ne respecte pas la condition de commencer par un nombre entre et 9. ❶ Transformer la mantisse en notation scientifique. On obtient un nombre multiplié par deux puissances de 0: - 0 0 0.. ❷ Regrouper les 0 0 0. en additionnant les exposants. (n+m). On se pratique!. Rendre en notation scientifique. a) 7 6 0 b) 0, 0 c) 0,006 0 d) 600 0 0 Système international d unités: Les préfixes du système international permettent de simplifier l écriture de certaines mesures. Ces préfixes renvoient à des puissances particulières de 0. Voici quelques exemples : Puissance de 0 Nombre Préfixe Symbole Mot Exemple 0 000 000 000 000 téra T Billion To x 0 octets 0 9 000 000 000 giga G Milliard 6, GW = 6, 0 9 watts 0 6 000 000 méga M Million MHz = 0 6 hertz 0 000 kilo k Mille 00 kj = 00 0 joules 0 00 hecto h Centaine hm = 0 mètres 0 0 déca da Dizaine dal = 0 litres 0 0 Unité 0 0, déci d Dixième db = 0 - bels 0 0,0 centi c Centième, cl =, 0 - litre 0 0,00 milli m Millième 7 mm = 7 0 - mètre 0 6 0,000 00 micro µ Millionième,8 µn =,8 0-6 newton 0 9 0,000 000 00 nano n Milliardième 0 ns = 0 0-9 seconde 0-0,000 000 000 00 pico p Billion nième pm = x 0 - seconde 0
Pièges et astuces La mathématique est un langage universel, mais le vocabulaire employé pour nommer les nombres diffère d une langue à l autre. Ainsi, au Canada anglais et aux États-Unis, le mot anglais billion est l équivalent français de «milliard». Le mot trillion est l équivalent français de «billion». Voilà pourquoi il est avantageux d utiliser la notation scientifique et les préfixes du SI pour communiquer de très grands et de très petits nombres. Écriture en notation scientifique de nombres associés à une unité de mesure de base ayant un préfixe. Transformer le nombre en notation scientifique : - 0 0 Changer le préfixe par le 0. correspondant dans le tableau de la page. On obtient : - 0 0 0.. Regrouper les 0 0 0. en additionnant les exposants. (n+m). Écrire le nombre en y ajoutant l unité de base correspondant. On se pratique!. Récris les grandeurs suivantes en notation scientifique avec l unité de base. a) 80 mégawatts = b) 6 microsecondes = c) 60 téramètres = d) 000 millilitres = e) 78 gigaoctets
Calculatrice et notation scientifique Il faut bien connaitre sa calculatrice afin de l utiliser correctement en notation scientifique. Bouton(s) important(s) :. Effectuer le calcul suivant : 000 000 000 x 000 000 Votre calculatrice affiche : Ce qui correspond à la notation scientifique : Et à la notation décimale : Pourquoi votre calculatrice affiche-t-elle le résultat de cette multiplication en notation scientifique?:. Écrivez toutes les étapes pour effectuer le calcul suivant sur la calculatrice., 0, 0 Résultat affiché sur la calculatrice : Réponse à écrire sur votre feuille :
Attention : Pour entrer des exposants négatifs, il faut utiliser le bouton : Ex. : Effectuez le calcul suivant et donner votre réponse en notation scientifique., 0, 0 Rép. : On se pratique! Effectue les calculs suivants et donne ta réponse en notation scientifique. a) 8, 0 0 +, 0 b) 8, 0 0 +, 0 c) 8,0 0 +, 0 d) 9, 0, 0 7 e) 0 0 f) 0 0 g), 0, 0 0 h) 0 i) 0 0
Opération avec la notation scientifique sans calculatrice. A) Addition et soustraction - S assurer que les exposants de 0 n sont IDENTIQUES. - Additionner ou soustraire les mantisses (a). - S assurer que la réponse est en notation scientifique. B) Multiplication - Multiplier les mantisses ensemble. - Regrouper les 0 0 en additionnant les exposants. - S assurer que la réponse est en notation scientifique. c) Division - Diviser les mantisses ensemble. - Regrouper les 0 0 en soustrayant les exposants. - S assurer que la réponse est en notation scientifique On se pratique! Effectue les calculs suivants et donne ta réponse en notation scientifique. a) 0 0 b) 0 0 c) 0 0 d) 8, 0 0 +, 0
