Leçon 3 : Champ magnétique créé par les courants

Leçon 3 : Champ magnétique créé par les courants ANOUMOUYÉ Edmond Serge @ UVCI 2017 Août 2017 Version 1.0

Table des matières I - Objectifs 3 II - Introduction 4 III - Loi de Biot et Savart 5 1. Champ magnétique créé par un conducteur filiforme parcouru par un courant... 5 2. Généralisation de la loi de Biot et Savart... 6 2.1. Distribution de courant volumique... 6 2.2. Distribution de courant surfacique... 6 3.... 7 IV - Propriétés de symétrie du champ magnétique 9 1. Plan de symétrie ou plan miroir pour les courants... 9 2. Plan d'antisymétrie pour les courants... 10 3. Les invariances... 11 4.... 11 V - Champ magnétique créé par un courant 14 1. Cas d'un fil rectiligne parcouru par un courant... 14 1.1. Symétries et invariances... 14 1.2. Champ élémentaire créé par un élément de courant... 15 1.3. Expression du champ magnétique... 15 2. Cas d'une spire circulaire parcouru par un courant... 15 2.1. Symétries et invariances... 16 2.2. Expression du champ magnétique... 16 3. Cas d'une bobine plate parcouru par un courant... 17 3.1. Expression du champ magnétique... 17 3.2. Application : les bobines de Helmholtz... 17 4. Cas d'un solénoïde parcouru par un courant... 17 5.... 18 VI - Solutions des exercices 21 VII - Références 26

Objectifs Connaître la loi de Biot et Savart. Savoir exploiter les symétries et invariances que peuvent présenter des courants pour en déduire les propriétés du champ magnétique résultant. Savoir utiliser la loi de Biot et Savart pour déterminer le champ magnétique créé par des courants dans des configurations simples : fil rectiligne, spire circulaire, bobine plate, solénoïde. 3

Introduction L'effet magnétique du courant électrique fut découvert par Christian Œrsted. Une aiguille placée au voisinage immédiat d'un fil conducteur parcouru par un courant électrique subit une déviation. Un courant électrique crée un champ magnétique. Nous allons utiliser la loi de Biot et Savart pour déterminer son expression dans les cas d'un fil rectiligne, d'une spire circulaire, d'une bobine plate et d'un solénoïde parcourus par un courant électrique. 4

Loi de Biot et Savart Loi de Biot et Savart I Objectifs Connaître la loi de Biot et Savart. C'est à partir de l'étude des forces exercées entre conducteurs parcourus par des courants que Biot * et Savart * ont énoncé la loi qui porte leur nom et qui permet d'exprimer le champ magnétique créé par un courant en un point M de l'espace. 1. Champ magnétique créé par un conducteur filiforme parcouru par un courant Dans la plupart des cas, les circuits électriques sont constitués d'une succession de fils conducteurs de diamètres très faibles devant leurs longueurs. Soit un circuit filiforme décrivant une courbe ( C) et parcouru par un courant d'intensité I (Figure 1). Le circuit étant orienté par le sens du courant, on considère une portion élémentaire dl du conducteur parcouru par un courant d'intensité I algébrique et situé au point P. Figure 1 : Champ magnétique créé en un point M par une portion élémentaire de conducteur filiforme situé en P et parcouru par un courant I Fondamental : Loi de Biot et Savart En un point M de l'espace environnant, le champ magnétique élémentaire créé par l'élément de courant est donné par la loi de Biot et Savart qui s'écrit : Définition La constante représente la perméabilité magnétique du vide. Elle est reliée à la permittivité du vide (ou constante diélectrique) et la célérité c de la lumière par la relation :. Dans les unités du système international on a :. Attention Un milieu magnétique est caractérisé par sa perméabilité absolue où (grandeur sans dimension supérieure à 1) correspond à la perméabilité relative du milieu par rapport au vide. Dans un tel milieu, il suffit de remplacer par dans l'expression de la loi de Biot et Savart. 5

