Temps Distance Vitesse

Temps Distance Vitesse Jean-Noël Gers Février 2005 CUEEP Département Mathématiques p1/27

Ce dossier contient un certain nombre de problèmes classiques sur la rencontre de mobiles évoluant à vitesse constante. Ce genre de problème est traditionnellement soumis aux personnes s initiant à la résolution algébrique de problèmes. Et il est particulièrement redouté de leur part, à juste titre, car il recèle des difficultés particulières que ce dossier a pour but de débusquer et de résoudre. A cet effet nous donnons de chaque problème quatre solutions en parallèle : une solution graphique, une solution arithmétique et deux solutions algébriques. La mise en regard de ces diverses solutions peut, nous l espérons, aider à repérer et à traiter les difficultés propres à la mise en équation de ces problèmes. CUEEP Département Mathématiques p2/27

Problème 1 Juste après avoir doublé un camion, je m arrête à une station service pour faire le plein. Il est 12h15. Je repars 10 minutes plus tard et je roule à la vitesse maximum autorisée de 130km/h. En supposant que le camion roule lui aussi à la vitesse maximum autorisée, soit 90km/h, dans combien de temps et combien de kilomètres le trouverai-je à nouveau devant moi? CUEEP Département Mathématiques p3/27

Solution graphique. Le camion et la voiture roulant à vitesse constante, leurs mouvements sont représentés par des droites dans un graphique temps/distance. Pour tracer ces droites on repère le moment de départ de la station service de chaque véhicule et sa position une heure plus tard. Ces informations fournissent deux points par droite. L intersection des deux droites correspond au moment et au lieu de la rencontre. 13h25 13h15 12h25 12h15 12h Station service 90km 130km On peut lire sur le graphique que la voiture rattrape le camion vers 12h45 un peu moins de 50km après avoir quitté la station service. CUEEP Département Mathématiques p4/27

Solution arithmétique. Puisque les vitesses de déplacement sont constantes, les durées et les distances de déplacement sont proportionnelles. C est sur ce principe que s appuie la solution arithmétique. Dès que la voiture se met à rouler, la distance qui la sépare du camion se réduit à la vitesse de 130km/h 90km/h = 40km/h. Or le camion a roulé pendant 10 minutes avant que la voiture ne se lance à sa poursuite. Il a donc pris une avance qui vaut les 10/ de 90km soit 15km. Pour réduire à zéro cette distance, la voiture devra donc rouler pendant les 15/40 d une heure soit 22 minutes et 30 secondes. Elle aura parcouru les 15/40 de 130 km soit 48 km et 750 m. CUEEP Département Mathématiques p5/27

Solution algébrique en «repérage relatif». Le terme «repérage relatif» signifie qu on formalise le mouvement propre de chaque véhicule, indépendamment des autres. On utilise, en quelque sorte, un compteur kilométrique et un chronomètre particuliers pour chaque véhicule. Le chronomètre et le compteur kilométrique d un même véhicule étant déclenchés en même temps. Dès lors, la formule «distance = vitesse temps» s applique à chaque mouvement. En termes mathématiques, le repérage relatif se traduit par le choix de variables de temps et d espace différentes pour chaque véhicule, par exemple dans notre problème, t 1 et d 1 pour le camion, t 2 et d 2 pour la voiture. Pour chaque variable il est capital de préciser l unité utilisée. Nous choisirons par exemple les définitions suivantes : t 1 est le temps compté en heure qui s est écoulé depuis le passage du camion devant la station service. d 1 est la distance en kilomètre parcourue par le camion depuis son passage devant la station service. t 2 est le temps compté en heure qui s est écoulé depuis le départ de la voiture de la station service. d 2 est la distance en kilomètre parcourue par la voiture depuis son départ de la station service. Nous avons les deux équations suivantes qui traduisent les mouvements des deux véhicules : Il faut ensuite synchroniser les chronomètres des deux véhicules : d 1 = 90 t 1 et d 2 = 130 t 2 t 1 = t 2 + 10 Enfin nous voulons savoir quand la voiture rattrape le camion, soit : d 1 = d 2 Ce qui achève la mise en équation du problème. Il s agit d un système de quatre équations à quatre inconnues du premier degré. CUEEP Département Mathématiques p6/27