Problèmes écrits et notation scientifique ) S assurer de bien comprendre la question et la signification des mots mathématiques. ) Numéroter, nommer et laisser des traces complètes de démarche en laissant les unités requis à la fin de chaque calcul. ) Vérifier si la réponse finale doit être donnée en notation décimale, en notation scientifique ou au choix et formuler une phrase. On se pratique! : cahier intersection p. # La vitesse de la lumière est approximativement de 00 000 km/s. Exprime les réponses aux deux questions suivantes à l aide de la notation scientifique. a) La circonférence de la Terre est d environ 0 000 km. Combien de temps, en heures et en minutes, faudrait-il pour en faire le tour à la vitesse de la lumière? Réponse : b) La lumière du soleil prend environ 8 minutes et 9 secondes pour arriver jusqu à la Terre. Quelle est la distance qui sépare le Soleil de la Terre. Réponse :
On se pratique! : cahier Intersection p.6 # Une galaxie contient en moyenne, 0 étoiles. En l an 000, des astronomes ont estimés qu il existait suffisamment de galaxies dans l Univers pour en distribuer 0 à chaque être humain. Estime le nombre d étoiles présentes dans l Univers s il y avait 6 milliards d êtres humains en 000. 6
Les ensembles de nombres : Ensemble de nombres Les nombres naturels Les nombres entiers Symbole Description Ex. : IN IN {0,,,,...} Z Z {...,,, 0,,,...} Les nombres rationnels Q Nombres qui peuvent être écrits sous la forme b a où a et b sont des nombres entiers, et b est différent de 0. Sous la forme décimale, il y a une suite fini ou infini mais périodique de chiffres à droite de la virgule. Les nombres irrationnels Q Nombres qui ne peuvent pas s exprimer comme un quotient d entiers. Les nombres réels IR Sous la forme décimale, il y a une suite infinie et non périodique de chiffres à droite de la virgule.. Nombres qui appartiennent à l ensemble des nombres rationnels ou à l ensemble des nombres irrationnels. Quelques symboles utiles : Symbole (signification) (est élément de) (n est pas élément de) Exemple Explication Le nombre est élément de (ou appartient à) l ensemble. Le nombre n est pas élément de (ou n appartient pas à) l ensemble. + (positif) + Tous les éléments de qui sont positifs. - (négatif) * (non nul) (le symbole se lit «étoilé») Tous les éléments de Tous les nombres naturels sauf 0. = {,,,, } qui sont négatifs. 7
Exercices. Écris les nombres suivants en notation décimale. a) c) 0 b) 9, 0 d) 7, 7 0 6 8, 0 e), 0 f) 6, 0. Écris les nombres suivants en notation scientifique. a) 000 000 000 b) 0,000 000 0 c) -0 000 000 d) -0,000 000 987 e) 6 780 000 000 f) -0,000 76 g) 0,000 000 7 8 h) 000. Vrai ou faux? Si l énoncé est faux, justifie ta réponse. a) (-) = - : b) = : c) ( ) = : d) 7 + 7 = 7 8 : e) 8 = : f) 7 = : g) (- 0 ) = (-) : h) 7 = 8 8 : 7 i) (7 ) = 7 7 : j) 9 9 = 9 : 8
. Applique les lois des exposants à chaque expression pour la simplifier ou l exprimer autrement, sans la calculer. 0 a), = b) = c) 8 = d) = 6 8 e) = 8 6 f) ( ) =. Place les nombres suivants dans le bon ensemble : π 7,99-0 89-98 9 0, -0, - 000 000 0,000 - -99 9 8 6. Complète les expressions suivantes à l aide du symbole approprié ( ou ). a) b) e) π i) 7, f) 6 j) 7 c) -0, g) 0 d) π h) 8 9