Loi de Biot et Savart Remarque est perpendiculaire au plan défini par l'élément de courant et la direction PM. En posant PM = r et en notant le vecteur unitaire dirigé de P vers M, on obtient : Le champ magnétique en un point est inversement proportionnel au carré de la distance séparant l'élément de courant et le point considéré. Fondamental : Expression du champ magnétique total en un point M Le champ magnétique total en un point M s'obtient en ajoutant vectoriellement la contribution de tous les éléments de courant du circuit filiforme ( C). 2. Généralisation de la loi de Biot et Savart 2.1. Distribution de courant volumique L'élément de courant correspond en fait à un cylindre de section élémentaire ds et de longueur élémentaire dl (Figure 2). Si est le vecteur densité de courant on a : Figure 2 : Portion élémentaire de courant et densité de courant Les vecteurs, et ont tous la même direction. Si dv est le volume élémentaire autour du point P et dont le vecteur densité de courant est alors. Fondamental La loi de Biot et Savart se généralise donc pour une distribution de courant quelconque caractérisée par un vecteur densité de courant défini dans un volume V : 2.2. Distribution de courant surfacique Figure 3 : Nappe de courant et densité de courant surfacique Si les courants sont surfaciques (volume d'épaisseur négligeable) le vecteur densité de courant est 6

Loi de Biot et Savart surfacique et on le note (Figure 3). L'intensité I s'obtient alors par la relation :. Si le vecteur densité de courant est uniforme sur la largeur L alors on a. Fondamental L'expression du champ magnétique pour une distribution de courant surfacique s'obtient en intégrant sur la surface de la nappe de courant. On peut écrire : 3. La perméabilité magnétique du vide a pour symbole [Solution n 1 p 21] a pour symbole a pour valeur a pour symbole Pour un milieu magnétique, sa permittivité absolue correspond à sa perméabilité relative sa perméabilité absolue sa permittivité relative Soit un milieu magnétique de permittivité relative = 2. Quelle est sa permittivité absolue? 4π. 10-7 T.m.A-1 2π. 10-7 T.m.A-1 8π. 10-7 T.m.A-1 7

Loi de Biot et Savart Cocher les assertions qui sont vraies est reliée à et la célérité c de la lumière par la relation. est le vecteur unitaire dirigé de P vers M Quelle est la loi qui permet de déterminer l expression du champ magnétique créé par un conducteur parcouru par un courant électrique? loi de Kirchhoff loi de Coulomb loi de Newton Loi de Biot et Savart Le champ magnétique élémentaire créé par l'élément de courant situé en un point M est d après la loi de Biot et Savart : Le champ magnétique élémentaire créé par un élément de courant en un point est inversement proportionnel au cube de la distance séparant ce conducteur et le point considéré. est proportionnel à l'intensité du courant parcourant ce conducteur. est inversement proportionnel au carré de la distance séparant ce conducteur et le point considéré. Aucune des réponses n'est vraie 8

Propriétés de symétrie du champ magnétique Propriétés de symétrie du champ magnétique II Objectifs Savoir exploiter les symétries et invariances que peuvent présenter des courants pour en déduire les propriétés du champ magnétique résultant. En se basant sur le principe de Curie*, la connaissance des symétries et invariances que présentent les sources permet de déduire certaines caractéristiques du champ résultant. D après la loi de Biot et Savart le champ magnétique élémentaire est proportionnel à un produit vectoriel ( ou ). L'étude du comportement de ce produit vectoriel pour différentes symétries permet de déduire les propriétés de symétrie du champ magnétique résultant. 1. Plan de symétrie ou plan miroir pour les courants L'illustration Figure 4 montre comment le produit vectoriel se transforme par rapport à un plan de symétrie. On constate qu'un plan de symétrie se comporte comme un plan d'antisymétrie pour le produit vectoriel donc pour le champ magnétique. Figure 4 : Transformation du produit vectoriel par un plan de symétrie Les points P S et M S sont respectivement les symétriques des points P et M par rapport au plan. Les courants sont symétriques par rapport à ce plan. Fondamental : Principe de Curie Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. ( Plus de détails) 9

