RECHERCHES EN MATHEMATIQUES DANS UN COURS DOUBLE CP-CE1 Panneau réalisé par les élèves du CP-CE1 de L'école de Rians pour le sixième congrès des enfants chercheurs à La Garde (83) le 12 juin 1998.
Le document qui suit a été réalisé par les élèves d'une classe de CP-CE1, à Rians, au cours de l'année scolaire 97/98. Dans cette classe les recherches en mathématiques avaient lieu le samedi matin au rythme d'environ une heure toutes les trois semaines, soit un total d'une dizaine d'heures de travail réparties sur l'ensemble de l'année scolaire. Les travaux ont débuté au cours du mois d'octobre 97; la première séance s'est déroulée en présence d'un observateur, formateur à l'iufm. Les enfants ont été répartis en 5 groupes en mélangeant élèves de CP et de CE1; chaque groupe a reçu un matériel: soit des calculettes, soit un jeu de tan-gram (puzzle géométrique), soit un lot d'une cinquantaine de baguettes de même longueur. La consigne de lancement des recherches a été très ouverte: "Vous allez faire des recherches en mathématiques en utilisant le matériel que je vous ai distribué; il faut vous poser des questions et essayer d'y répondre; les problèmes sur lesquels vous chercherez doivent être des problèmes de mathématiques."; puis les enfants se sont mis au travail durant environ 45 minutes. La plupart des enfants ont travaillé en groupes faisant part aux autres de leurs questions, de leurs idées de réponses, mais quelques-uns ont préféré travailler seuls (ou à deux) en s'appropriant parfois le matériel distribué. Quant aux problèmes abordés par les enfants, ils furent en général assez caractéristiques de la représentation qu'ils ont des mathématiques: - faire des opérations avec une calculette; - réaliser des formes géométriques avec les baguettes ou avec les pièces du tan-gram. Une seule exception, la recherche de Johanna, Antonin et Sabria s'est appuyée sur un élément extérieur aux mathématiques: ces enfants commençaient l'apprentissage de la lecture et leur attention s'est portée sur les lettres de l'alphabet affiché sur un des murs de la classe; avec leurs baguettes ils ont décidé d'écrire les lettres (majuscules) de l'alphabet; lorsqu'on leur a demandé s'ils pensaient que c'était des mathématiques, ils ont répondu qu'ils pouvaient compter le nombre de baguettes pour chaque lettre. Cela a débouché sur une tentative de classement des lettres de l'alphabet. Raja, qui avait décidé de travailler seule, estimait au bout de dix minutes avoir achevé son travail: elle avait fabriqué avec ses baguettes un grand losange avec ses médianes. Nous lui avons relancé son travail en lui demandant de raconter (éventuellement à l'aide de dessins) ce qu'elle avait réalisé. Il s'agissait de la faire entrer dans un projet de communication de son travail. Ce projet a d'ailleurs été proposé à l'ensemble de la classe en fin de séance et cela s'est concrétisé lors de la séance suivante par la rédaction du premier courrier à Yves Lafont, chercheur au CNRS à Marseille. Le document réalisé en fin d'année par les enfants reprend l'ensemble des courriers envoyés par la classe à ce chercheur, ainsi que ses réponses. On peut remarquer que les enfants, entrés dans la recherche avec des sujets différents, se sont, petit à petit tous retrouvés sur un seul sujet qui a focalisé toutes leurs énergies. D'autre part il est intéressant de noter dans cette recherche sur les "carrés" le cheminent des enfants vers l'abstraction: au départ, ils travaillent avec des baguettes; ils fabriquent des objets géométriques, ils comptent des éléments de leur construction; puis très rapidement le matériel est abandonné au profit d'une représentation dessinée; enfin, à l'issue de leur travail (dernier courrier au chercheur et panneau présenté lors du sixième congrès des enfants chercheurs en juin 98), le dessin des carrés laisse une large place au travail sur les nombres Signalons pour terminer cette présentation qu'au début du mois de décembre 97, les élèves de cette classe ont pu rencontrer le chercheur Y. Lafont; celui-ci est venu assister à une de leurs séances de recherche et a pu discuter de leurs travaux avec les enfants; ceux-ci lui ont alors posé quelques questions relatives à son métier de chercheur.
