Conception et étude d'une poutre de tenségrité déployable

Conception et étude d'une poutre de tenségrité déployable Julien Averseng 1, Jean-François Dubé 2 1 Université Montpellier 2, LMGC-UMR5508, Place E. Bataillon, 34095 Montpellier (julien.averseng@univ-montp2.fr) 2 Université Montpellier 2, LMGC-UMR5508, Place E. Bataillon, 34095 Montpellier (jean-francois.dube@univ-montp2.fr) RÉSUMÉ. Les structures de tenségrité sont des systèmes réticulés dont les éléments tendus sont composés de câbles. Ces structures légères et transparentes ont la particularité de pouvoir être déployables sous certaines conditions. Dans cet article, nous présentons la conception et le dimensionnement d'une poutre déployable répondant aux exigences d'une passerelle piétonne. Nous montrons le processus de déploiement et la mise en autocontrainte progressive de la poutre qui lui confère sa stabilité et sa rigidité. Pour respecter les critères de résistance et de service tout en gardant la transparence de la structure, nous appliquons une procédure d'optimisation portant sur : la topologie de la structure, les caractéristiques des éléments et le niveau d'autocontrainte. Par ailleurs les modes propres de vibration sont vérifiés vis-à-vis des critères de conception définis dans la norme. Au cours de cette étude, on montre que le système proposé, formé d une juxtaposition de modules de tenségrité, peut être une solution crédible pour des structures de type passerelle piétonne, sa mise en œuvre par déploiement constituant un avantage par rapport aux solutions classiques. ABSTRACT. Tensegrity systems are selfstressed reticulate systems in which tense elements are cables. These light and transparent structures have the peculiarity to be deployable under certain conditions. In this article, we present the design process of a deployable beam used as main support for a pedestrian footbridge. We present the deployment and the setting of selfstress that provides stability and rigidity. With respect to the serviceability and resistance requirements, an optimization procedure is carried out on the topology of the structure, the characteristics of elements and the level of selfstress. Besides, the vibration modes are verified regarding the confort criteria defined in the standard. During this study, we show that the proposed system, generated by juxtaposition of elementary modules, can be a credible solution for lightweight structures like footbridges, its deployability being a strong point for temporary applications. MOTS-CLÉS : tenségrité, conception, analyse, dynamique, déployable. KEY WORDS: tensegrity, design, analysis, dynamic, deployable

XXXe Rencontres AUGC-IBPSA 1. Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 2 Introduction Les systèmes de tenségrité sont une classe particulière dans la famille des systèmes réticulés. Ils sont d abord apparus sous forme de sculpture puis révélèrent leur potentiel en structures dans les années 50, notamment par les travaux de Snelson [SNE 73] et Fuller [FUL 73]. Ces systèmes se composent d un ensemble de barres comprimées à l intérieur d un continuum de câbles tendus, l ensemble étant maintenus dans un état d autocontrainte introduit au montage [MOT 03]. Cette caractéristique permet d exploiter chaque élément au mieux et ainsi de composer des structures légères et transparentes. De plus, pour certaines configurations [MOT 06][SMA 07], ces systèmes acceptent des cinématiques de pliage/dépliage permettant d étendre leur champs d application, par exemple au domaine spatial [QUI 11]. Malgré ces atouts et une littérature scientifique abondante, les systèmes de tenségrité sont encore aujourd hui peu développés dans le domaine de la construction en raison d une certaine méconnaissance et de la complexité des méthodes d analyse qui leur sont dédiées. Dans cet article, nous abordons la démarche d analyse et de conception d un système simple, une poutre composée d un assemblage de modules élémentaires. Une application est réalisée pour une passerelle de 12 m de portée afin de démontrer la pertinence de la démarche et de ce type de solution, notamment parce qu elle peut offrir un déploiement simple et rapide. nappe supérieure câble! diagonal barre nappe! inférieure Figure 1. Module élémentaire «quadruplex» et structures dérivées linéaires et plane 2. Etude d une poutre modulaire La maille élémentaire de la structure régulière étudiée est un module de tenségrité à 4 barres dit «quadruplex», comportant 12 câbles répartis en deux nappes horizontales et 4 éléments diagonaux reliant les nœuds inférieurs et supérieurs. La juxtaposition de ces modules permet de composer [QUI 03] des structures linéaires ou planes (fig 1). La nature modulaire de cette structure à des conséquences intéressantes sur l état d autocontrainte. Cet état se définit en effet à partir de l équilibre statique de l ensemble des nœuds de la structure, qui peut s écrire sous la forme :