7. Écris chacun des nombres suivants sous la forme d une fraction réduite. a) 0, : d) 7% : b) 0, : e) - : c) -0,000 : f) 0, 6 : 8. Les résultats des calculs suivants appartiennent-ils aux ensembles proposés? Réponds par oui ou par non. + X 9. Parmi les nombres ci-dessous, encercle ceux qui ne sont pas des nombres rationnels. 8 6 0, 9 π,,,6 7, n m 0. Utilise la loi a a =. a) 7 7 = b) = c) 0 = d) 7 = e) 6 = f) =.Utilise la loi a n m a =. a) 7 7 = b) = c) 0 = d) 7 = e) 6 = f) = 0
n m.utilise la loi ( a ) =. a)( ) 7 = b) ( ) = c) ( ) 0 = 7 d)( ) 6 = e) ( ) = f) ( ) =.Effectue des changements de base et ensuite utilise la loi des exposants. a) 6 b) 9 c) 8 0 d).réduis les expressions suivantes. Ta réponse doit avoir une base affectée d un exposant positif. a) 7 8 = c) = b) = d) 8 6 =.Utilise la loi des exposants pour réduire les expressions suivantes. a) 8 b) c) 6 6 7 d) 6 6 e) 8 f)
6.Réduis les expressions suivantes. Donne ta réponse sous la forme a) ( ) b) ( ) 6 c) e) n a. d) 7 f)( 8 ) g) ( ) h)( ) i)( ) 8 j)( ) 8 8 7. Utilise la loi des exposants pour réduire les expressions suivantes. a) c) e) g) b) 6 6 6 d) f) h) i) 8 k) 8 7 7 j) 8 8 l) 8 6 8.Réduis les expressions suivantes. Donne ta réponse sous la forme n a où n est positif. 8 a) c) 6 b) 0 d) 9
9.Place le symbole approprié (<, >, =) entre chaque paire d expressions. a) 6 6 6 6 6 b) c) 0 e) ( ) g) ( 8 ) 0 6 d) 6 6 7 f) 7 8 8 7 8 h) 8 6 8 0. Exprime les expressions suivantes en notation exponentielle sans exposant négatif. a) 6 6 6 6 6 b) c) 7 7 7 7 7 7 d) ( )( ) e) 9 9 9 9 f) ( ). Calcule la valeur des expressions suivantes. a) ( 7 ) = e) = b) ( ) = f) 8 = 7 c) 7 = 08 g) = d) 700 7 = 800 h) = 6
. Trouve la valeur de x. a) b) c) x 6 = x = x = 0 8 7 x d) = e) ( x ) = 6 n n+ m. Isabelle affirme que ( a ) a =. Montre qu elle a tort à l aide d un contre-exemple. m. La vitesse moyenne d un avion est d environ, 0 6 m/h. Combien de kilomètres cet avion pourrait-il parcourir en 7 heures minutes?..une fusée se déplace vers la Terre à une vitesse de, 0 km/h. Si sa vitesse reste constante, dans combien de secondes arrivera-t-elle sur la Terre sachant qu elle doit franchir une distance de 0 m? Donne ta réponse en secondes.
Corrigé des exercices. a) 00 000 b) 0,000 000 7 c) - 0 000 000 d) -0,000 008 e) 000 000 000 f) 0,000 06. a) x 0 9 b), x 0-8 c) -, x 0 8 d) -9,87 x 0-7 e),678 x 0 0 f) -7,6 x 0 - g),78 x 0-7 h), x 0 7. Voir l enseignant pour les justifications. a) F b) F c) F d) F e) V f) F g)v h) V i) F j) F. a), b) c) 8 d) 8 e) 8 f) 0 6. - 999-0 89 6. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 7. a) b) c) 0000 d) e) - f) 8.
9. 0,, Π, et 0. a). a) 8 7 b) 7 b) c) 7 7 d) = c) = e) d) 9 = e) 9 = f) = f) 0 = 6. a) 7 b) c) 0 d) e) 0 f). a). a) 6 b) b). a) 9 b) 6. a) g) 8 b) 7 c) 6 c) c) 7 d) c) h) 6 i) d) d) d) j) 6 e) f) 7 e) 0 f) 8 7. a) b) c) 6 d) e) 6 f) 6 g) 6 h) 6 i) j) k) l) 8. a) b) c) d) 9. a) = b) > c) > d) > e) = f)= g) > h)> 0. a) 6 b) c) x d) x 7 6 e) 9 f). a) 8 b) c) d) 0 e) f) 6 g) h). a) x = b) x = 0 c) x = d) x = e) x =. Voir enseignant. L avion aura parcouru 9 00 km.. La fusée arrivera sur la Terre dans environ,7 secondes. 6
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Devoirs pour le chapitre Cours Exercices dans le document de notes et feuilles Exercices dans le cahier intersection Cours Cours Cours Cours Cours 6 Cours 7 Cours 8 Cours 9 Cours 0 Cours 8