La résolution de ce système se fait par substitutions successives. On remplace d abord d 1 par 90 t 1 et d 2 par 130 t 2 dans la dernière équation : Puis t 1 par t 2 + 10 dans l équation obtenue : 90 t 1 = 130 t 2 90 ( t 2 + 10 ) = 130 t2 Cette dernière équation se résout en développant d abord la parenthèse : Ensuite en inversant l opération + 90 t 2 en - 90 t 2 : 90 t 2 + 15 = 130 t 2 Puis en regroupant les termes en t 2 : 15 = 130 t 2-90 t 2 Enfin en inversant l opération 40 en l opération 40 : 15 = 40 t 2 15 = t 40 2 Il faut donc 15 d une heure à la voiture pour rattraper le camion, soit 15 minutes, c est à dire 22 minutes et 30 secondes. 40 40 La distance parcourue par la voiture s obtient en remplaçant t 2 par 15 dans l équation d 40 2 = 130 t 2, soit : Ce qui donne 48km et 750m. d 2 = 130 15 40 CUEEP Département Mathématiques p7/27

La méthode algébrique n est pas indispensable pour résoudre ce problème. Elle peut même paraître lourde et pénible. Ce qui est intéressant, c est d analyser comment fonctionne cette méthode dans le cas simple que nous exposons ici, de façon à pouvoir l appliquer dans un cas plus complexe. La force de la méthode algébrique réside en effet dans le fait qu elle décompose le travail de résolution en étapes distinctes autonomes, ce qui allège considérablement l effort à fournir dans les cas complexes. La première étape consiste à mettre le problème en équations, la deuxième à résoudre ces équations, la troisième à interpréter les solutions de ces équations. La première étape est une traduction en langage algébrique des données du problème. La seconde étape, la plus pénible, est purement technique et peut être automatisée. La dernière étape requiert, comme la première, des qualités humaines d interprétation. CUEEP Département Mathématiques p8/27

Solution algébrique en «repérage absolu». Le terme «repérage absolu» signifie que l on choisit un repérage commun à tous les véhicules. Autrement dit il existe un seul chronomètre. La variable «temps» est commune à tous les véhicules, c est une simple horloge qui donne l heure, elle ne correspond pas forcément à une durée de déplacement. Par exemple nous appellerons«t» le temps qui s est écoulé depuis midi compté en heures. De même les distances ne correspondent pas forcément à des distances parcourues, elles indiquent seulement les positions des véhicules par rapport à un repère commun. Nous pouvons choisir la station service comme repère commun. Nous appellerons «d» la distance d un véhicule à la station service comptée en kilomètres. Le mouvement de chaque véhicule est représentée par une droite dans un graphique croisant les informations «d» et «t». Il est d usage, en algèbre, de placer la variable «t» est en abscisse et la variable «d» en ordonnée. Nous nous conformerons à cet usage. CUEEP Département Mathématiques p9/27

d Le mouvement du camion est représenté, à partir de t = 15, par une droite de pente voiture 90 ; cette droite a donc pour équation : camion d = 90 ( t - 15 ) Le mouvement de la voiture est représenté, à partir de t = 25 par une droite de pente 130 ; cette droite a donc pour équation : d = 130 ( t - 25 ) 0 0 15 25 t CUEEP Département Mathématiques p10/27

Les véhicules se rencontrent quand les deux droites se coupent, soit : 90 ( t - 15 ) = 130 ( t - 25 ) cela donne en développant les parenthèses : 90t 90 15 = 130 t 130 25 puis en transférant les termes d un membre dans l autre: 130 25 90 15 = 130 t 90t d où en regroupant les termes : et : 95 = 40 t 3 t = 95 120 Cette valeur convertie en minutes donne 47,5. La voiture rattrape le camion à 12 heures 47 minutes et 30 secondes. L abscisse du lieu de la rencontre s obtient en remplaçant t par 95 dans l une ou l autre des équations des droites : 120 d = 90 ( 95-15 ) = 48,75 120 La voiture rattrape le camion à 48,750km de la station service. CUEEP Département Mathématiques p11/27

Problème n 2 A 7h15 du matin, un convoi de camions part de Lille vers Paris dans le but de bloquer l autoroute à l entrée nord de la capitale. Prévenus, les services de police envoient des véhicules à leur rencontre pour les intercepter. Ces véhicules partent de Paris à 7h35 et roulent à 130km/h. Les camions roulent à 90km/h. Il y a 240km entre Lille et Paris. Où va se produire l interception et à quelle heure? CUEEP Département Mathématiques p12/27

