TRACTION COMPRESSION EXERCICES P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAMUR 1
Problème de contrôle - Effort maximum pouvant être supporté par un élément Concerne : élément de section constante (barre, tige), matériau élastique, effort normal centré (sans considération du flambage si élément sollicité en compression) 2 critères doivent être pris en considération : le critère résistance (toujours) et le critère déformation: critère résistance (la pièce ne doit pas se rompre) de : σ= N S σ limite N σ limite S avec : σ : contrainte normale σ limite : contrainte normale limite (en traction ou en compression) N : effort normal S : section de la pièce et on obtient l'effort maximum pouvant être supporté par l'élément en divisant cette charge par 1,5 N 1 critère déformation (la pièce ne doit pas subir de déformation excessive) de : Δ L= NL ES N ES Δ L avec : L ΔL : allongement ou rétrécissement max pouvant être subi par la pièce N : effort normal L : longueur de l'élément S : section de la pièce E : module d'élasticité du matériau constitutif et on obtient ainsi l'effort maximum pouvant être supporté par l'élément (pas de majoration de la charge pour le critère déformation) N 2 Et l'effort maximum pouvant être supporté par l élément est : N = Min { N 1 ; N 2 } Si : N Min { N 1 ; N 2 }, la section doit être augmentée (voir établissement d'une section). Section circulaire Rappel formules Surface section circulaire de diamètre d : S= π d 2 Diamètre d'une surface de section S : d =2 S π P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAMUR 2
Problème de contrôle Une barre de section circulaire (diamètre = 1,5 cm L = 2 m ) en acier doux ( σ limite = 2 kn/cm 2 et E = 21 000 kn/cm 2 ) est sollicitée par un effort de traction de 20 kn. On demande de contrôler la section de la barre et de calculer son allongement. Contrôle de la section Seul le critère résistance doit être pris en considération. N σ limite S avec : σ limite = 2 kn/cm 2 S= π d 2 1,52 =π =1,77cm2 N 2,1kN et en divisant par le 1,5, il faut : N 2,1 =28,27 kn 1,5 section OK puisque : 20 kn 28,27kN Allongement de la barre Δ L= N x L E x S avec : N = 20 kn L = 2 m = 200 cm E = 21 000 kn/cm 2 S= π x d 2 = π x 1,5 2 = 1,77 cm 2 Δ L=0,11cm P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAMUR 3
Problème de contrôle Une barre de section circulaire (diamètre =2cm L = 10 m ) en acier doux ( σ limite = 2 kn/cm 2 et E = 21 000 kn/cm 2 ) est sollicitée par un effort de traction de 50 kn. On demande de contrôler la section de la barre, son allongement devant rester à 0,8 cm. Les 2 critères (critère résistance et critère déformation) doivent être pris en considération. Critère résistance N σ limite S avec : σ limite = 2 kn/cm 2 S= π d 2 22 =π =3,1 cm2 N 75,36 kn N 1 = 75,36 =50,2 kn 1,5 Critère déformation N ES Δ L avec : L E = 21 000 kn/cm 2 S = 3,1 cm 2 ΔL = 0,8 cm L = 1000 cm N 52,75 kn N 2 =52,72kN Et il faut : N = 50 kn Min{50,2 ; 52,72}, ce qui est bien le cas section OK P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAMUR
Problème d'établissement Détermination de la section d'un élément Concerne : élément de section constante (barre, tige), matériau élastique, effort normal centré (sans considération du flambage si élément sollicité en compression) La section d'un élément sollicité par un effort normal centré doit répondre à 2 critères : le critère résistance (toujours) et le critère déformation. critère résistance (la pièce ne doit pas se rompre) de : σ= N S σ limite S N σ limite avec : σ : contrainte normale σ limite : contrainte normale limite (en traction ou en compression) N : effort normal majoré (x 1,5) S : section de la pièce et on obtient ainsi la section minimum requise pour satisfaire au critère résistance soit S 1 cette section. critère déformation (la pièce ne doit pas subir de déformation excessive) de : Δ L= NL ES S NL E Δ L avec : ΔL : allongement ou rétrécissement max pouvant être subi par la pièce N : effort normal (non majoré) L : longueur de l'élément S : section de la pièce E : module d'élasticité du matériau constitutif et on obtient ainsi la section minimum requise pour satisfaire au critère déformation soit S 2 cette section. Et la section S de l'élément doit être telle que : S Max { S 1 ; S 2 } P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAMUR 5