Conception et étude d'une poutre de tenségrité déployable 3 Aq = f avec q i = N i l i [1] où q est le vecteur des densités de force (rapport de l effort normal sur la longueur) de tous les éléments, ce qui matérialise l état des contrainte internes. f est le vecteur des efforts extérieurs et A la matrice d équilibre, qui traduit l équilibre statique simultané selon chaque degré de liberté. Un état d autocontrainte q 0 vérifie par définition l équation [1] en l absence de forces extérieures ( f = 0 ). Il fait donc partie du noyau de la matrice A, un espace vectoriel dont une base organisée peut être construite [QUI 03]. Dans le cas de structures modulaires on aboutit généralement à une base formée d états locaux, c est-à-dire limités géographiquement à chaque module. L état d autocontrainte de la structure étant une combinaison linéaire des états de cette base, ceci permet donc de régler le niveau de contraintes initiale module par module. Par ailleurs, une signification de la localisation des états de la base d autocontrainte, propre à ces structures modulaires, est qu une rupture accidentelle dans un élément n aura qu un impact localisé au module concerné par cet élément. densité de force (N/m) h b a Figure 2. Etats d autocontrainte locaux et état uniforme de référence La structure étudiée dans cet article est un élément linéique formé par la juxtaposition de n modules de longueur a, largeur b, hauteur h et dont l orientation est alternée (fig 2). L état d autocontrainte est choisi pour avoir un niveau de contraintes homogène entre les modules. 2.1. Comportement sous charges transversales Cette structure est modélisée à l aide d un code de calcul en dynamique explicite [toy] implémentant des techniques de relaxation cinétique, ce qui permet d effectuer des analyses en chargement quasi-statique prenant en compte tous types de non linéarités. La structure de référence est une poutre comportant 12 modules de dimensions a = b = h = 1 m. Les caractéristiques de ses éléments sont données dans le tableau 1. Le comportement observé est relativement typique des systèmes de tenségrité mais reste cependant peu intuitif. En effet, sous charges transversales, on constate

XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 4 que tous les éléments subissent une augmentation de leur effort normal en valeur absolue (fig 3.a), là où une structure fléchie conventionnelle distingue des zones comprimées et tendues. Ce résultat peut s expliquer par un réarrangement géométrique des éléments entre eux, ce qui conduit à une flèche assez importante et justifie l utilisation de l analyse non linéaire en grands déplacements. Tableau 1. Caractéristiques des éléments de la poutre de référence barres câbles de nappe câbles diagonaux nœuds E = 210 GPa E = 160 GPa E = 160 GPa m = 1kg diam. 60 mm, ep. 4 mm diam. 12 mm diam. 16 mm 400 300 200 nappe sup. effort normal (kn) 100 0 100 200 300 barres nappe inf. (a) cables diag. etat initial (q l = 0) q l = 3 kn/m Charge appliquée (kn/m) 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 Niv. autocontrainte 50 kn 100 kn 150 kn 200 kn 250 kn 0 50 100 150 200 250 300 350 Flèche à mi-travée (cm) (b) Figure 3. Evolution des efforts internes à partir d un état de niveau 100 kn (a) ; flèche à mi travée en fonction de la charge appliquée pour différents niveaux d autocontrainte (b) Comme on le constate sur la figure 3.b, le comportement force-déplacement est dépendant de l autocontrainte, qui apporte ici une raideur significative pour des niveaux élevés. On sait par ailleurs que les sections droites apportent aussi de la rigidité mais avec un impact direct sur le poids. Le problème majeur pour cette structure reste donc qu elle est intrinsèquement très souple sous l effet de charges transversales. 2.2. Proposition d une solution plus rigide En observant l état déformé et particulièrement la nappe supérieure, on constate une forte distorsion due à un écartement important entre les nœuds latéraux supérieurs, comprimant les carrés alignés formant cette nappe en losanges. Ceci suggère que la souplesse de la structure peut être modifiée en bloquant ce

