STAT-G204 Chapitre I: ANOVA. Caroline Verhoeven

STAT-G204 Chapitre I: ANOVA Caroline Verhoeven

Table des matières 1 Introduction 2 ANOVA à 1 facteur 3 ANOVA à mesures répétées 4 Randomized block design ANOVA 5 ANOVA à plusieurs facteurs Caroline Verhoeven STAT-G204 2 / 64

1. Introduction Augmentation du risque d erreur du type I : Exemple I Exemple 1 En 1995, Inaudi et al. ont publié un article satirique dans le journal Annals of Improbable Research. Sujet de l article : l effet papillon : le battement d ailes d un papillon peut avoir des grands effets, tels que le création d un ouragan sur un autre continent. Caroline Verhoeven STAT-G204 3 / 64

1. Introduction Augmentation du risque d erreur du type I : Exemple II Exemple 1 Les chercheurs on attrapé des douzaines de papillons et ont enregistré quotidiennement si ils battaient des ailes ou non en Suisse et ont téléphoné tous les jours à leur copine à Paris, pour demander si il pleut. A la fin de l étude, ils ont testé, pour chaque papillon, si il y avait un lien entre leur battement d ailes et la pluie à Paris. Ils ont trouvé un papillon dont les jours des battement d ailes était fortement corrélés avec les jours de pluie à Paris. Ils ont donc montré le lien entre les 2. Leur erreur statistique : Si on fait suffisamment de tests, il y en aura bien un statistiquement significatif Si on effectue N test indépendant avec un niveau significatif α, la probabilité de ne pas faire d erreur du type I est (1 α) N. La probabilité de faire au moins 1 erreur du type I est 1 (1 α) N. Caroline Verhoeven STAT-G204 4 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Exemple : Description I Exemple 2 Quand change de zone horaire, on souffre du décalage horaire. Ensuite, on s adapte au cycle lumineux perçu par l oeil et on resynchronise notre rythme circadien. Le changement dans ce rythme se nomme un shift. En 1998, Campbell et Murphy ont déclaré que ce shift pouvait également se faire en illuminant l arrière du genoux. Le résultat fut très controversé Caroline Verhoeven STAT-G204 5 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Exemple : Description II Exemple 2 En 2002, Wright et Czeisler ont réétudié ce phénomène. Ils ont mesuré le cycle de production de mélatonine chez N = 22 sujets aléatoirement soumis à un des 3 traitement suivants. Ils ont été réveillé durant leur sommeil et soumis à une forte lumière dans les yeux, à l arrière du genoux ou à aucune lumière, durant une période de 3 heures. Après 2 jours, on a mesuré leur cycle de mélatonine. Le shift (en heures) est donnés pour chaque groupe sur le slide suivant. Un shift négatif montre un retard. Caroline Verhoeven STAT-G204 6 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Exemple : données Exemple 2 contrôle genoux yeux 0,53 0,73-0,78 0,36 0,31-0,86 0,20 0,03-1,35-0,37-0,29-1,48-0,60-0,56-1,52-0,64-0,96-2,04-0,68-1,61-2,83-1,27 groupe 1 : contrôle, N 1 = 8 groupe 2 : genoux, N 2 = 7 groupe 3 : yeux, N 3 = 7 Caroline Verhoeven STAT-G204 7 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Qu est-ce que l ANOVA? Ne pas faire plusieurs test 2 groupes par 2 groupes! ANOVA : généralisation du test t pour 2 échantillons indépendants, vers k > 2 échantillons indépendants Formulation des hypothèses H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k H a : Au moins une des moyennes est différentes des autres ANOVA : ANalysis Of VAriance Caroline Verhoeven STAT-G204 8 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Notations k : Nombre d échantillons x ij : mesure pour le sujet i du groupe j x j : moyenne des mesures du groupe j x : Moyenne globale de toutes les mesures N j : Nombre de sujets du groupe j N : Nombre total de sujets Caroline Verhoeven STAT-G204 9 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Principe de résolution Comparer la variabilité entre les groupes avec celle à l intérieur des groupes x ij x = (x ij x j ) variation intra-groupes + (x j x) variation inter-groupes Exemple 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,5 1,5 1,5 2,5 contr. gen. yeux 2,5 contr. gen. yeux 2,5 contr. gen. yeux x x 1, x 2, x 3 Caroline Verhoeven STAT-G204 10 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Calcul de la variance inter-groupes La variance inter-groupes : MS B = k j=1 N j(x j x) 2 k 1 Exemple 2 x 1 = 0,31, x 2 = 0,34 x 3 = 1,55 x = 0,71 MS B = 1 2 = 3,61 (8( 0,31+0,71) 2 + 7( 0,34+0,71) 2 + 7( 1,55+0,71) 2) Caroline Verhoeven STAT-G204 11 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Calcul de la variance intra-groupes I La variance intra-groupes : MS W = N1 i=1 (x i1 x 1 ) 2 + N 2 i=1 (x i2 x 2 ) 2 + + N k i=1 (x ik x k ) 2 N k Exemple 2 x i1 x i2 x i3 (x i1 x 1 ) 2 (x i2 x 2 ) 2 (x i3 x 3 ) 2 0,53 0,73-0,78 0,70 1,14 0,60 0,36 0,31-0,86 0,45 0,42 0,48 0,20 0,03-1,35 0,26 0,13 0,04-0,37-0,29-1,48 0,00 0,00 0,01-0,60-0,56-1,52 0,08 0,05 0,00-0,64-0,96-2,04 0,11 0,39 0,24-0,68-1,61-2,83 0,14 1,62 1,63-1,27 0,92 2,67 3,75 2,99 Caroline Verhoeven STAT-G204 12 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Calcul de la variance intra-groupes II Exemple 2 Valeur de la variance intra-groupes : MS W = 2,67+3,75+2,99 22 3 = 0,50 Caroline Verhoeven STAT-G204 13 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Calcul de la statistique F On veut comparer MS B à MS W On calcule le rapport entre les 2 f = MS B MS W, F F(k 1,N k) Si H 0 est vraie, on s attend à ce que f = 1 SI H a est vraie, on s attend à ce que f > 1 Caroline Verhoeven STAT-G204 14 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Exemple : Calcul de f et conclusion Exemple 2 On veut savoir si au moins un des groupes a en moyenne un shift différent dans son rythme circadien, avec un niveau significatif α = 0,05. On a f = MS B = 3,61 MS W 0,50 Calcul de la valeur p = 7,289, F F(2,19) p = P(F > 7,29) = 0,004 < α = 0,05 On rejette H 0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 3,52 f Caroline Verhoeven STAT-G204 15 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Conditions Les échantillons doivent être aléatoires simples Les échantillons doivent être indépendants Il faut que σ 1 = σ 2 = = σ k Pour vérifier cela, on a le test de Levene Il faut que la variable soit distribuée normalement pour les k populations Caroline Verhoeven STAT-G204 16 / 64

