RAPPORT DE LABORATOIRE DE PHYSIQUE Focométrie

RAPPORT DE LABORATOIRE DE PHYSIQUE Focométrie Benjamin Frere & Pierre-Xavier Marique 2ème candidature en sciences physiques, Université de Liège Année académique 2003-2004

But de l expérience Nous devions déterminer les éléments de la matrice de transfert de trois systèmes optiques :. une lentille épaisse 2. une lentille mince 3. l objectif d un appareil photographique 2 Théorie de l expérience On définit la matrice de transfert T ES d un système par le produit des matrices élémentaires de translation et de réfraction. Le produit matriciel n étant pas commutatif on écrit ces matrices de droite à gauche en suivant la succession des dioptres atteints par la lumière T ES = T S p SRS p... T S S 2 RS T ES = T T 2 T 2 T 22 Dès lors, la matrice de transfert entre deux plans de front A xy et A 2 xy, respectivement situés dans l espace objet et dans l espace image, dont les indices de réfraction sont n 0 et n i s écrit T A A 2 = T SA 2 T EST A E c est-à-dire T A T 2 A T 2 A T 22 A = z i n i 0 T T 2 T 2 T 22 z 0 n 0 0 si on a posé z 0 = EA et z i = SA 2 Cela nous permet de pouvoir considérer le système optique comme un tout et plus comme une succession de dioptres à étudier l un après l autre. Si les deux plan de front sont conjugués i.e. si le chemin optique entre deux de leur points est identique quelle que soit l inclinaison sur l axe des rayons incidents et émergents, on obtient 2

où G t V G a le grandissement transversal la vergence le grandissement angulaire T A = G t T 2 A = 0 T 2 A = V T 22 A = n i n 0 G a 2 2. Détermination de la matrice de transfert 2.. De manière expérimentale En combinant et 2, nous arrivons aux relations suivantes { G t = V z 0 n 0 + T 22 z i z G t n i = T 0 3 n 0 + T 2 Nous mesurons alors z 0 et z i et nous déterminons G t expérimentalement. À l aide d un banc d optique on peut déterminer G t d un objet pour différentes positions de la lentille A et de l écran. Depuis les équations 3, on trace les graphiques :. G t A en fonction de zo n o par une régression linéaire. On trouve une droite dont la pente, T 2, vaut l opposé de la vergence du système et dont l ordonnée à l origine vaut T 22 à l origine. 2. G t A z i n i en fonction de zo n o par une régression linéaire. On trouve une droite de pente T d ordonnée T 2 à l origine. 2..2 À l aide des caractéristiques de la lentille En effet, tout lentille peut se décomposer en un dioptre d entrée première réfraction, une épaisseur de verre translation et un dioptre de sortie seconde réfraction. Sa matrice de transfert s écrit alors T ES = 0 V 2 e n 0 0 V 3

Donc T ES = e n R n n R R 2 + e n R R 2 n e n + e n R 2 n avec e l épaisseur de la lentille R le rayon de courbure du premier dioptre de la lentille traversé par le rayon lumineux R 2 le rayon de courbure du second dioptre de la lentille traversé par le rayon lumineux n l indice de réfraction de la lentille Remarque : la matrice T ES résultant d un produit de matrices de déterminant unitaire, le sien doit également l être. 3 Dispositif expérimental Toute l expérience s est déroulée sur un banc d optique sur lequel on fixait les éléments. Nous disposions aussi de ces instruments de mesure : Un sphéromètre. C est un petit instrument qui se présente grosso-modo comme un cylindre creux de diamètre connu. On applique le bout creux sur la surface sphérique à mesurer, et par l autre bout qui est une vis micrométrique, on ajuste une petite pointe se trouvant à l intérieur du sphéromètre en la faisant toucher la surface sphérique. On obtient alors la sphéricité au moyen de cette formule suivante : R = R x 2 + d2 4 avec d, le diamètre du sphéromètre 2 cm dans notre cas et x la partie du rayon de la surface sphérique rentrée dans le sphéromètre. Il faut prendre garde d étalonner le sphéromètre avant de prendre les mesures. Pour cela on l applique à une surface bien plane, on regarde la mesure qu il nous donne qui devrait être zéro rayon infini : lim x = 0 et on x ajuste les mesures en conséquences. Un compas Palmer. Gradué en centièmes de millimètre et munis d une vis micrométrique, il nous permettait de mesurer l épaisseur des lentilles. 4