Propriétés de symétrie du champ magnétique Définition Un plan de symétrie pour les courants ( Figure 4 et Figure 5) : transforme la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan en son opposé : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan : Figure 5 : Transformation du vecteur champ magnétique par un plan de symétrie Le plan ( ) est un plan de symétrie pour les courants ( ). Remarque Si le point M est dans le plan de symétrie, il se confond avec son symétrique M S. On a alors : Le vecteur champ magnétique n'a pas de composante dans le plan de symétrie : il est perpendiculaire au plan de symétrie. 2. Plan d'antisymétrie pour les courants L'illustration Figure 6 montre comment le produit vectoriel se transforme par rapport à un plan d'antisymétrie. On constate qu'un plan d'antisymétrie se comporte comme un plan de symétrie pour le produit vectoriel donc pour le champ magnétique. Figure 6 : Transformation du produit vectoriel par un plan antisymétrique Les points et sont respectivement les symétriques des points et par rapport au plan. P S M S P M Les courants sont antisymétriques par rapport à ce plan. 10

Propriétés de symétrie du champ magnétique Définition Un plan d'antisymétrie pour les courants ( Figure 6 et Figure 7) : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan : transforme la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan en son opposé : Figure 7 :Transformation du vecteur champ magnétique par un plan antisymétrique Par rapport au plan d'antisymetrie miroir., le vecteur champ magnétique se transforme comme dans un Remarque Si le point M est dans le plan d'antisymétrie, il se confond avec son symétrique M S. On a alors : Le vecteur champ magnétique n'a pas de composante perpendiculaire au plan d'antisymétrie : il est dans le plan d'antisymétrie. Attention Un plan de symétrie pour les courants apparaît comme un plan d'antisymétrie pour le champ magnétique. De même, un plan d'antisymétrie pour les courants apparaît comme un plan de symétrie pour le champ magnétique. Le champ magnétique est qualifié de vecteur axial (ou pseudo vecteur). 3. Les invariances Si les sources du champ magnétique présentent des invariances par translation ou rotation le champ magnétique présentera les mêmes invariances. Ainsi, pour un fil rectiligne infini suivant un axe, le courant électrique d'intensité I présente une invariance par translation suivant cet axe : le champ magnétique ne dépendra pas de la variable z. De même, dans le cas d'une spire circulaire ou d'une bobine constituée de plusieurs spires circulaires de même axe de révolution, le courant électrique d'intensité I parcourant la bobine restera invariant par rotation d'un angle autour de cet axe : l'intensité du champ magnétique ne dépendra pas de la variable. Vous pouvez consulter ces ressources externes pour plus de clarté. ( voir) ( voir) 4. [Solution n 2 p 22] 11

Propriétés de symétrie du champ magnétique De qui est le principe permettant de déterminer les symétries et invariances des courants parcourant un conducteur? Tesla Œrsted Curie Avogadro : Principe de Curie Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes ne doivent pas se retrouver dans les effets produits. doivent se retrouver dans les causes produites. doivent être inexistants dans les effets produits. doivent se retrouver dans les effets produits. Un plan de symétrie pour les courants transforme la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan en son opposé : transforme la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan en son opposé : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan : Le vecteur champ magnétique créé en un point M appartenant à un plan de symétrie de courants a une composante dans ce plan de symétrie n'a pas de composante dans ce plan de symétrie est perpendiculaire à ce plan de symétrie est contenu dans ce plan de symétrie 12

Propriétés de symétrie du champ magnétique Un plan d'antisymétrie pour les courants transforme la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan en son opposé : transforme la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan en son opposé : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan : Le vecteur champ magnétique créé en un point M appartenant à un plan d'antisymétrie de courants a une composante perpendiculaire au plan d'antisymétrie n'est pas dans le plan d'antisymétrie est dans le plan d'antisymétrie n'a pas de composante perpendiculaire au plan d'antisymétrie 13