Données en SPSS 2. ANOVA à 1 facteur En SPSS : toutes les données d un sujet sur une ligne Caroline Verhoeven STAT-G204 17 / 64

Menus SPSS 2. ANOVA à 1 facteur Caroline Verhoeven STAT-G204 18 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Définir les facteurs en SPSS I Caroline Verhoeven STAT-G204 19 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Définir les facteurs en SPSS II On met la variable numérique dans Dependent List On met la variable qui définit les groupes dans Factor Caroline Verhoeven STAT-G204 20 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Le teste de Levene en SPSS On choisit le test de Levene dans les options Caroline Verhoeven STAT-G204 21 / 64

Sortie en SPSS 2. ANOVA à 1 facteur Caroline Verhoeven STAT-G204 22 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Résultat du test de Levene df1= k 1, df2= N k Sig.= p Ici : p = 0,856 NRH 0 Caroline Verhoeven STAT-G204 23 / 64

2. ANOVA à 1 facteur Résultat du test ANOVA df1= k 1, df2= N k Sig.= p Ici : p = 0,004 RH 0 Caroline Verhoeven STAT-G204 24 / 64

Après l ANOVA 2. ANOVA à 1 facteur L ANOVA ne permet de détecter que si toutes les moyennes sont les mêmes ou si au moins une est différente. Comment savoir lesquelles sont différentes? Si on ne rejette pas H 0 : on peut s arrêter Si on rejette H 0 : Il y a différentes possibilités (tests de comparaison multiples) : Bonferroni Tukey Dunnett Sidak Scheffee... Caroline Verhoeven STAT-G204 25 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Exemple : Description Exemple 3 Dans l émission de réalité I m a celebrity, get me out of here, des célébrités doivent survivre dans la jungle et doivent subir des épreuves désagréables et humiliantes Une de ces épreuves est de manger des choses peu appétissantes. 8 célébrités mangent chacune 4 de ces choses. On mesure le temps qui leur faut avant d avoir la nausée en secondes. Y a-t-il une différence de temps entre ces choses? Les données se trouvent sur le slide suivant Caroline Verhoeven STAT-G204 26 / 64

Exemple : Données 3. ANOVA à mesures répétées Exemple 3 céleb phasmes testicules yeux poisson larves 1 8 7 1 6 2 9 5 2 5 3 6 2 3 8 4 5 3 1 9 5 8 4 5 8 6 7 5 6 7 7 10 2 7 2 8 12 6 8 1 Caroline Verhoeven STAT-G204 27 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Principe On mesures k fois les mêmes sujets sous des conditions différentes Généralisation du test t pour 2 échantillons appariés Caroline Verhoeven STAT-G204 28 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Test préliminaire Les variances des différences entre 2 groupes sont-elles toutes les mêmes? Pour y répondre : test de Mauchly H 0 : les variances des différences entre 2 groupes sont les mêmes H a : Il y a au moins 1 variance des différences qui est différentes p > 0,05 : NRH 0 p < 0,05 : RH 0 Si RH 0 : correction de Greenhouse-Geisser correction Huynh-Feldt Caroline Verhoeven STAT-G204 29 / 64

Données en SPSS 3. ANOVA à mesures répétées Caroline Verhoeven STAT-G204 30 / 64

Menus en SPSS 3. ANOVA à mesures répétées Analyze General Linear Model Repeated Measures Caroline Verhoeven STAT-G204 31 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Définir les facteurs en SPSS I Caroline Verhoeven STAT-G204 32 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Définir les facteurs en SPSS II Caroline Verhoeven STAT-G204 33 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Définir les facteurs en SPSS III Caroline Verhoeven STAT-G204 34 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Définir les facteurs en SPSS IV Caroline Verhoeven STAT-G204 35 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Définir les facteurs en SPSS V Caroline Verhoeven STAT-G204 36 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Les résultats en SPSS Caroline Verhoeven STAT-G204 37 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Résultats du test de Mauchly Ici : test de Mauchly significatif (p = 0,047 < 0,05) ε (Epsilon) Si ε = 1 : sphéricité parfaite Au plus ε petit, au plus éloigné de la sphéricité Choix de correction : Si pour Greenhouse-Geisser ε > 0,75 : Huynh-Feldt Si pour Greenhouse-Geisser ε < 0,75 : Greenhouse-Geisser Caroline Verhoeven STAT-G204 38 / 64

3. ANOVA à mesures répétées Résultats de l ANOVA Prendre la bonne correction : ici Greenhouse-Geisser Pour Greenhouse-Geisser : p = 0,06 NRH 0 la différence n est pas significative Caroline Verhoeven STAT-G204 39 / 64