Solution graphique. Les camions et les véhicules de police roulant à vitesse constante, leurs mouvements sont représentés par des droites dans un graphique temps/distance. Pour tracer ces droites, on repère le moment de départ de chaque véhicule et sa position une heure plus tard. Ces informations fournissent deux points par droite. L intersection des deux droites correspond au moment et au lieu de l interception. véhicules de police camions 8h35 8h15 7h35 7h15 7h Lille 90km 130km Paris 7h On peut lire sur le graphique que l interception a lieu vers 8h30 à environ 120km de Paris. CUEEP Département Mathématiques p13/27

Solution arithmétique. Puisque les vitesses de déplacement sont constantes, les durées et les distances de déplacement sont proportionnelles. C est sur ce principe que s appuie la solution arithmétique. Dès que les véhicules de police se mettent à rouler, la distance qui les sépare des camions se réduit à la vitesse de 130km/h + 90km/h soit 220km/h. Or les camions ont roulé pendant 20 minutes, soit le tiers d une heure, avant que les véhicules de police ne se lancent à leur rencontre. Ils ont donc parcouru le tiers de 90km soit 30km. La distance qui les sépare alors des véhicules de police n est donc plus que de 210km Pour réduire à zéro cette distance, il faudra les 210/220 d une heure soit un peu plus 57 minutes. Les véhicules de police auront alors parcouru les 210/220 de 130km soit environ 124km. CUEEP Département Mathématiques p14/27

Solution algébrique en «repérage relatif». Le terme «repérage relatif» signifie, on l a vu, qu on formalise le mouvement propre de chaque véhicule, indépendamment des autres. On utilise, en quelque sorte, un compteur kilométrique et un chronomètre particuliers pour chaque véhicule. Le chronomètre et le compteur kilométrique d un même véhicule étant déclenchés en même temps. Dès lors la formule «distance = vitesse temps» s applique à chaque mouvement. En termes mathématiques, le repérage relatif se traduit par le choix de variables de temps et d espace différentes pour chaque véhicule, par exemple dans notre problème, t 1 et d 1 pour le convoi de camions, t 2 et d 2 pour les véhicules de police. Pour chaque variable il est capital de préciser l unité utilisée. Nous choisirons par exemple les définitions suivantes : t 1 est le temps compté en heure qui s est écoulé depuis le départ des camions de Lille. d 1 est la distance en kilomètre parcourue par les camions depuis leur départ de Lille. t 2 est le temps compté en heure qui s est écoulé depuis le départ des véhicules de police de Paris. d 2 est la distance en kilomètre parcourue par les véhicules de police depuis leur départ de Paris. Nous avons dés lors les deux équations suivantes qui traduisent les mouvements des deux convois : Il faut ensuite synchroniser les chronomètres des deux convois : d 1 = 90 t 1 et d 2 = 130 t 2 t 1 = t 2 + 20 Enfin nous voulons savoir quand les voitures de police intercepteront les camions ; cela se produira quand ils auront ensemble parcouru 240km, soit : d 1 + d 2 = 240 Ce qui achève la mise en équation du problème. Il s agit d un système de quatre équations à quatre inconnues du premier degré. CUEEP Département Mathématiques p15/27

La résolution de ce système se fait par substitutions successives. On remplace d abord d 1 par 90 t 1 et d 2 par 130 t 2 dans la dernière équation : Puis t 1 par t 2 + 20 dans l équation obtenue : 90 t 1 + 130t2 = 240 90 ( t 2 + 20 ) + 130 t2 = 240 Cette dernière équation se résout en développant d abord la parenthèse : 90 t 2 + 30 + 130 t 2 = 240 Ensuite en inversant l opération + 30 en - 30 : 90 t 2 + 130 t 2 = 240-30 Puis en regroupant les termes en t 2 : 220 t 2 = 210 Enfin en inversant l opération 220 en l opération 220 : t 2 = 210 220 Il faut donc les 210 d une heure aux voitures de police pour intercepter les camions, soit un peu plus de 57 minutes. 220 La distance parcourue par les voitures de police s obtient en remplaçant t 2 par 210 dans l équation d 220 2 = 130 t 2, soit : d 2 = 130 210 220 ce qui donne environ 124km. CUEEP Département Mathématiques p16/27

