Les buts de cet amphi 1. Comprendre la signification physique du formalisme mis en place Quelle est l information acquise lors d une mesure? Mesure des grandeurs physiques Formulation du principe 3, d abord sous une forme «faible», puis sous sa forme «forte» 2. Exploiter le lien entre «quantités physiques» et «opérateurs» Valeurs propres et fonctions propres, résolution de l équation de Schrödinger Chapitre 3 + 3.3 du chapitre 4 Jean Louis Basdevant 12 Leçons de Mécanique Quantique 2 Mesures de position et d impulsion Particule ponctuelle de fonction d onde Densité de probabilité pour la position : interférence d électrons (Hitachi) 1. La mesure des grandeurs physiques : Mesure d impulsion, par exemple par une expérience de temps de vol position, impulsion, énergie, qui s écrit aussi (isométrie + dérivation) :
Structure commune en termes d opérateurs La mesure d une grandeur physique Valeur moyenne de la position Valeur moyenne de l impulsion : multiplication par x : dérivation par rapport à x (à près) Principe 3 (version «faible») À toute grandeur physique, on peut associer une «observable» : opérateur linéaire hermitien agissant dans l espace des fonctions d onde Si on prépare un grand nombre de systèmes identiques tous dans l état et qu on mesure A sur chacun, la moyenne des résultats vaut Opérateur hermitien : Rappel du produit scalaire «naturel» dans L 2 : ce qui entraîne en particulier que est réel Comment construire l opérateur associé à A? position quantité physique action de l opérateur associé sur multiplication par impulsion énergie totale Hamiltonien 2. Valeurs propres et fonctions propres d un opérateur moment cinétique opérateur moment cinétique
Définition générale L exemple de l opérateur impulsion On dit que est une fonction propre de l opérateur, associé à une quantité physique A, si cette fonction n est pas identiquement nulle et si Valeurs propres q et fonctions propres de l impulsion : Le nombre a! (même dimension que A) est la valeur propre associée à Les fonctions propres de l impulsion sont les ondes planes. Théorème spectral : en dimension finie, un opérateur hermitien (du type de ceux qui sont associés aux grandeurs physiques) est diagonalisable : on peut former une base de l espace de fonctions avec ses vecteurs propres. Le spectre de l impulsion (ensemble de ses valeurs propres) est l ensemble des nombres réels. Subtilités avec notre espace de fonctions, qui est de dimension infinie... Les fonctions propres de l hamiltonien Fonctions qui vont jouer un rôle crucial pour étudier l évolution des systèmes V (x) Le puits carré infini pour simplifier les notations: (à une dimension) La résolution de cette équation passe en général par un traitement numérique. 0 L x Il existe cependant quelques cas solubles analytiquement : potentiel harmonique Sandwich de Al Ga As Ga As Al Ga As potentiel coulombien potentiel constant par morceau continue conditions aux limites :
Les valeurs propres de l énergie du puits carré infini Les «états stationnaires» du puits carré infini Si on choisit E réelle négative : pas de solution Pour E réelle et positive : posons s écrit alors (à vérifier en exercice) Les fonctions propres de l hamiltonien s écrivent donc Normalisation : avec Forme générale des solutions : Limite en x = 0 :! Limite en x = L :! Les vecteurs d onde k ne peuvent prendre que des valeurs discrètes : L ensemble des forme une «base» orthonormée de l espace des fonctions d onde telles que orthonormalité : développement d une fonction d onde sur cette «base» : et les valeurs propres pour l énergie sont «quantifiées» : Similaire à un développement d une fonction périodique en série de Fourier Bilan pour le puits carré infini E 3 E Émission de lumière par un puits quantique E 2 nitrure de gallium Ordres de grandeur E 2 E 1 0 L x E 1 0 L L=12 couches atomiques L=6 couches atomiques un électron dans un puits quantique de largeur L = 6 10-9 m E 1 = 10 mev un nucléon (proton ou neutron) dans un noyau de diamètre L = 4 10-15 m E 1 = 10 MeV Photo: P. Reiss/CEA