Conception et étude d'une poutre de tenségrité déployable 5 mouvement, par exemple par l ajout de câbles transversaux reliant les deux nœuds latéraux supérieurs (fig. 4). câbles! transversaux etat initial distortion sous charge mécanisme bloqué! sous charge Figure 4. Rigidification par blocage de mécanismes en nappe supérieure (vue de dessus) On constate en figure 5 que l impact de cette modification sur le comportement sous charges est très important. La courbe d évolution force-déplacement adopte en effet une forme bi-linéaire plus conventionnelle, présentant une raideur initiale, intrinsèque aux caractéristiques matérielles et sectionnelles. Cette phase est suivie d un assouplissement, plus ou moins précoce selon le niveau d autocontrainte, qui traduit le relâchement de câbles en nappe supérieure. 3,0 300 Charge appliquée (kn/m) 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 (a) Niv. autocontrainte 50 kn (CT) 100 kn (CT) 150 kn (CT) 200 kn (CT) 250 kn (CT) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Flèche à mi-travée (cm) effort normal (kn) 250 200 150 100 50 0 50 100 150 200 barres nappe sup. cables diag. nappe inf. cables transv. (b) etat initial (q l = 0) q l = 3 kn/m Figure 5. Comportement sous charge (a) ; évolution des efforts internes pour un niveau d autocontrainte de 100 kn résultats pour une poutre de 12 modules carrés (a = b = h = 1 m) avec câbles transversaux (CT) Les mécanismes étant bloqués, le comportement correspond désormais à celui d une poutre réticulée tridimensionnelle classique, dans laquelle les nappes inférieure et supérieure subissent respectivement des sollicitations de traction et de compression. Les nappes étant formées de câbles, l état d autocontrainte n intervient que pour les maintenir en tension. Dans le but d exploiter au mieux les éléments de

XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 6 la structure, son niveau doit donc être adapté en fonction du chargement pour éviter les relâchements. Ceci permet par ailleurs d assurer un comportement régulier qui peut être analysé simplement au 1 er ordre, par exemple par la méthode des déplacements. 3. Optimisation de la structure : cas d une passerelle de 12 m de portée Dans une démarche de conception, les sections des éléments doivent être déterminées en fonction du niveau des contraintes admissibles de résistance sous chargement. Ces choix influent sur la rigidité initiale et les charges permanentes, on conçoit donc qu une solution optimale et réaliste vis à vis d états limites ultimes résulte d un processus itératif. Pour illustrer cette démarche, nous prenons l exemple d une poutre supportant pour moitié une passerelle piétonne de 12 m sur 2 m de large. 3.1. Dimensionnement optimal ELU Dans un premier temps, on s intéresse à l optimisation vis-à-vis de la résistance. Un processus d optimisation concernant le niveau d autocontrainte et les sections droites des éléments de la structure est proposé. Les paramètres fixes sont par conséquent la géométrie et le chargement. L objectif est donc, pour une forme et des contraintes extérieures données, d obtenir un dimensionnement réaliste répondant aux exigences de résistance, les performances aux ELS pouvant être étudiées en aval. augmentation du niveau oui geométrie système autocontrainte dimensionnement! des sections cables détendus? non chargement sections analyse 1er ordre vérification! ELU! Ed Rd? oui évaluation! ELS augmentation des sections non Figure 6. Processus d optimisation de la structure vis-à-vis de critères ELU Le principe du processus est présenté en figure 6. A partir d un niveau d autocontrainte de départ, qui correspond ici à la valeur de la force dans le câble le plus sollicité, un dimensionnement des sections est réalisé. Un modèle mécanique est constitué puis analysé, au 1 er ordre pour des raisons de simplicité et de performance. Les câbles détendus à l état déformé sont ensuite recensés. Si leur nombre est non nul, le niveau initial d effort n est donc pas suffisant et il est corrigé. Dans le cas contraire, le champ de forces internes est utilisé pour mener une vérification en résistance des éléments. Un deuxième bouclage est effectué à ce niveau si les conditions ELU ne sont pas remplies, en augmentant cette fois uniquement les dimensions des éléments concernés.