4 Mesures Remarques : Dans notre cas, les systèmes étudiés étaient plongés dans l air. L indice de réfraction de l air n, ce qui simplifie nos calculs car nous obtenons n i = n 0 =. Les lentilles sont en verre, leur indice de réfraction vaut,5. Il ne faut pas oublier qu en optique, les distances ont un signe suivant leur «sens». Ce qui fait que les distances mesurées entre les systèmes optiques et l objet sont négatifs. 4. Lentille épaisse 4.. Caractéristiques Épaisseur : e=4,05 cm Rayons de courbures : R =,465, R 2 =,053 4..2 Résultats des mesures Image [cm] Objet [cm] Z o [cm] Z i [cm] Gt,3,5-9,35 9,9-0,866666667 0,8,5-25,85 6-0,533333333,,5-22,45 7,8-0,733333333,25,5-9,55 9,4-0,833333333,7,5-7,5 2,7 -,33333333 5

Détermination de T par régression linéaire Courbes d ajustage 6

Ces courbes nous fournissent : T =,2624 T 2 = 0,427554 T 2 = 0,0783 T 22 = 0,955087 Donc dtm T ES = dtm, 2624 0, 427554 0, 0783 0, 955087 =, 02956 Détermination de T par les caractéristiques de la lentille La matrice T et son déterminant : dtm T ES = dtm 4..3 Conclusions des mesures 0, 07850 2, 7 0, 30402 2, 28205 Les deux matrices déterminées des deux manières sont forts différentes, mais c est remarquable de quand même trouver un déterminant proche de pour la première matrice. 4.2 Lentille mince 4.2. Caractéristiques Épaisseur : e=0,54 cm Rayons de courbures : R = R 2 =,645 4.2.2 Résultats des mesures = Image [cm] Objet [cm] Z o [cm] Z i [cm] Gt,5 3, -20,386 44,2 2,066666667,5 2,2-23,86 35,466666667,5,6-27,386 28,4,066666667,5 2,7-22,86 39,5,8 7

Détermination de T par régression linéaire Courbes d ajustage 8

Ces courbes nous fournissent : T = 0,79677 T 2 = 0,529948 T 2 = 0,06624 T 22 = 0,886450 Donc dtm T ES = dtm 0, 79677 0, 529948 0, 06624 0, 886450 = 0, 6725 Détermination de T par les caractéristiques de la lentille La matrice T et son déterminant : dtm T ES = dtm 4.2.3 Conclusions des mesures 0, 84653 0, 34267 0, 06873, 5346 Les deux matrices déterminées des deux manières sont forts différentes en général aussi, mais cette fois le déterminant de la première est assez loin de l unité. 4.3 Objectif 4.3. Caractéristiques L objectif de l appareil photographique est constitué de deux lentilles. Nous n avons donc pas pu mesurer toutes les caractéristiques, et le seul moyen de trouver la matrice T était donc la régression linéaire. Épaisseur : 3,9 cm 4.3.2 Résultats des mesures = Image [cm] Objet [cm] Z o [cm] Z i [cm] Gt,5 3, -20,386 44,2 2,066666667,5 2,2-23,86 35,466666667,5,6-27,386 28,4,066666667,5 2,7-22,86 39,5,8 9

Détermination de T par régression linéaire Courbes d ajustage 0

Ces courbes nous fournissent : T = 0,506749 T 2 = 0,86844 T 2 = 0,64749 T 22 = 4,22608 Donc dtm T ES = dtm 0, 506749 0, 86844 0, 64749 4, 22608 = 2, 078 4.3.3 Conclusions des mesures Ici, on peut dire que c est vraiment n importe quoi... 5 Conclusions générales Ce laboratoire est celui qu on a le moins compris. En effet, nous n avions pas vu cela au cours, et nous avons eu beaucoup de difficultés à «rentrer» dedans. C était donc aussi plus difficile pour s apercevoir de la pertinence de nos mesures. En dehors de cela, il y avait quelques erreurs lors de la prise des mesures. Il n était pas simple de trouver le bon endroit où l image était la plus nette, nous devions alors trancher pour une position un peu au «pifomètre». L utilisation du sphéromètre et de de compas Palmer n étais pas non plus aisée. Le compas n était sûrement jamais bien au centre de la lentille et l ajustage de la pointe du sphéromètre dépendait de notre sensibilité. Enfin, il faut avouer que nous n avons pas vraiment fait ce laboratoire avec soin et qu avec plus de patience nous aurions sûrement pu obtenir de meilleurs résultats.