3. Quels résultats pour une mesure individuelle? Préambule 1 : lien entre «résultats de mesure» et «valeurs propres» On s intéresse à la mesure d une quantité physique A! sur une particule préparée dans l état Le résultat de la mesure de A est certain (ou prédéterminé) si et seulement si l état est un état propre de l observable E 3 E 2 E 1 Quantité physique A, décrite par l observable Spectre de valeurs propres discret (ce qui exclut l opérateur «impulsion») Base orthonormée de fonctions propres : Preuve du sens direct de l équivalence Si, alors le résultat de la mesure de A est certain. pour tout : avec Par exemple, un état propre de l hamiltonien est un état d énergie bien définie. Préambule 1 (suite) Preuve du sens réciproque de l équivalence On suppose que la particule est dans un état tel que la quantité A est «bien définie» : pas de fluctuations des résultats de mesure Préambule 2 : qu attend-on d une mesure? La mesure d une quantité physique fournit un nombre (ou un ensemble de nombres) qui apporte une information sur le système étudié. Tailles d une population : taux d apparition Alors, est état propre de avec la valeur propre. Démonstration : taille Pour que l information fournie ne soit pas factice, il faut que la même mesure d une même quantité (ici la taille d un individu donné) à deux instants «très proches» donnent le même résultat (répétabilité). Conclusion : le résultat de la mesure de A est certain si et seulement si l état de la particule est un état propre de. Le résultat est la valeur propre associée. «Instants très proches» : l état du système n évolue pas de manière significative entre les deux mesures.
Quel est l état de la particule après une mesure? Exemple d une mesure d énergie dans un puits E 3 E 2 E 1 état initial mesure de l énergie : résultat "# Quelles sont les valeurs possibles de "? Quel est l état après mesure? (i) " soit une des valeurs propres E n de l opérateur énergie une nouvelle mesure de l énergie sur le même système à un instant t 2 «très proche» de t 1 doit donner avec certitude le même résultat "# (ii) le système soit dans un état propre de l opérateur énergie à l instant t 2 mesure à t 1 :! à l instant t 1 à l instant t 2 cf. préambule 2 Pour que le résultat à l instant t 2 soit avec certitude égal à ", il faut (cf. préambule 1) que: Les résultats possibles pour une mesure individuelle Si on mesure la quantité physique A, les seuls résultats de mesure possibles sont les valeurs propres de l opérateur. Si la particule est avant la mesure dans l état propre de, alors le résultat est avec certitude la valeur propre a!. Si la particule est avant la mesure dans un état quelconque alors le résultat sera aléatoirement une des valeurs propres a!. Cette loi se déduit de : avec Quelle est la loi de probabilité correspondante? Loi de probabilité pour a! : Version forte du principe de la mesure On s intéresse à la mesure d une quantité physique Valeurs propres a! et fonctions propres orthonormées $! de, d observable a! supposée ici non dégénérée Qu apprend-on dans une mesure (I)? Une mesure individuelle, sur une particule donnée, donne un renseignement sur l état du système après mesure : Avant la mesure : avec inconnu appareil de mesure (classique) Si le résultat est! 2, l état après cette mesure est : Principe 3 (version «forte») 0 100 Le résultat a d une mesure individuelle de la grandeur physique A est nécessairement une des valeurs propres a! de La probabilité p! de trouver le résultat a! est Juste après une mesure ayant donné le résultat a!, la fonction d onde de la particule est, état propre associé à la valeur propre a! On ne peut pas, avec cette seule mesure, reconstruire l état On sait seulement que n était pas nulle La fonction d onde est modifiée de manière irréversible par la mesure : «réduction du paquet d ondes»
Qu apprend-on dans une mesure (II)? Si on dispose de N particules préparées dans le même état inconnu, on peut en effectuant une fois la mesure de A sur chaque particule déterminer les probabilités p!# inconnu appareil a!1" p 1 =N 1 /N de mesure (classique) a!2" p 2 =N 2 /N 0 100 a!3" p 3 =N 3 /N 4. Etats propres de l hamiltonien et Résolution de l équation de Schrödinger À partir de, on peut reconstruire (au moins partiellement) On se limite ici au cas où V ne dépend pas du temps : Évolution d un état quelconque On détermine les états propres de l hamiltonien : Les états propres de l hamiltonien sont des «états stationnaires» Si on prépare la particule dans un de ces états à t = 0 : Les états forment une «base» de l espace des fonctions d onde alors la solution de l équation de Schrödinger à l instant t est Fonction d onde initiale de la particule : Alors la fonction d onde à l instant t vaut : Démonstration : le proposé est-il solution de? La probabilité de présence n évolue pas : et il en va de même pour la valeur moyenne de toute quantité physique La résolution d un problème de mécanique quantique commence presque toujours par la détermination des fonctions propres de l énergie. Un état d énergie bien définie n est pas «en mouvement»!