Solution algébrique en «repérage absolu». Rappelons que le terme «repérage absolu» signifie que l on choisit un repérage commun à tous les véhicules. Autrement dit il existe un seul chronomètre. La variable «temps» est commune aux deux convois, c est une simple horloge qui donne l heure, elle ne correspond pas forcément à une durée de déplacement. Dans le cas qui nous intéresse ici, nous appellerons «t» le temps qui s est écoulé depuis 7h compté en heures. De même les distances ne correspondent pas forcément à des distances parcourues, elles indiquent seulement les positions des véhicules par rapport à un repère commun. Nous choisirons ici Paris comme repère commun. Nous appellerons «d» la distance d un convoi à Paris comptée en kilomètres. Le mouvement de chaque convoi est représenté par une droite dans un graphique croisant les informations «d» et «t». Il est d usage, en algèbre, de placer la variable «t» en abscisse et la variable «d» en ordonnée. Nous nous conformerons à cet usage. CUEEP Département Mathématiques p17/27

d 240 camions véhicules de police 0 0 1 4 35 t Le mouvement des camions est représenté, à partir de t = 4 1 et d = 240, par une droite de pente -90 ; cette droite a donc pour équation : d = 240-90 ( t - 4 1 ) 35 Le mouvement des véhicules de police est représenté, à partir de t = et d = 0 par une droite de pente 130 ; cette droite a donc pour équation : d = 130 ( t - 35 ) CUEEP Département Mathématiques p18/27

Les convois se rencontrent quand les deux droites se coupent, soit : 240-90 ( t - 1 ) = 130 ( t - 35 ) 4 cela donne en développant les parenthèses : 240-90t + 90 = 130t 130 35 4 puis en transférant les termes d un membre dans l autre: 240 + 90 + 130 35 = 130t + 90t 4 d où en regroupant les termes : et : 1015 = 220t 3 t = 1015 6 soit un peu plus de 1h32. Les voitures de police interceptent donc les camions vers 8 heures 32 minutes. 1015 L abscisse du lieu de la rencontre s obtient en remplaçant t par dans l une ou l autre des équations de droites : 6 d = 130 ( 1015-35 ) = 1365 3 11 L interception a lieu à environ 124km de Paris. CUEEP Département Mathématiques p19/27

Problème n 3 Un avion relie deux villes A et B distantes de 1620km. Par temps calme, il vole à la vitesse de 540km/h. Par suite de mauvais temps, sa vitesse se trouve réduite à 480km/h sur une partie du parcours. Le voyage a duré 3h10. Pendant combien de temps l avion a-t-il volé à 540km/h? CUEEP Département Mathématiques p20/27

Solution graphique. Il est impossible d établir le graphique réel du mouvement puisqu on ignore à quel moment du vol l avion a dû ralentir son allure. Cependant, quelque soit ce moment, le temps de vol a vitesse réduite est nécessairement le même. On peut donc supposer que l avion a, par exemple, trouvé le mauvais temps sur la dernière partie de son parcours. Le graphique est alors celui d une ligne brisée composée de deux segments de droite. On connaît les deux extrémités de cette ligne brisée. On connaît également les pentes de chacun des segments dont elle est composée. Il est donc possible de retrouver le point central de cette ligne brisée. 1620km 1h 3h10 480km 1h A 540km B On peut lire sur le graphique que l avion a volé à 540km/h pendant environ 1h40. CUEEP Département Mathématiques p21/27

Solution arithmétique. On peut d abord envisager la durée de vol par temps calme. Cette durée vaut les 1620/540 d une heure soit 3 heures. Le mauvais temps a donc causé un retard de 10 minutes. On peut ensuite comparer ce retard au retard pris par kilomètre au cours du vol à vitesse réduite. A vitesse normale l avion effectue le kilomètre en 1/540 d heure, soit en 20/3 de seconde. A vitesse réduite l avion effectue le kilomètre en 1/480 d heure, soit en 7,5 secondes. Le temps perdu par kilomètre est de 5/6 de seconde. Comme le retard est de 0 secondes, le nombre de kilomètres parcourus à vitesse réduite est le quotient de 0 par 5/6 soit 720. La distance parcourue à vitesse réduite est donc de 720 km. L avion a donc parcouru 900 km à pleine vitesse, soit une durée de vol de 900/540 d heure soit 100/ d heure soit encore 1 heure et 40 minutes. La solution arithmétique que nous venons de présenter ne se construit pas de façon évidente à partir des solutions arithmétiques exposées dans les problèmes précédents. Il existe d autres solutions arithmétiques mais elles ne sont pas plus évidentes. Par contre nous allons voir maintenant que les solutions algébriques de ce problème sont construites sur le même modèle que les solutions algébriques des problèmes précédents. La méthode algébrique se transpose facilement d un problème à l autre. D où son intérêt.. CUEEP Département Mathématiques p22/27