4. Randomized block design ANOVA Exemple : Description Exemple 4 En 2007, Svanbäck et Bolnick ont testé l impact de la quantité de poisson sur la diversité du zooplancton dans un petit lac de l île de Vancouver. Ils pensent que cette diversité varie en fonction de l endroit dans le lac. Ils comparent 3 traitements dans des cages de 3m 3m Ils ne rajoutent pas de poissons (contrôle) Ils rajoutent 30 petits poissons (peu) Ils rajoutent 90 poissons (beaucoup) Block design 5 endroits dans le lac et 3 cages à chacun de ces endroits : 1 cage contrôle, 1 cage peu, 1 cage beaucoup Caroline Verhoeven STAT-G204 40 / 64

4. Randomized block design ANOVA Exemple : Données Exemple 4 L abondance du zooplancton est donné par l index D de Levin lieux (bloques) contrôle peu beaucoup 4,1 2,2 1,3 3,2 2,4 2,0 3,0 1,5 1,0 2,3 1,3 1,0 2,5 2,6 1,6 Caroline Verhoeven STAT-G204 41 / 64

4. Randomized block design ANOVA Principe du randomized block design ANOVA Formulation des hypothèses : H 0 : Tous les traitements ont en moyenne le même effet H a : Au moins un traitement est différent des autres Les randomized blocking design sert à contrôler une variable non intéressante mais induisant une variabilité. Classiquement : 1 mesure pour chaque traitement par bloque. Le modèle : REPONSE = CONSTANTE + TRAITEMENT + BLOQUE Dans l exemple 4 : DIVERSITE = CONSTANTE + POISSONS + LIEUX On ne sait plus utiliser une ANOVA à 1 facteur Caroline Verhoeven STAT-G204 42 / 64

4. Randomized block design ANOVA Les données en SPSS Les données de tous les sujets sont sur une ligne Caroline Verhoeven STAT-G204 43 / 64

4. Randomized block design ANOVA Les menus en SPSS I Analyze General Linear Model Univariate Caroline Verhoeven STAT-G204 44 / 64

4. Randomized block design ANOVA Les facteurs en SPSS Variable dépendante :diversité Facteurs fixes : bloque et traitement Caroline Verhoeven STAT-G204 45 / 64

4. Randomized block design ANOVA Les modèles en SPSS I Choisir Model dans le menu Caroline Verhoeven STAT-G204 46 / 64

4. Randomized block design ANOVA Les modèles en SPSS II Caroline Verhoeven STAT-G204 47 / 64

La sortie SPSS 4. Randomized block design ANOVA Caroline Verhoeven STAT-G204 48 / 64

4. Randomized block design ANOVA Les résultats Nous somme intéressés par les lignes bloque et groupe groupe : Introduire cette variable améliore significativement le modèle (F = 16,37, p = 0,001) bloque : même si l amélioration n est pas significative, il faut laisser la variable bloque Caroline Verhoeven STAT-G204 49 / 64

5. ANOVA à plusieurs facteurs Exemple : Description Exemple 5 En 2005, Walker et al ont étudié le stress chez les manchots de Magellan. Certains se reproduisent dans une région retirée avec peu d activités humaine. D autres se reproduisent dans des régions touristiques. On veut savoir si les manchots stress plus en grandissant et si le fait de grandir dans une zone touristique ou non influence le stress. Pour cela, on les capture et on mesure leur concentration de corticostérone 30 minutes après. On fait cela pour 3 catégories de manchots : récemment éclos, de 40 à 50 jours et juste adultes. Les données sont sur le slide suivant Caroline Verhoeven STAT-G204 50 / 64

5. ANOVA à plusieurs facteurs Exemple : Données Exemple 5 retiré bébés enfants adultes 5,9 23,1 22,8 6,2 18,9 25,7 10,3 19,1 26,5 4,6 21,5 22,6 11,7 18,1 31,4 10,8 18,7 27,6 5,1 29,0 25,0 23,2 30,9 tourisme On regarde stress en fonction de 2 facteurs : l âge l environnement bébés enfants adultes 24,4 12,5 29,3 20,6 17,3 24,3 16,5 12,9 33,9 29,5 12,0 29,6 23,4 16,4 34,4 26,8 21,4 33,1 26,5 18,0 25,6 20,2 23,1 28,1 Caroline Verhoeven STAT-G204 51 / 64