400.000 Conception et étude d'une poutre de tenségrité déployable 7 3.2. Recherche d une configuration optimale Une solution optimale doit répondre à la fois aux critères de service et de résistance Pour une configuration géométrique donnée, le dimensionnement ELU produit déjà une solution optimisée, notamment en terme de masse. Améliorer cette solution pour vérifier les ELS ne peut mener qu à un résultat moins satisfaisant. Le chargement étant lié à l usage final de la structure, le seul paramètre restant à exploiter est la géométrie. Une étude exploratoire est donc menée sur les paramètres géométriques. Le nombre de modules n et l élancement vertical varient de 5 à 15 et l élancement horizontal L/b de 10 à 40. La portée est fixée à L = 12 m et le chargement uniformément réparti est d intensité 4 kn/m, correspondant au chargement pondéré conventionnel sur une largeur de 1 m de passerelle. Les caractéristiques des éléments sont celles du tableau 1. Les limites élastiques f y utilisées pour les barres et les câbles sont respectivement de 360 MPa et 1000 MPa. Les grandeurs utilisées pour mesurer la performance de chaque configuration sont la masse totale et la flèche maximale au 1 er ordre. La masse totale sert à évaluer l efficacité brute de la structure. La flèche maximale 1 er ordre donne de son côté un indice sur la rigidité d ensemble. Masse totale (kg) (élancement horiz. = 20) fleche verticale 1er ordre (mm) (élancement horiz. = 20) 1280.000-145.000 14 14-140.000 elancement_vertical (L/h) 12 10 8 480.000 560.000 640.000 720.000 1040.000 800.000 1120.000 880.000 1200.000 960.000 elancement_vertical (L/h) 12 10 8-120.000-115.000-110.000-105.000-125.000-135.000-130.000 6 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 nb. de modules 1040.000 1120.000 1200.000 1280.000 6-60.000-90.000-85.000-75.000-100.000-95.000-70.000-65.000-80.000 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 nb. de modules 40 Masse totale (kg) (élancement vert. = 10) fleche verticale 1er ordre (mm) (élancement vert. = 10) 40 elancement_horizontal (L/b) 35 30 25 20 15 450.000 500.000 10 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 nb. de modules (a) 550.000 600.000 650.000 1450.000 900.000 700.000 950.000 750.000 800.000 850.000 1400.000 1350.000 1000.000 1050.000 1100.000 1150.000 1200.000 1250.000 1300.000 elancement_horizontal (L/b) 35 30 25 20 15-104.000-108.000-112.000-116.000-120.000-128.000-124.000-132.000-136.000-140.000-144.000-148.000-152.000 10 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 nb. de modules Figure 7. Masse totale de la structure (a) et flèche au 1 er ordre (b) en fonction du nombre de modules, de l élancement horizontal et de l élancement vertical (b) -148.000-152.000-140.000-144.000-132.000-136.000-128.000

XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 8 Comme on peut le constater sur la figure 7, la masse totale dépend beaucoup du nombre de modules, que l on doit donc garder limité. On observe simultanément qu elle est minimale pour une zone correspondant à L/b = 30 et L/h compris entre 8 et 10, c est à dire une poutre de hauteur moyenne allant de 1,2 m à 1,5 m pour une largeur de 40 cm. L optimum de rigidité, au vu de la flèche verticale, se situe dans une zone avoisinante, plutôt pour un faible nombre de modules et un rapport L/h faible, la largeur ayant peu de conséquences. 3.3. Solution proposée Les caractéristiques matérielles et les sections des éléments de la solution retenue sont présentées dans le tableau 2. Comme on le voit, cette solution est en marge du domaine optimal défini précédemment car on constate, par une analyse en grands déplacements, que la structure n est plus stable pour de faibles valeurs b/h. Ainsi, pour une hauteur de 1,3 m, la largeur minimale doit être de 80 cm (L/b = 15). Tableau 2 Caractéristiques brute de la solution optimale géométrie h = 1,30 m, b = 80 cm, L = 12 m, a = 1,5 m (8 modules) éléments (cm 2 ) - barres : A = 7 cm 2 (D/t = 30), E = 210 GPa, f y = 360 MPa - câbles : E = 160 GPa, fy = 1000 MPa - nappe supérieure : A = 0,61 cm 2 (D = 9 mm) - nappe inférieure : A = 1,18 (D = 12 mm) - câbles diagonaux : A = 2,28 (D = 17 mm) - câbles transversaux : A =1 (D = 10 mm) niveau d autocontrainte : 190 kn, m noeuds = 1 kg, m vol = 7850 kg/m 3, masse totale = 438 kg Le résultat de l analyse non linéaire montre que la flèche instantanée est de 88 mm sous charges ELS, soit un rapport L/130. Par une analyse modale, on constate que dès le deuxième mode, les fréquences propres sont au delà de la limite règlementaire de 4 Hz. De plus, pour le premier mode, on peut considérer que le platelage, dans la configuration finale de la passerelle, jouera un rôle rigidifiant, décalant ainsi la fréquence de ce mode au delà de 1.8 Hz, limite de confort pour les modes latéraux au sens du règlement. 4. Mise en œuvre La mise en œuvre de la structure proposée est modélisée à l aide d un outil de calcul en dynamique explicite, permettant de simuler l évolution temporelle de la structure et d interagir avec elle [AVE 11]. Grâce à cet outil, qui prend en compte les interactions de contacts entre nœuds et éléments, des modes de pliage/dépliage peuvent être expérimentés, tout en surveillant sur l état mécanique de la structure et la stabilité de sa géométrie. La mise en place d un état d autocontrainte dans un système de tenségrité nécessite l usage d un certain nombre d éléments, dits «actifs», réglables en longueur. Lorsqu il s agit de câbles, leur raccourcissement permet d élever le niveau de contraintes internes dans la zone concernée. Dans le cas