Solution algébrique en «repérage relatif». Le terme «repérage relatif» signifie ici qu on formalise chaque phase de vol, indépendamment des autres. On utilise un compteur kilométrique et un chronomètre particuliers pour chaque phase de vol. Le chronomètre et le compteur kilométrique d une même phase de vol étant déclenchés en même temps. Dès lors la formule «distance = vitesse temps» s applique à chaque phase de vol. En termes mathématiques, le repérage relatif se traduit par le choix de variables de temps et d espace différentes pour chaque phase de vol. Les choix d unités doivent être cohérents. Nous choisirons les définitions suivantes : t 1 est le temps compté en heures pendant lequel l avion a volé à 540km/h. d 1 est la distance en kilomètres parcourue par l avion pendant cette phase de vol. t 2 est le temps compté en heures pendant lequel l avion a volé à 480 km/h d 2 est la distance en kilomètres parcourue par l avion pendant cette phase de vol. Nous avons dés lors les deux équations suivantes qui traduisent les mouvements pendant les deux phases de vol : Il suffit ensuite écrire que le vol a duré 3h10 : d 1 = 90 t 1 et d 2 = 130 t 2 t 1 + t 2 = 190 et que la distance parcourue a été de 1620km : d 1 + d 2 = 1620 Ce qui achève la mise en équation du problème. Il s agit d un système de quatre équations à quatre inconnues du premier degré. CUEEP Département Mathématiques p23/27

La résolution de ce système se fait par substitutions successives. On remplace d abord d 1 par 540 t 1 et d 2 par 480 t 2 dans la dernière équation : Puis t 2 par 190 - t 1 dans l équation obtenue : 540 t 1 + 480 t 2 = 1620 540 t 1 + 480 ( 190 -t1 ) = 1620 Cette dernière équation se résout en développant d abord la parenthèse : Ensuite en inversant l opération + 1520 en - 1520 : Puis en regroupant les termes : Enfin en inversant l opération en l opération : 540 t 1 + 1520-480 t 1 = 1620 540 t 1-480 t 1 = 1620-1520 t 1 = 100 t 1 = 100 L avion a donc volé à 540 km/h pendant les 100 d une heure, soit 1h40. La méthode algébrique fait la preuve, ici, de son efficacité ; elle n est pas plus difficile à mettre en œuvre pour résoudre ce problème que pour résoudre les précédents. CUEEP Département Mathématiques p24/27

Solution algébrique en «repérage absolu». Le terme «repérage absolu» signifie ici que l on choisit un repérage commun aux deux phases du vol. Autrement dit il existe un seul chronomètre ; nous appellerons «t» le temps qui s est écoulé depuis le début du vol compté en heures. De même il existe une seule variable «distance». Nous pouvons choisir la ville d où l avion s est envolé comme repère commun. Nous appellerons «d» la distance de l avion à cette ville comptée en kilomètres. Nous avons vu que le mouvement de l avion peut être représenté par une ligne brisée dans un graphique croisant les informations «d» et «t». Il est d usage, en algèbre, de placer la variable «t» en abscisse et la variable «d» en ordonnée. Nous nous conformerons à cet usage. CUEEP Département Mathématiques p25/27

d 1620 Pendant la première phase de vol, le mouvement de l avion est représenté par une droite de pente 540 passant par l origine. Cette droite a pour équation : pente 480 d = 540t pente 540 Pendant la deuxième phase de vol, le mouvement de l avion est représenté par une droite de pente 480 passant par le point d abscisse 3 + 10 ( 3h10 ) et d ordonnée 1620. Cette droite a pour équation : 0 d = 480 ( t - 3-10 ) + 1620 0 3 + 10 CUEEP Département Mathématiques p26/27

La première phase de vol prend fin quand les deux droites se coupent, soit : 540t = 480 ( t - 3-10 ) + 1620 cela donne en développant les parenthèses : 540t = 480 t - 1440 80 + 1620 puis en transférant le terme 480t d un membre dans l autre : 540t 480t = 100 d où en regroupant les termes : t = 100 et : t = 100 soit t = 1 + 40 L avion a volé pendant 1heure 40 minutes à la vitesse de 540km/h. CUEEP Département Mathématiques p27/27