5 Nov. 1997 Classe de CP CE 1 de Françoise C. Ecole Elémentaire de Rians 83560 RIANS RECHERCHE MATHEMATIQUE Nous avons commencé à faire des recherches en mathématique. Voici nos premiers travaux. Recherche de Jean-Louis et Laurent avec la calculette: 11 16 9+2= 1 1 36-20= 16 12-1= 1 1 4+12= 16 13 17 5+8= 13 24-7=17 18-5= 13 6+1 I= 17 14 18 4+10=14 49-31=18 20-6= 14 2+16= 18 15 19-4= 15 8+7= 15 Recherche de Jordane avec des baguettes: Avec mes baguettes, je construis des petits carrés, avec les petits carrés je forme un rectangle. J'ai construit un rectangle avec 6 carrés un rectangle avec 12 carrés Je cherche à construire d'autres rectangles.
Recherche de Kévin, Angy et Jordane avec le tangram : Avec plusieurs pièces, on a fait des formes géométriques: un petit rectangle, un grand rectangle, un triangle. Recherche de Johanna, Antonin et Sabria avec des baguettes: 1 2 3 I VTLX ACYUZFNKH Nous écrivons les lettres de l'alphabet avec nos baguettes. Nous avons cherché les lettres que l'on pouvait écrire avec 1 baguette, 2 baguettes, 3 baguettes. Nous allons continuer à chercher pour classer les autres lettres de l'alphabet.
Recherche de Raja avec des baguettes:
Bonjour, J'ai essayé de répondre aux fax de la classe "Les Pies" et à celui de la classe de Françoise C.. Ça n a pas marché. Je ferai un nouvel essai demain. En attendant, je vous envoie mes réponses par e.mail. A bientôt, Yves Lafont CNRS - INSTITUT DE MATHEMATIQUES DE LUMINY 163 avenue de Luminy - Case 93O, 13288 Marseille Cedex 09 Bonjour la classe de Francoise C.. J'ai bien reçu votre fax. Voici quelques commentaires sur vos travaux de recherche. Recherche de Jean-Louis et Laurent avec la calculette: Votre rapport est un peu indigeste. J'aimerais avoir quelques explications sur votre méthode de recherche et sur vos conclusions. Par exemple, vous montrez qu'on peut obtenir le nombre 11 en faisant une addition ou bien en faisant une soustraction. C est vrai aussi pour 13, 14, 15, 16, 17, et 18. Estce vrai pour tous les nombres? Il y a sûrement d autres remarques de ce genre à faire. Recherche de Jordane avec des baguettes: C'est peut-être à cause de l'ordinateur, mais tes petits carrés n ont pas l'air vraiment carrés! Moi, ça ne me gêne pas trop: les mathématiciens ont l'habitude de travailler avec des dessins approximatifs. peux-tu faire un rectangle avec 5 carrés? Recherche de Johanna, Antonin et Sabria avec des baguettes Vous avez commencé à faire une classification de l'alphabet. Les scientifiques aiment bien les classifications, car elles les aident à comprendre. Par exemple, en physique (la science qui étudie, entre autres, la matière), il y a les solides, les liquides et les gaz. En zoologie (la science qui étudie les animaux), il y a, entre autres, les insectes, les poissons, les oiseaux, les reptiles, et les mammifères (combien ont-ils de pattes?). Les mathématiciens font aussi des classifications de nombres, de formes. Maintenant, voici de nouvelles directions de recherche. Comment sont dessinés les chiffres sur une calculette? Pouvez-vous inventer de nouvelles lettres?