Champ magnétique créé par un courant Champ magnétique créé par un courant III Objectifs Savoir utiliser la loi de Biot et Savart pour déterminer le champ magnétique créé par des courants dans des configurations simples : fil rectiligne, spire circulaire, bobine plate, solénoïde. 1. Cas d'un fil rectiligne parcouru par un courant On considère un segment de fil conducteur A 1 A 2 parcouru par un courant d'intensité I (Figure 8). Cette portion de fil définit un axe et tout point M de l'espace sera repéré dans la base (,, ) par ses coordonnées cylindriques. Soit H le projeté du point M sur le fil, on a :. Figure 8 : Champ magnétique créé par un fil rectiligne A1A2 parcouru par un courant d'intensité I 1.1. Symétries et invariances Soit z M l'abscisse de M par rapport à une origine O sur l'axe. Le plan (, ) contenant le fil A 1 A 2 (axe ) et le point M est un plan de symétrie pour les courants : le champ magnétique lui est donc perpendiculaire et suit la direction du vecteur. L'axe est un axe de symétrie pour le courant I : il y a invariance par rotation autour de cet axe d'un angle quelconque. L'intensité du champ magnétique ne dépend pas de la variable. On a alors :. Les lignes de champ magnétique sont donc des cercles centrés sur le fil. 14

Champ magnétique créé par un courant 1.2. Champ élémentaire créé par un élément de courant L expression du champ magnétique élémentaire créé par l'élément de courant situé en P est donnée par la loi de Biot et Savart. Le point P peut être repéré par son abscisse z telle que : donc la longueur élémentaire peut s'écrire. Ainsi Or et donc Fondamental : Champ élémentaire créé par un élément de courant 1.3. Expression du champ magnétique Fondamental : Cas d'un fil fini Le module du champ magnétique est toujours positif, quelque soit la position du point M. Fondamental : Cas où le point M est sur la médiatrice du fil fini On a α 1 = -α 2 = β et (Figure 9). D'où Figure 9 : Champ magnétique sur la médiatrice d'un fil fini de longueur 2a Fondamental : Cas d'un fil infini Le calcul est identique au précédent, cependant pour un fil infini on a : 2. Cas d'une spire circulaire parcouru par un courant On considère une spire circulaire conductrice de centre O, d'axe caractérisée par son rayon R et parcourue par un courant I (Figure 10). Cette spire créé un champ magnétique en un point M situé sur son axe et repéré par son abscisse OM = z. 15

Champ magnétique créé par un courant Figure 10 : Champ magnétique créé par une spire circulaire en un point M de son axe 2.1. Symétries et invariances Tout plan contenant l'axe de la spire (il y en a une infinité) est un plan d'antisymétrie pour les courants : le champ magnétique doit être dans tous ces plans, donc suivant leur intersection qui est l'axe Oz (Figure 10 et Figure 11). Le plan contenant la spire et perpendiculaire à l'axe est un plan de symétrie pour les courants. Le champ magnétique sur l'axe est perpendiculaire à ce plan et reste donc inchangé par symétrie par rapport au plan de la spire. On a alors :. Les lignes de champ magnétique sont donc des cercles centrés sur le fil. Figure 11 : Vue des plans d'antisymétrie des courants 2.2. Expression du champ magnétique D après la loi de Biot et Savart, le champ magnétique des éléments de courant en M est : Or, donc de plus Fondamental : Champ magnétique créé par une spire circulaire en fonction de l'angle α : en fonction de z : au centre O de la spire : Attention : Bien faire la différence entre les deux expressions suivantes et 16