Problème d'établissement On demande de calculer le diamètre requis pour une barre en acier doux ( σ limite = 2 kn/cm 2 et E = 21 000 kn/cm 2 ) sollicitée par un effort de traction de 10 kn. On demande également de calculer l'allongement de cette barre si sa longueur initiale est de 1,5 m. Etablissement de la section Seul le critère résistance doit être pris en considération. S σ N avec : limite σ limite : 2 kn/cm 2 N : effort normal majoré (x 1,5) = 10 x 1,5 = 15kN S 0,625 cm 2 d 2 S π = 0,89 cm d= 1 cm Allongement de la barre Δ L= N x L E x S avec : N = 10 kn (pas de majoration de la charge!) L = 1,5 m = 150 cm E = 21 000 kn/cm 2 S= π x d 2 Δ L=0,09cm = π x 1 2 = 0,78 cm 2 P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAMUR 6
Problème d'établissement On demande de calculer le diamètre requis pour une barre en acier doux ( σ limite = 2 kn/cm 2 et E = 21 000 kn/cm 2 ) de m de long sollicitée par un effort de traction de 180 kn, son allongement devant rester à 0,5 cm. Les 2 critères (critère résistance et critère déformation) doivent être pris en considération. Critère résistance S σ N avec : limite σ limite : 2 kn/cm 2 N : effort normal majoré (x 1,5) = 180 x 1,5 = 270 kn S 11,25 cm 2 S 1 = 11,25 cm 2 Critère déformation S NL E Δ L avec : E = 21 000 kn/cm 2 N = 180 kn (pas de majoration de charge) ΔL = 0,5 cm L = 00 cm S 6,86 cm 2 S 2 = 6,86 cm 2 Et la section S de l'élément doit être telle que : S Max { 11,25; 6,86} S 11,25 cm 2 d 2 S π = 3,78 cm d = cm P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAMUR 7
Le plancher d'une salle d'école est formé d'une série de poutres parallèles identiques, équidistantes de m, appuyées sur un mur (A) et suspendues (B) au moyen de barres rondes en acier doux. Il est soumis à son poids propre de kn/m 2 et à la charge de service prévue par la norme. On demande de déterminer le diamètre des barres ainsi que le déplacement de leurs extrémités. Pour la détermination du diamètre des barres (critère résistance), on multipliera la charge due au poids propre par 1,35 et celle due à la charge de service par 1,5. Effort dans les barres On va étudier l'équilibre de la poutre ABD, la réaction d'appui en B (changée de sens) étant en fait la traction s'exercant dans la barre BC. Charges agissant sur la poutre charge uniformèment répartie q avec : q = (1,35 x + 1,5 x 3) x =39,6 kn/m (1) (2) (3) (1) : charge en kn/m 2 due au poids propre majorée (x 1,35) (2) : charge en kn/m 2 due à la charge de service prise égale à 3 kn/m 2 (charge de service de la catégorie C1 conforme à la NBN EN 1991-1-1 et son ANB) majorée (x 1,5) (3) : x, puisque chaque m de poutre reprend m 2 (les poutres étant distantes de m). on va remplacer cette charge par sa résultante Q (Q = 39,6 x 8 = 316,8 kn- appliquée au milieu de la poutre). les réactions R A et R B. P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAMUR 8
Equation d'équilibre (une seule suffit pour déterminer R B ) M A ( R A, Q, R B )=0 R B = x316,8 =211,2 kn 6 Diamètre des barres Il faut : S= π d 2 σ N limite avec : N = 211,2 kn σ limite = 2 kn/cm 2 d 2 N πσ limite Par suite : d 3,3cm d = 35 mm Allongement des barres (déplacement de leurs extrémités) Pour le calcul de l'allongement, les charges ne doivent pas être majorées q = ( + 3) x = 28 kn/m 2 R B =211,2 x 28 =19,3 kn 39,6 Et : Δ L= NL ES avec : N = 19,3 kn L = 5 m = 500 cm E = 21 000 kn/cm 2 π d 2 S = avec d = 3,5 cm S = 9,62 cm 2 Par suite : ΔL = 0,37 cm P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAMUR 9