Recherche de Raja avec des baguettes: Ton rapport manque de texte, mais j'ai bien compris que tu voulais nous montrer comment tu construisais une figure, étape par étape. Il arrive souvent que la construction soit aussi intéressante que le résultat. Les mathématiciens oublient parfois d'expliquer comment ils ont construit un objet. Tes baguettes ont-elles toutes la même longueur. Si oui, je peux te faire la même remarque qu'à Jordane. Recherche de Kevin, Angy et Jordanne avec le tangram: Je ne connais pas bien le tangram. Je suppose qu'il s'agit d'un jeu de formes géométriques. Les avez-vous toutes utilisées? Peut-on construire la même forme de plusieurs façons?
courrier n 2 Bonjour, Ayant fait le point de quelques recherches effectuées en votre compagnie jeudi dernier, nous avons pu tirer quelques conclusions ensemble. * Jordane Peut-on faire un rectangle avec 5 carrés? oui. Jordane a construit des rectangles avec une colonne à l'aide de 3 carrés, 5 carrés et 7 carrés. Avec 4 carrés, 6 carrés, 12 carrés, 14 carrés, il a construit des rectangles avec deux colonnes. * Emilie Avec la calculette, Emilie a fait des soustractions. 3-6=-3 5-6=-l 2-5=-3 Pour obtenir un nombre avec le signe -, Emilie a découvert qu'il fallait d'abord taper un petit nombre, puis un plus grand. Nous avons déjà vu des nombres avec le signe - à la météo pour indiquer les températures. Les autres recherches sont cours... Les élèves du C.P. CE 1 de Rians
Marseille, le 23 décembre 1997 Réponse au courrier n 2. Bonjour la classe de Françoise C., J'ai tardé à vous répondre car mon laboratoire vient de déménager. J'en profite pour vous donner mes nouvelles coordonnées. Attention, le numéro de fax n'est pas celui que je vous ai indiqué la dernière fois. Yves Lafont Institut de Mathématiques de Luminy 163, avenue de Luminy - Case 901 13288 MARSEILLE CEDEX 9 Jordane Bravo! Maintenant, je vais te poser des questions plus difficiles. Peux-tu construire un rectangle avec n'importe quel nombre de carrés? Et peux-tu construire un rectangle à 2 colonnes avec n'importe quel nombre de carrés? Emilie Tu as découvert ce qu'on appelle les nombres négatifs! On les utilise en effet pour la température quand il gèle. Il y en a aussi : - dans certains ascenseurs, quand il y a des niveaux en sous-sol - sur les cartes de certains pays comme les Pays-Bas, Israël ou la Jordanie, avec des terres qui sont en dessous du niveau de la mer - dans la comptabilité, quand on a des dettes. Peux-tu trouver d'autres lois sur la soustraction?
Bonjour monsieur Lafont, Après deux séances de recherche, nous avons conclu: 1- On peut construire un rectangle de 1 colonne avec n'importe quel nombre de carrés: 2- On peut construire un rectangle de 2 colonnes avec n'importe quel nombre de carrés: Avec des petits carrés ou avec des petits et un grand Nombre de carrés: Avec un nombre impair de carrés, il faut utiliser un grand carré. Avec un nombre pair de carrés, on n'utilise que des petits carrés. 3-A propos de calculette: Pour écrire 12 avec une addition de 2 chiffres, il y a 13 façons: 12+0 0+12 11+1 1+11 10+2 2+10 9+3 3+9 8+4 4+8 7+5 5+7 6+6 Pour écrire 12 avec une soustraction, on peut toujours trouver une autre façon, il n'y a pas de limite, il suffit d'ajouter 1 de chaque côté du signe - à chaque fois: 12-0 15-3 13-1 16-4 14-2 17-5 Nous nous demandons s'il est possible d'obtenir 12 en commençant la soustraction par un nombre plus petit que 12. 11-? = 12 Nous ne sommes pas d'accord. Laurent pense que c'est peut-être possible car il pense aux nombres négatifs que nous avons découvert la dernière fois. Voilà pour le moment. Les enfants du CP-CE1 "les futés" de Rians.