Champ magnétique créé par un courant Exemple Une spire de rayon R=10cm est parcourue par un courant d'intensité I=1A. Quelle est l'intensité du champ magnétique au centre de cette spire? 3. Cas d'une bobine plate parcouru par un courant Une bobine plate est une bobine constituée de N spires circulaires identiques de même axe Oz et dont l épaisseur e est négligeable devant le rayon R des spires. Dans ces conditions on peut considérer que toutes les spires coïncident et le champ magnétique en un point M de l'axe correspond alors à la superposition des N champs identiques créés par les spires. 3.1. Expression du champ magnétique Fondamental : Champ magnétique créé par une bobine ayant N spires identiques en fonction de l'angle α : en fonction de z : au centre O de la spire : Exemple Une bobine plate comporte 50 spires de rayon R=10cm parcourues par un courant d'intensité I=1A. Quelle est l'intensité du champ magnétique au centre de cette bobine plate? 3.2. Application : les bobines de Helmholtz La configuration dite «bobines de Helmholtz» est l'association de deux bobines plates identiques séparées par une distance égale à leur rayon sur leur axe commun (Figure 12a). Figure 12 : Bobines de Helmholtz En faisant circuler des courants de même intensité et de même sens dans ces bobines, un champ magnétique est créé qui a la particularité d'être relativement uniforme au centre du dispositif. C'est l'un des rares systèmes permettant de créer un champ magnétique uniforme (Figure 12b). 4. Cas d'un solénoïde parcouru par un courant Un solénoïde * est une bobine longue constituée d'un fil conducteur enroulé sur un cylindre isolant et ayant N spires circulaires de rayon R identiques, jointives, réparties régulièrement sur une longueur L 17

Champ magnétique créé par un courant. Figure 13 : Champ magnétique d'un solénoïde Un solénoïde, ayant un nombre de spires par unité de longueur, parcouru par un courant électrique I crée un champ magnétique uniforme et de même direction que son axe (Figure 13b). Le sens du champ magnétique est déterminé par la règle de la main droite : pouce sens du champ magnétique index s'appliquant sur les spires indique le sens du courant Fondamental La norme du champ magnétique créé par un solénoïde infini ( ) est : à l intérieur du solénoïde : à l extérieur du solénoïde : Exemple Un solénoïde comportant N = 1000 spires jointives a pour longueur L = 80 cm et est parcouru par un courant d'intensité I = 20 ma. On suppose qu'il est suffisamment long pour être assimilable à un solénoïde infini. Quelles sont l'expression et l'intensité du champ magnétique en son centre? Au centre de ce solénoïde, on a : avec le nombre de spires par unité de longueur. AN : 5. Quelle est le bon sens d orientation du champ magnétique créé par le fil rectiligne? [Solution n 3 p 23] Figure 1 Figure 2 Figure 3 18

Champ magnétique créé par un courant L'expression du champ magnétique créé par un fil infini d'axe un point M placé à une distance r est parcouru par un courant I en Le champ magnétique créé par un fil rectiligne est proportionnel à l'intensité du courant I proportionnel à la distance r qui le sépare du point M inversement proportionnel à la distance r qui le sépare du point M Quelle est le bon sens d orientation du champ magnétique créé par une spire circulaire parcouru par un courant I? Figure 1 Figure 2 Figure 3 Le champ magnétique créé par une spire circulaire de rayon R est inversement proportionnel au carré du rayon R de la spire proportionnel à l'intensité du courant I inversement proportionnel au rayon R de la spire 19

Champ magnétique créé par un courant Une spire de rayon R=40cm est parcourue par un courant d'intensité I=2A. Quelle est l'intensité du champ magnétique au centre de cette spire? 3,14. 10-6 T 3 mt 3,14 T Quelle est le bon sens d orientation du champ magnétique à l intérieur du solénoïde? Figure 1 Figure 2 Figure 3 Un solénoïde est parcouru par un courant d intensité I = 2 A, sa longueur est L = 20 cm et son rayon R = 2 cm. Il est formé de 800 spires de fil de cuivre isolé. Quelle est la valeur du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde? 100 mt 240 mt 45 mt 10 mt Un solénoïde est parcouru par un courant d'intensité I = 2,5 A, sa longueur est L = 40 cm et son diamètre D = 5 cm. Il est formé de 2000 spires de fil de cuivre isolé. Cochez les bonnes réponses. Ce solénoïde est considéré comme infini. Le nombre de spires par unité de longueur est 5000 spires / m L intensité du champ magnétique à l'extérieur du solénoïde est 15,7 mt L'intensité du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est 15,7 mt 20