Conception et étude d'une poutre de tenségrité déployable 9 de la structure étudiée, l autocontrainte est organisée module par module, ce qui signifie qu il est possible de régler le niveau de chaque module en agissant sur un seul des éléments qui le composent. Ici, le choix est fait d utiliser comme éléments actifs les câbles diagonaux qui sont partagés entre deux modules, soit le réglage de n-1 câbles pour une poutre de n modules. La mise en œuvre de cette poutre se déroule en deux temps : le déploiement à partir d un état plié, puis la mise en place de câbles actif et leur réglage afin d obtenir l état d autocontrainte voulu. La première phase est illustrée figure 8. L état initial est un fagot de longueur réduite, environ égale à celle d un module, dans lequel les câbles actifs, ici les câbles diagonaux communs à deux modules successifs, sont démontés. L état déployé est atteint en déplaçant les nœuds d extrémité tout en conservant un état de contraintes nul. 1 - Déploiement Etat final déployé (efforts internes) 2 - Ajout et réglage des câbles actifs Figure 8. Illustration du processus de mise en œuvre : déploiement et mise en tension A partir de l état déployé, les câbles actif sont rajoutés et raccourcis afin d obtenir l état final voulu dans la structure. Cette étape complexe est réalisée en suivant la méthode proposée dans [AVE 04] qui permet de maîtriser l état final. Cette approche consiste à introduire un état de tension indéterminé, l identifier par des mesures de forces internes, directes ou indirectes, puis le corriger de manière contrôlée jusqu à l état voulu. Dans notre cas, le raccourcissement à appliquer à chaque câble actif, dans l hypothèse d une géométrie parfaite, est d environ 26 mm. 5. Conclusion Les systèmes de tenségrité sont actuellement peu utilisés en structures. On montre dans cet article qu ils peuvent pourtant être considérés comme une alternative intéressante aux solutions classiques. Les éléments essentiels pour un dimensionnement réaliste sont présentés, permettant de répondre aux critères exigés de résistance et de confort en vibration dans le cas d une passerelle piétonne. Toutefois, des aspects n ont pas été traités dans cette étude, comme la conception des nœuds, qui doivent permettre l articulation des barres deux à deux et la fixation des câbles.

XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 10 Ainsi, dans l exemple proposé, la solution obtenue pour franchir une portée de 12 m sous une charge de 4 kn/m est une structure pesant 440 kg, soit 37 kg/m. Cette masse correspond à celle d un profilé IPE 270 qui est capable de soutenir, hors instabilités et pour f y = 360 MPa, une charge ultime d environ 12 kn/m, soit 4 fois plus. Du point de vue des vibrations, les critères de confort sont vérifiés. Enfin, sous les mêmes charges ELS, ce profilé fléchit de 41 mm, soit deux fois moins que pour la structure proposée. Le système présenté apparait donc, dans cette application, moins efficace structurellement. Cependant, son avantage incontestable est le mode de mise en œuvre, qui permet un transport dans un volume réduit et un déploiement rapide selon une méthodologie simple. Cela peut être suffisant pour en faire une solution envisageable, d autant que la démarche proposée pourrait être appliquée à tout un ensemble de configurations géométriques intéressantes. 6. Bibliographie [AVE 04] Averseng J., Crosnier B., «Prestressing tensegrity systems- application to multiple selfstress state structures», International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2004, p. 543-557. [AVE 11] Averseng J., Quirant J., Dube J.F., «Interactive design and dynamic analysis of tensegrity systems», Structural Engineering World Conference, 2011. [FUL 73] Fuller R.B., R. Marks, The dymaxion world of Buckminster Fuller, New York, Anchor Books, 1973. [MOT 03] Motro R., Tensegrity : structural systems for the future, London ; Sterling, VA, Kogan Page Science, 2003. [MOT 06] Motro R., Maurin B., Silvestri C., «Tensegrity rings and the hollow rope», IASS symposium, new olympics, new shells and spatial structures, 2006. [QUI 03] Quirant J., Kazi-Aoual M.N., Motro R., «Designing tensegrity systems: the case of a double layer grid», Engineering Structures, 2003, p. 1121-1130. [QUI 11] Quirant J., Cevaer F., Morterolle S., Maurin B., Dube J.F., «Conceptual Design and Analysis of a Deployable Structure with Flexible Joints», Journal of Aerospace Engineering, 2011, p. 277-284. [SMA 07] Smaili A., Motro R., «Foldable/unfoldable curved tensegrity systems by finite mechanism activation», journal of the IASS, 2007, p. 153. [SNE 73] Snelson K., Tensegrity masts, Shelter Publications, Bolinas, CA, 1973.