Yves Lafont Marseille le 12/2/98 Institut de Mathématiques de Luminy 163, avenue de Luminy - Case 901 13288 MARSEILLE CEDEX 9 Réponse au courrier n 3 des futés: J'ai lu avec beaucoup d'intérêt les résultats de vos recherches. J'imagine que vous avez discuté au niveau de la classe, et non plus seulement par petits groupes. C'est une étape importante dans la recherche. Je suis d'accord avec les deux lois que vous proposez pour les rectangles. On peut aussi les exprimer sans parler de rectangles: - Tout nombre s'écrit sous la forme 1 +... + 1. - Tout nombre s'écrit sous la forme 2 +... + 2 (s'il est pair) ou bien 2 +... + 2 + 1 (s'il est impair). Il y a tout de même un petit problème: la première loi ne marche pas pour 0. Quant à la deuxième, elle ne marche ni pour 0, ni pour 1. Je vous suggère deux directions possibles pour continuer cette recherche: - étudier les rectangles de 3 colonnes ; - étudier les carrés plutôt que les rectangles. Je suis également d'accord avec les lois de la calculette: - Il y a 13 façons d'obtenir 12 avec une addition de 2 nombres. (Attention, il s'agit bien de nombres, pas de chiffres. Les chiffres sont les signes utilisés pour écrire les nombres. Il n'y a que 10 chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.) - Il y a une infinité de façons d'obtenir 12 avec une soustraction de 2 nombres. Pour 11 -? = 12, j'imagine que certains d'entre vous pensent que ce n'est pas possible. Ils ont raison, si on cherche une solution parmi les nombres que vous connaissez. Mais Laurent aussi a raison: il y a une solution parmi les nombres négatifs, et je crois que vous pourriez la trouver vous-même en utilisant la calculette. Donc, quand on veut résoudre une équation, il faut bien préciser quel type de solution on cherche.
Les futés. Courrier n 4. 7/5/98 Bonjour M. Lafont, Nous avons continué nos recherches sur le thème suivant: "Un carré avec des carrés" - Nous avons abandonné notre matériel (les baguettes) car nous avons préféré dessiner sur des feuilles quadrillées. 1 4 9 16 Nous avons dessiné des carrés avec 4 petits carrés 9 petits carrés 16 petits carrés 25 petits carrés 36 petits carrés 49 petits carrés Nous avons remarqué que pour construire un carré, il nous fallait le même nombre de petits carrés de chaque côté. Pour construire des carrés plus grands, ça devient difficile de compter tous les petits carrés, alors on a essayé de trouver d'autres solutions sans dessiner. Solution 1 : Pour faire un carré avec des petits carrés, on ajoute des nombres impairs dans l'ordre croissant. Exemple : Nombre de petits carrés sur 1 2 3 4 5 le côté Nombre de carrés pour construire le grand carré 1 4 9 16 25 +3 +5 +7 +9 Solution 2 : Pour faire un carré avec des petits carrés, avec la calculette on multiplie le nombre de petits carrés par lui-même: 2x2=4 3x3--9 4x4= 16 5x5=25 A bientôt à La Garde.
Yves Lafont- 12/5/98 Institut de Mathématiques de Luminy 163, avenue de Luminy - Case 907 13288 MARSEILLE CEDEX 9 Marseille le Réponse au courrier n 4 des futés: J'ai bien reçu votre courrier sur le thème un carré avec des carrés, et je dois dire que je suis impressionné par la qualité de vos recherches mathématiques. Les nombres 1, 4., 9, 16, 25, 36, 49,... sont appelés des carrés. On dit que 1 est le carré de 1, que 4 est le carré de 2, que 9 est le carré de 3... Les deux méthodes que vous proposez pour les calculer sont parfaitement justes : - La première utilise l'addition et permet de calculer les carrés les uns après les autres. - La seconde utilise la multiplication et permet de calculer le carré d'un nombre directement. Il y a plus de 170 ans, alors que les calculettes et les ordinateurs n'existaient pas encore, un Anglais nommé Charles Babage a inventé une machine à calculer qui ressemblait à un grosse horloge. Cette machine ne savait faire que des additions, mais elle pouvait calculer les carrés en utilisant la première méthode. Et maintenant, quelques questions: Pouvez-vous expliquer la première méthode avec des dessins? Pouvez-vous calculer le nombre de petits carrés dans un rectangle? ou dans un triangle? Je ne suis pas sûr de pouvoir venir au colloque de La Garde, mais j'espère que vous y ferez une présentation de ces recherches.