Ressources annexes Solutions des exercices > Solution n 1 p. 7 a pour symbole a pour symbole a pour valeur a pour symbole sa permittivité absolue sa perméabilité relative sa perméabilité absolue sa permittivité relative 4π. 10-7 T.m.A-1 2π. 10-7 T.m.A-1 8π. 10-7 T.m.A-1 est reliée à et la célérité c de la lumière par la relation. est le vecteur unitaire dirigé de P vers M loi de Kirchhoff 21

Solutions des exercices loi de Coulomb loi de Newton Loi de Biot et Savart est inversement proportionnel au cube de la distance séparant ce conducteur et le point considéré. est proportionnel à l'intensité du courant parcourant ce conducteur. est inversement proportionnel au carré de la distance séparant ce conducteur et le point considéré. Aucune des réponses n'est vraie > Solution n 2 p. 11 Tesla Œrsted Curie Avogadro Principe de Curie ne doivent pas se retrouver dans les effets produits. doivent se retrouver dans les causes produites. doivent être inexistants dans les effets produits. doivent se retrouver dans les effets produits. transforme la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan en son opposé : 22

Solutions des exercices transforme la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan en son opposé : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan : a une composante dans ce plan de symétrie n'a pas de composante dans ce plan de symétrie est perpendiculaire à ce plan de symétrie est contenu dans ce plan de symétrie transforme la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan en son opposé : transforme la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan en son opposé : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique parallèle au plan : laisse inchangée la composante du vecteur champ magnétique perpendiculaire au plan : a une composante perpendiculaire au plan d'antisymétrie n'est pas dans le plan d'antisymétrie est dans le plan d'antisymétrie n'a pas de composante perpendiculaire au plan d'antisymétrie > Solution n 3 p. 18 Figure 1 Figure 2 Figure 3 Utiliser la règle de la main droite. Expression du champ magnétique créé par une spire circulaire 23

Solutions des exercices Exact, ce champ est radial et porté par Expression du champ magnétique créé par un solénoïde proportionnel à l'intensité du courant I proportionnel à la distance r qui le sépare du point M inversement proportionnel à la distance r qui le sépare du point M Figure 1 Figure 2 Figure 3 Utiliser la règle de la main droite. inversement proportionnel au carré du rayon R de la spire proportionnel à l'intensité du courant I inversement proportionnel au rayon R de la spire 3,14. 10-6 T 3 mt 3,14 T Figure 1 Figure 2 24

Solutions des exercices Figure 3 Utiliser la règle de la main droite. 100 mt 240 mt 45 mt 10 mt Ce solénoïde est considéré comme infini. Un solénoïde est considéré comme infini si or L = 10 cm et 10 R = 10 D/2 = 10 2,5 = 25 cm ce qui veut dire que L > 10R donc ce solénoïde est considéré comme infini. Le nombre de spires par unité de longueur est 5000 spires / m AN : n = 2000 / 0,4 = 5000 spires/m L intensité du champ magnétique à l'extérieur du solénoïde est 15,7 mt L'intensité du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est 15,7 mt 25

Glossaire Références 1 Jean-Baptiste Biot (21 avril 1774 3 février 1862) est un physicien, astronome et mathématicien français, pionnier de l'utilisation de la lumière polarisée pour l'étude des solutions. 2 Félix Savart (30 juin 1791-16 mars 1841) est un médecin chirurgien et physicien français, inventeur du sonomètre, d'une roue dentée qui porte son nom et du polariscope. Il jeta les bases de la physique moléculaire et ses écrits se trouvent réunis dans les Annales de physique et de chimie. Avec le physicien Jean-Baptiste Biot, il mesura le champ magnétique créé par un courant et formula la loi de Biot-Savart. 3 Pierre Curie (15 mai 1859-19 avril 1906) est un physicien français. Il est principalement connu pour ses travaux en radioactivité, en magnétisme et en piézoélectricité. 4 Le solénoïde est utilisé dans une multitude d'applications technologiques comme les moteurs, les éoliennes, les mécanismes de verrouillage ou les génératrices. Vous trouverez ci-dessous le fonctionnement de deux solénoïdes simples : le solénoïde linéaire et celui rotatif. 26