5. ANOVA à plusieurs facteurs Questions pour l exemple Exemple 5 Questions que l on se pose : L âge a-t-il une influence-t-il le stress chez les jeunes manchots? Le fait de grandir dans une zone retirée ou touristique influence-t-il le le stress chez les jeunes manchots? L effet de l âge dépend-il de la zone dans laquelle les jeunes manchots grandissent? Début de réponse à la dernière question : Caroline Verhoeven STAT-G204 52 / 64

5. ANOVA à plusieurs facteurs ANOVA à 2 facteurs : Formulation des hypothèses Exemple 5 1 un effet principal : H 0 : Le taux de corticostérone ne diffère pas que le manchot soit bébé, enfant ou juste adulte H a : Le taux de corticostérone est différent pour au moins un des stades de croissance 2 un effet principal : H 0 : Le taux de corticostérone ne diffère pas en fonction de l environnement dans lequel le manchot grandit H a : Le taux de corticostérone est différent en fonction de l environnement dans lequel le manchot grandit 3 un effet d intéraction : H 0 : L effet de l âge ne dépend pas de l environnement H a : L effet de l âge dépend de l environnement Caroline Verhoeven STAT-G204 53 / 64

5. ANOVA à plusieurs facteurs ANOVA à 2 facteurs : Principe Modèle : REPONSE = FACTEUR1 + FACTEUR2 + FACTEUR1 FACTEUR2 Dans l exemple 5 : STRESS = AGE+REGION+AGE REGION Caroline Verhoeven STAT-G204 54 / 64

Données en SPSS 5. ANOVA à plusieurs facteurs Caroline Verhoeven STAT-G204 55 / 64

Menus en SPSS I 5. ANOVA à plusieurs facteurs Analyze General Linear Model Univariate Caroline Verhoeven STAT-G204 56 / 64

Menus en SPSS II 5. ANOVA à plusieurs facteurs Caroline Verhoeven STAT-G204 57 / 64

Menus en SPSS II 5. ANOVA à plusieurs facteurs Dans Options, on coche Homogeinity tests (test de Levene) Caroline Verhoeven STAT-G204 58 / 64

5. ANOVA à plusieurs facteurs Graphique de l interaction Choisir Plots Caroline Verhoeven STAT-G204 59 / 64

Sortie en SPSS 5. ANOVA à plusieurs facteurs Caroline Verhoeven STAT-G204 60 / 64

5. ANOVA à plusieurs facteurs Résultats test de Levene Test de Levene : p = 0,956 NRH 0 Pas de problème pour l ANOVA Caroline Verhoeven STAT-G204 61 / 64

5. ANOVA à plusieurs facteurs Résultats de l ANOVA à 2 facteurs Effet de l interaction age*région : p < 0,001 RH 0 Effet de l age : p < 0,001 RH 0 Effet de la région : p < 0,001 RH 0 Caroline Verhoeven STAT-G204 62 / 64

Graphe des effets 5. ANOVA à plusieurs facteurs Effet de l age : RH 0 Effet de la région : RH 0 Effet de l interaction age*région : RH 0 Caroline Verhoeven STAT-G204 63 / 64

5. ANOVA à plusieurs facteurs ANOVA à 3 facteurs Modèle REPONSE =FACTEUR1 + FACTEUR2 + FACTEUR3 + FACTEUR1 FACTEUR2 + FACTEUR1 FACTEUR3 + FACTEUR2 FACTEUR3 + FACTEUR1 FACTEUR2 FACTEUR3 Caroline Verhoeven STAT-G204 64 / 64