Marche aléatoire - Corrigé Modèle mathématique d'un système possédant une dynamique discrète composée d'une succession de pas aléatoires, ou effectués «au hasard» On les utilise en particulier en mathématiques, en économie et en physique théorique Un pion est placé sur la case de départ du plateau ci-dessous : Le lancer d une pièce bien équilibrée détermine le déplacement du pion : PILE, le pion se déplace vers la droite, FACE, le pion se déplace vers la gauche A chaque lancer, on attribue le réel si le résultat est PILE et si le résultat est FACE Un trajet est une succession de déplacements La variable aléatoire est la somme des nombres ou correspondant aux lancers d un trajet On s intéresse à l évènement : «Le pion est revenu à la case départ après les déplacements d un trajet» Partie A Premiers résultats 1) a) Quelles sont les valeurs possibles de si le pion effectue un trajet d un seul déplacement? peut prendre les valeurs ou b) Quelle est alors la valeur de? Il n est pas possible que le pion revienne à la case départ après un trajet unique 2) a) Déterminer la loi de probabilité de lorsque le pion effectue un trajet de deux déplacements (On pourra s aider d un arbre de probabilité) prend les valeurs, 0 ou 2 b) Quelle est alors la valeur de? 3) L algorithme ci-dessous permet de réaliser la simulation d un trajet à déplacements, la valeur de pouvant être choisie par l utilisateur Variables N nombre de déplacements S somme des déplacements du trajet A, I nombres entiers Installations Saisir N
S prend la valeur 0 Traitement Pour I variant de 1 à N A prend la valeur d un entier aléatoire 0 ou 1 Si A=1 Alors S prend la valeur S+1 Sinon S prend la valeur S 1 Fin Si Fin Pour Sortie Afficher S Utiliser cet algorithme pour réaliser plusieurs simulations dans le cas où le pion effectue un trajet de 1 ou 2 déplacements Vérifier que les valeurs obtenues sont cohérentes avec les résultats des questions précédents Algorithme en langage machine CASIO - MARCHE 0 S For 1 K To N Int (Ran# 2) A If A = 1 Then S+1 S Else S 1 S S TI - MARCHE : Prompt N : 0 S : randint (0,1) A : If A = 1 : S+1 S : Else : S 1 S : Disp S 3) a) Modifier l algorithme précédent de façon à pouvoir simuler plusieurs trajets du pion et de calculer la fréquence de l évènement Variables N nombre de déplacements K nombre de trajets S somme des déplacements d un trajet A, I nombres entiers Installation Saisir N Saisir T S prend la valeur 0 B prend la valeur 0 Traitement Pour I variant de 1 à T Pour K variant de 1 à N A prend la valeur d un entier aléatoire 0 ou 1 Si A = 1 Alors S prend la valeur S+1 Sinon S prend la valeur S 1
Fin Pour Sortie Afficher B/T Fin si Si S = 0 Alors B prend la valeur B+1 Fin Fin Pour Algorithme en langage machine CASIO - FREQMARC 0 B ClrList 1 For 1 I To N 0 S For 1 K To N RanInt#(0,1) A If A = 1 Then S+1 S Else S 1 S S List 1 [I] If List 1 [I] = 0 Then 1 + B B B T F F TI - FREQMARC : Prompt T : Prompt N : 0 B : Clear List (L 1 ) : 0 S : randint(0,1) A : If A = 1 : S+1 S : Else : S 1 S : S L 1 : If L 1 = 0 : 1 + B B : B T F : Disp F b) Quelle est la valeur de dans le cas où le pion effectue des trajets de 3 déplacements? De 5 déplacements? c) Quelle observation peut-on faire? Lorsque le trajet compte un nombre impair de déplacement, le pion ne peut pas revenir à la case départ Ce résultat se généralise-t-il? Pourquoi? Le résultat se généralise car pour revenir à la case départ, il faut faire un nombre pair de déplacements (aller et retour)
Partie B Retour à la case départ 1) Le pion effectue un trajet de 4 déplacements Utiliser l algorithme de la question A pour simuler plusieurs trajets du pion et obtenir une estimation de On pourra s aider du tableau suivant : Nombre d essais Fréquence de 0,38 0,36 0,372 Fréquences obtenues en faisant fonctionner le programme sur la calculatrice 2) a) Déterminer la loi de probabilité de prend les valeurs ou On peut déterminer la loi de probabilité de à l aide d un arbre de probabilité On obtient : b) En déduire la valeur de et comparer cette valeur à l estimation obtenue dans la question B1) C est une valeur proche des fréquences obtenues à l aide de la calculatrice 3) a) Déterminer une estimation de la valeur dans le cas où le pion effectue un trajet de 10 déplacements, de 100 déplacements, puis de 500 déplacements Lors d un trajet de 10 déplacements, il y a possibles Pour revenir à la case départ, il faut qu il y ait autant de PILE que de FACE Il y a donc cas favorables Donc Lors d un trajet de 100 déplacements, il y a possibles Le nombre de cas favorables est Donc Lors d un trajet de 500 déplacements, il y a possibles Le nombre de cas favorables est Donc b) Comment évolue quand augmente en restant pair? Quand augmente en restant pair, tend vers 0 4) a) Soit la variable aléatoire égale au nombre de PILE obtenus quand le pion effectue déplacements Quelle loi suit? Pour chaque déplacement, il n y a que deux résultats possibles ou correspondant à PILE ou FACE Chaque déplacement est effectué de manière indépendante et identique On peut assimiler un déplacement à un
schéma de Bernoulli de paramètre et la variable aléatoire, comptant le nombre de PILE lors de déplacements, à une loi binomiale de paramètres et b) Vérifier que pour tout entier compris entre 0 et : Pour un trajet de déplacements, s il y a PILE, il y a alors FACE est égale à c) En déduire la valeur de quand est pair, c est-à-dire quand, avec entier naturel On retrouve les calculs obtenus pour avec et