Le chat de Schrödinger Principe de superposition : si et sont des fonctions d onde «éligibles», alors la superposition l est aussi. Électron dans l expérience des trous d Young : «passé dans le trou de gauche» ET «passé dans le trou de droite» Le dispositif diabolique de Schrödinger : On attend un temps bien choisi pour que la probabilité de désintégration soit 0.5... Le chat est-il dans l'état??? Cette question est-elle bien posée? Cette question est-elle absurde? Non! (pas d'expérience) Non plus! (expérience?) Le "chaton de Schrödinger" : expériences (I) Bonne question : peut-on observer des superpositions quantiques d'états quantiques "macroscopiquement distincts"? Beaucoup d'expériences possibles, illustration avec un oscillateur "semi-classique" S. Haroche: champ électromagnétique micro-onde dans une cavité résonnante; D. Wineland: mouvement d'un ion dans un piège électromagnétique. 1. Image quantique simple d'un oscillateur harmonique "semi-classique" E P A E!,P = E 0, # -# = E cos($t + #), E P = E sin($t + #), " = - $ 2 Les variables et E P sont représentées dans un "diagramme de Fresnel" défini pour t=0 - En mécanique quantique, et E P ne peuvent pas être connues simultanément (comme X et P) : inégalités de Heisenberg!!E P " E 0 2 - Si! =!E P = E 0, et si l'amplitude E vérifie E >> E 0, on a une oscillation "quasi-classique" - Deux états de même amplitude E mais de phases opposées ± # sont "macroscopiquement distincts" : équivalents des états "mort" et "vivant"? Le "chaton de Schrödinger" : expériences (II) 2. Interférences quantiques "macroscopiques"? Le "chaton de Schrödinger" : expériences (III) 2. Interférences quantiques "macroscopiques"? E P - Peut-on observer l'état E P - Peut-on observer l'état A E # - On prépare 2N fois cet état (c'est difficile!), on mesure sur N états, et E P sur N autres états, et on en déduit les distributions de probabilité P( ) et P(E P ) A E # - On prépare 2N fois cet état (c'est difficile!), on mesure sur N états, et E P sur N autres états, et on en déduit les distributions de probabilité P( ) et P(E P ) -5E 0 -# 0.2 0.1 P(E P ) 1 P( ) 0.5 signe quantique dans! $# classique? -5E 0 -# 0.2 0.1 P(E P ) 0.5 1 P( ) signe + dans $# - 5 5-5E 0 E P +5E 5 0-5 5-5E 0 E P +5E 5 0 - Les interférences observées sur P( ) prouvent le caractère quantique de la superposition! (dépendent du signe ± dans ) - Lorsque E augmente, les franges sont de plus en plus serrées, et les signes ± de la superposition se moyennent : perte de la "cohérence" "ET" quantique décohérence "OU" classique - En pratique, superpositions (et décohérence) observées pour des oscillateurs optiques ou micro-ondes, ou pour le mouvement d'une particule piégée. - Autres effets similaires : interférences de grosses molécules (virus?), cohérence quantique dans des boucles de supraconducteurs (SQUID), - Importance pratique considérable pour le développement de futurs «ordinateurs quantiques»